概率论第一章习题详解

1 / 30 第一章 概率论的基本概念

习题一 随机试验、随机事件

一、判断题

下列各题中的A、B、C均表示事件，表示不可能事件

1、()ABBA （ 否 ）

解：()ABBAB,只有当 ()BAABBA时

2、ABCABC （ 否 ）

解：ABCABC

3、ABAB （ 是 ）

解：ABABAABBA

4、若,ACBCAB则 （ 否 ）

解： C A B 显然,ACCBCAB但

5、若,ABAAB则 （ 是 ）

6、若,,ABCABC则 （ 是 ）

7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则

（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ）

（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ）

（3）事件“含有白球”为随机事件。 （ 是 ）

8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ）

解： 互斥事件：AB

互逆事件：ABAB且

二、填空题

1、一次掷两颗骰子，

（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为

,,1,2,3,4,5,6mnmn ；

（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 . 2 / 30 2、化简事件ABABABAB.

解：



ABABABABABAABBABAABAABBBABBAABABBAABABBAABABB

AABABBAAB

3、设A，B，C为三事件，用A，B，C表示下列事件：

（1）

A不发生，B与C都发生可表示为

ABC

；

（2） A与B都不发生，而C发生可表示为 ABC ；

（3） A发生，但B与C可能发生也可能不发生可表示为 A

；

（4） A，B，C都发生或都不发生可表示为 ABCABC ；

（5） A，B，C中至少有一个发生可表示为

ABC ；

（6）

A，B，C中至多有一个发生可表示为 ABCABCABCABC ；

（7） A，B，C中恰有一个发生可表示为 ABCABCABC ；

（8） A，B，C中至少有两个发生可表示为 ABACBC ；

（9） A，B，C中至多有两个发生可表示为 ABC ；

（10） A，B，C中恰有两个发生可表示为 ABCABCABC .

三、选择题

1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A表示“恰有一弹击中飞机”，B表示“至少有一弹击中飞机”，C表示“两弹都击中飞机”，D表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）

A、A与D是互不相容的

B、A与C是相容的

C、B与C是相容的 D、B与D是相互对立的事件

2、下列关系中能导出“A发生则B与C同时发生”的有（ A ）

A、ABCA B、ABCA C、BCA D、ABC

解：ABCAABC A发生则B与C同时发生

四、写出下列随机试验的样本空间

1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；

2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球； 3 / 30 3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：1、0,1,2,,100iSinn

2、123124125134135145234235245345S，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

3、1,2,3,Sii

4、22,,1,1 ,1SxyxyorSxyxy

五、在分别标有1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张。设事件A表示“抽得一张标号不大于4的卡片”；事件B表示“抽得一张标号为偶数的卡片”；事件C表示“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本结果表示如下事件：

,,,,,,,ABABBABBABCBCABC

解：1,2,3,4,2,4,6,8,1,3,5,7ABC

1,2,3,4,6,8 2,4 1,3,5,7 1,3 6,8

1,3ABABBABBABCBCABC

六、在计算机系的学生中任选一名学生，设事件A表示“被选学生是女生”，事件B表示“被选学生是一年级学生”，事件C表示“被选学生是运动员”。

1、叙述事件ABC的意义；

2、什么时候=ABCC；

3、什么时候=AB？

解：1、该生是一年级女生，且不是运动员；

2、计算机系的运动员都是一年级女生；

3、计算机系的一年级学生都是男生，，而其他年级都是女生时。

4 / 30 习题二 随机事件的概率、古典概型与几何概型

一、判断题

1、概率为零的事件一定是不可能事件 （ 否 ）

解：如

=10,APAA所有自然数，在中任取一数，表示抽取的数为，则而不是不可能事件

2、PABPAPB （ 否 ）

解：PABPAPBPAB

3、PABPAPAB （ 是 ）

解：,ABAAB

4、1PABPAB

(

是 )

解：=1()PABPABPAB

5、若BA,则PBPAB （ 是 ）

解：若BA，则=BAB

6、若0PAB，

（1）则事件A和B不相容； （ 否 ）

解：由1可得

（2）则0PA或0PB. （ 否 ）

解：A，B可为不相容事件

二、填空题

1、 设事件A，B互不相容，0.5,0.2PAPB，则PAB0，PAB0.7

解：A，B互不相容=0PABP

0.7PABPAPBPAB

2、已知AB，0.3,0.5PAPB，则PA0.7，PAB0.3，PAB

0.2，

PAB0.5 .

解：10.7PAPA 0.3PABPA

0.2PABPBABPBPAB 5 / 30 11=0.5PABPABPABPB

3、若0.5,0.4,0.3PAPBPAB，则PAB0.7，PAB0.8，

PAB0.3.

解：0.2PABPAABPAPABPABPAPAB

0.7PABPAPBPAB

10.8PABPAB

10.3PABPABPAB

三、选择题

1、设事件A，B互不相容，,PApPBq，则PAB（ C ）

A、1pq B、pq

C、q D、p

解：PABPBABPBPABqPq

2、设当事件A和B同时出现时事件C也随之出现，则（ B ）

A、PCPAB B、PCPAPB

C、PCPAB D、=PCPAB

解：ABCPCPABPAPBPAB由

11PAPBPAPBPAPB

四、设A，B是两事件，且0.6,0.7,PAPB

1、 在什么条件下PAB取到最大值，最大值是多少？

2、 在什么条件下PAB取得最小值，最小值是多少？

解： 1.3PABPAPBPABPAB

1、PABPAB当最小时，最大

=0.7ABPABPB当时，为最小值

即，0.6PAB为最大值 6 / 30 2、PABPAB当最大时，最小

而当=AB时，=PAB1最大

=0.3PAB最小

五、设A，B，C是三事件，且11,0,48PAPBPCPABPBCPAC,求A，B，C至少有一个发生的概率。

解：00ABCABPABCPABPABC

A，B，C至少有一个发生的概率为

PABCPAPBPCPABPACPBCPABC