八上数学【角平分线】历年真题精选30道（含解析），抓紧掌握练习

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.4角平分线的性质与判定大题培优专练班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．2．（2023春•横山区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的AC边上的中线．（1）若△ABE的周长为13，BE＝6，CE＝4，求AB的长度；（2）若∠A＝90°，△ABD的面积为10，AB＝5，求点D到BC的距离．3．（2023春•城关区校级期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．4．（2023春•莲池区校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H．（1）求∠AEB的度数．（2）若AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面积．5．（2023春•泌阳县月考）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，与CD交于点D．若AD＝8，求点P到BC的距离．6．（2023春•开福区校级期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．（1）若∠B＝34°，求∠BAC的度数；（2）若D是BC的中点，△ABC的面积为27，CD＝3，求AE的长．7．（2023春•石阡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分线l1，l2相交于点O．（1）求证点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，OB＝4，OA＝2，求点O到BC边的距离．8．（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．9．（2023•蓬江区校级三模）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC．10．（2023春•新华区期末）如图，△ABC中，AE⊥BC于点E，点P为AE上的点（不与点A，E重合），连接BP，∠C＝78°，∠CBA＝38°，AE＝8cm．（1）当BP平分∠CBA时，求∠APB的度数；（2）若BP为△ABE的中线，且△PBE的面积为10cm2，直接写出BE的长．11．（2023春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD ＝2.5，求△ABD的面积．12．（2022秋•赵县期末）在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则S△ABD：S△ACD＝；（用含m，n的代数式表示）（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．13．（2022春•成安县期末）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．14．（2022秋•孝感期中）如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若△ABC的周长是30，△ABC的面积为45，求OF的长．15．（2022秋•濮阳县期中）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．16．（2021秋•遂宁期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．17．（2021秋•南沙区期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．18．（2022秋•香洲区期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠BAC＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数；（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC；（3）如图③，若OC⊥PC，求∠P的度数．（用含α的式子表示）19．（2022秋•苏州期中）如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取点M 、N ，连接MN ．若MP 平分∠AMN ，NP 平分∠MNB ．（1）求证：OP 平分∠AOB ；（2）若MN ＝8，且△PMN 与△OMN 的面积分别是16和24，求线段OM 与ON 的长度之和．20．（2022春•福州期末）在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，M 为直线AC 上一动点，ME ⊥BC ，E 为垂足，∠AME 的平分线交直线AB 于点F ．（1）如图1，点M 为边AC 上一点，则BD 、MF 的位置关系是 ，并证明；（2）如图2，点M 为边CA 延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是 ，并证明；（3）如图3，点M 为边AC 延长线上一点，补全图形，并直接写出BD 、MF 的位置关系是 ．21．（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线．（1）若∠A ＝80°，∠ABC ＝58°，则∠ADB ＝ °．（2）若AB ＝6，设△ABD 和△CBD 的面积分别为S 1和S 2，已知S 1S 2=23，则BC 的长为 ． （3）如图（2），∠ACE 是△ABC 的一个外角，CF 平分∠ACE ，BD 的延长线与CF 相交于点F ，CG 平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．22．（2021秋•谷城县期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．23．（2021春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．（1）求证：BF平分∠DBC；（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．24．（2018秋•武昌区校级期中）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．25．（2021春•罗湖区校级期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOB＝40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC ∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC＝PE．求∠EPN的度数？26．（2022秋•原州区校级期末）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC的值．27．（2019秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；（2）若点P使得PB+PC＝AC时，求出此时t的值．28．（2023春•南明区校级期中）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．29．（2023春•万源市校级期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．（1）求证：GA平分∠DGB；（2）若S四边形DGBA＝6，AF=32，求FG的长．30．（2023春•长沙期末）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．。

两外角平分线问题类型一三角形两外角平分线问题1．如图所示在△ABC中分别延长△ABC的边AB AC到D E △CBD与△BCE的平分线相交于点P 爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：①若△A＝50° 则△P＝65°＝90°－502︒；②若△A＝90° 则△P＝45°＝90°－902︒；③若△A＝100° 则△P＝40°＝90°－1002︒.(1)根据上述规律若△A＝150° 则△P＝________；(2)请你用数学表达式写出△P与△A的关系；(3)请说明(2)中结论的正确性．【答案】（1）15°；（2）△P＝90°－12△A；（3）见解析.【解析】【详解】【试题分析】（1）按照规律求解即可；（2）根据题意中的规律写出等量关系；（3）根据外角的性质证明.【试题解析】(1) △P＝90°－1502︒=15°；(2)△P＝90°－△A；(3)因为△DBC是△ABC的一个外角所以△DBC＝△A＋△ACB.因为BP 是△DBC 的平分线所以△PBC ＝△A ＋△ACB.同理可得△PCB ＝△A ＋△ABC.因为△P ＋△PBC ＋△PCB ＝180°所以△P ＝180°－(△PBC ＋△PCB)＝180°－＝180°－＝90°－△A.【方法点睛】本题目是一道规律探究题 先猜想后证明 主要利用外角的性质 三角形的内角和来证明. 2．如图 BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线 若60P ∠=︒ 则A ∠的大小为（ ）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据三角形内角和与△P 得出△PBC+△PCB 然后根据角平分线的性质得出△ABC 和△ACB 的外角和 进而得出△ABC+△ACB 即可得解.