复习(第八章 常微分方程)

第八章：常微分方程本章重点是微分方程求解．由于不同类型的方程对应有不同的、确定的解法，所以识别类型，应用相应的解法是关键．§8.1 一阶微分方程本节的重点是求一阶微分方程的通解或在给定初始条件下的特解．● 常考知识点精讲一、常微分方程的概念含有一元未知函数导数的方程称为常微分方程；方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶．若记自变量为x ，未知函数为()y y x =，则n 阶微分方程的一般形式是 ()(,,,,)0n F x y y y '=若函数()f x 在I 上存在n 阶导数，且满足方程()(,(),(),,())0n F x f x f x f x '≡ ，()x I ∈则称()f x 是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 在I 上的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立的任意常数的解称为方程的通解，不含任意常数的解称为方程的特解，由通解确定特解的条件称为定解条件．二、一阶微分方程的类型及其解法1．变量可分离的一阶微分方程形如：()()dyf xg y dx=或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=的方程，称为变量可分离的微分方程． 解法：分离变量法． 2．一阶线性微分方程形如：()()y P x y Q x '+=的方程，叫一阶线性微分方程．解法：通解由公式()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰给出．3．全微分方程（数一） ⑴ 全微分方程及其解法如果一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=满足Q Px y∂∂=∂∂，则称为全微分方程． 解法：通解由公式00(,)(,)xyx y P x y dx Q x y dy C +=⎰⎰给出．⑵ 积分因子如果条件Q Px y∂∂=∂∂不能满足，即方程不是全微分方程，这时若有一个适当的函数(,)u x y ，使方程(,)(,)(,)(,)0u x y P x y dx u x y Q x y dy ⋅+⋅=成为全微分方程，则称(,)u x y 是微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子．⑶ 求积分因子 求积分因子，一般说来不是一件容易的事，通常只要求掌握用观察法求积分因子就行了． ① 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有xdx ydy +的项，而其它项中都含有因式22x y +，则方程可能有积分因子221x y +．② 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy +的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ③ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ④ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项都只是含x （或y ）的微分表达式，则方程可能有积分因子21x （或21y）． ⑤ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式22x y +（或22x y -），则方程可能有积分因子221x y +（或221x y -）．4．一阶齐次微分方程形如()yy f x'=的一阶微分方程，叫一阶齐次微分方程． 解法：设yu x=，将方程化为可分离变量方程． 5．贝努利方程（数一）形如()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠的方程叫贝努利方程． 解法：令1nz y-=，将方程化为z 的一阶线性方程．6．可化为一阶齐次的微分方程形如111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠的一阶微分方程叫可化为一阶齐次的微分方程． （当11220a b a b =时，读者自己考虑如何求解）[例1.1] 求下列方程的通解⑴ ()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= ⑵sin cos x y y x e -'+= 解：⑴ 方程变形为 (1)(1)0y x x y e e dx e e dy -++= 这是可分离变量的微分方程，分离变量得(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-上式两端求不定积分(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-⎰⎰所以 ln(1)ln(1)ln x y e e c +=--+ 故原方程通解为 (1)(1)xye e c +-=；⑵ 方程是一阶线性微分方程，其通解为cos cos sin ()xdx xdxx y e e e dx c --⎰⎰=+⎰sin sin sin sin ()()xx x x e e e dx c e x c ---=+=+⎰．●● 常考题型及其解法与技巧一、变量可分离的方程变量可分离的方程()()dyf xg y dx=求通解的思路：①变量分离，将原方程化为()()dy f x dx g y =；②两端积分()()dyf x dxg y =⎰⎰，可得． [例8.1.1] 求微分方程sin cos ln 0x xdx y ydy -=的通解 解：将方程分离变量，得ln sin cos dy dxy y x x=等式两端分别求不定积分ln sin cos dy dxy y x x=⎰⎰即有 2ln ln ln tan ln cos tan dxy x c x x ==+⋅⎰所以方程通解为 t a nc x y e =．[例8.1.2] 求方程221dyx y xy dx=-+-满足初始条件(0)1y =的特解． 解：方程变形为2(1)(1)dyx y dx=-+ 分离变量得2(1)1dyx dx y=-+ 等式两端分别求不定积分2(1)1dyx dx y =-+⎰⎰即有 21arctan 2y x x c =-+ 由(0)1y =，可得4c π=，所以方程的特解为21tan()24y x x π=-+． 二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程求通解的一般思路就是利用通解公式完成．[例8.1.3] 求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件()1y e =的特解． 解：将方程化为11ln dy y dx x x x+=，这是一阶线性微分方程，其通解为 112ln ln 111[](ln )ln 2dx dx x x x x y e e dx c x c x x -⎰⎰=+=+⎰ 由()1y e =可得12c =．所以方程的特解为 11ln 22ln y x x=+[例8.1.4] 求微分方程2412dy y dx y xy+=-的通解． 