24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案

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A.3v2 241.2垂直于弦的直径

一、课前预习（5分神训练）

1 .如图24-1-2-1, AB是。。的弦，CD是。。的直径，CD1AB,垂足为E,则可推出的相等关系是

2. 圆中一条弦把和它垂直的直径分「成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为・

3. 判断正误.（】）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦.

4. 圆O的半径OA=6QA的垂直平分线交圆。于B、C,那么弦BC的长等于•

二、课中强化（1。分仲训练）

1 .圆是轴对称图形，它的对称轴是 _____________ .

2. 如图24-1-2-2,在。。中，直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有，相等的

劣弧有 ______________

3. 在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm,弦心距O05 cm,则。。的半径区 cm.

4. 如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.

图 24-1-2-4

三、课后巩固（30分钟训练）

1 .如图24-1-2-5,00的半径OA=3,以点A为圆心QA的长为半径画弧交。。于B、C,则BC等于（）

C 图 24-1-2-5

2. 如图24-1-2-6, AB是。。的弦，半径OC1AB于点D,旦AB=8 cm, OC=5 cm,则OD的长是（）

A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.l cm

3.00半径为10,弦AB=12, CD=16,旦AB II CD.求AB与CD之间的距离.

4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两

边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60。，则秋千踏板与地面的最大距离约为

多少?

5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5 月】2日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高.的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为米.

⑴ ⑵

图 24-1-2-8图 24-1-2-6

图 24-1-2-7 6. 如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.

（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心。；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）设AABC为等腰三角形，底边BCFO’cm,腰AB=6 cm,求圆片的半径R;（结果保留根号）

⑶若在（2）题中的R满足nvRvm（m、n为正整数），试估算m和ri的值.

图 24-1-2-9

7.0。的直径为10,弦AB的长为8, P是弦AB±的一个动点，求OP长的取值围.

4.（开放题）AB是。。的直径，AC、AD是。。的两弦，已知ABF6, AC=8, AD=8, 求ZDAC的度数.

4.如图，圆。与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

参考答案

一、课前预习（5分钟训练）

1. 如图24-1-2-1, AB是。。的弦，CD是。。的直径，CD1AB,垂足为E,则可推出的相等关系是 B

B E 图 24-1-2-1

思路解析：根据垂径定理可得.

答案：OC=OD、AMBE、孤 AC二弧 BC、孤 AD二孤 BD

2. 圆中一条弦把和它垂直的直径分.成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为.

思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.

答案：4占cm

3. 判断正误.

（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦.

思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.

答案：两个命题都错误.

4. ______________________________________________________________________ 圆。的半径OA=6QA的垂直平分线交圆。于B、C,那么弦BC的长等于二 __________________________ .

思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BC。是等边三角形.

答案：6

二、课中强化（10分钟训练）

1 .圆是轴对称图形，它的对称轴是 _____________ •

思路解析：根据圆的轴对称性回答.

答案：直径所在的直线

2.如图24-1-2-2,在。。中，直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有,相等的劣弧有• N

图 24-1-2-2

思路解析：由垂径定理回答.

答案：OM二ON, AC二BC 孤 AM二弧 BM

3. 在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则。。的半径区 cm.

思路解析：连结AO,,得RtZkAOC,然后由勾股定理得出.

答案：13

4. 如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.

代思路分析：利用“圆的对称性"：垂直于弦的直径平分这条弦.

由。M1AB可得。M平分AB,即AM=：AB.连结半径OA后可构造RtA,利用勾股定理求解. 2

解：连结。A.

・.・OM1AB,

/. AM= —AB. 2

•/OA=1 X1O=5, OM=4, 2

/.AM=\IOA2 -OM1 =3.AB=2AM=6（cm）.

三、课后巩固（30分耕训练）

1 .如图24-1-2-5,00的半径OA=3,以点A为圆心QA的长为半径画弧交于B、C,则BC等于（

思路解析：连结AB、BO,由题意知：AB二AO二OB,所以△ AOB为等边三角形.A。垂直平分BC, 图 24.-1-2-3

A.3v^2 图 24-1-2-4

图 24-1-2-5 图 24-1-2-6 所以 BC=2x —=3^3.

