空间曲线的切线与法线

２０１５年第２期　（总第９１期）　牡丹江师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎｏ．２，２Ｏ１５　ＴｏｔａｌＮＯ　９１　

空间特殊曲线的切线　

刘春霞　

（青岛理工大学琴岛学院，山东青岛２６６１０６）　

摘要：对平行于三个坐标平面的空间特殊曲线给出多种计算切线的方法：利用一般的方法，偏导数的几　何意义，函数在一点的梯度方向与等值线在这点的法向量的关系，看作平面上的一条曲线．　关键词：空间曲线；切线；偏导数　

［中图分类号３３０１７２．２　［文献标志码］Ａ　［文章编号－］１００３—６１８０（２０１５）０２—００１５—０２　

高等数学ｕ　中关于一般形式的空间曲线　

｛ＧＦ（　ｘ，ｙｖ，　ｚ；　：切线的求法是这样介绍的：　

设空间曲线ｒ的方程为｛ＧＦ（ｚｘ，ｙｖ，　ｚ；　：，　

Ｍ（ｘ。，　。，ｚ。）是曲线ｒ上的一个点，Ｆ、Ｇ有对　各个变量的连续偏导数．　曲线ｒ在点Ｍ（ｘ。，Ｙｏ，　）处的一个切向量为　

予：（１善　舌　Ｉ。，ｌ舌　舌：Ｉ。，ｌ奎舌Ｙ　０）ｃ带　

下标０的行列式表示行列式在点Ｍ（ｘ。，Ｙ。，　。）　的值），由此可得曲线ｒ在点Ｍ（ｘ。，Ｙ。，　）处的　

切线方程为　

本文给出特殊空间曲线的切线求法。　

１　平行于ｘＯｚ面曲线的切线求法　

ｒ１：ｆ　一　‘　，　’在点Ｍ（ｚ。，　。，ｚ。）（其中　

＝ｆ（ｘ。，Ｙ。））处的切线求法：　

１．１　利用一般的方法　

设　～测　

一　，Ｆ　一　，Ｆ　一一１，Ｇｘ一０，　一１，Ｇ　：＝＝０，　

得曲线ｒ　在点Ｍ（ｘ。，Ｙ。，ｚ０）处的一个切向量为　

Ｔ。＝（１，０，　（ｚ。，Ｙ。）），所以切线方程为　

三二　：　二　！一　１　０　（ｚｏ，Ｙｏ）‘　

１．２利用偏导数的几何意义　

过Ｍ（ｘｏ，　。，ｚ。）作平面Ｙ—Ｙ。，截此曲面得　

一曲线，即曲线ｒ　：ｆ　一，　，　，偏导数　‘Ｙ＝　Ｙｏ　

收稿日期：２０１４—０９—２４　（　。，Ｙ。）就是曲线ｒ　在点Ｍ（ｘ。，Ｙ。，ｚ０）处的　

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文案大全 §1.2 曲线的切向量、切线和法面、密切平面

假设))(),(),(()(tztytxtr中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。

一、 切向量的定义及求法

对曲线进行研究，从曲线的割线及割线的极限入手。

（1）

定义 如图

给出曲线上一点P，

点Q是曲线上邻近P的一点，经过P和Q的直线称为曲线的一条割线。

当Q点沿着曲线趋近于P点时，若割线PQ趋近于一定的位置，则我们把这个割线PQ的极限位置zz

x y )(ttr)(tr实用标准文档

文案大全 称为曲线在P点处的切线。而定点P叫做切点。

直观上看，切线是通过P点的所有直线当中最贴近曲线的直线。

设曲线的参数方程是

()rrt，),(t。

设)(tr是该曲线上的一点，记为P，),(t，

给t一个增量t，

考虑曲线上的另外一点)(ttr

记 ()Prt，()Qrtt ；

则有()()PQrttrt，

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文案大全 在割线PQ上作向量PR，使得

()()rttrtPRt；

当QP（即0t）时，

如果tr有着确定的极限，

则0()()limlimQPtrttrtPRt，

根据曲线的切线的定义，那么这个极限就是切线上的一向量，称它为曲线在点()Prt处的切向量。

也就是说，定义

ttrttrtrtt)()(limlim00

为曲线的切向量，用)(tr来表示。

（2）切向量的求法

因为

)()(),()(),()(1)()(tzttztyttytxttxtttrttr 实用标准文档

文案大全 ttzttzttyttyttxttx)()(,)()(,)()(，

令0t得

),(,)(),(),()(ttztytxtr。

空间曲线与曲面的切线与法线

空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。

一、空间曲线的切线与法线

空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。

切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：

T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）

其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。

对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。可以使用以下公式计算切线斜率：

k = dy/dx = dy/dt / dx/dt 其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。

除了切线，每个点处还有一个法线。空间曲线的法线垂直于曲线平面。法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。