解：此微分方程既不是齐次微分方程也不是变量可分离的微分方程．若以y 为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x 为未知函数的微分方程，即4221dx y xy dy y -=+，也就是422211dx y y x dy y y+=++． 这是以x 为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得 22224511225[]15(1)yydydy y y y y cx ee dy c y y -++⎰⎰+=+=++⎰ 评注：在判定一个微分方程是否为一阶线性微分方程时，应注意适当选择变量作函数．三、通过变量代换求解的方程Ⅰ 齐次微分方程齐次微分方程()dy yf dx x=求通解的思路：①令y u x =，则原方程化为()xu f u u '=-（*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的u 用yx代换即得原方程的通解．[例8.1.5] 求微分方程22dy xy dx x y=-满足(0)1y =的特解． 解：方程是一阶齐次微分方程，令yu x=，则原方程变为 21du u u x dx u +=-，即321du u x dx u=-， （*） 求得方程（*）的通解为 212u cux e-=，即222x y cy e-=， 由于(0)1y =，所以，1c =，从而所求特解为222x y y e -=．Ⅱ 可化为齐次的微分方程 方程111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠求通解的思路：①解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩得x h y k =⎧⎨=⎩；②令x X h y Y k=+⎧⎨=+⎩，原方程变为1122()a X bY dY f dX a X b Y +=+ （*）；③求方程（*）的通解；④将上通解中的,X Y 分别用,x h y k --代换即得原方程的通解． [例8.1.6] 求微分方程13x y y x y ++'=--的通解．解：解方程组1030x y x y ++=⎧⎨--=⎩得1,2x y ==-令1,2x X y Y =+=-，则原方程变为dY X YdX X Y+=- （*） 令Y u X =，则dY duu X dX dX=+，方程（*）变为21111du u u X u dX u u++=-=-- （**） 可求得方程（**）的通解为21arctan ln(1)ln 2u u X c -+-= 所以方程（*）的通解为221arctan ln()2Y X Y c X -+= 因此原方程的通解为： 2221arctan ln(245)12y x y x y c x +-+-++=-． Ⅲ 贝努利方程贝努利方程()()(0,1)n y P x y Q x y n '+=≠求通解的思路：① 令1n z y -=，则原方程化为(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=- （*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的z 用1ny -代换即得原方程的通解．[例8.1.7] 求微分方程43sec tan y y x y x '-=的通解． 解：令3z y -=，所给方程化为一阶线性方程为：sec tan dzz x x dx +=- 新方程的通解为 c o s 1s i n()1sin cos cos x x z x c x x x=--+++ 因此原方程的通解为 3c o s 1s i n ()1sin cos cos x x y x c x x x-=--+++． [例8.1.8] 求方程2223(23)0dy x x y xy y dx--+=的通解． 解：若将x 看成自变量，y 看成因变量，则是不为我们熟习的基本类型．此时交换自变量与因变量的位置得2223230x x y xy dxy dy--+=，即22332()dx x x dy y y y -=- 这是贝努利方程，令1z x=，则上方程变为32123dz z dy y y y+=- 上方程为一阶线性微分方程，通解为()()[()]p y dyp y dyz e Q y e dy c -⎰⎰=+⎰12[3ln ]y c y y=--+ 所以原方程通解为23ln y y c x y=--+． 评注：在判定一个方程是否为贝努利方程时，应注意适当选择变量作函数． Ⅳ 其它情形 [例8.1.9] 求微分方程2221dy x y dx y x -+=-+的通解． 分析：此微分方程的形式类似于[例8.1.6]，但21021-=-，不是可化为一阶齐次的情形．解：作代换2x y u -=，则2dy du dx dx =-，于是方程化为 221du u dx u +-=-，即31du u dx u =- 这是变量可分离的方程，容易求得其通解为 1ln 3u u x c -=+ 用2u x y =-回代，得原方程的通解为 ln 2y x x y c ++-=．[例8.1.10] 求微分方程22()()0y xy dx x x y dy ++-=的通解．分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的类型，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成(1)(1)dy y xy dx x xy +=- 发现方程右端的分子分母中都含有xy 的一次式，这就启示我们，可考虑尝试变量代换xy u =，此时21()dy du x u dx x dx=⋅-，原方程变为 221(1)()(1)du u u x u x dx x u +⋅-=-，即221du u x dx u =- 这是可分离变量的方程．易求得其通解为 21ln ln u cx u+=所以原方程的通解为 1xy xc e y=．[例8.1.11] 求微分方程(1)yx dye xe dx-+=的通解． 分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的六种类型之一，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成1x y dyxe dx+=- 方程的右端含有x y +，可考虑尝试变量代换u x y =+，此时1dy du dx dx=-，于是方程化为u duxe dx= 这是变量可分离的方程，易求得其通解为 212ue x c --=+ 从而原方程的通解为 ()2102x y ex c -+++=． 四、全微分方程全微分方程求通解可以利用公式求，也可以将方程化为0du =，从而得到通解(,)u x y c =．[例8.1.12] 求微分方程2322(2sin 3)(cos )0x y x y dx x x y y dy ++++=的通解．解：令2322(,)2sin 3,(,)cos P x y x y x y Q x y x x y y =+=++，则它们在整个平面上都有连续一阶偏导数，且22cos 3P Q x y x y x∂∂=+=∂∂，故方程是全微分方程，它的通解为0(,0)(,)xy P x dx Q x y dy c +=⎰⎰，即3231sin 3x y x y y c ++=．