必修2第2章测验题A卷.pdf

必修2 第二章检测试卷一、选择题(本题包括18小题，每小题3分，共54分，每小题只有一个选项符合题意)1．(2020·厦门双十中学期中)达康书记又追问环保局长：那么垃圾处理中，能随便焚烧吗？焚烧垃圾会降低GDP的。

在焚烧垃圾过程中发生了( )A．吸热的非氧化还原反应B．吸热的氧化还原反应C．放热的非氧化还原反应D．放热的氧化还原反应答案 D2．化学反应中必然伴随着物质变化和能量变化，下列说法正确的是( )A．浓硫酸溶于水共价键断裂并放出大量的热，所以该过程是放热反应B．吸热反应一定要在加热或高温条件下才能进行C．上图可表示放热反应中的能量变化D．焰色反应有能量变化，所以焰色反应是化学反应答案 C3．如图是化学课外活动小组设计的用化学电源使LED灯发光的装置示意图。

下列有关该装置的说法正确的是( )A．铜片为负极，其附近的溶液变蓝，溶液中有Cu2＋产生B．如果将锌片换成铁片，电路中的电流方向将改变C．其能量转化的形式主要是“化学能→电能→光能”D．如果将稀硫酸换成柠檬汁，LED灯将不会发光答案 C4．如图所示的装置，在盛有水的烧杯中，铁圈和银圈的连接处吊着一根绝缘的细丝，使之平衡。

小心地往烧杯中央滴入CuSO4溶液。

片刻后可观察到的现象是(指悬吊的金属圈)( )A．铁圈和银圈左右摇摆不定B．保持平衡状态不变C．铁圈向下倾斜D．银圈向下倾斜答案 D5．甲：在试管中加入1 g粉末状大理石，加入4 mol·L－1盐酸20 mL(过量)；乙：在试管中加入2 g颗粒状大理石，加入4 m ol·L－1盐酸20 mL(过量)；下列CO2生成体积(折算成标准状况)V(CO2)同反应时间t的关系曲线图合理的是( )答案 D6．(2020·湖北恩施月考)一定条件下，将NO2与SO2以体积比1∶2置于密闭容器中发生NO2(g)＋SO2(g)SO3(g)＋NO(g)的可逆反应，下列能说明反应达到平衡状态的是( )A．体系压强保持不变B．混合气体颜色保持不变C．SO3和NO的体积比保持不变D．每消耗1 mol SO3的同时生成1 mol NO2答案 B7．(2020·铜陵市期中)根据如图所示示意图，下列说法不正确的是( )A．反应C(s)＋H2O(g)===CO(g)＋H2(g)，能量增加(b－a) kJ·mol－1B．该反应过程反应物断键吸收的能量大于生成物成键放出的能量C．1 mol C(s)和1 mol H2O(l)反应生成1 mol CO(g)和1 mol H2(g)吸收的热量为131.3 kJD．1 mol C(s)、2 mol H、1 mol O转变成1 mol CO(g)和1 mol H2(g)放出的热量为a kJ答案 C8．根据下面的信息，下列叙述正确的是( )⎭⎬⎫H 2g 1 mol H 2的共价键断裂吸收436 kJ 能量2H g 12O 2g 12 mol O 2的共价键断裂吸收249 kJ 能量O g 形成1 mol H 2O 的共价键释放930 kJ 能量H 2O(g) A ．2 mol H 2(g)跟1 mol O 2(g)反应生成2 mol H 2O(g)吸收能量为490 kJB ．化学反应中能量变化的大小与反应物的质量多少无关C ．1 mol H 2(g)跟0.5 mol O 2(g)反应生成1 mol H 2O(l)释放能量为245 kJD ．2 mol H 2O(g)的能量比2 mol H 2(g)与1 mol O 2(g)的能量之和低答案 D9．纽扣电池可作计算器、电子表等的电源。