二、空间曲面的切线与法线

空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。

切平面的计算方法与切线类似。首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：

鞲　。氆　●　ｌ一．●　●　解题技巧与方法　艚　勘线　切线铈蔫蠢　◎张辉　李应岐敬斌赵伟舟　陈春梅　（第二炮兵工程大学理学院７１００２５）　【摘要】研究计算空间曲线的切线方程的四种方法，给　出求解思路，旨在使学生有更深的理解和掌握．　【关键词】空间曲线；切线；切向量；法向量　【中图分类号】０１３　【基金项目】陕西省教育厅科研计划项目资助　（２０１３ＪＫ１０９８）　空间曲线的切线是高等数学多元函数微分学几何应用　的重要内容．教材［１］主要研究了计算空间曲线的切线方程　的三种情形：参数方程、可化为参数方程和一般方程．为使　学生能够深刻理解，下面将再研究计算空间曲线的切线方　程的四种方法，给出求解思路，望初学者灵活使用．　为方便起见，我们假设空间曲线的切线和空间曲面的　切平面均存在．　设空间曲线Ｆ为空间曲面∑　：Ｆ（　，Ｙ，　）＝０和∑　：　Ｇ　ｃ　，　，　＝０的交线，其一般方程为｛　；　：　：　；　：’，　Ｍ（　。，Ｙ。，　。）是曲线ｆ上的一个点．　１．切线为两个切平面的交线　由切平面的性质，曲线ｊ１在点Ｍ处的切线既在曲面　∑　在点Ｍ处的切平面上，也在曲面∑　在点Ｍ处的切平　面上．曲面∑　在点Ｍ处的一个法向量取为ｎ　：（Ｆ　（　。，　Ｙｏ，　），Ｆ　（　ｏ，Ｙｏ，ｚｏ），　Ｆ　（　０，Ｙ。，　。）），简记为ｎ，＝（Ｆ　，Ｆ　，Ｆ　）．同理，曲面　∑，在点Ｍ处的一个法向量取为Ｈ：＝（Ｇ　，Ｇ，，Ｇ　），则曲面　∑．和∑　在点Ｍ处切平面方程分别为（　—ｘ０）Ｆ　＋（　—　ｙｏ）Ｆ　＋（ｚ—ｚ０）Ｆ　＝０和（　一　０）Ｇ　＋（ｙ—ｙ０）Ｇ　＋（ｚ一　）Ｇ　：０．　故曲线，１在点Ｍ处的切线方程　ｆ（　一　。）Ｆ　＋（Ｙ—Ｙｏ）Ｆ，＋（　一２，０）Ｆ　０，　ｌ（　—　。）Ｇ　＋（Ｙ—Ｙ。）Ｇ　＋（ｚ—ｚ０）Ｇ：＝０　２．切向量取为两个法向量的向量积　由情形１，曲线ｒ在点肘处的切向量　既与ｎ　垂直，也　Ｉ　ｆ　豇ｌ　与，ｌ２垂直，从而可取　＝　。×ｎ２＝１　Ｆ　Ｆ　Ｆ　Ｉ＿（Ｆ　Ｇ　一　ｌ　Ｇ　Ｇ　Ｇ：Ｉ　Ｆ。Ｇ　，Ｆ　Ｇ　一Ｆ　Ｇ　，Ｆ　Ｇ　一Ｆ　Ｇ　）．由直线的对称式方程，故曲　线，在点Ｍ处的切线方程为　Ｙ一＝－　Ｙｏ　一２；０　Ｆ　Ｇ　一Ｆ　Ｇ　引理Ｆ１：Ａ　ＢＹ　Ｃｚ　Ｄ　Ｏ，和　ＬＹ　Ｙｏ　ｊ１：：ｌＡ　占ｙ。　