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应用微分证明不等式的方法与技巧张海芳【摘要】证明不等式的方法多种多样，其中应用微分证明不等式就是比较经典的方法之一。
本文就以微分为工具，详细讨论了如何证明不等式的方法、技巧，并举例分析应用，且进行了归纳总结。
【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)014【总页数】2页(P42-43)【关键词】不等式;微分;导数【作者】张海芳【作者单位】滇西科技师范学院【正文语种】中文众所周知，不等式是继函数与方程之后的一个重要知识点，其在函数性质的研究、微分方程的求解、数值计算、数值估计、计算方法、数据挖掘、数理与统计、图像处理等方面起着重要的作用，而不等式的求解与证明一直是初等数学的难点，怎样快速有效地求解与证明不等式，就显得极为重要了。
证明不等式的方法多种多样，针对不同类型的不等式，其证明的方法也不同，本文中主要考虑的是在不等式中的函数有较好性质时的情形，例如要求函数可导、可微、有单调性等性质，主要用到的方法有：用导数的定义证明不等式、用可导函数的单调性证明不等式、用函数的极值与最大(最小)值证明不等式等，并详细讨论了如何证明不等式的方法、技巧，并举例分析应用，且进行了归纳总结。
证明方法根据：导数定义。
例1 设函数(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx,a1,a2,…an为实数，n为正整数，对任意的实数x，有|(x)|≤|sinx|，证：|a1+2a2+…+nan|≤1。
证明因为'(x)=a1cosx+a2cos2x+…nancosnx，则'(0)=a1+2a2+…+nan由导数的定义，|'(0)|由于|(x)|≤|sinx|，所以，即证明方法：找出辅助函数(x)，确定闭区间[a,b]；找辅助函数的几种办法：用不等式两边差；用不等式两边相同“形式”的特征；如果要证明的不等式有幂指函数，可以把其化为便于证明的式子，再结合不等式的特点，求辅助函数。
高中数学不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，也是解决实际问题的重要工具。
在高中数学中，学习不等式的知识是非常必要的。
本文将对高中数学不等式的知识点进行总结。
一、不等式的基本概念不等式是数学中描述两个数或两个式子大小关系的一种表示方法。
常见的不等式包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数、次数为1的不等式。
解一元一次不等式的方法和解一元一次方程类似，可以通过加减法、乘除法进行变形。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个未知数、次数为2的不等式。
由于一元二次不等式的图像是一个抛物线，并且可以通过求函数的最值来解决不等式，所以解一元二次不等式的方法较为灵活。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指包含绝对值的不等式。
解绝对值不等式时，需要对绝对值进行分类讨论，并利用绝对值的性质进行求解。
另外，当绝对值中含有未知数时，还需要根据未知数所在的范围进行讨论。
五、有理不等式有理不等式是指不等式中含有有理式（即有理数和代数式）的不等式。
对于有理不等式的解集求解，需要借助分式的性质和一元一次不等式的解法。
六、不等式的性质不等式有许多重要的性质，这些性质在求解不等式时起到非常重要的作用。
常见的不等式性质包括：1. 加减法性质：对不等式的两边同时加减一个数，不等号方向不变；2. 乘除法性质：对不等式的两边同时乘除一个正数，不等号方向不变；但对一个负数进行乘除操作时，需要改变不等号的方向；3. 倒数性质：如果两个数的倒数大小关系相反，那么这两个数的大小关系也相反；4. 平方性质：对非负实数的平方操作，不改变它们的大小关系；5. 倒数平方性质：对正实数的倒数平方操作，改变它们的大小关系；6. 同底指数性质：对于正实数的指数幂操作，不改变它们的大小关系。
七、不等式的应用不等式在实际生活中有广泛的应用，尤其在解决数学建模问题时起到关键作用。
一元二次函数、方程和不等式一、教材分析：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.《一元二次函数、方程和不等式》这一章内容是安排在“集合”之后，“函数”之前.本章有“等式性质与不等式性质”、“基本不等式”、“二次函数与一元二次方程、不等式”三节内容。