【详解】△60P ∠=︒△△PBC+△PCB=180°-△P=180°-60°=120°△BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线△△DBC+△ECB=2（△PBC+△PCB ）=240°△△ABC+△ACB=180°-△DBC+180°-△ECB=360°-240°=120°△△A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用熟练掌握即可解题.3．如图在△ABC中△ABC和△ACB的外角平分线交于点O设△A=m则△BOC =（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和可得△ABC+△ACB根据角的和差可得△DBC+△BCE根据角平分线的定义可得△OBC+△OCB根据三角形的内角和可得答案．【详解】解：如图：由三角形内角和定理得△ABC+△ACB=180°-△A=180°-m由角的和差得△DBC+△BCE=360°-（△ABC+△ACB）=180°+m由△ABC和△ACB的外角平分线交于点O得△OBC+△OCB=12（△DBC+△BCE）=90°+12m由三角形的内角和得△O =180°-（△OBC +△OCB ）=90°-12m ．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理 利用三角形内角和定理 角的和差 角平分线的定义是解题关键． 4．如图 已知在ABC ∆中 B 、C ∠的外角平分线相交于点G 若ABC m ∠=︒ ACB n ∠=︒ 求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【解析】【分析】 运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：△B 、△C 的外角平分线相交于点G在BCG ∆中△BGC=180°-（12△EBC+12△BCF ）=180°-12（△EBC+△BCF ）=180°-12（180°-△ABC+180°-△ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）； =()12+m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．5．如图 点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点 延长BP 交AC 于G 请写出A ∠和CPG ∠【答案】1902CPG A ∠=︒+∠ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含A ∠的式子表示出CBP ∠和BCP ∠的和 再利用三角形外角的性质即可得到A ∠和CPG ∠的数量关系.【详解】解：△180ACB ABC A ∠+∠=︒-∠,△1802(180)180ECB FBC A A ∠+∠=︒⨯-︒-∠=︒+∠,△点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点△CBP ∠+BCP ∠＝11(180)9022A A ︒+∠=︒+∠ 又△CPG ∠＝CBP ∠+BCP ∠ △1902CPG A ∠=︒+∠. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.6．如图 已知射线OE ⊥射线OF B 、A 分别为OE 、OF 上一动点 ABE ∠、BAF ∠的平分线交于C 点.问B 、A 分别在OE 、OF 上运动的过程中 C ∠的度数是否改变？若不变 求出其值；若改变 说明理由.【答案】不变 45C ∠=︒.【解析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到△C=90°-12△O ． 【详解】解：△C 的度数不会改变．△△ABE 、△BAF 的平分线交于C △△CAB=12△FAB △CBA=12△EBA △△C=180°-（△CAB +△CBA ）=180°-12（△ABE+△BAF ） =180°-12（△O+△OAB+△BAF ） =180°-12（△O+180°） =90°-12△O=45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理 角平分线的定义 三角形外角的性质定理 熟练掌握相关的性质是解题的关键．类型二 多边形两外角平分线问题7．如图 已知点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点．若149A ∠=︒ 91B ∠=︒ 求P ∠的度数．【答案】60°【解析】【分析】根据四边形的内角和公式即可求出120BCD CDA ∠+∠=︒ 然后根据平角的定义即可求出240CDE DCF ∠+∠=︒ 再根据角平分线的定义即可求出120CDP DCP ∠+∠=︒ 最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：因为360A B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=︒ 149A ∠=︒ 91B ∠=︒所以120BCD CDA ∠+∠=︒．因为180CDE CDA ∠+∠=︒ 180BCD DCF ∠+∠=︒所以240CDE DCF ∠+∠=︒．因为点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点 所以12CDP CDE ∠=∠ 12DCP DCF ∠=∠． 所以120CDP DCP ∠+∠=︒所以()18060P CDP DCP ∠=︒-∠+∠=︒．【点睛】此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义 掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．8．如图 五边形ABCDE 中 BCD ∠、EDC ∠的外角分别是FCD ∠、GDC ∠ CP 、DP 分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P 若140A ∠=︒ 120B ∠=︒ 90E ∠=︒ 则P ∠=__________︒．【答案】95【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：()2180-︒n 可得出△BCD 、△EDC 的和 从而得出相邻两外角和 然后根据角平分线及三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：多边形的内角和定理可得五边形ABCDE 的内角和为：()52180-︒=540°△△BCD+△EDC=540°-140°-120°-90°=190°△△FCD+△GDC=360°-190°=170°又△CP 和DP 分别是△BCD 、△EDC 的外角平分线 △()170851122PCD PDC FCD GDC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒根据三角形内角和定理可得：△CPD=180°-85°=95°．故答案为：95．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理 熟悉相关性质是解题的关键． 9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角 如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒由此可得1∠ 2∠与A ∠ D ∠的数量关系是______；（2）知识应用：如图② 已知四边形ABCD AE DE 分别是其外角NAD ∠和MDA ∠的平分线 若230B C ∠+∠=︒ 求E ∠的度数； （3）拓展提升：如图③ 四边形ABCD 中 90A C ∠=∠=︒ CDN ∠和CBM ∠是它的两个外角 且14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ 求P ∠的度数．【答案】（1）1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）65°；（3）45°【解析】【分析】（1）根据平角的定义即可解答；（2）根据（1）的结论求出MDA NAD ∠+∠ 再根据角平分线的定义求出ADE DAE ∠+∠ 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解；（3）由四边形内角和定理得180ABC ADC ∠+∠=︒ 可求得180MBC NDC ∠+∠=︒ 再由14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠可求得45PBC PDC ∠+∠=︒ 最后利用四边形内角和定理求出P ∠． 【详解】解：（1）如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒△1∠+2∠=A ∠+D ∠故答案为：1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）△230B C ∠+∠=︒△=230MDA NAD ∠+∠︒△AE 、DE 分别是△NAD 、△MDA 的平分线△△ADE =11,22MDA DAE NAD ∠∠=∠ △11()23011522ADE DAE MDA NAD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △180()18011565E ADE DAE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒;（3）△90A C ∠=∠=︒△180ABC ADC ∠+∠=︒△180MBC NDC ∠+∠=︒ △14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ △()111804544CDP CBP CDN CBM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △18045225ABP ADP MBC CBP NDC CDP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒△360()3609022545P A ABP ADP ∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了四边形的两个外角和等于与它不相邻的两个内角的和的性质 四边形的内角和定理 角平分线的定义 熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．