第二章学业质量标准检测(A)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分•满分150分•考试时间120分钟.第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 圆心为(1 , - 1)，半径为2的圆的方程是(D )A • (x- 1)2+ (y+ 1)2= 2B • (x+ 1)2+ (y- 1)2= 4C. (x+ 1)2+ (y-1)2= 2 D• (x- 1)2+ (y+ 1)2= 4［解析］由圆的标准方程的形式直接写出方程即可.2. 过点P(- 1,3)且垂直于直线x-2y + 3 = 0的直线方程是(A )A • 2x+ y- 1 = 0B • 2x+ y —5= 0C. x + 2y- 5 = 0 D • x- 2y+ 7= 0［解析］设直线方程为2x+ y+ m= 0且过点(-1,3),故m=- 1，二所求直线的方程为：2x+ y- 1 = 0 •3 •下列说法正确的是(C )A •直线的倾斜角越大，它的斜率就越大B •若两直线关于x轴对称，则此二直线斜率互为倒数C •若与x轴不垂直的两直线关于y轴对称，则此二直线斜率互为相反数D •若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数［解析］A倾斜角为钝角时，斜率小于0；倾斜角为锐角时，斜率大于0.B两直线关于x轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数•D分别平行于x, y轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在•4•直线ax+ 2y- 1 = 0 与x+ (a - 1)y+ 2= 0 平行，则a 等于(D )A , IB • 2C•- 1 D • 2 或—12［解析］由 a (a- 1)-2X 1 = 0 得a - a-2= 0,•'a = 2 或一1 •5•已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1, A1关于z轴的对称点为A?,则|AA2|等于(A )B. 12C. 16D. 19［解析］A i(-4, - 2,3), A2(4,2,3),••|AA2|=寸(4 + 4 2+(2- 2 f + (3-3 f = 8.6. (2019北京市综合能力测试)已知圆C:(X- a)2+ (y—b)2= 1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(D )A .点B .直线C.线段 D •圆［解析］•••圆C:(X—a)2+ (y—b)2= 1 过点A(1,0) ,「(1 —a)2+ (0 —b)2= 1，即(a—1)2+ b2 =1，故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.7. 如果方程x2+ y2+ Dx+ Ey + F = 0与x轴相切于原点，则(C )A . D = 0, E = 0, F 工0B . E = 0, F = 0, D工0C. D = 0, F = 0, E M 0 D . F = 0, D 工0, E M 0［解析］•••方程表示的圆与x轴切于原点，•••这个圆过原点且圆心在y轴上，「.F = 0, D = 0, E M 0.8. 不论a为何实数，直线(a—3)x+ 2ay+ 6 = 0恒过(D )A .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限［解析］由(a —3)x+ 2ay+ 6 = 0,得x+ 2y= 0, x= 2,(x+ 2y)a + (6 —3x)= 0令，得6 —3x= 0 y=—1,•直线(a —3)x+ 2ay+ 6 = 0 恒过定点(2, —1).从而该直线恒过第四象限.9. 已知圆C与直线x—y= 0及x—y—4= 0都相切，圆心在直线x+ y= 0上，则圆C的方程为(B )A . (x+ 1)2+ (y—1)2= 2 B. (x—1)2+ (y+ 1)2= 2C. (x—1)2+ (y—1)2= 2D. (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 2［解析］由圆心在直线x+ y= 0上，不C(a，-a)宀=|a|a——a —4|2解得a= 1, r = 2,•••圆C: (x—1)2+ (y+ 1)2= 2.10. 直线l i与直线12: 3x+ 2y—12= 0的交点在x轴上，并且^丄^，贝V l i在y轴上的截距是(C )［解析］1丄2,・*水2=—1.2 8•••设11方程为y = §x+ b, 12与x轴交点为(4,0)代入A得b=—-.11. 过点P(4,2)作圆x2+ y2= 4的两条切线，切点分别为A, B, O为坐标原点，则厶OAB 的外接圆方程是(A )A . (x—2)2+ (y—1)2= 5 B. (x—4)2+ (y—2)2= 20C. (x+ 2)2+ (y+ 1)2= 5D. (x+ 4)2+ (y+ 2)2= 201［解析］由条件O, A, B, P四点共圆，从而OP中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r = 2|OP| =#5,故所求圆方程为(x—2)2 + (y—1)2 = 5.12. 使得方程16 —x2—x—m = 0有实数解，则实数m的取值范围是(B )A . —4 .2< m W 4 .2 B. —4< m<4.2C. —4< m W 4 D . 4< m W 4.2［解析］设f(x) = "「16—x2, g(x)= x+ m,在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示.则m是直线y= x+ m在y轴上的截距.由图可知—4 W m W 4,2.第n卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13 .过点(3,1)作圆(x—2)2+ (y—2)2= 4的弦，其中最短弦的长为2^2 .［解析］本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想.点(3,1)在圆内，要使弦长最短，需圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN|=2, 则弦长为24-2= 2 2 .2 2 214. 若直线3x—4y+ 5 = 0与圆x + y = r (r>0)相交于A, B两点，且/ AOB = 120 °O为坐标原点)，则r = __2__.2 2 2［解析］直线3x—4y+ 5= 0 与圆x + y = r (r > 0)交于A、B 两点，Z AOB = 120。

第2章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本题共20小题。

每小题3分,共60分。

每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列有关减数分裂过程的顺序,正确的是( )①形成四分体②同源染色体分离,非同源染色体自由组合③四分体时期同源染色体的非姐妹染色单体发生互换④细胞质分裂⑤联会⑥DNA复制⑦姐妹染色单体分开⑧着丝粒分裂A.⑥⑤①③②④⑧⑦④B.④⑥③②⑧⑤⑦①④C.⑥⑤③⑧④⑦②①③D.②①③④⑤⑧⑥⑦④DNA的复制和有关蛋白质的合成;减数分裂Ⅰ过程中,同源染色体联会形成四分体,同时可能发生同源染色体的非姐妹染色单体间的互换,然后在后期同源染色体分离的同时,非同源染色体自由组合,末期细胞质分裂形成次级性母细胞;减数分裂Ⅱ过程中,后期着丝粒分裂,姐妹染色单体分开,最后细胞质分裂形成子细胞。

