三角函数的化简与证明

1 第九讲: 三角函数的化简与求值

一、知识要点

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

二、方法点拨

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.

提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:

1. 已知3,1616,则(1tan)(1tan)（1+tanα）的值为 。

2. 已知5sin5,10sin10,且,为锐角，则的值是 。

3.

若cos222sin()4，则sincos的值为 。

4. 已知43sin2,,252,则sincossincos等于 。

5. 若235cos2,3252xx,则sin2x和tan2x的值分别是 。

6. sin50(13tan10)=___________________。

7. 44sin22.5cos22.5=______________________。

8. 化简22cos()cos()23cos2tan()cos()sin()2___________。

9. 已知向量(cos,sin)ab，255ab,若0,022，且5sin13,则sin的值为_______。

10. 已知23cos()5cos()12xx，求226sin4tan3cos()xxx的值．

11. 已知方程sin(3)2cos(4)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(的值。

12. 已知函数2()2sincos2cosfxaxxbx，且(0)8,()126ff

（Ⅰ）求实数,ab的值；

（Ⅱ）求函数()fx的最大值及取得最大值时x的值.

高一期末复习学案 日期：2012年6月12日

- 1 - 三角函数的化简、求值与证明

(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时，可利用180,270,360的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角.

二． 两角和与差的三角函数公式

1. 两角和与差的正弦公式：sin______________.

变形式：sinsin_______;sinsin_______；

2.两角和与差的余弦公式：cos__________________

变形式：coscos_____________；coscos__________；

3．两角和与差的正切公式：tan___________())2kkZ（、、.

变形式：tantan_________________. 高一期末复习学案 日期：2012年6月12日

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【例1】计算：2(sincos)tan()643

【例2】已知tan3，求sin()cos()()sin()sin()nnnnnZ的值.

【例3】函数()cos()sin(),22xxfxxR.

(1)求()fx的最小正周期有最大值； (2)求)(xf在[0,)上的减区间.

【例4】若[0,2，且1cos21cos2sincos22，则的取值范围是（ ）

A.(0,)2 B.(,)2 C.(,)2 D.(,2)2

高一期末复习学案 日期：2012年6月12日

- 3 - 【例5】已知关于x的方程22(31)0xxm的两根为sincos、，其中(0,2)．

三角函数的化简公式

三角函数是数学中常见的一类函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。在数学的计算和分析中，经常需要对三角函数进行化简和简化，以便更方便地进行运算和推导。本文将介绍三角函数的一些常见的化简公式。

1. 正弦函数的化简公式

正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其常用的化简公式包括：

（1）正弦函数的和差化简公式：

sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)

（2）正弦函数的倍角化简公式：

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

（3）正弦函数的平方化简公式：

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

（4）正弦函数的和差的平方化简公式：

sin^2(x ± y) = (1 - cos(2x ± 2y))/2

2. 余弦函数的化简公式

余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，其常用的化简公式包括：

（1）余弦函数的和差化简公式： cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)

（2）余弦函数的倍角化简公式：

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

（3）余弦函数的平方化简公式：

cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

（4）余弦函数的和差的平方化简公式：

cos^2(x ± y) = (1 + cos(2x ± 2y))/2

3. 正切函数的化简公式

正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的函数，其常用的化简公式包括：

（1）正切函数的和差化简公式：

tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))

（2）正切函数的倍角化简公式：

tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))

（3）正切函数的平方化简公式：

tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))