[例8.1.13] 求微分方程224(144)0xdx y x y y dy +++=的通解． 解：这不是全微分方程．将其改写成3224()0xdx ydy y x y dy +++= 方程有积分因子221(,)u x y x y =+，用它乘方程的两端得32240xdx ydy y dy x y++=+即有 2241[ln()]02d x y y ++= 所以原方程通解为2241ln()2x y y c ++=． [例8.1.14] 设()f x 有一阶连续导数，(0)1f =，又设2()(()2)0y xy dx f x xy dy +++=是全微分方程，求()f x 及该全微分方程的通解． 解：由题设知2(()2)()f x xy y xy x y∂∂+=+∂∂ 即 ()f x x '=，所以21()2f x x c =+ 又(0)1f =，从而1c =，故21()12f x x =+．代入原方程，得221()(21)02y xy dx x xy dy ++++=从而可得 221()02d xy x y y ++=所以原方程的通解为 2212xy x y y c ++=．五、一阶微分方程综合题型Ⅰ 由自变量的改变量与函数改变量的关式式确定的方程此类题的解题思路：① 由导数的定义，通过所给关系式，建立微分方程；②求解微分方程．[例8.1.15] 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量()1yy x o x x∆=∆+∆+(0)x ∆→， (0)1y =，则(1)y =（A ）1- （B ） 0 （C ）1， （D ）2解：由于()1yy x o x x∆=∆+∆+，所以 ()1y y o x x x x∆∆=+∆+∆ 上是两端令0x ∆→可得1y y x'=+这是变量可分离的一阶微分方程，其通解为(1)y c x =+， 又因为(0)1y =，所以1c =，从而(1)2y =，故应选（D ）． [例8.1.16] 设()y y x =满足21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，且(0)0y =，则1()_____y x dx =⎰．解：由于21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，所以21()2y x o x x x x x∆-∆=+∆∆- 因此上式中令0x ∆→可得212x y x x-'=-，于是 22y x x C =-+又(0)0y =，从而0c =， 所以22y x x =-．故11122000()21(1)y x dx x x dx x dx =-=--⎰⎰⎰1sin 02202cos cos cos 4x tt tdt udu πππ-=-===⎰⎰．Ⅱ 积分方程求解积分方程的一般思路：①积分方程两端求导数，去掉方程中的积分号，然后化成微分方程；②对微分方程求解（一般情况下是求特解）． [例8.1.17] 已知()f x 满足0()()xf x x f x t dt =+-⎰，则()______f x =．解：由于0()()xf x x f x t dt =+-⎰，令x t u -=可得()()x f x x f u du =-⎰上式两端对x 求导得()1()f x f x '=+这是一阶线性微分方程，求得其通解为()1xf x ce =-， 由积分方程可得(0)0f =，从而1c =，故()f x =1xe -．[例8.1.18] 设()f t 连续，且2222()()[1]Df x y f t x dxdy x y +=++⎰⎰，其中 222:,0,0.(0)D x y t x y t +≤≥≥>，求()f x ．解：由于22222200()()()[1]cos [1]t Df x y f r f t x dxdy d r rdr x y r πθθ+=+=++⎰⎰⎰⎰ 2220cos ()cos ttd r dr d f r dr ππθθθθ=+⎰⎰⎰⎰3()3t t f r dr =+⎰ 所以 3()()3t t f t f r dr =+⎰上式两端求导可得：2()()f t t f t '=+，且(0)0f = 微分方程是一阶线性微分方程，可求得其通解为2()(22)t t t t f t e t e te e c ---=---+，由(0)0f =可得2c =，所以2()(222)x x x x f x e x e xe e ---=---+．Ⅲ 含分段函数的微分方程含分段函数的微分方程解题思路：①在分段函数定义域内的不同段上分别求微分方程的通解；②利用方程通解的连续性，确定不同段上对应的通解中的任意常数之间的关系；③写出微分方程的通解．[例8.1.19] 设有微分方程2()y p x y x '+=，其中1,1()1,1x p x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求在(,)-∞+∞内的连续函数()y y x =，使其满足所给的微分方程，且满足条件(0)2y =．解：当1x ≤时，微分方程为2y y x '+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为2211()[(22)]dx dx x xy e x e dx c e x x e c --⎰⎰=+=-++⎰当1x >时，微分方程为21y y x x'+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 11241211()()4dx dx xx y ex e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰ 由于方程的解在点1x =处连续，所以2111lim [(22)]lim x xx x e x x e c -+-→→-++=4211()4x c x + 从而12134c c e -=+所以原方程通解为23122,1113(),144x x x ce x y x ce x x --⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩ 由于(0)2y =，所以0c =，所以满足条件的函数为2322,113,144x x x y x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩． Ⅳ 已知函数在一点可导，求函数表达式此类题解题思路：①利用导数的定义，建立所求函数的微分方程；②求解该微分方程． [例8.1.20] 已知()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且对任意,x y 满足()()()y x f x y e f x e f y +=+又()f x 在0x =可导，(0)f e '=，求函数()f x ． 解：由()()()y x f x y e f x e f y +=+，可得(0)0f =()()()limx f x x f x f x x→+-'=0()()()l i m x x x e f x e f x f x x →+-=0(1)()[()(0)]l i mx x x e f x e f x f x→-+-=1()(0)()xx f x e f f x e +'=+=+所以建立函数的微分方程为1()()x f x f x e+'=+，且(0)0f =这是一阶线性微分方程，可求得其通解为 1()x x f x xece +=+由(0)0f =，可得0c =，所以1()x f x xe +=．