故正确的顺序是⑥⑤①③②④⑧⑦④。

2.在雄性果蝇的精巢中,下列细胞内一定含有2条Y染色体的是( )A.处于有丝分裂后期的精原细胞B.处于四分体时期的初级精母细胞C.处于减数第一次分裂后期的初级精母细胞D.处于减数第二次分裂后期的次级精母细胞,由于着丝粒分裂,含有2条X染色体、2条Y染色体。

初级精母细胞中虽然DNA已经复制,但染色单体连在同一个着丝粒上,故只有1条X染色体和1条Y染色体。

处于减数第二次分裂后期的次级精母细胞含有2条X染色体或2条Y染色体。

3.下列变化仅在减数分裂过程中出现,在有丝分裂过程中不出现的是( )A.DNA复制与有关蛋白质的合成B.姐妹染色单体分开并分别进入2个子细胞C.核膜的消失与重建D.同源染色体分离并分别进入2个子细胞DNA复制和有关蛋白质的合成,形成姐妹染色单体。

减数第二次分裂后期和有丝分裂后期,姐妹染色单体分开并分别进入2个子细胞。

减数分裂和有丝分裂均会发生核膜的消失与重建。

同源染色体分离并分别进入2个子细胞仅发生于减数分裂过程中。

4.某基因型为AABb个体的一个精原细胞产生AAb精子,下列关于其形成原因或结果的叙述,错误的是( )A.减数第一次分裂同源染色体未正常分离B.减数第二次分裂姐妹染色单体未正常分开C.减数第一次分裂同源染色体的非姐妹染色单体之间进行了互换D.该精原细胞产生的另外3个精子是B、B、AAb或b、AB、AB,形成的精子应该是染色体数和基因数正常的,而不是异常的。

