插值法例题计算过程

牛顿插值法例题求解【原创版】目录1.牛顿插值法简介2.牛顿插值法的基本原理3.牛顿插值法的例题解析4.牛顿插值法的优缺点5.总结正文一、牛顿插值法简介牛顿插值法是一种常用的数学插值方法，主要用于根据已知的函数值预测未知函数值。

牛顿插值法的基本原理是通过求解各阶差分来逼近未知函数值。

这种方法在增加插值节点时具有较好的计算稳定性，因此在实际应用中具有较高的价值。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法的基本思想是利用差商的概念，将函数在某区间中若干点的函数值用适当的特定函数表示。

通过求解各阶差分，可以得到这个特定函数的系数，从而得到插值多项式。

在给定的插值节点上，这个插值多项式可以取到已知的函数值，而在其他点上，则可以用这个多项式作为函数的近似值。

具体来说，牛顿插值法的求解过程分为以下几个步骤：1.设定插值多项式的形式，例如拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式等。

2.根据已知的函数值和插值节点，求解插值多项式的系数。

3.将求解得到的系数代入插值多项式，得到插值函数。

4.在给定的插值节点上，求解插值函数的值，作为预测的未知函数值。

三、牛顿插值法的例题解析假设我们有三个样本点：（1，-2），（2，-1），（3，2），我们希望通过这三个点求解一个二次函数。

我们可以用牛顿插值法来解决这个问题。

首先，我们设定插值多项式的形式为 y = ax^2 + bx + c。

然后，将三个样本点带入该方程，得到以下三个方程：- -2 = a(1)^2 + b(1) + c- -1 = a(2)^2 + b(2) + c- 2 = a(3)^2 + b(3) + c解这个方程组，我们可以得到 a = 1/2，b = 5/2，c = -3/2。

因此，我们得到插值函数为 y = 1/2x^2 + 5/2x - 3/2。

将x=1, 2, 3 代入该函数，我们可以得到 y=-2, -1, 2，与给定的样本点相符，说明我们的插值结果是正确的。

三点二次插值法例1. 用三点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。

解：首先找出满足123()()()t t t ϕϕϕ><且123t t t <<的1t ，2t ，3t ； 易知，10t =，20t =，30t =； 第一次迭代：1()1t ϕ=，2()0t ϕ=，3()22t ϕ=，代入公式，得：0.625μ=， 由于()()20.0060t ϕμϕ=-<=， 并且20.375t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.625t μ==，321t t == 第二次迭代：()11t ϕ=，()20.006t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.808μ=， 由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-<=-， 并且 20.183t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><，则令：120.625t t ==，20.808t μ==，331t t == 第三次迭代：()10.006t ϕ=-，()20.089t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.815μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-==-， 并且 20.007t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.815μ=或0.808μ=。

例2 用三点二次插值法求：30min ()32t t t t ϕ≥=-+的近似最优解（精确极小点*1t =），设已确定其初始搜索区间为[]0,3，取初始插值点02t =，终止误差0.05ε=。

解：1t =，22t =，33t =，第一次迭代：()12t ϕ=，()24t ϕ=，()320t ϕ=，代入公式，得：0.9μ=， 由于2()0.029()4t ϕμϕ=-<=， 并且 2 1.1t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.9t μ==，322t t == 第二次迭代：()12t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.82759μ=， 由于2()0.08405()0.029t ϕμϕ=>=， 并且 20.07241t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕμϕϕ><，则令：10.82759t μ==，220.9t t ==，332t t == 第三次迭代：()10.08405t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.96577μ=， 由于2()0.00347()0.029t ϕμϕ=-<=， 并且 20.06577t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：120.9t t ==，20.96577t μ==，332t t == 第三次迭代：()10.029t ϕ=，()20.00347t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.98308μ=， 由于2()0.00086()0.00347t ϕμϕ=<=， 并且 20.01731t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.98308μ=。

插值法计算实际利率“插值法”计算实际利率。

在08年考题中涉及到了实际利率的计算，其原理是根据比例关系建立一个方程，然后，解方程计算得出所要求的数据。

例如：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，现在已知与A对应的数据是B，A介于A1和A2之间，即下对应关系：A1 B1A(?) BA2 B2则可以按照（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算得出A的数值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据。

根本不必记忆教材中的公式，也没有任何规定必须B1＞B2验证如下：根据：（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)可知：（A1-A)＝(B1-B)/(B1-B2)×（A1- A2）A＝A1－(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）＝A1＋(B1-B)/(B1- B2)×（A2-A1）考生需理解和掌握相应的计算。

例如：某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？5000/750=6.667 或 750*m=5000查年金现值表，期数为10，利率i=8%时，系数为6.710；利率i=9%，系数为6.418。

说明利率在8-9%之间，设为x%8% 6.710x% 6.6679% 6.418（x%-8%）/（9%-8%）= （6.667-6.71）/（6.418-6.71）计算得出 x=8.147。

二、经典例题2000年1月1日，ABC公司支付价款120000元（含交易费用），从活跃市场上购入某公司5年期债券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。

合同约定，该债券的发行方在遇到特定情况时可以将债券赎回，且不需要为提前赎回支付额外款项。

XYZ公司在购买该债券时，预计发行方不会提前赎回。

ABC公司将购入的该公司债券划分为持有至到期投资，且不考虑所得税、减值损失等因素。

反距离加权插值法例题
摘要：
1.反距离加权插值法简介
2.反距离加权插值法的计算方法
3.反距离加权插值法的应用实例
4.反距离加权插值法的优缺点
正文：
一、反距离加权插值法简介
反距离加权插值法（Inverse Distance Weighted，简称IDW）是一种常用的空间插值方法，主要基于地理学第一定律，即“近者多，远者少”的原则。

该方法根据待插值点与样本点之间的距离的倒数来确定待插值点的值，距离样本点越近的点对插值结果的影响越大，反之则越小。

二、反距离加权插值法的计算方法
反距离加权插值法的计算公式如下：
z(s) = ∑[k * w(i) * z(i)] / ∑[w(i)]
其中，z(s) 表示待插值点的值，k 为权重，一般取1-2；w(i) 表示样本点
i 的权重，与距离待插值点的距离成反比；z(i) 表示样本点i 的值。

三、反距离加权插值法的应用实例
反距离加权插值法广泛应用于温度、降雨等二维场的插值当中。

例如，在气象数据分析中，可以使用该方法根据附近气象站的数据预测某一地区的气温和降雨量。

四、反距离加权插值法的优缺点
反距离加权插值法的优点是计算简单，计算效率和精度较高；适用于各种分布形式的数据；可以很好地反映地理学第一定律。

第二章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。

反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。

此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。

解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数()x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。

这类方法称为曲线（数据）拟合法。

设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个相异点[,]i x a b ∈处的函数值(),0,1,,i i f f x i n == ，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈使得()(),0,1,,i i i x f x f i n ϕ=== (2-1)这类问题称为插值问题。

称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；0,,nx x 为插值节点；(2-1)为插值条件。

若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。

若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。

若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。

§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f在1n +个相异点01,,,n x x x 上的值(),0,1,i i f f x i n == 是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)定理1 存在惟一的多项式n nL P ∈满足插值条件(2-2)。