多元正态分布的概率密度函数

概率论与数理统计习题·第一章 随机事件及其概率 班级 姓名 作业序号

◇一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的

废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数X的分布函数)(xF，并作出分布函数

)(xFy的图形．

【解】设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为0,1,2,3，

，

43

129)0(XP ，

449

119

123)1(XP

，

2209

109

112

123)2(XP ，

2201

99

101

112

123)3(XP

即 X 0 1 2 3

)(ixp

43

449

2209

2201

故X的分布函数为











3,132,22021921,222110,430,0

)(

xxxxx

xF 其图形见下：

……………………………………………………………………………………………………

◇设连续随机变量X的分布函数为

xxBAxF ,arctan)(．

（1）求系数A及B．（2）求X落在区间)1,1(内的概率．（３）求X的概率密度．

【解】(1) 由0)

2()(lim

πBAxF

x，1

2)(lim

πBAxFx，

解得.1,

21

πBA 即.arctan1

21)(x

πxF．

(2) )1arctan

21

21()1()1()11(FFXP.

21)]1arctan(

21

21[

(3) X的概率密度为 xy

12O1

3概率论与数理统计习题·第一章 随机事件及其概率 班级 姓名 作业序号

)1(1)()(2xxFxf

，),(x．

……………………………………………………………………………………………………

◇三、设随机变量X的概率密度为

xAexfx ,)(．

（1）求系数A．（2）求X落在区间)1,0(内的概率．（3）求随机变量X的分布函数．

函数名 对应分布的概率密度函数

betapdf 贝塔分布的概率密度函数

binopdf 二项分布的概率密度函数

chi2pdf 卡方分布的概率密度函数

exppdf 指数分布的概率密度函数

fpdf f分布的概率密度函数

gampdf 伽玛分布的概率密度函数

geopdf 几何分布的概率密度函数

hygepdf 超几何分布的概率密度函数

normpdf 正态（高斯）分布的概率密度函数

lognpdf 对数正态分布的概率密度函数

nbinpdf 负二项分布的概率密度函数

ncfpdf 非中心f分布的概率密度函数

nctpdf 非中心t分布的概率密度函数

ncx2pdf 非中心卡方分布的概率密度函数

poisspdf 泊松分布的概率密度函数

raylpdf 雷利分布的概率密度函数

tpdf 学生氏t分布的概率密度函数

unidpdf 离散均匀分布的概率密度函数

unifpdf 连续均匀分布的概率密度函数

weibpdf 威布尔分布的概率密度函数

表Ⅰ-2 累加分布函数

函数名 对应分布的累加函数

betacdf 贝塔分布的累加函数

binocdf 二项分布的累加函数 chi2cdf 卡方分布的累加函数

expcdf 指数分布的累加函数

fcdf f分布的累加函数

gamcdf 伽玛分布的累加函数

geocdf 几何分布的累加函数

hygecdf 超几何分布的累加函数

logncdf 对数正态分布的累加函数

nbincdf 负二项分布的累加函数

ncfcdf 非中心f分布的累加函数

nctcdf 非中心t分布的累加函数

ncx2cdf 非中心卡方分布的累加函数

normcdf 正态（高斯）分布的累加函数

poisscdf 泊松分布的累加函数

raylcdf 雷利分布的累加函数

tcdf 学生氏t分布的累加函数

unidcdf 离散均匀分布的累加函数

unifcdf 连续均匀分布的累加函数

weibcdf 威布尔分布的累加函数

多元高斯分布及其性质

高斯分布，也叫正态分布，是自然界中普遍存在的分布。多元高斯分布是高斯分布在多维空间上的推广，是统计学中重要的概率分布之一。本文将对多元高斯分布进行讨论，并介绍其性质。

一、多元高斯分布定义

设X=(X1, X2, …, Xn)T是一个n维随机变量，若它的各个分量X1, X2,…, Xn之间的联合密度函数为：

f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\sum|^{1/2}}exp[-\frac{1}{2}(x-\mu)^\mathrm{T}\sum^{-1}(x-\mu)]

其中，μ=(μ1, μ2,…, μn)T是X的n个分量的均值向量，Σ是n×n的协方差矩阵，|Σ|表示Σ的行列式，Σ-1表示Σ的逆矩阵。上式称为n维多元高斯分布的密度函数，记作：

X ~ N(μ, Σ)

其中，N表示正态分布的英文首字母。

二、多元高斯分布的几何意义

多元高斯分布的几何意义可以通过它的等高线图来表示。假设n=2，那么二元多元高斯分布的密度函数为：

f(X) = \frac {1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left[ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right]

其中，μ1、μ2分别为两个随机变量的均值，σ1、σ2分别为两个随机变量的标准差，ρ为它们的相关系数。

画出密度函数的等高线图，当二元正态分布的相关系数ρ= 0时，它的密度函数的等高线图是椭圆形。而当ρ> 0或ρ< 0时，它的密度函数的等高线图变成斜的椭圆形。

三、多元高斯分布的性质

多元正态分布的概率密度函数

p(x) = (2π)^(−d/2) * ，Σ，^(-1/2) * exp[−1/2 *( x−μ )^T

Σ^(-1)(x−μ)]

其中，(2π)^(−d/2) 表示一个常数系数，Σ，^(-1/2) 表示协方差矩阵的行列式的平方根的倒数，Σ^(-1)表示协方差矩阵的逆，exp[−1/2

*( x−μ )^T Σ^(-1)(x−μ)]表示对指数函数的指数部分进行运算。

在上述公式中，μ是一个d维向量，表示多元正态分布的均值向量，表示了数据在各个维度上的中心位置。Σ是一个d×d的协方差矩阵，表示不同维度之间的相互关系。

正态分布的主要特性是其均值和方差。在多元正态分布中，均值向量μ指示了分布在每个维度上的平均值。协方差矩阵Σ则指示了分布在不同维度间的相关性及展开度。当协方差矩阵Σ是对角矩阵时，表示各个维度之间是相互独立的，若协方差矩阵Σ中一些非对角元素为零，则表示各个维度是独立的。

总之，多元正态分布的概率密度函数是一个描述多维空间中随机变量分布的函数。它通过均值向量和协方差矩阵来表示数据在不同维度上的中心位置和相互关系，是统计学和概率论中一个重要的分布函数。