第二章单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2．下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面互相平行B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图D2­13．已知一个四棱锥的三视图如图D2­1所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是() A．4 B．3C．2 D．14．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个5．在长方体ABCD -A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有() A．2个B．3个C．4个D．5个6．若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m7．如图D2 ­2所示，已知六棱锥P -ABCDEF的底面是正六边形，若P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()图D2­2A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β10．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n为两条不同的直线，给出下列命题：()①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.其中是真命题的有()A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④11．如图D2­3所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是()图D2­3①EF与BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF与C1D所成的角为45°；④EF∥平面A1B1C1D1.A．②③B．①④C．③D．①②④12．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2 3，CC1＝2，则二面角C1­BD-C的大小为() A．30°B．45°C．60°D．90°请将选择题答案填入下表：题号123456789101112总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为6，其余各棱长都为2，则二面角A ­BD ­C的大小为________．14．已知a，b为互相不垂直的两条异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)15．如图D2­4所示，若正四棱锥P-ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为________．图D2­4图D2­516．如图D2­5所示，已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a ＝12；②a ＝1；③a ＝3；④a ＝2；⑤a ＝4.当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，a 可以取________．(填上一个你认为正确的数据序号即可)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图D 2­6所示，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD.图D 2-618．(12分)如图D 2­7所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝2 2，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF.图D 2­719．(12分)如图D2­8所示是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求直线MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M-NPQ的体积与正方体的体积之比．图D2­820．(12分)如图D2­9所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求该五面体的体积．图D2­921．(12分)如图D2­10所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积；(3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．图D2­1022．(12分)如图D2­11所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M为AB的中点，矩形ABEF 所在的平面和平面ABCD相互垂直．(1)求证：AD⊥平面DBE；(2)设DE的中点为P，求证：MP∥平面DAF；(3)若AB＝2，AD＝AF＝1，求三棱锥E-BCD的体积．图D2­11参考答案1．D [解析] 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面． 2．A [解析] B 为公理2，C 为公理1，D 为公理3.3．A [解析] 由三视图知：该几何体为底面是矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中四个侧面全是直角三角形，所以该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是4.4．C [解析] 若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“若a ∥b ，且a ⊥γ，则b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“若a ∥β，且a ⊥b ，则b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“若a ∥α，且b ⊥α，则a ⊥b ”，此命题为真命题．故真命题有2个．5．B [解析] 与AA 1平行的平面有：平面BCC 1B 1，平面CC 1D 1D ，平面BB 1D 1D ，共3个．6．B [解析] A 错误，要判断l ⊥α，需判断l 垂直于α内的两条相交直线；B 正确，此为线面垂直的性质定理；C 错误，l 与α内的直线可能平行或异面；D 错误，l 与m 可能平行、相交或异面．7．D [解析] 由题意知，直线PD 与平面ABC 所成的角为∠PDA.∵在Rt △PAD 中，PA ＝2AB ＝AD ，∴∠PDA ＝45°.8．C [解析] 延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连接A 1D ，则四边形ADA 1C 1为平行四边形，故∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又∵三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B ＝60°.9．C [解析] 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β，错误，α与β也可能相交． 10．C [解析] ①错误，可能n ⊂α；③错误，可能β，γ相交；②和④正确． 11．A [解析] 显然①④正确，②③错误．12．A [解析] 连接AC 交BD 于点O ，连接OC 1.因为AB ＝AD ＝2 3，所以AC ⊥BD ，又易证BD ⊥面ACC 1A 1，所以BD ⊥OC 1，所以∠COC 1为二面角C 1­BD ­C 的一个平面角．因为在△COC 1中，OC＝6，CC 1＝2，所以tan ∠COC 1＝33，所以二面角C 1­BD ­C 的大小为30°.13．90° [解析] 取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，因为AB ＝AD ＝BC ＝CD ，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ，故∠AMC 为所求二面角的平面角．根据题意可知AM ＝3，CM ＝3，因为AM 2＋CM 2＝AC 2，所以∠AMC ＝90°.14．①②④ [解析] ①②④对应的情况如下图所示：15．60° [解析] 连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥PA ，∴所求的角为∠BEO.由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12PA ＝22，BO ⊥OE ，∴tan ∠BEO ＝BOOE＝3，∴∠OEB ＝60°.16．①(或②) [解析] 为了使PQ ⊥QD ，只要使AQ ⊥QD. 设BQ ＝x ，则CQ ＝2－x.∵△AQD 是直角三角形，∴AD 2＝AQ 2＋QD 2，即4＝a 2＋x 2＋a 2＋(2－x)2，∴x 2－2x ＋a 2＝0，此方程有解，∴Δ≥0，即0＜a ≤1. 故①②都满足题意．17．证明：(1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥AD.∵EF ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD.(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD.∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD.又∵EF∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC.∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD.18．解：(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ， 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ，故ED ⊥CD.在Rt △CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝2 2，所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝2 23.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为2 23. (2)证明：过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°. 由∠BAD ＝45°可得BG ⊥AB ，从而CD ⊥AB.又因为CD ⊥FA ，FA∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .19．解： (1)如图所示，MN 与PQ 是异面直线，连接NC ，MC ， 因为在正方体中，PQ ∥NC ，所以∠MNC 为异面直线MN 与PQ 所成的角． 因为MN ＝NC ＝MC ，所以∠MNC ＝60°. 所以MN 与PQ 所成角的大小为60°.(2)设正方体的棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3. 而三棱锥M-NPQ 的体积与三棱锥N-PQM 的体积相等，且NP ⊥平面MPQ ，所以V N ­PQM ＝13·12MP ·MQ ·NP ＝16a 3.所以四面体M-NPQ 的体积与正方体的体积之比为1∶6.20．解：(1)证明：图2连接AE.∵四边形ADEB 为正方形，∴AE∩BD ＝F ， 且F 是AE 的中点，∴GF ∥AC.又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)证明：∵四边形ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB.又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED∩平面ABC ＝AB ，∴BE ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥AC.∵CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC. 又∵BC∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面EBC. (3)取AB 的中点N ，连接CN. 因为AC ＝BC ，∴CN ⊥AB.又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED∩平面ABC ＝AB ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12.∵五面体C-ABED 是四棱锥，∴V 四棱锥C-ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.21．解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形， ∴∠DEA ＝∠CEB ＝45°，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ， ∵平面D′AE ⊥平面ABCE ，且平面D′AE∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D′AE ，∵AD′⊂平面D′AE ， ∴AD ′⊥BE.(2)取AE 的中点F ，连接D′F ，则D′F ⊥AE. ∵平面D′AE ⊥平面ABCE ，且平面D′AE∩平面ABCE ＝AE ， ∴D ′F ⊥平面ABCE ，∴V D ′­ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24.(3)如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D′E 上存在点P ，使得D′B ∥平面PAC ，连接PQ ， ∵D ′B ⊂平面D′BE ，平面D′BE∩平面PAC ＝PQ ，∴D′B ∥PQ ，∴在△EBD′中，EP PD ′＝EQ QB ，∵在梯形ABCE 中，EQ QB ＝EC AB ＝12，∴EP PD′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′， ∴在棱D′E 上存在一点P ，且EP ＝13ED ′，使得D′B ∥平面PAC.22．解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，矩形ABEF 中EB ⊥AB ， ∴EB ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴EB ⊥AD ，∵AD ⊥BD ，BD∩BE ＝B ，∴AD ⊥平面BDE. (2)证明：取EF 的中点G ，连接MG ，PG(如图所示)． 因为P ，M ，G 分别为DE ，AB ，EF 的中点，∴MG ∥AF ，PG ∥DF ，∵MG∩PG ＝G ，AF∩DF ＝F ， ∴平面PMG ∥平面DAF.∵PM ⊂平面PMG ，∴MP ∥平面DAF.(3)过D 作DH 垂直于AB 于H.在直角三角形ADB 中，∵AB ＝2，AD ＝1，∴BD ＝3，DH ＝32，∴三棱锥E-BCD 的体积V ＝13×1×12×1×32＝312.。