10．已知如图 四边形ABCD BE 、DF 分别平分四边形的外角△MBC 和△NDC 若△BAD ＝α △BCD ＝β （1）如图1 若α+β＝150° 求△MBC +△NDC 的度数；（2）如图1 若BE 与DF 相交于点G △BGD ＝45° 请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2 若α＝β 判断BE 、DF 的位置关系 并说明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行 理由见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：（1）在四边形ABCD 中 △BAD +△ABC +△BCD +△ADC ＝360°△△ABC +△ADC ＝360°﹣（α+β）△△MBC +△ABC ＝180° △NDC +△ADC ＝180°△△MBC +△NDC ＝180°﹣△ABC +180°﹣△ADC ＝360°﹣（△ABC +△ADC ）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β △α+β＝150°△△MBC +△NDC ＝150°（2）β﹣α＝90°理由：如图1 连接BD由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBG＝12△MBC△CDG＝12△NDC△△CBG+△CDG＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）在△BCD中在△BCD中△BDC+△DBC＝180°﹣△BCD＝180°﹣β 在△BDG中△BGD＝45°△△GBD+△GDB+△BGD＝180°△△CBG+△CBD+△CDG+△BDC+△BGD＝180°△（△CBG+△CDG）+（△BDC+△CDB）+△BGD＝180°△12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°△β﹣α＝90°（3）平行理由：如图2 延长BC交DF于H由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBE＝12△MBC△CDH＝12△NDC△△CBE+△CDH＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）△△BCD＝△CDH+△DHB△△CDH＝△BCD﹣△DHB＝β﹣△DHB△△CBE+β﹣△DHB＝12（α+β）△α＝β△△CBE+β﹣△DHB＝12（β+β）＝β△△CBE＝△DHB△BE△DF．【点睛】此题是三角形综合题主要考查了平角的意义四边形的内角和三角形内角和三角形的外角的性质角平分线的意义用整体代换的思想是解本题的关键整体思想是初中阶段的一种重要思想要多加强训练．类型三综合解答11．如图点M是△ABC两个内角平分线的交点点N是△ABC两外角平分线的交点如果△CMB：△CNB＝3：2 那么△CAB＝_________．【答案】36°【解析】【详解】试题分析：由题意得：△NCM=△MBN=12×180°=90°△可得△CMB+△CNB=180°又△CMB：△CNB=3：2 △△CMB=108°△12（△ACB+△ABC）=180°-△CMB=72°△△CAB=180°-（△ACB+△ABC）=36°．考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．12．如图 在△ABC 中 △ABC △ACB 的平分线交于点O D 是△ACF 与△ABC 平分线的交点 E 是△ABC 的两外角平分线的交点 若△BOC =130° 则△D 的度数为 （ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义和平角定义可得△OCD ＝△ACO ＋△ACD ＝90° 根据外角的性质可得BOC OCD D ∠=∠+∠ 继而即可求解．【详解】解：△CO 平分ACB ∠ CD 平分ABC ∠的外角 △12ACO ACB ∠=∠ 12ACD ACF ∠=∠ △180ACB ACF ∠+∠=︒ △()1902OCD ACO ACD ACB ACF ∠=∠+∠=∠+∠=︒ △BOC OCD D ∠=∠+∠△1309040D BOC OCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒故选择C ．【点睛】本题考查角平分线的定义 平角定义 三角形的外角性质 解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得△OCD＝90° 根据外角的性质求得BOC OCD D∠=∠+∠．13．如图在△ABC中△A=60° BD、CD分别平分△ABC、△ACB M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上BE、CE分别平分△MBC、△BCN BF、CF分别平分△EBC、△ECQ 则△F=________．【答案】15°【解析】【分析】先由BD、CD分别平分△ABC、△ACB得到△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB 在△ABC中根据三角形内角和定理得△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=60° 则根据平角定理得到△MBC+△NCB=300°；再由BE、CE分别平分△MBC、△BCN得△5+△6=12△MBC △1=12△NCB 两式相加得到△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150° 在△BCE中根据三角形内角和定理可计算出△E=30°；再由BF、CF分别平分△EBC、△ECQ得到△5=△6 △2=△3+△4 根据三角形外角性质得到△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E 利用等量代换得到△2=△5+△F 2△2=2△5+△E再进行等量代换可得到△F=12△E．【详解】解：△BD、CD分别平分△ABC、△ACB △A=60°△△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB△△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=12×（180°-60°）=60°△△MBC+△NCB=360°-60°=300°△BE、CE分别平分△MBC、△BCN△△5+△6=12△MBC △1=12△NCB△△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150°△△E=180°-（△5+△6+△1）=180°-150°=30°△BF 、CF 分别平分△EBC 、△ECQ△△5=△6 △2=△3+△4△△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E即△2=△5+△F 2△2=2△5+△E△2△F=△E △△F=12△E=12×30°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．14．已知BM 、CN 分别是△1A BC 的两个外角的角平分线 2BA 、2CA 分别是1A BC ∠ 和1A CB ∠的角平分线 如图①；3BA 、3CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的三等分线（即3113A BC A BC ∠=∠ 3113A CB ACB ∠=∠） 如图②；依此画图 n BA 、n CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的n 等分线（即11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n ∠=∠） 且n 为整数． 2n ≥（1）若1A ∠=70︒ 求2A ∠的度数；（2）设1A α∠= 请用α和n 的代数式表示n A ∠的大小 并写出表示的过程；（3）当3n ≥时 请直接写出n MBA ∠+n NCA ∠与n A ∠的数量关系．【答案】（1）02125A ∠=；（2）001=180(180)n A nα∠-- 过程见解析； （3）02()(2)=180n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-∠【解析】【详解】（1）先根据三角形内角和定理求出11A BC A CB ∠+∠ 根据角平分线求出22A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理求出2A ∠即可；（2）先根据三角形内角和定理求出1A BC ∠+1A CB ∠ 根据n 等分线求出n n A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理得出180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠ 代入求出即可（3） 试题分析：试题解析：（1）1=70A ∠︒1118070110A BC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒ △2BA 、2CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的角平分线 △221110552A BC A CB ∠+∠=⨯︒=︒ △218055125A ∠=︒-︒=︒.（2）在△1A BC 中 1A BC ∠+1180ACB α∠=︒-11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n∠=∠ ()()1111180n n A BC A CB A BC ACB n n α∴∠+∠=∠+∠=︒- 180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠()1180180n A nα∴∠=︒-︒- （3）()()22180.n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-⋅∠=︒点睛：本题以三角形为载体主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是180 的性质熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.。

