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数值方法课后习题答案习题1：插值法给定一组数据点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，使用拉格朗日插值法构造一个多项式 \(P(x)\)，使其通过所有给定的数据点。
答案：拉格朗日插值法的多项式 \(P(x)\) 可以表示为：\[ P(x) = \sum_{i=1}^{n} y_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]习题2：数值积分使用梯形法则和辛普森法则分别计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的近似值。
答案：- 梯形法则的近似值：\[ \text{Trapezoidal Rule} \approx \frac{h}{2}(y_0 + 2y_1 +2y_2 + \ldots + y_{n-1}) \]- 辛普森法则的近似值：\[ \text{Simpson's Rule} \approx \frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 +2y_2 + 4y_3 + \ldots + y_{n-1}) \]习题3：微分方程数值解考虑常微分方程 \(y' = f(x, y)\)，其中 \(f(x, y) = x^2 - y^2\)，初始条件 \(y(0) = 1\)。
使用欧拉方法和改进的欧拉方法分别计算\(y(0.1)\) 的近似值。
答案：- 欧拉方法：\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]- 改进的欧拉方法：\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot (f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1})) \]习题4：线性方程组的数值解给定线性方程组 \(Ax = b\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\)的矩阵，\(b\) 是一个 \(n \times 1\) 的向量。
《计算方法习题集及实验指导书》计算机科学与技术系檀明2008-02-10课程性质及目的要求（一）课程性质自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域，数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。
《计算方法》课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的高度技术性的特点。
它对于培养从事计算机应用的科技人才有着重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础课程。
（二）目的要求通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。
在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容，掌握重要的算法及其应用。
注重理论与算法的学习和应用相结合，强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的重要特点。
（三）学习方法指导1．循序渐进逐章学习本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类的算法。
虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互XXX与前后继承的关系。
前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越学越感到容易。
前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。
2．稳扎稳打融会贯通学习要扎实、要讲求实效。
每一个重要的概念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。
只有这样，才能取得学习的学习效果。
3．多学练勤做习题教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。
因此，在学习过程中，应当适合习题进行思考，应当尽可能多做习题，遇到某些不会做的题，应三思之后再请老师给予提示。
4．抓住特点前后XXX 本课程只讲了五大类算法。
每类算法都是针对一类特定的计算问题，都有其自身的特点。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
第二章数值分析4^92.1 已知多项式通过下列点:1 3答案：q(x) = p(x) -r(x) X5X4X3-3X 1 .2 22.2观测得到二次多项式2的值：表中p2(x)的某一个函数值有错误，试找出并校正它.答案：函数值表中p2(-1)错误，应有p2(-1) = 0 .2.3利用差分的性质证明12■ 22■川，n2=n(n ■ 1)(2n ■ 1)/6.2.4当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[-1,1]近似函数e x时，使用多少个节点能够保证误差不超过丄10-6.2答案：需要143个插值节点.2.5 设被插值函数f (x) • C4[a,b] , H3h)(x)是f (x)关于等距节点b — aa ^Xo :::捲：：：川：::x n=b的分段三次艾尔米特插值多项式，步长h .试估计n ||f(x)-H3h)(x)||：：.答案：||住)-出5)仪川：乞令人4.384第三章函数逼近3.1求f(x)二sinx,x，[0,0.1]在空间门=span{1,x, x2}上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差.答案：f (x) =sin X的二次最佳平方逼近多项式为sin x p2(x) = -0.832 440 7 105 1.000 999 1x - 0.024 985 1x2,二次最佳平方逼近的平方误差为20.12 12■ = 0 (sinx) - P 2(x))2dx =0.989 310 7 10•3.2确定参数a,b 和c ,使得积分1 ---------------------------2 1 I (a,b,c)[ax 2 bx c -1 -x 2]dx 取最小值.J 1 — x 2810答案：a, b = 0, c =3 二3 二3.3 求多项式f (x) =2x 4 x 3 5x 2 1在[-1,1]上的3次最佳一致逼近多项式p(x)-答案：f (x)的最佳一致逼近多项式为p(x) = X ’ 7x2 3.43.4用幕级数缩合方法，求 f(x)=e x (―1兰XW1)上的3次近似多项式 p 6,3(x)，并估计 || f(X )-P 6,3(X )II ：：.答案：p5,3(x) =0.994 574 65 + 0.997 395 83x+0.542 968 75x 2 十 0.177 083 33x 3, || f (x) - p 6,3 (x) |^<0.006 572 327 71 一3.5 求f (x) -e x ( -1乞x 乞1)上的关于权函数「(X )-的三次最佳平方逼近小-x 2多项式 Q(x)，并估计误差 || f(x)-$(x)||2 和 || f(x)-S 3(x) ||：：.答案：§3(x) =0.994 571 0.997 308x 0.542 991x 20.177 347x 3,|| f (x) -S 3(x) ||2 = 0.006 894 83, || f (x) - §3(x)||严 0.006 442 575.第四章数值积分与数值微分14.1用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分 X n dx (n -1,2,3,4)，并与精确值比较.答案：计算结果如下表所示I 2 0. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 208 333 I 30. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 200 000 精确值0. 50. 333 3330. 250 0000. 200 0004.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度.h(])仁 f (x)dx 止 A_i f (-h) + A f (0) + A f (h)11 (2)J(x)dx： 3【f(-1) 2f(X i ) 3f(X 2)]hh2⑴ of(x)dxVf(O) f(h)「h[f g f(h)]答案：(1)具有三次代数精确度 (2)具有二次代数精确度 (3)具有三次代数精确度. 4.3 设h = % - X 0，确定求积公式r (x - x o ) f (x)dx = h 1 2[ Af (x o ) + Bf (x i )] + h 3[C 「(x o ) + Df^)] + R[ f ]xo中的待定参数 A, B,C, D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式.37 1 if 4)(叮)6答案：A = —, B— ,C —, D — , R[f]=— _) h ，其中 (x o ,xi).202030 20 14404.4设P 2(x)是以0,h,2h 为插值点的f(x)的二次插值多项式，用F 2(x)导出计算积分3h3 4 5If (x)dx 的数值积分公式I h ，并用台劳展开法证明：I - l h h f (0) O(h ).力83h3答案：I h P 2(x)dx h[ f(0) 3f (2h)].0 4(3)取7个节点处的函数值.1sin x4.6用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分Idx .要x1o 1«求用事后误差估计法时，截断误不超过10和 10 .1(1) 运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过丄10」. 2(2) 取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？(3) 要求的截断误差不超过10“ ,若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值? 答案：(1)只需n — 7.5，取9个节点，I : 0.9464.5 给定积分I 二1sin xdx|R n [f]耳一孟宀皿盂日中0.271估2 2答案：使用复化梯形公式时，I T^ 0.946满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，I s4 =0.946 083满足精度要求.4.7 ( 1 )利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式1 323 1 3>5.2用矩阵的直接三角分解法解方程组 广1 0 2 0、「5、0 10 1 X 2312 4 3X 3仃10 1 0 3丿 g<7；答案： &=2 , x 3 = 2 , x 2 = 1, X| = 1 .ba f(x)dx 二 其中余项为b —a(b 「a)2[f(a)f(b)] — ' 丿[f (b)-f (a)] R[f]， 2 12R[f]=U 54!30 f ( 4()),(a,b).其中(2)利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式h 2 f(x)dx :T^—[ f (X N ) - f (x 。
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。
1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、 已知近似值2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
