平面向量的练习题及答案

平面向量的练习题及答案

平面向量的练习题及答案

典例精析

题型一向量的有关概念

下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.

其中真命题的序号是.

①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.

正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.

下列各式：

①|a|＝a?a；

② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；

④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；

⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.

其中正确的个数为

A.1

B.

C.

D.4

选D.| a|＝a?a正确；?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，

MN=++且MN=++，

两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；

因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，

即得⊥.

所以命题①③④⑤正确.

题型二与向量线性运算有关的问题

如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段

DO

上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1

313

.

在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22

＝2＝2＝2.

11又＝，＝，3

1所以＝AD＋＝b＋

1115＝b＝a，266111

＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323

所以＝－1511＝－＋)＝a.6626

向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.

O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝

1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .

由已知得－＝λ，

11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP－AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，

所以? ＝?0＝0，故填0.

题型三向量共线问题

设两个非零向量a与b不共线.

若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3， 求证：A，B，D三点共线；

试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1

证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它

们有公共点B，

所以A，B，D三点共线.

因为ka＋b和a＋kb共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，

所以a＝b.

因为a与b是不共线的两个非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.

向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.

证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△

OAC的面积与△OAB的面积之比是

如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.

1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.

1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.

2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.

3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；

当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；

当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|. 典例精析

题型一平面向量基本定理的应用

如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC

易知AM＝AD＋DM 1＝＋，

1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?

22所以＝b－a)，＝2a－b).3

2所以＝＋＝a＋b).

运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.

已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.

由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.

题型二向量的坐标运算

已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.

若u＝3v，求x；若u∥v，求x.

因为a＝，b＝，

所以u＝＋2＝＋＝，

v＝2－＝.

u＝3v?＝3

＝，

所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.

u∥v ?＝λ

2x?1??,

－3＝0?x＝1.

对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.

nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)

＋|a141＋b|2的最大值为.

π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777

值为284.

题型三平行向量的坐标运算

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.

若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.

证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.

由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.

因为m⊥p，所以m·p＝0，即

a＋b＝0，所以a＋b＝ab.

由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，

所以2－3ab－4＝0.

所以ab＝4或ab＝－1.

113所以S△ABC＝absin C3.22

设m＝，n＝，则

①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为

A.10－3

C.10－23B.10＋5

D.10＋23

1由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos

例题讲解

1、下列命题中,正确的是

A.若a?b,则a与b的方向相同或相反 B.若a?b,b?c,则a?c

C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等

D.若a=b,b=c,则a=c.

12

2、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则

33

|AB|:|BC|?

A.3:1

B.1:

C.2:1

D.1:2

3、已知向量a= ,b= ,若2a–b与b共线,则实数n的值是 A.6

B. C.3?23

D3?23

4、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为

A. B.C. D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,

F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF? A.

14a?

34

b B.

14a?

34b C.

18a?

78bD.

18a?

78b

6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是

A. B. C.

424

二、填空题:共3小题

7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则

k?

8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为1 ,则BC?2CA?3AB等于

检测题

1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?= A.?1

B.?1

C.0

D.0

2、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是

A.a?b??

B.ab

C.a?b?a?b

D.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是

A.

53

B.

2511

C.?

12

D.?17 4、已知平面向量a?,b?,则向量a?b. A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴

5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数

y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?

A. B. C. D.

6. 如图,在正六边形ABCDEF中,

已知AC?c,AD?d,则AE? .

巩固练习

1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?

3

77

A.1

B. ?4

C. ?

D.

22

2. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C

3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的

面积等于 A．

22

B．

24

C．

32

D．2

答案A