必修二第二单元测试题带答案详解2021级必修二第二单元测试题 2021.12.高一语文第二册第二单元测试题一．基础知识（每小题3分，共90分） 1．下列加点字读音无误的一项是（）Ａ. 敕令chì 愚笨yú 驯良xùn 矩形jǔ ．．．．Ｂ. 逮捕dǎi胚胎pēi 遴选lín 前途未卜．．．．pǔ Ｃ. 纳闷nà 木讷家qìn赐予．．na 亲．．yǔ Ｄ. 缜密zhěn 瑰丽guì 右衽．．．ran蟾蜍．．chán chú 2．下列加点字读音有误的一项是（）Ａ. 给予jǐ 给以gěi 经纶起大棒lūn ．．．lún 抡．Ｂ. 签字qiān 赏鉴心泣血chuí ．．jiàn 脊椎．zhuī 椎．Ｃ. 别扭bia 别致bi? 露丑l?u 初露头角l?u ．．．．Ｄ旋转型zhuǎn 契机qì 锲而不舍qia ．zhuǎn 转．．．3．下面词语书写有误的一项是（）Ａ. 暗淡神色黯淡自行其是关心国事Ｂ. 灌输全神惯注虚无飘渺委婉含蓄Ｃ. 演变周而复始成绩辉煌糙米野菜Ｄ枯竭永葆常新千篇一律绵绵不绝 4．下面词语字形无误的一项是（）Ａ. 质询苍茫勉励再接再厉Ｂ. 抱屈报复嶂碍云缭烟绕Ｃ. 漫溯缪误怠惰平心而论Ｄ. 震撼补偿按摩焦燥不安5．填在下面空缺处的词语最恰当的一项是（）① 获奥斯卡金像奖的影片《美丽心灵》是一部人物传记片，影片主人公的纳什，因此而成为热门公众人物。

② 镇坪县林业局说，“虎照”的真实性不容。

有媒体评论，“虎照”受到公众，不仅仅是摄影技术层面的社会现象，也是社会文化进步的一种表现。

③ 查韦斯表示，如果美国政府试图委内瑞拉的内部事务，委内瑞拉将停止向美国供油。

Ａ. 原型置疑质疑干涉Ｂ. 原形置疑质疑干预Ｃ. 原型质疑置疑干涉Ｄ. 原形质疑置疑干预 6．填在下面空缺处的词语最恰当的一项是（）① 二重旋转对称与镜像对称是否是一回事？读者可自己。

教科版（2019）必修2《第二单元信息系统的集成》2022年单元测试卷1. 因特网上许多复杂网络和许多不同类型的计算机之间能够互相通信的基础是（ ）A. NetBEUI 协议B. TCP/IP协议C. IPX/SPX协议D. Http协议2. 物联网连接的是物理世界和（ ）A. 现实世界B. 虚拟世界C. 信息世界D. 人类世界3. 无人机通过无线通信装置（例如5G 模块）将拍摄的画面实时传输到遥控屏幕上，该通信装置在物联网的基本架构中属于（ ）A. 感知层B. 网络层C. 应用层D. 逻辑层4. 现实生活中随处可见各种各样的二维码，以下有关二维码的说法，错误的是（ ）A. 相对于条形码，二维码的信息存储量更大B. 扫描二维码可能会链接到计算机病毒C. 制作的二维码可以分享给他人D. 二维码生成以后将一直可以使用，不会失效5. “Intel（R）Core（TM）*******************”中2.20GHZ指的是（ ）A. 最大内存容量B. 最大运算速度C. 最大运算精度D. CPU的时钟频率6. 接入设备自动获取IP地址时使用的协议是（ ）A. DNSB. FTPC. DHCPD. HTPP7. 下载速率200KB/s相当于______bps？A. 正确B. 错误8. 无线网络指应用______技术将计算机设备互联起来，构成可以互相通信和实现资源共享的______。

