矩阵等价与向量组等价的关系

线性代数疑难问题解答

第一章 行列式

1. 排列21)1(nn的逆序数是2)1(nn，那么如何来确定它的奇偶性?

解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n的变化情况，然后找出规律。

,1n2)1(nn＝0，偶排列；

,2n12)1(nn，奇排列；

,3n32)1(nn，奇排列；

,4n62)1(nn，偶排列；

,5n102)1(nn，偶排列；

,6n152)1(nn，奇排列

可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：

当kn4或14kn时, 2)1(nn是偶数，所以排列是偶排列,

当24kn或34kn时, 2)1(nn是奇数，所以排列是奇排列.

2．行列式定义最基本的有哪些？

答：行列式定义最基本的有以下两种：

第一种方式：用递推的方式给出，即

当11)(aA时，规定aA；

当nnija)(A时，规定njijijijijnjjiAaMa11)1(A

其中ijM为A中去掉元素ija所在的行和列后得到的1n阶行列式，称为A中元素ija的余子式，ijjiijMA)1(称为ija的代数余子式。

第二种方法：对n阶行列式A用所有!n项的代数和给出，即

nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaA2121212222111211)1(

其中nppp,,,21为自然数n,,2,1的一个排列，t为这个排列的逆序数

第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。

第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。

3．行列式的主要问题是什么？ 答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。

4．对n阶行列式的计算，常用的方法有哪些？

答：对于n阶行列式的计算，其基本方法和技巧是“化零”和“降阶”。常用的方法有：

线性代数

序章线性代数基础知识

1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n阶方阵，记作I

在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI对应常数k

2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O

3.矩阵的p阶子式：设},min{nmL，指以）（Lpaapp11的p个元素为主对角线构成的，含2p个元素的p阶方阵的行列式

第一篇线性空间

第一章向量和向量组

1.1 线性组合

1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A对应一个矩阵的列（或行）向量组A’

2.线性表示：如果存在一组数ix使向量niiiiaxb1，那么称b能被向量组A（或记ia）线性表示；

也就是线性方程组Ax=b有解（这也是求坐标表示的方法）

3.等价：如果向量组B’中的任何向量b都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价；

也就是矩阵方程AX=B和BX-1=A都有解，即)()(BrAr

行向量组等价与矩阵等价的关系：

（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念

（2）当两个同型矩阵A，B的列向量组等价，A与B等价

此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)

（3）当矩阵A与B等价，经行/列变换得到B，则A与B的行/列向量组等价 1.2 线性相关性和秩

1.线性相关：对于向量naaa,...,,21，如果存在不全为零的实数nkkk,...,,21使得01niiiak，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解

线性无关：对于向量naaa,...,,21，如果当且仅当nkkk,...,,21全为零时，才有01niiiak，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解

2.判定方法：如果向量组A对应的矩阵的秩

如果向量组A对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A线性无关；

3.向量组的秩定义：向量组A中线性无关向量的最大个数，记为r，A中任意r+1个向量都线性相关

矩阵等价条件

1. 行等价：如果两个矩阵A和B从一个经过有限次的行变换可以相互转换，则它们是行等价的，记作A≌B。

$

A=\left(\begin{array}{ccc}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}

1 & 2 & 3 \\

0 & -3 & -6 \\

-7 & -14 & -21

\end{array}\right)

$

$

\left(\begin{array}{l}

\boldsymbol{R}_{2}=-4 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2} \\

\boldsymbol{R}_{3}=-6 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{3}

\end{array}\right)

$

矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的秩和相同的行列式。即，如果两个矩阵A和B满足A≌B，则它们具有相同的秩和相同的行列式。反之亦然。

对于任意矩阵A，它可以使用一定的行变换或列变换，化为行最简形式或列最简形式。行最简形式指的是一个矩阵在经过有限次行变换后，化为一个以0为分界线，上半部分全部为0的矩阵，下半部分为任意元素的矩阵。列最简形式类似。 行最简形式和列最简形式都是唯一的，并且它们具有相同的秩和行列式。由此可知，任意两个矩阵都可以通过一定的行变换和列变换得到它们的行最简形式或列最简形式。在研究两个矩阵是否等价时，可以将它们化为最简形式进行比较。

矩阵等价是一种很重要的矩阵性质，它在矩阵运算和矩阵应用中有着广泛的应用。矩阵等价在线性代数中有着重要的应用。在解线性方程组时，通常会考虑对矩阵进行某种变换，使得它变为某种特殊的形式，从而更容易求解。这种变换包括行变换、列变换和相似变换等。在高斯消元法中，就是通过一系列的行变换将矩阵转换为行最简形式，然后从最后一个非零行开始逐步解出未知数。

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线性代数中的几个等价关系

作者：李斐 郭卉

来源：《课程教育研究·上》2013年第08期

【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。

【关键词】等价关系 矩阵 向量组 相似矩阵 合同矩阵

【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01

一、等价关系的定义

在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。

二、等价关系与分类

若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。易于验证该关系是一个等价关系。也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。

三、线性代数中的四个等价关系

3.1 矩阵的等价关系

不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。