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事件的相互独立性【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．事件的相互独立性的定义是什么？2．相互独立事件有哪些性质？3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？二、基础知识1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B － ，A － 与B ，A － 与B －也都相互独立．■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．（2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）．三、合作探究1．相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P （A ）＝12，P （B ）＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P （A ）P （B ），所以事件A ，B 不相互独立．（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P （A ）＝68＝34，P （B ）＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P （A ）P （B ）成立．从而事件A 与B 是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的两种方法（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；（2）定义法：通过式子P (AB )＝P （A ）P （B ）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断.2．相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A － )＝0.2，P (B － )＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A － BC )＋P (A B － C )＋P (AB C － )＝P (A － )P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B － )P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C － )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A － B － C － )＝1－P (A － )P (B － )P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B － C － )＋P (A － B C － )＋P (A － B － C )＝P （A ）P (B － )P (C － )＋P (A － )P （B ）P (C － )＋P (A － )P (B －)P（C ）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P （A ）P （B ）P （C ）＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P （A ），P （B ），那么：（1）A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B ．（2）A ，B 都发生为事件AB ．（3）A ，B 都不发生为事件A － B －.（4）A ，B 恰有一个发生为事件A B － ＋A －B ．（5）A ，B 中至多有一个发生为事件A B － ＋A － B ＋A － B －.它们之间的概率关系如表所示：A ，B 互斥A ，B 相互独立P (A ＋B )P （A ）＋P （B ）1－P (A － )P (B － )P (AB )0P （A ）P （B ）P (A B )1－[P （A ）＋P （B ）]P (A － )P (B －)3．相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P （A ）＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.（2）P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.概率问题中的数学思想（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P （A ）＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．四、课堂检测1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A ．49B ．29C ．23D ．13解析：选A ．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.2．已知A ，B 是相互独立事件，且P （A ）＝12，P （B ）＝23，则P (A B － )＝________；P (A －B －)＝________．解析：因为P （A ）＝12，P （B ）＝23.所以P (A － )＝12，P (B － )＝13.所以P (A B － )＝P （A ）P (B － )＝12×13＝16，P (A － B － )＝P (A － )P (B － )＝12×13＝16.答案：16163．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3．（1）第3次才接通电话可表示为A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1－ A 2－ A 3)＝910×89×18＝110.（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－ A 2)＋P (A 1－ A 2－A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。
事件的相互独立各位评委、各位老师，大家好。
我是张彬今天，我说课的内容是《事件的相互独立》。
下面我将从教材分析、核心素养及教学目标、教学的重难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学反思七个方面来说解。
一、教材分析本节选自人教版A版必修二的第十章第二节。
在已学古典概型，互斥事件和对立事件的基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，它的主要作用是简化概率计算、相互独立事件同时发生的概率是典型的概率模型。
将复杂问题分解为这种基本形式，是处理概率问题的基本方法。
同时为伯努利试验和二项分布的学习作铺垫.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。
高考方向⼆、核心素养及教学目标根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下核心素养角度：1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念确定本节课的教学目标1.了解独立性的概念, 从对独立性的感性认识 (直观判断) 过渡到独立性的定义2. 了解并会应用独立性的判定 P (AB) =P (A)P (B)3. 会对实例进行分析，应用独立性性质对概率问题的解决和应用.三、教学的重难点1、教学重点：独立事件同时发生的概率2、教学难点：独立事件的判定及概率计算我通过“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的概率故事，引起学生兴趣，并利用独立性概念的判定 P (AB) =P (A)P (B) ，用小组讨论发现其中存在的问题，求出独立事件发生的概率。
再通过课堂练习和课后练习，加深对独立事件公式的理解和应用四、学情分析1学习状况：学生已经学习和了解了古典概型，互斥事件，对立事件2学生情况：学生对独立性有了感性认识学习，对独立性的定义这样抽象的理论难免会存在无法完全接受的现象，但是总体还是乐观学习3解决对策：通过实际例子直观理解、激发兴趣、分层兼顾五、教法与学法1、教法：在教学过程中，不仅仅要使学⽣“知其然”，还要使学⽣“知其所以然”。
