EFDOABC三角形的内切圆
——与内切圆半径有关的计算
【学习目标】
1．理解三角形内切圆的有关概念。
2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。
3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。
【预备知识】
1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。
2.内切圆的性质
（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。
（Ⅱ） 设S是△ABC面积，a, b，c是三角形三边长，r为三角形内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________
特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________
3. 切线长定理
经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一点引圆的两条切线，__________________，________________________________。
4.如何求一个三角形的面积
△ABC中a，b，c是三角形的三边长，2abcp
方法① 海伦公式()()()Sppapbpc
方法② bcarrrDEFIBACCABD【中考衔接】
(天津中考)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；
（Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；
（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On
1 三角形内切圆
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
2．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ）
A．119° B．120° C．121° D．122°
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．如图，在平整的桌面上面一条直线l，将三边都不相等的三角形纸片ABC平放在桌面上，使AC与边l对齐，此时△ABC的内心是点P；将纸片绕点C顺时针旋转，使点B落在l
2 上的点B'处，点A落在A'处，得到△A'B'C'的内心点P'．下列结论正确的是（ ）
A．PP'与l平行，PC与P'B'平行
B．PP'与l平行，PC与P'B'不平行
C．PP'与l不平行，PC与P'B'平行
D．PP'与l不平行，PC与P'B'不平行
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则点F为（ ）
A．△ABC的外心 B．△ABC的内心 C．△BCE的外心 D．△ABE的内心
7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（ ）
A．60° B．130° C．50° D．65°
8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（ ）
１
班级 _______________________ 姓名_____________
考场号__________ 考号_________
--------------------------------------------密--------------------封-------------------线----------------------------------------
三角形、四边形的内切圆和外接圆
一、选择题
1. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．2 B．22 C．22 D．1
2. (2017 山东省泰安市) 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
3. (2018 辽宁省沈阳市) （2分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
4. (2018 山东省烟台市) （3.00分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
２
班级 _______________________ 姓名_____________ 考场号__________ 考号_________
--------------------------------------------密--------------------封-------------------线----------------------------------------
A．56° B．62° C．68° D．78°
5. (2018 陕西省) （3.00分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）
三角形内切圆的性质及其应用
彭代光
(四川省成都市郫县犀浦镇实验学校,611731)
初中数学中内切圆的内容看似简单,其
实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重
要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形
的面积、三角形的全等及相似等知识有着密
切的联系.本文旨在对三角形内切圆的性质
及应用作一些分析.
一、三角形内切圆的基本性质
三角形内切圆的圆心称为内心.由三角
形内切圆的定义可以直接得到下面的结论:
1.内心的位置由三角形任意两个角的平
分线的交点确定,反过来内心与三角形的每
个顶点的连线平分这个角.
2.内心到三角形三边的距离相等,这个距
离就是三角形内切圆的半径.
例1 如图1,已知点O是 ABC的内心,
∠AOC=110°,∠AOB=130°,求 ABC的三
个内角的度数.
简析 可设∠BAC=x,∠ABC=y,
∠ACB=z.
据上述结论,再结合三角形内角和定理,
可得: 12x+12y=180-130,
12x+12z=180-110.∴x+y=100,
x+z=140.∴z=80,
y=40.
∴x=60,
y=40,
z=80.
于是三个内角便可求得.
例2 如图2,已知⊙O是Rt ABC的内切
圆,∠C=90°,切点分别是点D,E,F.连接AO
并延长交BC于点G.求证:AF·AG=AO·AC.
简析 由题设知O是内心,那么根据结
论1知AO就是∠BAC的平分线,连接OF,由
格标上数1或-1.如果能使60个方格剪成15
块符合要求的“四连格”,则每一“四连格”中
数字之和为2或-2.设其中数字之和为2的
有x块,数字之和为-2的有y块,由于方格中
“1”和“-1”的个数是相同的,故有
x+y=15,
2x-2y=0.解得x=152,
y=152.这与x、y都为整数相矛盾.因此,余下的方格不能剪成15块符合要求的
“四连格”.请注意:倘若按上述推理方法,对某一类似的图形则得x,y为整数.不能断定可以剪成
若干块形如图1的“四连格”,你能举出这样的例子吗?·7·第12期 初中数学教与学切线的性质知OF⊥AB.于是∠C=∠AFO,