三角形角平分线几何模型专项练习一、填空题1．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________ 度．2．∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点An ． 设∠A ＝θ．则1A ∠＝_________，∠A 2021＝____________．3．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=________︒．4．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____5．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）6．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则∠BOC=__________．7. 如图，在△ABC 中，ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和A CD 1∠的角平分线交于点A 2，得A 2∠，……，1n A BC -∠和n A CD 1-∠的角平分线交于点n A ，得n A ∠ （1）若80A ∠=︒，则1A ∠=_______，2∠=A ________，3∠=A ________ （2）若A m ∠=︒，则2015∠=A ________．二、解答题8．如图，已知在ABC ∆中，B 、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.9．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与BAC ∠，ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE BC ⊥的延长线于点E ，已知30∠=︒CDE ，50ABC ∠=︒，求ADB ∠、BDC ∠的度数.10．如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A ，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于2A ，以此类推，2A BC ∠与2A CD ∠的平分线相交于3A ，求n A ∠与A ∠数量关系.11．如图，46A ∠=︒，72C ∠=︒，BE 为ABO ∠平分线，DE 为∠CDO 的平分线，求E ∠的度数.12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O .ABC ∠和ACD ∠的平分线相交于点P .若30P ∠=︒，求A ∠与OCP ∠的度数.13．ABC 中，50A ∠=︒．（1）如图①，若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （2）如图②，若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （3）如图③，若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （4）若A β∠=.请直接写出图①，②，③中P ∠的度数，(用含β的代数式表示)14．直线MN 与直线PQ 相交于O ，∠POM ＝60°，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动．(1)如图1，∠BAO=70°,已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，试求出∠AEB 的度数． (2)如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．(3)在（2）的条件下，在△CDE 中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE 的度数． 15．（2020·福建省福州民族中学八年级月考）如图，在△ABD 中，∠ABD 的平分线与∠ACD 的外角平分线交于点E ，∠A=80°，求∠E 的度数16．如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝80°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC 、∠NCB 的平分线交于点Q ，试探索∠Q 、∠A 之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP 、QC 交于点E ，△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A 的度数．17.在△ABC 中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝60°，则△ABC 为 倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP 是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为 ． （3）如图，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，若△AEF 为4倍角三角形，求∠ABO 的度数．18．如图，ABC 的角平分线BD CE 、相交于点P ．（1）若50,70ABC ACB ∠=︒∠=︒，则A ∠=________︒； （2）试探究DPC ∠与A ∠之间的数量关系并说明理由． 19．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______ （2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由． （3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．20．如图，∠CBF ，∠ACG 是△ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数； （2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．21．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ． （1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数； （2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．22．平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小．（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC ．23．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）； ②BDC ∠的度数为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，ACD ∠与CAD ∠的平分线交于点E ，BCD ∠与CBD ∠的平分线交于点F ，试判断AEC ∠与BFC ∠的数量关系，并说明理由.25．如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合），AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．（1）若∠MON ＝60°，则∠ACG ＝ °；若∠MON ＝90°，则∠ACG ＝ °； （2）若∠MON ＝n°，请求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON ＝n°，过C 作直线与AB 交于F ，若CF ∥OA 时，求∠BGO －∠ACF 的度数．（用含n 的代数式表示）．26．（1）如图1所示，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线将于点O ，则有1902BOC A ∠=+∠︒，请说明理由．（2）如图2所示，在ABC 中，内角的平分线ABC ∠和外角ACD ∠的平分线交于点O ，请直接写出BOC ∠与BAC ∠之间的关系，不必说明理由．（3）如图3所示，AP ，BP 分别平分CAD ∠，CBD ∠，则有1()2P C D ∠=∠+∠，请说明理由． （4）如图4所示，AP ，BP 分别平分CAM ∠，CBD ∠，请直接写出P ∠与C ∠，D ∠之间的关系，不必说明理由．27．（1） 如图1所示，BD ，CD 分别是△ABC 的内角∠ABC ，∠ACB 的平分线，试说明：∠D=90°+12∠A ．