中考数学二次函数-经典压轴题含答案解析

中考数学二次函数-经典压轴题含答案解析

一、二次函数

1．如图，已知抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线1x，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C.

（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴1x上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为223yxx，直线的解析式为3yx=+.（2）(1,2)M；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或317(1,)2或317(1,)2.

【解析】

分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

详解：（1）依题意得：1203baabcc，解得：123abc，

∴抛物线的解析式为223yxx.

∵对称轴为1x，且抛物线经过1,0A，

∴把3,0B、0,3C分别代入直线ymxn， 得303mnn，解之得：13mn，

∴直线ymxn的解析式为3yx.

（2）直线BC与对称轴1x的交点为M，则此时MAMC的值最小，把1x代入直线3yx得2y，

∴1,2M.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为1,2.

（注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MAMC的值最小，所以答案未证明MAMC的值最小的原因）.

（3）设1,Pt，又3,0B，0,3C，

∴218BC，2222134PBtt，222213610PCttt，

①若点B为直角顶点，则222BCPBPC，即：22184610ttt解得：2t，

②若点C为直角顶点，则222BCPCPB，即：22186104ttt解得：4t，

③若点P为直角顶点，则222PBPCBC，即：22461018ttt解得：

13172t，23172t.

综上所述P的坐标为1,2或1,4或3171,2或3171,2.

点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

2．如图，抛物线y＝12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝213x-22x﹣2，顶点D的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（32，﹣54）．

【解析】

【分析】

（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x32对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x32交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．

【详解】

（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y212xbx﹣2上，∴2112（）b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b32，∴抛物线的解析式为y21322xx﹣2．

y21322xx﹣212（x2﹣3x﹣4 ）21325228x（），∴顶点D的坐标为

（32528，）．

（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．

当y＝0时，21322xx﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．

∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）∵顶点D的坐标为 （32528，），∴抛物线的对称轴为x32．

∵抛物线y12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32对称．

∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322xx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bkb，解得：122kb，∴y12x﹣2．

当x32时，y1352224，∴点M的坐标为（3524，）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）21248355yxx，顶点D（2，635）；（2）C（410，0）或（5222，0）或（9710，0）；（3）752

【解析】

【分析】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；

（3）由S△PAB12•PH•xB，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a125，b485，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y125x2485x﹣3．

当x=2时，y635，即顶点D的坐标为（2，635）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：

①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；

②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222，即：点C坐标为（5222，0）或（5﹣222，0）；

③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．

综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222，0）或（9710，0）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125，故函数的表达式为：y125x﹣3，设点P坐标为（m，125m2485m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12•PH•xB52（125m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．

答：△PAB的面积最大值为752．

【点睛】

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3

（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是910 （3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）

【解析】

【详解】

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣910（t﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=34x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，38m2﹣34m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=94．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣34m2+3m=94．易求得K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．

解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

423016430abab，

解得3834ab，

所以该抛物线的解析式为：y=38x2﹣34x﹣3；

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC=2234=5．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．