§8.2 可降阶的高阶微分方程 本节重点是三种特殊类型的高阶微分方程的解法．● 常考知识点精讲一、形如()()n y f x =的可降解这类微分方程用降阶法只要积分n 次就得到方程的通解． [例2.1] 求微分方程x y xe '''=的通解．解： 1x x xy xe dx xe e c ''==-+⎰112()2x x x xy xe e c dx xe e c x c '=-+=-++⎰2121231(2)32x x x xy xe e c x c dx xe e c x c x c =-++=-+++⎰故微分方程的通解为2123132xxy xe e c x c x c =-+++． 二、不显含函数y 的二阶可降阶的方程 (,)y f x y '''=这类方程特点是不显含y ，若令y p '=，则dpy p dx'''==，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解．三、不显含自变量x 的二阶可降阶的方程 (,)y f y y '''=这类方程特点是不显含x ，若令y p '=，则dp dy dp y p dy dx dy''=⨯=，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解． [例2.2] 求微分方程21yy y '''+=的通解． 解：设y p '=，则dp dy dpy p dy dx dy''=⨯=，原方程化为 21dp ypp dy +=，即21pdp dy p y=- ⑴ 当1y p '=>时，211ln(1)ln ln 2p y c -=+，即2211()p c y -= 所以 211()dyc y dx=±+ ① 1y '>时 ，211()dy c y dx =+， 即211()dy dx c y =+21112ln(1())c y c y c x c ++=+所以 1212()12c x c c x c e e c y +-+-=②1y '<-时，211()dy c y dx =-+， 即211()dy dx c y =-+21112ln(1())c y c y c x c ++=-+所以 1212()12c x c c x c e e c y -+--+-=⑵ 当1y p '=<时，21pdp dy p y -=-，即221(1)21d p dyp y -=- 211ln(1)ln 2p c y -=，即2211()p c y -= 211()dyc y dx=±- ① 当01y <<时，211()dy c y dx =-，即211()dy dx c y =-所以 112sin()c y c x c =+ ② 当10y -<<时，211()dy c y dx =--，即211()dydx c y =--所以 112sin()c y c x c =-+．●● 常考题型及其解法与技巧一、方程()()n y f x =此类微分方程求通解一般思路：方程两端分别积分n 次，即得通解，注意每积分一次要加上一个任意常数． [例8.2.1] 求微分方程211y x'''=+的通解． 解：方程两边积分可得 12arctan 1dxy x c x ''==++⎰再积分得1arctan y xdx c x '=+⎰12arctan 1xx x dx c x x =-++⎰ 2121arctan ln(1)2x x x c x c =-+++继续积分一次，得方程通解为 2121(arctan ln(1))2y x x x c x c dx =-+++⎰222221222111arctan ln(1)221212c x x x x dx x x dx x c x x x =--++++++⎰⎰ 222123111arctan ln(1)(arctan )2222c x x x x x x x c x c =-++-+++． 二、方程(,)y f x y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)p f x p '= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F x C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.2] 求方程ln()y xy y x''''=的通解 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为 ln pxp p x'= （*） 方程（*）是齐次方程，令pu x=，则方程（*）变为 ln duu x u u dx+= （**） 方程（**）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 1ln 1u c x =+ 从而 11c xy xe +'=于是原方程的通解为111112211(1)c xc x y xedx c x e c c ++==-+⎰． [例8.2.3] 求微分方程22()0y x y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==-的特解． 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为220p xp '+= （*）方程（*）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 211p x c =-由1(0)2y '=-，得12c =，即有 212y x '=- 所以 2212ln 2222dx x y c x x -==+-+⎰由(0)1y =可得21c =，故原方程的特解为 12ln1222x y x -=++．[例8.2.4] 0x →时，方程2(32)6x y xy '''+=与1xe -等价无穷小的解是____．解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为2(32)6x p xp '+=， （*） 方程（*）是变量可分离的一阶微分方程，可求得通解为21(32)p c x =+，即21(32)y c x '=+ 所以原方程通解为 31122y c x c x c =++．又由33211211211000221lim lim lim(32)1x x x x c x c x c c x c x c c x c e x →→→++++===+-，可得 2110,2c c ==，故所求特解为312y x x =+． 三、方程(,)y f y y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)dppf y p dy= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F y C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.5] 设函数()y x 在区间[0,)+∞上有连续导数，并且满足关系式 0()12()()()xy x x x t y t y t dt '=-++-⎰求()y x ．