（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：①如图2所示，BD ，CD 分别是△ABC 两个外角∠EBC 和∠FCB 的平分线，试探究∠A 与∠D 之间的等量关系；②如图3所示，BD ，CD 分别是△ABC 一个内角∠ABC 和一个外角∠ACE 的平分线，试探究∠A 与∠D 之间的等量关系．28．（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B 的度数．29．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．30．已知，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）求证：180ABC ADC ∠+∠=︒．（2）如图1，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF 、DE 分别平分ABC ∠，ADC ∠的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明．参考答案1．125【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【详解】70A ∠=︒ ，180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒ ．∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠ ，1()552DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：125．【点拨】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．2．2θ 20212θ 【分析】 据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可求出∠A 1的度数，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1， ∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1，∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A=θ，∴∠A 1=2θ， 同理可得：∠A n =2n θ， ∴∠A 2021=20212θ， 故答案为：2θ，20212θ． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 3．36【分析】首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∵CG 是ACM ∠的角平分线，∴2ACM GCM ∠=∠，∴2A ABC GCM ∠+∠=∠，∵BG 是ABC ∠的角平分线， ∴12GBC ABC ∠=∠， ∴GBC G GCM ∠+∠=∠， 即12ABC G GCM ∠+∠=∠， ∴22ABC G GCM ∠+∠=∠，∴2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∴2A G ∠=∠，∵ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∴CE AB ⊥，BD AC ⊥，∴90AEF ADF ∠=∠=︒，∴在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∵DFE BFC ∠=∠，∴180A BFC ∠+∠=︒， ∵18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠， ∴45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180536A ︒∠=÷=︒．【点拨】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 4．40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO=12∠ACB ， ∵CD 平分∠ACE ， ∴∠ACD=12∠ACE ， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°， ∵∠BOC ＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°， 故答案为：40°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键． 5．①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝12∠ACD，∠DBE＝12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝12（∠ACD−∠ABC）＝12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝12ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝12∠ACB，∠ACE＝12∠ACD，∴∠OCE＝12（∠ACB＋∠ACD）＝12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．6．120︒【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．【详解】60A∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，BD 、CE 是ABC 的角平分线，11,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ()1602OBC OCB ABC ACB +=∠+∠∴=∠∠︒， ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒，故答案为：120︒．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 7．40° 20° 10° 20152m ⎛⎫︒⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，进而可求∠A 1，同理易证∠A 2=12∠A 1，∠A 3=12∠A 2，进而可求∠A 2和∠A 3； （2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，进而可求∠A 1，同理易证∠A 2=12∠A 1，∠A 3=12∠A 2，…，以此类推可知∠A 2015即可求得． 【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD －∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC∵ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，80A ∠=︒∴∠A 1CD=12∠ACD ，∠A 1BC=12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC =12∠ACD －12∠ABC =12（∠ACD －∠ABC ） =12∠A =40°同理可证：∠A 2=12∠A 1=20°，∠A 3=12∠A 2=10°故答案为：40°；20°；10°．（2）∵∠A=∠ACD －∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC∵ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，A m ∠=︒∴∠A 1CD=12∠ACD ，∠A 1BC=12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD －∠A 1BC =12∠ACD －12∠ABC =12（∠ACD －∠ABC ） =12∠A =2⎛⎫ ⎪⎝⎭m ° 同理可证：∠A 2=12∠A 1=22⎛⎫ ⎪⎝⎭m °， ∠A 3=12∠A 2=32⎛⎫ ⎪⎝⎭m ° ∴∠A 2015=20152⎛⎫ ⎪⎝⎭m ° 故答案为：20152⎛⎫⎪⎝⎭m °． 【点拨】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A 1=12∠A ，并依此找出规律． 8．()12BGC m n ∠=+ 【解析】【分析】 运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG 中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ） =180°-12（∠EBC+∠BCF ） =180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ） =180°-12（180°-m°+180°-n°）； =()12+m n 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．9．30ADB ∠=︒；35BDC ∠=︒.【解析】【分析】 根据三角形的内角和定理、角平分线定义得出1302∠=∠=︒ADB ACB ，1352∠=∠=︒BDC BAC 即可 【详解】解：30CDE ∠=︒，DE BC ⊥，60DCE ∴∠=︒． DC 平分ACE ∠，120∴∠=︒ACE60ACB ∠=︒∴．ADB ∠是内、外角平分线的交角，1302ADB ACB ∴∠=∠=︒． 180180506070BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．