ｃ　Ｄ　ｏ，表示同一条直线．　证明：设（　。，Ｙ。，　。）是ｒ。和Ｆ　上一公共点，取Ｆ‘在点　（　。，Ｙ。，　）处的切向量为Ｔ　＝　ｌ　ｉ　Ｊ　ｋ　ｌ　ｌ　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｉ＝一Ｃｉ＋Ａｋ，取Ｆ　在点（　。，ｙ。，　）处的切　ｌ　０　１　０　ｌ　ｌ　ｉ　Ｊ　ｋ　ｌ　向量为Ｔ　＝Ｉ　Ａ　０　Ｃ　ｌ：一Ｃｉ＋Ａｋ．又Ｔ　＝Ｔ　，故Ｆ‘和厂　１　０　１　０　１　表示同一条直线．　特别地，对于一类特殊的空间曲线Ｆ　：ｆ　／　，ｙ　，　ＬＹ＝Ｙｏ　其中－厂（　，Ｙ）具有连续偏导数，Ｐ（　。，Ｙ。，，（　。，Ｙ。））是厂　上的　，　＝　’　一点．令Ｆ，的参数方程为｛Ｙ＝Ｙ。，　，则Ｆ　在点Ｐ处的　Ｌ　＝，（　，Ｙ０）　切向量取为　＝（１，。，　ｉ　ｘ＝ｘ０）．又　ｊ　ｘ＝ｘ０＝　、　ｎ　，　“　（　。，ｙ。），则Ｔ，＝（１，０，　（　。，ｙ。））．因此，，，在点Ｐ处的切　线方程为旱　＝　＝　，其一般方程为　』　。，ｙｏ）（　—　。）一（ｚ一　。，ｙ。））　ｏ‘．由上可见，偏　【ｙ—ｙｏ＝ｏ　导数　（　。，ｙ。）表示曲线ｆ　，ｙ　’在点（　。，ｙｏ，，（　。，　ｙ。））处的切线相对应于　轴的斜率．同理，偏导数　（　。，ｙ。）　表示曲线ｆ　八　，），），在点（　，ｙｏ，＿厂（　。，ｙ。））处的切线相　Ｌ　＝　“　对应于　轴的斜率．　注意到，ｆ　在点Ｐ处的切线可以看成曲面ｚ＝＿厂（　，Ｙ）　在点Ｐ处的切平面与平面Ｙ＝Ｙ　的交线．取曲面　：＿厂（　，　）　在点Ｐ处的法向量为（　（　。，ｙ。）　（　。，ｙ。），一１），则ｆ｝｝ｊ而　＝＿厂（　，ｙ）在点Ｐ处切平面方程为　（　。，ｙ。）（ｘ—　，）　（　。，ｙ。）（ｙ—ｙ。）一（　—ｆ（　，ｙ。））＝ｏ．即Ｆ　在点Ｐ处的　切线的一般方程为　ｒ／　（　０，ｙｏ）（　一　。）＋＿，　（　。，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）一（　一／ｌ　，ｙｏ））＝ｏ，　ｉｙ—ｙ。：ｏ　再由引理，此切线的一般方程也可表示为　ｆ　（　０，ｙ０）（　—　０）一（ｚ一，（　。，ｙ。））＝ｏ，　【ｙ—ｙ　：ｏ　【参考文献】　［１］同济大学数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．６版．北　京：高等教育出版社，２００７：９４—９６．　数学学习与研究２０１５．２１