解：对所给方程变形()12()()2()()xxy x x x y t y t dt ty t y t dt ''=-++-⎰⎰方程两端对x 求导得()12()()xy x y t y t dt ''=+⎰继续求导得()2()()y x y x y x '''=，(0)1,(0)1y y '=-= 微分方程不显含自变量x ，令p y '=，方程可化为 2dpppy dy= 这是变量可分离的微分方程，求得通解为21p y c =+，即21y y c '=+ 由(0)1,(0)1y y '=-=可得，10c =，从而2y y '=，所以21y x c =-+． 再由(0)1y =-，得21c =，故函数11y x =-+为所求特解．§8.3 高阶线性微分方程本节重点是高阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程．● 常考知识点精讲一、线性微分方程的概念形如()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的微分方程称为n 阶线性微分方程．当()(1,2,3,)i p x i n = 都是常数时，又称方程为n 阶线性常系数微分方程．若方程右端的函数()f x 恒为零，则方程称为n 阶线性齐次微分方程，否则称为n 阶线性非齐次微分方程．二、线性微分方程解的结构定理1：设12,y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的两个解，则1122y c y c y =+也是该方程的解，这里12,c c 是任意常数． 定理2：设12,,,n y y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的n 个线性无关的解，则1122n n y c y c y c y =+++ 是该方程的通解，这里12,,n c c c 是任意常数．定理3：如果1y 是方程()(1)(2)121()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，2y 是方程()(1)(2)122()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，则12y y +是方程 ()(1)(2)1212()()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x f x --++++=+ 的解．定理4：设*y 是非齐次线性方程()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的一个特解，1122n n c y c y c y +++ 是该非齐次方程对应的齐次方程的通解，则该非齐次方程的通解为*1122n n y c y c y c y y =++++[例3.1] 设1()y x ，2()y x 为二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则由1()y x ，2()y x 能构成该方程的通解，其充分条件是（A ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-= （B ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠ （C ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+= （D ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+≠ 解：1()y x ，2()y x 能构成线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=通解的条件是二者线性无关，即12()()y x k y x ≠（常数），所以12()[]0()y x y x '≠，即1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠，故应选（B ）． 三、常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为：0y py qy '''++=，其中,p q 为常数，其特征方程为 20p q λλ++=方程通解为：⑴ 特征方程有两个相异的实根12,λλ时，通解形式为1212()xxy x C e C eλλ=+⑵ 特征方程有两个相同的实根12λλ=时，通解形式为 212()()xy x C C x eλ=+⑶ 特征方程有一对共轭复根i αβ±时，通解形式为 12()(cos sin )x y x e C x C x αββ=+ 2．n 阶常系数齐次线性方程此种方程的一般形式为：()(1)(2)120n n n n y p y p y p y --++++= ，其中(1,2,)i p i n = 为常数，相应的特征方程为：1110n n n n p p p λλλ--+++= 特征根与通解的关系为：⑴ 若12,,n λλλ 是n 个互异实根，则方程通解为 1212()n x xxn y x C e C eC e λλλ=+++⑵ 若0λλ=为特征方程的()k k n ≤重实根，则方程通解中含有： 0112()xk k C C x C x eλ-+++⑶ 若i αβ±为特征方程的k 重共轭复根，则方程通解中含有111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--+++++++四、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性线性方程一般形式为()y py qy f x '''++=其中,p q 是常数根据线性微分方程解的结构，该方程的通解为对应齐次方程的通解加上自身的一个特解．其对应齐次方程的通解上面已讨论过了，现在只要求出该方程的一个特解问题就解决了． 下面介绍求特解*y 的待定系数法：⑴ 若()()x m f x P x e α=其中()m P x 为x 的m 次多项式，则待定特解*y 形式为 *()kxm y x Q x eα=其中()m Q x 是与()m P x 同次的多项式，调节系数0,12k ααα⎧⎪=⎨⎪⎩当不是特征方程的特征根，当是特征方程的单特征根，当是特征方程的二重特征根将*()k x m y x Q x e α=代入方程()y py qy f x '''++=，就可以求出()m Q x ．⑵ ()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中()n P x ，()m Q x 分别为x 的n 次，m 次多项式，则有*[()cos ()sin ]k x l l y x e M x x N x x αββ=+其中{}max ,l m n =，()l M x ，()l N x 是两个待定的l 次多项式，调节系数 0,1i k i αβαβ+⎧=⎨+⎩当不是特征方程特征根时，当是特征方程特征根时[例3.2] 求下列方程的一个特解⑴x e x y x y x y 3)(9)(6)(-=+'+'' ⑵sin x y y e x ''+= 解：⑴ 特征方程为2690λλ++=，特征根为123λλ==-．