答案：B

2.如图24-1-2-6, AB是。。的弦，半径OC1AB于点D,且AB=8 cm, OC=5 cm,则OD的长是（）

A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.l cm

思路解析：因为AB是。。的弦，半径。C1AB于点D,旦AB=8 cm, OC=5 cm,连结OA,在 RtAODA中，由勾股定理得OD=3cm.

答案：A

3.0。半径为10,弦ABF2, CD=16,旦AB//CD.求AB与CD之间的距离.

思路分析：本题目属于“图形不明确型"题目，应分类求解・

解：⑴当弦AB与CD在圆心。的两侧时，如图⑴所示.

作OG1AB,垂足为G,延长G。交CD于H,连结OA、OC.

VAB//CD, GH1AB,

・・・GH1CD.

VOG1AB, AB=12,

AG= —AB=6. 2

同理,CH 二 LCD=8.

.-.RtAAOG 中，OG= JQA2_GG」=8.

RtACOH 中，OH= Jg —CH?=&

・・・ GH = OG+OH = 14.

（2）当弦AB与CD位于圆心。的同侧时，如图（2）所示.

GH = OG・OH = 8-6二 2.

4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5 m.秋千向两

边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60。，则秋千踏板与地面的最大距离约为

图 24-l-2・7

思路分析：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅

垂线分别为AD、BE,点D、E在地面上，过B作BC1AD于点C.解直角三角形即可.

解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅垂线分

别为AD、BE,点D、E在地面上，过B作BC1AD于点C.如图.

/.AC=3x — = 1.5 (m). 2

/.CD=3+0.5-1.5=2 (m).

...BE=CD=2 (m).

答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.

5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5

月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1.2・8(1).最高,的圆拱的跨度为110米,

拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为

(2)

图 24-1-2-8

思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.多少?

米・ AZZ<7777^|fzz//ZZ/ZZ7ffff

在RtAABC中，・.・AB=3,

⑴ 连结OC.设圆拱的半径为R米，则。F=(R-22)(米).

•/OE1CD, /.CF=lcD=i XI 10=55 (米). 2 2

根据勾股定理,得 OC2=CF2 + OF2,即 R2=552 + (R-22) %

解这个方程，得R=79.75 （米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75x2=159.5 （米）.

答案：159.5

6. 如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.

（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心。；（保留作图痕迹，不写作法）

⑵设AABC为等腰三角形，底边BC=10 .cm,腰AB=6cm,求圆片的半径R;（结果保留根号）

⑶若在（2）题中的R满足nvRvm（m、n为正整数），试估算m和ri的值.

思路分析：（1）作AB、AC的中垂线即得圆片圆心。；（2）已知BC和AB的长度，所以可以构造直

角三角形利用勾股定理可求得半径R；（3）根据半径的值确定m、n的值.

（1）作法：作AB、AC的垂直平分线，标出圆心。・

(2)解:连结A。交BC于E,再连结BO.・・・AB=AC,.・・AB=AC・.・・AE1BC..・・BE=LBC=5E

在 RtAABE 中，AE=』AB’ - BE~ - J36 - 25 = VTT.

在 RtAOBE 中，R2=52 + (R-V1T ) 2,解得 R二多"cm). VII

9 18 18 18 /

--- ——-< v =6

/.5< R< 6.

,「nvRvm, /.m=6, n=5.

7. 。。的直径为10,弦AB的长为8, P是弦AB±的一个动点，求OP长的取值围.

・资料.(3)解:...5v

24.1.2 垂直于弦的直径

一、教学目标

1．经历探索圆的轴对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．

2．理解并应用垂径定理进行有关计算．

3．通过观察、动手操作，培养学生发现问题、解决问题的能力，锻炼学生的逻辑思维能力，体验从特殊到一般的数学思想方法．

二、教学重难点

重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题．

难点：垂径定理及其推论．

教学过程（教学案）

一、情境引入

1.谈话导入：前面，我们学习了与圆有关的一些概念，接下来研究圆的性质．

2.进行P81“探究”活动

（1）学生动手操作后，小组交流讨论、探究，发现：圆形纸片沿着它的任意一条直径对折都能重合．

（2）教师分析：通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

二、互动新授

1.证明圆是轴对称图形

（1）教师提示：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上．

教材图24.1－6

（2）师生合作探究

如教材图24.1－6，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′，

在△OAA′中，∵OA＝OA′，∴△OAA′是等腰三角形．

又AA′⊥CD，∴AM＝MA′.