BDC ∠是内、外角平分线的交角，1352BDC BAC ∴∠=∠=︒． 【点拨】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．10．12n n A A ∠=∠ 【解析】【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A 1与∠A 的关系，同理得出∠A 2与∠A 1的关系，从而推导出∠A 2与∠A 的关系，……，进而归纳出∠A n 与∠A 的关系，即可得出答案.【详解】解：在ABC ∆中，有∠ACD =∠A +∠ABC ，在1A BC ∆中，有∠A 1CD =∠A 1+∠A 1BC ，∵ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A ，∴∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ， ∴∠A 1=12∠A ， 同理，∠A 2=12∠A 1，即∠A 2=212∠A ， 由此可得，∠A 3=312∠A ， …… ∴12n n A A ∠=∠. 【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A 1、∠A 2……∠A n 与A 的关系是解题的关键.11．59E ∠=︒【解析】【分析】根据三角形外角的性质分别用三个式子表达出BOD ∠，进而利用等式性质即可得出答案.【详解】解：由四边形BODE 中，BOD E EDO EBO ∠=∠+∠+∠①；在三角形COD 中，BOD C CDO ∠=∠+∠②，在三角形AOB 中，BOD A ABO ∠=∠+∠③，由②+③得，2BOD C A CDO ABO ∠=∠+∠+∠+∠， 即111()222BOD C A CDO ABO ∠=∠+∠+∠+∠， ∵BE 为ABO ∠平分线，DE 为∠CDO 的平分线，∴12EDO CDO ∠=∠，12EBO ABO ∠=∠， ∴()1592E C A ∠=∠+∠=︒. 【点拨】本题考查了三角形外角的性质.在图形中利用三角形外角的性质得出BOD ∠的三种表达形式，并灵活应用等式的性质是解题的关键.12．60A ∠=︒，90OCP ∠=︒.【解析】【分析】先利用三角形外角的性质得到A ACD ABC ∠=∠-∠,P PCD PBC ∠=∠-∠,再根据角平分线的性质即可得到2A P ∠=∠,即可求出A ∠的度数,再根据平角及角平分线的性质即可求出OCP ∠的度数.【详解】解:∵PB 平分ABC ∠,PC 平分ACD ∠,∴2,2ACD PCD ABC PBC ∠=∠∠=∠,∵A ACD ABC ∠=∠-∠,P PCD PBC ∠=∠-∠, ∴260A P ∠=∠=︒,∴180120ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒,∵PC 平分ACD ∠, OC 平分ACB ∠, ∴11,22OCA ACB ACP ACD ∠=∠∠=∠, ∴112212OCP OCA AC AC A D B P B C CD ∠∠=∠+∠∠∠=+=, ∵180BCD ∠=︒,∴90OCP ∠=︒.【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.13．（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；②1902P β∠=︒-；③1122P A β∠=∠= 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB ）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P 的度数； （2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=12（∠CBD+∠BCE ）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果； （3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=12∠A ，即可得出结果； （4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【详解】解:（1）50A ∠=︒，18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 11()1306522PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=⨯︒=︒， 180()115P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）18050130ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，360130230CBD BCE ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，1()1152PBC PCB CBD BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011565P ∴∠=︒-︒=︒；（3）点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCF ACF ∠=∠， PCF P PBC ∠=∠+∠，ACF A ABC ∠=∠+∠，2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，1252P A ∴∠=∠=︒； （4）若A β∠=，在（1）中，11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+； 在（2）中，同理得：1902P β∠=︒-；在（3）中，同理得：1122P A β∠=∠=． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．14．(1) ∠AEB 的度数为120°；(2) ∠CED 的大小不发生变化，其值为60°；(3) ∠DCE 的度数为40°或80°．【分析】（1）由∠POM ＝60°，∠B AO=70°，可求出∠ABO 的值，根据AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，可得∠EAB 和∠EBA 的值，在△EAB 中，根据三角形内角和即可得出∠AEB 的大小；（2）不发生变化，延长BC 、AD 交于点F ，根据角平分线的定义以及三角形内角和可得∠F =90°-12∠AOB ，∠CED =90°-12∠F ，即可得出∠CED 的度数； （3）分三种情况求解即可．【详解】解：（1）∵∠POM ＝60°，∠BAO=70°，∴∠ABO=50°． ∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠EAB=12∠OAB=35°，∠EBA=12∠OBA=25°， ∴∠AEB=180°-35°-25°=120°； （2）不发生变化，理由如下：如图，延长BC 、AD 交于点F ，∵点D 、C 分别是∠PAB 和∠ABM 的角平分线上的两点，∴∠FAB=12∠PAB=12(180°-∠OAB)，∠FBA=12∠MBA=12(180°-∠OBA)， ∴∠FAB+∠FBA=12(180°-∠OAB)+12(180°-∠OBA)=12(180°+∠AOB)=90°+12∠AOB ， ∵∠AOB=60°， ∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-12∠AOB=60°， 同理可求∠CED =90°-12∠F=60°；（3）①当∠DCE=2∠E 时，显然不符合题意；②当∠DCE=2∠CDE 时，∠DCE=()2180603-=80°； ③当∠DCE=12∠CDE 时，∠DCE=()1180603-=40°， 综上可知，∠DCE 的度数40°或80°．【点拨】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和的定理．15．40°【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，则有2=2=y x A y x E+∠⎧⎨+∠⎩①② ， ①-2×②可得∠A=2∠E ， ∴∠E=12∠A=40°． 【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．16．（1）130°；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）60°或120°或45°或135° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣12∠A，求出∠E＝12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12∠MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．【点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．17．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．【详解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，故答案为：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．故答案为22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝12（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝14×90°或15×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝12∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键．