由于方程的非齐次项形如()()x m f x P x e α=，设待定特解为*23xy Ax e-=，代入原方程得332xx Ae e --=，从而12A =． 故方程的一个特解为2312x y x e -=⑵ 特征方程为210λ+=，特征根为12i λ=±．由于方程的非齐次项形如()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中1,1αβ==，0m n ==，因此1i i αβ±=±不是特征根，所以原方程有形*()(sin cos )xy x B x A x e =+形式的特解，代入原方程得[(2)cos (2)sin ]sin xxxe B A x B A x e e x ++-=所以 22052115A B A B A B ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，故原方程的一个特解为*12()(sin cos )55x y x x x e =-． 五、欧拉方程（仅适用数一）形如()1(1)2(2)121()n n n n n n n n x y p x y p x y p xy p y f x -----'+++++= 的方程为欧拉方程．这个方程可以通过变换tx e =化为以t 为自变量的常系数线性方程，求出后代回原来的变量即得欧拉方程的解．●● 常考题型及其解法与技巧一、线性微分方程解的结构定理[例8.3.1] 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 都是二阶线性非齐次方程()y p x y '''++()()q x y f x =的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为（A ）11223c y c y y ++ （B ） 112212()c y c y c c y +-+ （C ）1122123(1)c y c y c c y +--- （D ） 1122123(1)c y c y c c y ++-- 解：（A ）中因为12,y y 不是该二阶线性非齐次方程对应的齐次方程的解，所以（A ）被排除； （B ）中1122123113223()()()cy c y c c y c y y c y y +-+=-+-它仅是对应齐次方程的通解，故（B ）被排除；（C ）中11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y +---=+++-的3y -不是该非齐次方程的特解，113223()()c y y c y y +++也不是对应的齐次方程的通解，故仍排除，由排除法可得应选（D ）．事实上，11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y ++--=-+-+，由解的结构定理可知，它是该非齐次方程的特解．[例8.3.2] 已知221233,3,3x y y x y x e ==+=++都是微分方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则该方程的通解为______ 解：根据解的结构定理方程的通解为121232112()()3x y C y y C y y y C x C e =-+-+=++．[例8.3.3] 已知微分方程(21)"(42)'80x y x y y ++--=有多项式形式的特解和形如mxe (m为常数)的特解，求该方程通解． 解：设mxy e=是方程的解，代入原方程得：2[(21)(42)8]0mx m x x m e ++--=所以22240280m m m m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，从而2m =-，因此2x y e -=是方程的一个解；又设2012(),(0)n n n P x a a x a x a x a =+++≠ 是方程的解，代入原方程得223(21)(232(1))n x a a x n n x -++⨯+-+112(42)(2)n n x a a x na x --++ 20128()0n n a a x a x a x -+++=所以(48)0n n a -=，由于0n a ≠，从而2n =．设2012()Q x a a x a x =++是方程的解，代入原方程可得2212012(21)2(42)(2)8()0x a x a a x a a x a x ++-+-++=所以10a =，204a a =，因此可取2()41Q x x =+为方程的一个解． 根据解的解构定理，原方程的通解为2212(14)x y C e C x -=++． [例8.3.4] 设二阶常系数线性微分方程"'x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1),x x y e x e =++试确定,,αβγ并求通解． 解：由于2(1),xx y e x e =++是方程"'x y y y e αβγ++=的一个解，将其代入原方程可得222(43)(22)()xx x x x xx xx xee x e e e x e e e x e eαβγ++++++++=所以 4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩321αβγ=-⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩．原方程变为"3'21xy y y e -+=-，所以通解为 212xx y c e c e=++2(1)x x e x e ++．二、高阶常系数线性齐次方程[例8.3.5] 求微分方程20y ky y '''++=的通解，其中k 为实常数． 解：所给微分方程的特征方程2210k λλ++=的两个特征根为221,224412k k k k λ-±-==-±-当1k >时，方程通解为22(1)(1)12k k xk k xy c ec e -+----=+；当1k =时，方程通解为12()kx y c c x e -=+； 当1k <时，方程通解为2212(cos 1sin 1)kxy ec k x c k x -=-+-．[例8.3.6] 设函数()y y x =满足440,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===，则()_____y x dx +∞=⎰．解：特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，所以方程的通解为 212()x y c c x e -=+设()y x 是方程440y y y '''++=解，显然有lim ()0,lim ()0x x y x y x →+∞→+∞'==所以()4()4()0y x dx y x dx y x dx +∞+∞+∞'''++=⎰⎰⎰，即(0)4(0)4()0y y y x dx +∞'--+=⎰，故1()4y x dx +∞=⎰． [例8.3.7] 求微分方程(4)340y y y ''--=的通解．