新疆伊宁生产建设兵团四师一中2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题 理

2017-2018学年第一学期高二年级第一次月考

数学（理）考试试卷

考试时间：120分钟 卷面分值：150分

一、选择题(每题5分，共12道题，共60分)

1. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）

A. an=n2-(n-1) B . an=n2-1 C. an=2)1(nn D. an=2)1(nn

2．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于( )

A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°

3.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，cosC＝－41，则c等于( )

A.2 B.3 C.4 D.5

4.在△ABC中，已知32sin,53cosCB，AC＝2，那么边AB等于( )

A.45 B.35 C.920 D.512

5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝503，那么这个三角形是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )

A.1∶2∶3 B.1∶3∶2 C.1∶4∶9 D.1∶2∶3

7. 已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为( )

A．4 B.14 C．－4 D．－14

8.在各项都为正数的等比数列{ an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+ a4+ a5等于( )

A.33 B.72 C.84 D.189

9.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA→·BC→的值为( )

A．5 B．－5 C．15 D．－15

10.在等差数列{an}中，如果前5项的和为S5＝20，那么a3等于( )

A.－2 B.2 C.－4 D.4

11. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列不等式中一定成立的是( )

A.a1＋a3＞0 B.a1a3＞0 C.S1＋S3＜0 D.S1S3＜0

12． 给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列}{na满足)(*1Nnaann，则该函数的图象是（ ）

- 2 - A B C D

二、填空题:(每题5分，共4题，共20分)

13. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________.

14. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝53，则此三角形的面积为________.

15．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.

16. 已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围 .

三、解答题：

17．（10分）已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若21sinsincoscosCBCB．

（Ⅰ）求A； （Ⅱ）若4,32cba，求ABC的面积．

18．(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

19.（12分）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离； ｏ 1

1 ｘ ｙ

ｏ 1

1 ｘ ｙ

ｏ 1

1 ｘ ｙ

ｏ 1

1 ｘ ｙ (2)灯塔C与D处的距离．

20．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.

(1)求证：数列{an}成等比数列；

(2)求通项公式an.

21.(12分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．

(1)求证：A＝2B；

(2)若a＝3b，试判断△ABC的形状．

22.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.

(1)求an，bn；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

- 4 - 2017-2018学年第一学期高二年级第一次月考数学（理）考试答案

考试时间：120分钟 卷面分值：150分

一．选择题：（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 C D C B D B A C A D

B

A

二.填空题（每小题4分，共16分）

13. - 1/2 14. 24/5 15. 15 16. (2,6)

三．解答题

17.（10分）解：（Ⅰ）21sinsincoscosCBCB

21)cos(CB

又CB0，3CB

CBA，32A ．

（Ⅱ）由余弦定理Abccbacos2222

得 32cos22)()32(22bcbccb

即：)21(221612bcbc，4bc

323421sin21AbcSABC

18. （10分）解 (1)设{an}的公比为q，由已知，得16＝2q3，解得

q＝2，

∴an＝a1qn－1＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.

设{bn}的公差为d，则有 b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得 b1＝－16，d＝12.

从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.

所以数列{bn}的前n项

和Sn＝n－16＋12n－2＝6n2－22n.

19．(12分)解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 6，由正弦定理，得AD＝ABsinBsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．

(2)在△ADC中，由余弦定理，得

CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.

解得CD＝83(nmile)．

∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为83 nmile.

20.(12分) 当n＝1时，由题意得S1＝3a1＋2，所以a1＝－1；

当n≥2时，因为Sn＝3an＋2，

所以Sn－1＝3an－1＋2；

两式相减得an＝3an－3an－1，

即2an＝3an－1.

由a1＝－1≠0，得an≠0.

所以231nnaa(n≥2，n∈N*).

由等比数列定义知数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝23的等比数列.

所以an＝－(23)n－1．

21.(12分)解 (1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝bc＋c22ac＝b＋c2a＝a2b＝sinA2sinB，

∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.

则A＝2B或A＋2B＝π.

若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.

(2)∵a＝3b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.

又a2＋b2＝4b2＝c2.

故△ABC为直角三角形．

22（14分）.解 (1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.∴an＝4n－1(n∈N*)．

由an＝4log2bn＋3＝4n－1，得bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，

∴Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)×2n－1，

2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)×2n－1＋(4n－1)×2n.

∴2Tn－Tn＝(4n－1)×2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5.

故Tn＝(4n－5)2n＋5.