A. 正确B. 错误9. 物联网的定义最早于1999年由______提出，以后不断扩充、延伸、完善。

A. 正确B. 错误10. 键盘是目前常用的微型计算机输入设备，其某些键符的功能对照表如下表所示。

请补充表中（1）～（5）处的内容键符名称功能（1）______ 回车键。

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高中数学必修2 第二章点线面位置关系（A卷）试卷一、选择题（共20题；共88分）1.若三个平面两两相交，则它们的交线条数是()A.1B.2C.1或3D.3【答案】C【考点】平面的公理及应用,点线面关系【解析】三个平面两两相交，类似于三条直线两两相交，它们的交线有1条或3条.2.如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【答案】D【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.3.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能【答案】D【考点】异面直线,点线面关系【解析】如图所示，三种情况都有可能，故选D.4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A.DD1B.A1D1C.C1D1D.A1D【答案】D【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质【解析】∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.5.下列命题中正确的是()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行【答案】B【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质【解析】如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确.6.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，mα，mβ，nα，nβ，则αβ；②若mα，mβ，则αβ；③若mα，nβ，m n，则αβ.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【考点】面面平行的判定与性质【解析】设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γα，γβ，则αβ.故①正确.②、③均错误.7.在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a b的是()A.a⊂α，b⊂β，αβB.aα，b⊂αC.a⊥α，b⊥αD.a⊥α，b⊂α【答案】C【考点】垂直关系综合【解析】对于A，若a⊂α，b⊂β，αβ，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若aα，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a b；对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b，故选C.8.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【答案】C【考点】线面垂直的判定与性质【解析】取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，又BD，AC异面，故选C.9.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.10.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是()A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.aβ，aαD.a⊥β，aα【答案】D【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；∵α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，∴b不一定垂直于α，∴α不一定垂直于β，故B不正确；aβ，aα⇒α与β相交或平行，故C不正确；∵a⊥β，aα，∴α中一定有一条直线垂直于β，∴α⊥β，故D正确．11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有()A.AP⊥平面PEFB.AG⊥平面PEFC.EP⊥平面AEFD.PG⊥平面AEF【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质【解析】如图所示，∵AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P.∴AP⊥平面PEF.故选A.12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E【答案】C【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC.又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.13.若两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是()A.0°＜θ＜90°B.0°＜θ≤90°C.0°≤θ＜90°D.0°≤θ≤90°【答案】B【考点】异面直线所成的角【解析】异面直线是空间中不在任一平面内的直线．设a，b是空间中两条异面直线，在空间任取一点O，过点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角或直角θ即为异面直线a，b所成的角，其范围为0°＜θ≤90°.14.有下列四个命题：①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中错误命题的序号是()A.①和②B.①和③C.②和④D.②和③【答案】B【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】由于过不共面的三点才能确定一个平面，故①不对；矩形的两对边平行可以确定一个平面，故矩形是平面图形，②正确；由于三条直线两两相交包括三线过一点，故三条直线两两相交则确定一个平面不正确，③不对；两个相交平面把空间分为四个区域是正确的命题，故④正确．综上，错误命题的序号是①③．故选B.15.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是()①②③④⑤⑥.A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③【答案】C【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合【解析】由公理4及平行平面的传递性知①④正确，举反例知②③⑤⑥不正确；②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．16.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，，求AD与BC 所成角的大小( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】异面直线所成的角【解析】如图，取BD的中点G,连接GE，GF.∵BE=EA，BG=GD，∴GE AD，，∵DF=FC，DG=GB，∴GF BC，∴∠EGF(或其补交)是异面直线AD与BC所成的角.在△GEF中，GE=1，GF=1，(如图)，取EF的中点O，连接GO，则，∴∴∴，∴异面直线AD与BC所成的角是.17.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA ＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】二面角【解析】∵E为SC的中点，且SB＝BC.∴BE⊥SC，又DE⊥SC，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE.∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE.∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，AB⊥BC，∴SB＝BC＝，AC＝，∴SC＝2.∵在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.18.已知四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，则CQ与平面DBC所成的角的正弦值是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为所求的角．设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点，∴，∵QP∥AO，Q是AD的中点，∴，即.19.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC平面MEF，试求PM∶MA的值（）A.B.C.D.【答案】B【考点】线面平行的判定与性质【解析】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.∵PC平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC OM，∴.在菱形ABCD中，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴，又，∴，∴.20.如果二面角α－l－β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为、4和，则二面角α－l－β的大小是（）A.15°B.75°C.45°D.75°或15°【答案】D【考点】空间距离,二面角【解析】如图1是点P在二面角α－l－β的内部，图2是点P在二面角α－l－β的外部．∵PA⊥α，∴PA⊥l.∵AC⊥l，∴l⊥平面PAC.同理，l⊥平面PBC.而平面PAC∩平面PBC＝PC，∴平面PAC与平面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，则∠ACB是二面角α－l－β的平面角．在Rt△APC中，，∴∠ACP＝30°.在Rt△BPC中，，∴∠BCP＝45°.故∠ACB＝30°＋45°＝75°或∠ACB＝45°－30°＝15°.即二面角α－l－β的大小为75°或15°.二、解答题（共1题；共12分）21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD ＝2，PA＝2.求：(1).三角形PCD的面积( )A.B.C.D.【答案】A【考点】垂直关系综合【解析】因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为，CD＝2，所以三角形PCD的面积为.(2).异面直线BC与AE所成的角的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】A【考点】异面直线所成的角【解析】如图，取PB中点F，连接EF，AF，则EF BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝45°.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.。