解：所给微分方程的特征方程为42340λλ--= 特征根1,22λ=±，3,4i λ=±，故方程的通解为221234cos sin x x y c e c e c x c x -=+++三、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程求通解的一般方法：①先求出对应齐次方程的通解Y ；②求出方程的一个特解*y ，则通解*y Y y =+． [例8.3.8] 求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解解：相应的齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，特征根为121,2λλ==，故对应齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+设*()x y x ax b e =+是原方程的一个特解，代入原方程得 (22)x x ax a b e xe -+-=于是21,20a a b -=-=，即12a =-，1b =-，故*1(1)2xy x x e =-+． 所以原方程的通解为 2121(1)2x x xy c e c e x x e =+-+．[例8.3.9] 求微分方程44ax y y y e '''++=的通解，其中a 为实数．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，故对应齐次方程的通解为212()x Y c c x e -=+当2a ≠-时，设*ax y Ae =是原方程的一个特解，代入原方程得 2(44)ax ax A a a e e ++= 于是21(2)A a =+，故*21(2)ax y e a =+，所以原方程的通解为 21221()(2)xaxy c c x e e a -=+++ 当2a =-时，设*22xy Bx e -=是原方程的一个特解，代入原方程得222xx Be e --=于是12B =，故*2212x y x e -=，所以原方程的通解为 222121()2xx y c c x e x e --=++[例8.3.10] 求方程2sin y a y x ''+=的通解，其中常数0a >．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为220a λ+=，特征根为1,2ai λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c ax c ax =+当1a ≠时，设*sin cos y A x B x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 22(1)sin (1)cos sin A a x B a x x -+-=于是211A a =-，0B =，故*21sin 1y x a =-，所以原方程的通解为 1221cos sin sin 1y c ax c ax x a =++- 当1a =时，设*sin cos y Ax x Bx x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 2cos 2sin sin A x B x x -=于是10,2A B ==-，故*1cos 2y x x =-，所以原方程的通解为 121cos sin cos 2y c ax c ax x x =+-．[例8.3.11] 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解分析：右端的函数是两项的和，因此方程特解是y y x ''+=和cos y y x ''+=相应特解的和． 解：相应的齐次方程的特征方程为210λ+=，特征根为1,2i λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+设方程y y x ''+=的特解为*1y ax b =+，代入方程得ax b x +=于是1,0a b ==，故*1y x =；设方程cos y y x ''+=的特解为*2sin cos y mx x nx x =+，代入方程得2cos 2sin cos m x n x x -=于是1,02m n ==，故*21sin 2y x x =． 綜上可得***121sin 2y y y x x x =+=+是原方程的一个特解，所以原方程通解为121cos sin sin 2y c x c x x x x =+++．四、欧拉方程欧拉方程求通解的思路：①令tx e =将自变量由x 换成t ，得到一个关于y 与t 的微分方程，新的微分方程为常系数线性方程；②求新方程的通解；③上通解中将t 用ln x 代回，得原方程的通解．[例8.3.12] 设0x >，微分方程2222x y xy y x '''-+=+的通解为____．解：这是欧拉方程．设tx e =，记dD dt=，则2,(1)xy Dy x y D D y ''==-，从而原方程变为2322t D y Dy y e -+=+ （*）它对应的特征方程为2320r r -+=，特征根为121,2r r ==，于是方程（*）对应的齐次方程的通解为212t t Y c e c e =+设*t y Ate B =+是方程（*）的特解，代入（*）得 22ttAe B e -+=+于是1,1A B =-=，故*1t y te =-+，所以方程（*）的通解为2121t t t y c e c e te =+-+故原方程的通解为 212ln 1y c x c x x x =+-+．五、常系数线性微分方程反问题Ⅰ 已知常系数齐次线性微分方程特解，求微分方程解此类题一般思路：①由给出的特解确定出特征根；②由特征根导出特征方程；③由特征方程导出常系数线性齐次方程[例8.3.13] 设12(sin cos )x y e c x c x =+（12,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次方程的通解，则该方程为______．解：由已知条件可得，函数sin xe x ，cos xe x 是所求二阶常系数线性齐次方程的特解，从而1i ±是方程对应的特征方程的特征根，因此方程的特征方程为2(1)10λ-+=． 故所求二阶常系数线性齐次方程为 220y y y '''-+=．[例8.3.14] 以四个函数1()x y x e =，2()2x y x xe =，3()3cos3y x x =，4()4sin3y x x =为解的四阶常系数线性齐次方程是_____．解：由于所给四个函数线性无关且明显分为两组1()xy x e =、2()2x y x xe =；3()3cos3y x x =、4()4sin3y x x =．于是所求微分方程的特征方程的特征根为1,21λ=，3,43i λ=±，从而方程的特征方程为22(1)(9)0λλ-+=，即4322101890λλλλ-+-+=．故所求四阶常系数线性齐次方程是(4)(3)2101890y y y y y '''-+-+=． Ⅱ 已知线性方程的通解，求微分方程[例8.3.15] 以2212()x y C C x x e -=++（其中12,C C 为任意常数）为通解的二阶线性微分方程为____． 解：建立方程组22122212222122()(2222)(444482)x xx y C C x x e y C C x x C x ey C C x x C x e ---⎧=++⎪'=---++⎨⎪''=++--+⎩，由此可得 222(2)x y y C x e -'+=+ （1） 224(482)x y y C x e -''-=--+ （2）所以4(1)(2)+得2442x y y y e -'''++=这就是所求的二阶线性微分方程．