直角三角形的边角关系

□ 初中数学讲义

1 第三讲 直角三角形的边角关系

知识点一 正切，正弦及余弦的定义

1、正切的定义

在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。

即tanA=baA的邻边的对边A

例1 如图，△ABC是等腰直角三角形，求tanC.

例2 如图， 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。

2、正弦、余弦的定义

在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。

即sinA=ca斜边的对边A

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。

即cosA=cb斜边的邻边A

例4 在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你DCBA □ 初中数学讲义

2 有什么发现？请加以证明。

3、三角函数的定义（重点）

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：

（1）三边之间关系：222cba；

（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；

（3）边角之间关系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）

除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

同步练习：

1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=53，求CD的长。

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第1讲 解直角三角形专题复习

【知识点梳理】

（一） 三角函数的概念

1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)

如图，在 ABCRt中，（1）的邻边的对边AAAtan ＝ ab

（2）斜边的对边AAsin ＝ ac

（3）斜边的邻边AAcos ＝ bc

（二）特殊角的三角函数值

度 数 sinα cosα tanα

30° 21 23 33

45° 22 22 1

60° 23 21 3

（三）三角函数之间的关系

1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 ABC∠A的对边∠A的邻边斜边

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BAcossin BAsincos 1tantanBA

2、同角关系

sin2A+cos2A=1.

.cossintanAAA

（四）斜坡的坡度

1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．

俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．

（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．

坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan α

如图所示， lhitan，即坡度是坡角的正切值．

（3）方向角：

平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．

（五）解三角形及其应用

利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：

① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；

② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；

③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．

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考点一：锐角三角函数

直角三角形的边角关系

1. 知识体系：

1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中

①的对边

的斜边tan



②的对边

的斜边sin



③的邻边的斜边cos





在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中

2. 特殊角的三角函数值，可用表格来说明

sinα cosα tanα

30° 1

2 3

2 3

3

60° 3

2 1

2 3

45° 2

2 2

2 1

3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）

41

2

3

4.三角函数的应用（）测山的高度

（）测楼的高度

（）测塔的高度

（）其它





2、三角函数的应用

1、等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若

tanDBAAD15，求的长。

2、如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，

自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物的高。

A

30° 60°

D 100 C B

3、 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16

小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里

/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均

会受到影响。（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该

船应在多少小时内卸完货物。

北

C

西 B A

4、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它

靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离

DE=3m。求点B到地面的垂直距离BC。2

5、如图，甲楼每层高都是米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角3.1

为，两楼相距有多远？（结果精确到米）300.16045AD

勾股定理（2）——直角三角形三边的关系

【教学目标】

一、知识目标

通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能

二、能力目标

1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。

2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。

3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。

三、情感态度目标

学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。

【重点难点】

重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。

难点：应用勾股定理时，注意正确使用定理和重视定理存在的条件。

【教学过程】

一、 复习

填表：

Rt△ABC a b c

∠C＝900 6 8

∠C＝900 5 13

∠C＝900 4 6

∠A＝900 3 4

∠B＝900 5 13

二、 新课讲解

例1：如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）

解：在Rt△ABC中，090B

【针对性练习一】

1、如图14.1.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？

例2：在Rt△ABC中，两直角边分别为3、4，求这个三角形的周长。

【针对性练习二】

1、 一直角形的两条边分别为12、5，求第三边的长。

2、在边长都为整数的△ABC中，AB>AC，若AC=4cm，BC=3cm，求AB的长。

3、在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，BC边上的高AD=12，求BC的长。

【巩固练习】

A组

1、如图，字母B所代表的正方形的面积是 ( )

A.、12 B、13

C、144 D、194

（第1题）

2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和是 。