18．（1）60；（2）1902︒-∠A，见解析．【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12（∠ABC+∠ACB ），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，易得∠BPC=90°+12∠A ，再根据平角的定义解答即可．【详解】（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠A=180°-50°-70°=60°． 故答案为60．（２）∠DPC=90°-12∠A ， 理由：,ABC ACB ∠∠的平分线相交于点P ，111,222ABC ACB ∴∠=∠∠=∠， ()11118012180180222BPC ABC ACB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠ 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111801809022BPC A ∴∠=︒-︒-∠A =︒+∠， ∴∠DPC=180°-（90°+12∠A ）=90°-12∠A ． 故答案为：90°-12∠A ． 【点拨】 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．19．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠ 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答； （3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=， ∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒ 故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠， 证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A ∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠， ∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠， ∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠， ∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠， ∴12BPC A ∠=∠， 故答案为：12BPC A ∠=∠； （3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠， 故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠． 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．20．（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG ，∠DBC=12∠ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A ，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD 平分∠MAC ，∠ABD=12∠ABC ， ∴∠DAM=12∠MAC ， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB ，∠MAC=∠ABC+∠ACB ，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β． 故答案为：12β． 【点拨】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．21．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°， ∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°； （2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∴360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∴180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点拨】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．22．（1）33°；（2）123°【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∴设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a ①，又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b ②，①式＋②式得2∠M=24°+42°， 解得：∠M=33°，∴=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∴设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ，∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°①，又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）②，①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°， ∴123ANC ∠=︒．【点拨】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键． 23．（1）①130；②1902α+；(2) 12BFC α∠=（3）1904BMC α∠=+ 【详解】 ：（1）①130；②1902α+； （2）∵BF 和CF 分别平分ABC ∠和ACE ∠∴12FBC ABC ∠=∠,12FCE ACE ∠=∠ ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠()12ACE ABC =∠-∠ 12A =∠ 即12BFC α∠=（3）由轴对称性质知：12BGC BFC α∠=∠=由（1）②可得1902BMC BGC ∠=+∠ ∴1904BMC α∠=+． 24．AEC BFC ∠=∠，见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余，可分别求出135AEC ∠=︒，135BFC ∠=︒，即可判断出AEC ∠与BFC ∠的数量关系.【详解】解：AEC BFC ∠=∠.理由如下：∵CD AB ⊥，∴90DAC DCA ∠+∠=︒，∵ACD ∠与CAD ∠的平分线交于点E ，∴1()452EAC ECA DAC DCA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴180()135AEC EAC ECA ∠=︒-∠+∠=︒，同理可求135BFC ∠=︒，AEC BFC ∴∠=∠.【点拨】本题考查了角平分线的性质及直角三角形两锐角互余等相关知识.熟练根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余这一性质求出AEC ∠与BFC ∠的度数是解题的关键.25．（1）60°；45°；（2）90°－12n ；（3）90°－12n ． 【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO 的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG 的度数；（2）根据（1）中的结论即可求出答案；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC ，利用外角的性质得到∠BGO －∠ACF=∠ACG ，由此得到答案.【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=60°，当∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=45°，故答案为：60°，45°；（2）由（1）知∠ACG=12（180°-∠MON），∵∠MON＝n°，∴∠ACG=12（180°-∠MON）=90°－12n；（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－12 n，∴∠BGO－∠ACF=90°－12 n.【点拨】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用. 26．