六、高阶线性微分方程综合题[例8.3.16] 设()f u 有连续的二阶导数，且(sin )xz f e y =满足方程22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ．解：令 sin xu e y =，则()sin (),cos ()x x zzf u e y uf u e yf u x y∂∂'''===∂∂； 222()()z f u u f u u x ∂'''=+∂， 2222()()cos x z uf u f u e y y∂'''=-+∂． 所以：22222()xz z f u e x y∂∂''+=∂∂，由已知条件得：22()()x x f u e f u e ''=，即()()f u f u ''=，从而12()uuf u c e c e-=+．[例8.3.17] 作变换tan t x =把微分方程2422cos 2cos (1sin cos )tan d y dyx x x x y x dx dx+-+=变换成y 关于t 的微分方程，并求原微分方程的通解．解：2(sec )dy dy dt dy x dx dt dx dt =⨯=，2224222sec tan sec d y dy d y x x x dx dt dt=+ 所以原方程变为222d y dyy t dt dt++=．解之得12()2t y c c t e t -=++- 故原方程的通解为tan 12(tan )tan 2x y c c x e x -=++-． [例8.3.18] 设连续函数()f x 满足关系式0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x ．解：这是含“变上限定积分”的方程，首先去掉被积函数中的参变量得 0()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰ （1）（1）式两端对x 求导得 0()cos ()xf x x f t dt '=-⎰（2）（2）式两端对x 求导得()sin ()f x x f x ''=-- （3） 由（1）、（2）可得(0)0,(0)1f f '==可求得方程（3）的通解为12()cos sin cos 2xf x C x C x x =++ 由(0)0,(0)1f f '==可得1210,2C C ==，从而1()sin cos 22xf x x x =+．[例8.3.19] 设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解． 解：微分方程是全微分方程的充要条件是2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂， 即2()()f x f x x ''+=， 求得其通解212()cos sin 2f x c x c x x =++-． 再由初始条件(0)0,(0)1f f '==定得2()2cos sin 2f x x x x =++-．于是原方程成为22[(2cos sin )2](2sin cos 2)0xy x x y y dx x x x x y dy -+++-+++=可求得此方程的通解为2212(2sin cos )2x y xy x x y c ++-+=．§8.4 微分方程的应用● 常考知识点精讲一、微分方程的应用1．几何上的应用在一定的已知条件下求曲线的微分方程．而这些已知条件往往涉及到与导数密切相关的曲线切线、法线、曲率、弧长及曲线所围面积等概念与性质． 2．力学上应用主要利用牛顿第二定律建立微分方程来求质点的运动规律或运动速度． 3．其它应用利用一些基本定理或由变化率问题引出的微分方程．二、用微分方程解决实际问题的步骤一是根据相关条件，建立微分方程，与此同时，一般还要找出相应的初始条件；二是判定微分方程的类型，求解微分方程．●● 常考题型及其解法与技巧一、几何上的应用Ⅰ 导数几何意义的应用[例8.4.1] 若一条曲线上任一点(,)M x y 处的切线斜率为2()xyx y +，且过点1(,1)2，求此曲线方程．又当x 取何值时 ，切线的斜率为14． 解：所求曲线方程为下列定解问题的解21,()1()2dy xy y dx x y ==+ 令xv y=，方程可化为 21dv v ydy v+= （*） 可求得方程（*）的通解为2121v yv c e +=从而原方程的通解为2432xyy xy Ce+=，由1()12y =，得2c e =，故所求曲线方程为24322xy y xy e e+=。

第八章 常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。

二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。

三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。

四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。

五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。

会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。

六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。

所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。

关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。

【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。

【典型例题】。

的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。

的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。

下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。

授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。

它表达了未知量所必须满足的某种条件。

根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。

一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。

二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。

类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。

其中F 是n +2个变量的函数。

这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。

例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。