通过学生易于接受的“等式性质与不等式性质”进入本章节的学习，继而借助前面不等式的性质的学习，引出“基本不等式”，再以二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.同时，此部分内容又培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想.二、学情分析：学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题.但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.三、章节学习目标：学习目标核心素养1.通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用.数学建模2.掌握比较法的解题步骤.数学运算3.理解不等式的性质及证明.逻辑推理4.从数与形的角度体会基本不等式的证明方法.直观想象5.注重基本不等式的变形，求最值的关键是“拼”“凑”“拆”数学运算6.熟练掌握用基本不等式证明不等式.逻辑推理7.体会从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.数学抽象8.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.直观形象9.会解一元二次不等式，能够利用一元二次不等式解决一些实际问题.数学运算、数学建模2.2基本不等式（2课时）教学目标：1.理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.2.能够整理并建立不等式的知识链.3.通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识.教学重难点：重点：基本不等式的内容及其证明；应用基本不等式求解最值.难点：基本不等式的理解与证明；运用基本不等式解答实际问题；不等式知识链的建立.教学过程：一导入（温故而知新）：回顾旧知：重要不等式： 2+ 2≥2 （a,b∈R）当且仅当 = 时，等号成立.问题1:当 、 都是正数时，如果对重要不等式中的 、 进行开方运算，那么你会得到什么结论呢？利用旧知探索新知，便于提高学生的学习自信，利于培养学生知识迁移、探索的能力.公式辨析：1.已知 , ∈ ，且 >0，则下列结论恒成立的是（）A. 2+ 2>2B.2 ≤ +B.1 +1 >2 D. + ≥22.已知x>−1,求 2+7 +10 +1的最小值.不等式的“一正，二定，三相等”.四数学生活化：例3.（1）用篱笆围一个面积为100 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）有一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池使总造价最低？最低总造价是多少？解决实际生活中的问题，把数学生活化，增强学生学习数学的兴趣.培养阅读理解能力，知识的灵活应用能力.五课堂小结：给出小结框架，让学生自己总结.（主要从两个方面进行总结：知识+能力）培养学生总结的能力.将知识进行内化，形成知识链.六课后作业：以书后练习和习题册为主.回归教材，吃透书本.七板书设计：标题知识点例题演算八教学反思：主要从以下几点进行反思：1.学生对新知的接受情况；2.课堂的实施情况；及时进行反思，不断反思，不断进步.3.教师的教学方法，学生的学习方法；4.教学内容的设置.。
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学必修1知识难点总结高中数学必修一作为高中学生必须掌握的重要学科之一，其内容广泛，难度较大。
其中涉及到了很多重要的知识点，以下是笔者针对这些知识点的难点进行的总结。
1.方程与不等式：方程和不等式是高中数学必修1中难度较大的部分，它们是数学分析和解决实际问题的重要工具。
而其中又以一次方程和一次不等式最为基础，理解和掌握其解法是学习这一部分知识的关键。
此外，二次方程和二次不等式也是难点，其解的方法不仅多样，且常涉及高中数学中其他知识点的关联，因此也需要学生投入大量时间和精力去掌握。
2.函数：函数是高中数学必修1中最主要的部分之一，是整个数学课程的重中之重。
函数可以用来总结和反应实际问题中的某些规律，是数学与实际生活相结合的一个重要工具。
而其中又以幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等更为常见且重要的知识点最为难以掌握，这些函数不仅是高中数学的重要内容，同时也是高考中经常涉及的复杂题型，因此学生需要针对这些知识点进行重点练习和深入理解。
3.几何：高中数学必修1涉及到的几何部分有很多内容，如直线与角、三角形、四边形和圆等，其中以圆和三角形为难点。