(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC ；(3) 理由见解析；(4) 11+9022P D C ∠=∠∠+︒ 【分析】(1)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ，分析等式即可得出结果；(4) AP 是∠MAC 的角平分线，B P 是∠DBC 的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y ，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线∴∠ABO=OBC ，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=()11802902A A ︒-∠÷=︒-∠ ∴∠BOC=11=180909022A A ⎛⎫︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭(2)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO=∠OCD∵∠BAC +∠ABC=∠ACD ，∠OBC+∠BOC =∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠DAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴1()2P C D ∠=∠+∠(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y∴x+y=1190 22D C∠-∠+︒∴119022P D C C ∠=∠-∠+︒+∠∴11+9022P D C∠=∠∠+︒【点拨】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析【分析】（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；（2）①首先理由角平分线性质得出∠E BC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.【详解】（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12(180°−∠A)=180°−90°+12∠A=90°+12∠A，即：∠D=90°+12∠A；（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，即：∠A−360°+2∠D=−180°，∴2∠D=180°−∠A，即：∠A=180°−2∠D；②∠A=2∠D，理由如下：∵∠DCE是△ABC的一个外角，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，∵∠A+∠ABC=∠ACE，∴∠A+2∠DBC=2∠DCE ，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D ，∴∠A=2∠D.【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.28．（1）70︒；（2）20︒；（3）70︒．【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）根据100APC ∠=︒以及AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，算出BAD ∠和BCD ∠,从而算出B【详解】如图AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P∴90BDA CEA ∠=∠=︒又∵110BPC ∠=︒∴110EPD BPC ∠=∠=︒∵在四边形AEPD 中，内角和为360︒∴=360-110-90-90=70A ∠︒︒︒︒︒（2）∵AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠∴,BAP FAC BCE ACE ∠=∠∠=∠又∵100APC ∠=︒∴+18010080FAC ACE ∠∠=︒-︒=︒∴160BAC BCA ∠+∠=︒∴=180-160=20B（3）如图：连接AC∵130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒∴18013050,18010080DAC DCA PAC PCA ∠+∠=︒-︒=︒∠+∠=︒-︒=︒∴2+3=30∠∠︒又∵AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠∴1+4=2+3=30∠∠∠∠︒∴110BAC BCA ∠+∠=︒∴=180-110=70B【点拨】三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键．29．（1）∠BDC ＝90°+2α；（2）∠BFC ＝2α；（3）∠BMC ＝90°+4α． 【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α，由三角形的内角和定理可求解； （2）由角平分线的性质可得∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质可求解； （3）由折叠的性质可得∠G ＝∠BFC ＝2α，方法同（1）可求∠BMC ＝90°+2G ∠，即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α， ∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠ACB ， ∴∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α， ∴∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠BCD ）＝90°+2α； （2）∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，∴∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ， ∵∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠FCE ＝∠BFC +∠FBC ，∴∠BFC ＝12∠A ＝2α； （3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M ， ∴方法同（1）可得∠BMC ＝90°+2G ∠， ∵将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∴∠G ＝∠BFC ＝2α， ∴∠BMC ＝90°+4α. 【点拨】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.30．（1）证明见详解；（2）DE ⊥BF ，证明见详解；（3）DE ∥BF ，证明见详解【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；（2）如图1，延长DE 交BF 于G ，易证∠ADC=∠CBM ，可得∠CDE=∠EBF ，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE ⊥BF ；（3）如图2，连接BD ，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE ∥BF ．【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，。

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一个角的平分线的尺规作法，其理论依据是全等三角形判定定理（）A．边角边B．边边边C．角角边D．角边角2．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝10，点G是线段OP的中点，连接EG，点F 是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4，则△PGE的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．403．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（）A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm4．如图，已知△ABC的周长是20，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是( )A．20 B．25 C．30 D．355．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=7，则AC=( )A．3 B．4 C．6 D．56．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．57．如图，在△ABC中∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3，AB=8则△ABD的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．68．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，并且满足BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①ΔCDE≅ΔBDF；②∠DBC=∠DCB；③CE=AB+AE④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．已知点P的坐标为（5，a），且点P在第二、四象限角平分线上，则a= 。

10．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是.11．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为12．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝．13．如图，若BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，当∠BAP＝130°时，∠BPC＝度.三、解答题14．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE=150°，∠AOB=40°。