必修二数学a第二章测试题答案及解析一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-1)的值。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f(-1) =2*(-1)^2 + 3*(-1) - 5 = 2 - 3 - 5 = -6。

2. 计算下列不等式中x的取值范围：x^2 - 4x + 4 ≤ 0。

A. x ≤ 2B. x ≥ 2C. 0 ≤ x ≤ 4D. -2 ≤ x ≤ 2答案：D解析：将不等式x^2 - 4x + 4 ≤ 0进行因式分解，得到(x-2)^2 ≤ 0，由于平方项非负，所以(x-2)^2 = 0，解得x = 2。

因此，x的取值范围为-2 ≤ x ≤ 2。

二、填空题3. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求第5项a_5的值。

答案：13解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，代入n=5，得到a_5 = 3 + (5-1)*2 = 3 + 8 = 11。

4. 计算圆的面积，已知半径r = 4。

答案：50π解析：圆的面积公式为A = πr^2，代入半径r = 4，得到A =π*4^2 = 16π。

三、解答题5. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 4在x = 1处的导数。

答案：4解析：首先求函数y = x^3 - 3x^2 + 4的导数，得到y' = 3x^2 - 6x。

然后代入x = 1，得到y'(1) = 3*1^2 - 6*1 = 3 - 6 = -3。

6. 已知抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，且抛物线过点(1,2)和(2,5)，求a的值。

答案：1解析：将点(1,2)和(2,5)代入抛物线方程，得到两个方程：2 = a*1^2 + b*1 + c5 = a*2^2 + b*2 + c解这个方程组，得到a = 1，b = -2，c = 3。