即CD是AA′的垂直平分线．这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称．即

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．

2.推导垂径定理（1）观察教材图24.1－6中的AM与A′M，AC︵与A′C︵，AD︵与A′D︵，它们各有什么关系？

学生观察、思考后，较易得出：

如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点．把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合，AC︵，AD︵分别与A′C︵，A′D︵重合．

《24.1.2垂直于弦的直径》说课稿

根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析、教学目标分析、教学与教材处理、学法指导、教学过程、板书设计等方面对本课的设计进行说明，不当之处请各位评委老师批评指正。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

本节内容是初中数学九年级上册第二十四章第一节第二课时的内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是前面所学习的圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，另一方面，这也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。

2、学情分析

从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的肯定和表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创设条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性和积极性。

从认知状况来说，学生在此之前已经学习了圆的有关性质和过三点的圆等内容，对圆的有关性质已经有了一定的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于垂直于弦的直径和这弦的关系（即垂径定理）的理解，学生可能会产生一些困难，所以在教学中应予以简单明了，深入浅出的分析。

鉴于此，本节课将通过“实验——观察——猜想——合作交流——验证”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

因此，这节课无论从知识上，还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。

3、教学重难点根据以上分析，可以看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

数学人教版九年级上册练习题

24．1．2 垂直于弦的直径

一、知识点回顾：

1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。

2．如右图，____________是直径，___________是弦，

____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。

3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。

4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。

5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。

二、新知学习：

（一）．学习目标：

1-知识目标：掌握垂径定理

2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题

（二）．自学要求：P

80—P

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.

符号语言：∵

AB是⊙

O的直径又∵

CDAB

∴

DECE

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧

符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵DECE

∴

CDAB

三、典型拓展例题：

1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧

的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4

m，拱高（弧的中点到

弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。

3．如图，在⊙

O中，

AB、

AC为互相垂直且相等的两条弦，

ABOD于

D，

ACOE于

求证：四边形ADOE为正方形。

4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D。求证：BDAC

5．如图所示，在⊙

O中，

C、

D是弦

AB上的两点，且

BCAD.求证：

ODOC

四、检测与反馈：

1．如图，在⊙

O中，

AB是弦，

ABOC于

⑴若

5OA，

4OC，求

AB的长；⑵若

6OA，

8AB，求

OC的长；

⑶若12AB，8OC，求⊙O的半径；⑷若120AOB，10OAOA =10，求AB的长。

垂径定理1-3课时

ODCOABDCOABPAOBCD24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）

一、知识探究

1、圆既是图形，又是图形。对称轴是

，对称中心是。

2、按要求作图

（1）作⊙O的任意一条弦AB；

（2）过圆心O，作垂直于弦AB的直径CD，交AB于点E。

观察并回答：

问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：

问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧：

证明过程：已知：CD是⊙O的直径，且CD⊥AB。求证：AE=BE

结论：垂径定理：的直径，并且。

几何语言的写法：∵

∴

强调：（1）；（2）；（3）

（4）；（5）

二、例题解析

例1：在⊙O中，弦AB长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O半径为

例2：⊙O的半径为5，M是⊙O内一点，OM=3，则过M点的最短弦的长为

例3：如图：已知线段AB交⊙O于C、D两点，若AC=BD，求证：OA=OB。

三、课堂练习：

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初中-数学-人教版-24.1.2垂直于弦的直径同步练习(一)

页数:12
24.1.2 垂直于弦的直径课时练

页数:5
24.1.2 垂直于弦的直径练习教师版

页数:22
24.1.2垂直于弦的直径

页数:14
垂直于弦的直径练习题

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24.1.2垂直于弦的直径教案

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24.1.2 垂直于弦的直径(练习)(原卷版)

页数:5
第24.1.2垂直于弦的直径(教案)

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24.1.2垂直于弦的直径教案

页数:2
24.1.2垂直于弦的直径练习

页数:4
2021年人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》课时练习(含答案)

页数:6
《24.1.2垂直于弦的直径》教案说明

页数:4

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数学人教版九年级上册练习题

垂径定理1-3课时

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