高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。

第二章单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能2．下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面互相平行B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图D2­ 13．已知一个四棱锥的三视图如图D2­1所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是( ) A．4 B．3C．2 D．14．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是( ) A．0个 B．1个C．2个 D．3个5．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个6．若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m7．如图D2 ­2所示，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，若PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )图D2­ 2A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A．30° B．45°C．60° D．90°9．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β10．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n为两条不同的直线，给出下列命题：( )①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.其中是真命题的有( )A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④11．如图D2­3所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是( )图D2­ 3①EF与BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF与C1D所成的角为45°；④EF∥平面A1B1C1D1.A．②③ B．①④C．③ D．①②④12．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2 3，CC1＝2，则二面角C1­BD­C的大小为( ) A．30° B．45°C．60° D．90°请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为6，其余各棱长都为2，则二面角A ­ BD ­ C的大小为________．14．已知a，b为互相不垂直的两条异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)15．如图D2­4所示，若正四棱锥P­ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为________．图D 2­ 4图D 2­ 516．如图D 2­5所示，已知矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，现有数据：①a ＝12；②a ＝1；③a ＝3；④a ＝2；⑤a ＝4.当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，a 可以取________．(填上一个你认为正确的数据序号即可)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图D 2­6所示，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD.图D2­ 618．(12分)如图D2­7所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2 2，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF.图D2­719．(12分)如图D2­8所示是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求直线MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M­NPQ的体积与正方体的体积之比．图D2­820．(12分)如图D2­9所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求该五面体的体积．图D2­921．(12分)如图D2­10所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积；(3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．图D2­1022．(12分)如图D2­11所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M为AB的中点，矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直．(1)求证：AD⊥平面DBE；(2)设DE的中点为P，求证：MP∥平面DAF；(3)若AB＝2，AD＝AF＝1，求三棱锥E­BCD的体积．图D2­11参考答案1．D [解析] 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面． 2．A [解析] B 为公理2，C 为公理1，D 为公理3.3．A [解析] 由三视图知：该几何体为底面是矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中四个侧面全是直角三角形，所以该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是4.4．C [解析] 若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“若a ∥b ，且a ⊥γ，则b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“若a ∥β，且a ⊥b ，则b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“若a ∥α，且b ⊥α，则a ⊥b ”，此命题为真命题．故真命题有2个．5．B [解析] 与AA 1平行的平面有：平面BCC 1B 1，平面CC 1D 1D ，平面BB 1D 1D ，共3个． 6．B [解析] A 错误，要判断l ⊥α，需判断l 垂直于α内的两条相交直线；B 正确，此为线面垂直的性质定理；C 错误，l 与α内的直线可能平行或异面；D 错误，l 与m 可能平行、相交或异面．7．D [解析] 由题意知，直线PD 与平面ABC 所成的角为∠PDA.∵在Rt △PAD 中，PA ＝2AB ＝AD ，∴∠PDA ＝45°.8．C [解析] 延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连接A 1D ，则四边形ADA 1C 1为平行四边形，故∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又∵三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B ＝60°.9．C [解析] 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β，错误，α与β也可能相交． 10．C [解析] ①错误，可能n ⊂α；③错误，可能β，γ相交；②和④正确． 11．A [解析] 显然①④正确，②③错误． 12．A [解析] 连接AC 交BD 于点O ，连接OC 1.因为AB ＝AD ＝2 3，所以AC ⊥BD ，又易证BD ⊥面ACC 1A 1，所以BD ⊥OC 1，所以∠COC 1为二面角C 1­BD ­C 的一个平面角．因为在△COC 1中，OC ＝6，CC 1＝2，所以tan ∠COC 1＝33，所以二面角C 1­BD ­C 的大小为30°.13．90° [解析] 取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，因为AB ＝AD ＝BC ＝CD ，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ，故∠AMC 为所求二面角的平面角．根据题意可知AM ＝3，CM ＝3，因为AM 2＋CM 2＝AC 2，所以∠AMC ＝90°.14．①②④ [解析] ①②④对应的情况如下图所示：15．60° [解析] 连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥PA ，∴所求的角为∠BEO.由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12PA ＝22，BO ⊥OE ，∴tan ∠BEO ＝BOOE＝3，∴∠OEB ＝60°.16．①(或②) [解析] 为了使PQ ⊥QD ，只要使AQ ⊥QD. 设BQ ＝x ，则CQ ＝2－x.∵△AQD 是直角三角形，∴AD 2＝AQ 2＋QD 2，即4＝a 2＋x 2＋a 2＋(2－x)2，∴x 2－2x ＋a 2＝0，此方程有解，∴Δ≥0，即0＜a ≤1.故①②都满足题意．17．证明：(1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥AD.∵EF ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD.(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD.∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD.又∵EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC.∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD.18．解：(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ， 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ，故ED ⊥CD.在Rt △CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝2 2，所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝2 23.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为2 23.(2)证明：过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°. 由∠BAD ＝45°可得BG ⊥AB ，从而CD ⊥AB.又因为CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF.19．解： (1)如图所示，MN 与PQ 是异面直线，连接NC ，MC ， 因为在正方体中，PQ ∥NC ，所以∠MNC 为异面直线MN 与PQ 所成的角． 因为MN ＝NC ＝MC ，所以∠MNC ＝60°. 所以MN 与PQ 所成角的大小为60°.(2)设正方体的棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3.而三棱锥M ­NPQ 的体积与三棱锥N ­PQM 的体积相等，且NP ⊥平面MPQ ，所以V N ­PQM ＝13·12MP ·MQ ·NP ＝16a 3.所以四面体M ­NPQ 的体积与正方体的体积之比为1∶6. 20．解：(1)证明：图2连接AE.∵四边形ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ， 且F 是AE 的中点，∴GF ∥AC.又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)证明：∵四边形ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB.又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC.∵CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC. 又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面EBC. (3)取AB 的中点N ，连接CN. 因为AC ＝BC ，∴CN ⊥AB.又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12.∵五面体C ­ABED 是四棱锥，∴V 四棱锥C ­ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.21．解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形， ∴∠DEA ＝∠CEB ＝45°，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ，且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D ′AE ，∵AD ′⊂平面D ′AE ，∴AD ′⊥BE.(2)取AE 的中点F ，连接D ′F ，则D ′F ⊥AE.∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ，且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴D ′F ⊥平面ABCE ，∴V D ′­ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24. (3)如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D ′E 上存在点P ，使得D ′B ∥平面PAC ，连接PQ ， ∵D ′B ⊂平面D ′BE ，平面D ′BE ∩平面PAC ＝PQ ，∴D ′B ∥PQ ，∴在△EBD ′中，EP PD ′＝EQ QB ，∵在梯形ABCE 中，EQ QB ＝EC AB ＝12， ∴EP PD ′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′， ∴在棱D ′E 上存在一点P ，且EP ＝13ED ′，使得D ′B ∥平面PAC. 22．解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，矩形ABEF 中EB ⊥AB ，∴EB ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴EB ⊥AD ，∵AD ⊥BD ，BD ∩BE ＝B ，∴AD ⊥平面BDE.(2)证明：取EF的中点G，连接MG，PG(如图所示)．因为P，M，G分别为DE，AB，EF的中点，∴MG∥AF，PG∥DF，∵MG∩PG＝G，AF∩DF＝F，∴平面PMG∥平面DAF.∵PM⊂平面PMG，∴MP∥平面DAF.(3)过D作DH垂直于AB于H.在直角三角形ADB中，∵AB＝2，AD＝1，∴BD＝3，DH＝32，∴三棱锥E­BCD的体积V＝13×1×12×1×32＝312.。