对于圆来说，其性质杂且记忆量大，而对于三角形来说，如线段中线定理、角平分线定理、余弦定理、正弦定理等都是比较抽象的概念，需要学生多加练习，才能掌握。
4.向量：向量是高中数学必修1的新知识，也是比较难理解的一部分。
其涉及到了向量的定义，向量的数量运算、向量的线性运算及向量的应用等多个方面。
需要学生具备很强的空间概念和抽象思维能力，才能够掌握和应用这部分知识。
5.三角函数的图象与性质：三角函数作为高中数学必修1中的重要部分之一，其图象和性质是学习这个领域必不可少的知识点。
但是这部分内容既抽象又复杂，需要学生针对性进行练习和理解，才能够掌握其相关的概念和规律。
6.数列与数学归纳法：数列是高中数学必修1中的一个非常重要的概念，在高考数学中经常涉及。
而数学归纳法则是证明数学命题的常见方法，需要学生掌握其基本思想和应用方法，才能够在数列相关的题型中取得好的成绩。
高一数学必修5不等式知识点总结不等式是高一数学必修5非常重要的概念，有哪些知识点需要了解?下面店铺给大家带来高一数学必修5不等式知识点，希望对你有帮助。
高一数学必修5不等式知识点不等式(inequality)用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex>0 ，2x<3等。
根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式;只要有一边是超越式，就称为超越不等式。
例如lg(1+x)>x是超越不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有：①如果x>y，那么yy;②如果x>y，y>z;那么x>z;③如果x>y，而z为任意实数，那么x+z>y+z;④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;⑤如果x>y，z<0，那么xz由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：柯西不等式：对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≤(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。
主要的有：①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。
高起专《数学》科复习的重点及难点成人高考高起点《数学》科的试题命题工作主要依据是教育部考试中心颁布的《全国各类成人高等学校招生复习考试大纲》，命题的基本思想是重基础、抓素质、考能力，考应用意识，考创新潜质。
重点考察中学数学基础知识基本技能和基本方法。
主要考察中学数学常用的数学基本思想和方法。
命题的基本特点是遵循考纲，内容结构比例恰当，知识点分布均匀，考查全面但不失重点，试题以常规计算题为主，起点放得很低，容易上手做。
命题时充分考虑到成人考生不同学习背景的实际情况，力求增加试题的针对性，能够较好地控制试题的难度。
可以说，成人高考高起点《数学》科考试，基本上是一种水平测试。
《数学》科考试的知识内容共四大部分，即代数、三角、平面解析几何及概率统计初步。
代数部分在考试中约占55%的比例，共五章内容。
分别是第一章集合和简易逻辑，第二章函数，第三章不等式和不等式组，第四章数列，第五章导数。
这里应当着重指出的是：函数知识历来是考试中的重点。
函数中主要涉及到函数的概念、求常见函数定义域，求函数值，用待定系数法求函数解析式，函数的简单性质一奇偶性和单调性的判定，另外还有常见函数，主要是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质。
导数一章是近几年文科《数学》新增加的重点，主要考查求多项式函数的导数及导数的简单应用，如由导数的几何意义求曲线的切线方程，以导数为工具求函数的单调区间和极值，会用导数求闭区间上连续函数的最大值和最小值，及简单的实际应用问题。
三角部分，考试中约占15%的比例，共四章内容，分别是第一章三角函数及其有关概念，第二章三角函数式的变换，第三章三角函数的图象和性质，第四章解三角形。
近几年成人高考试题中逐步缩小三角知识的比重，并且极大地降低了三角试题的难度。
考试重点是在理解三角函数及其有关概念的基础上，主要突出三角函数式的变换，其中包括同角三角函数之间的基本关系式，三角函数诱导公式，两角和两角差的三角函数公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式。
高三不等式必背知识点总结高中数学学科中，不等式是一个重要的内容，也是学习中的重点和难点之一。
在高三阶段，不等式的掌握和运用变得更加关键，它是解析几何、数列等各种数学内容的基础。
下面将对高三不等式的必背知识点进行总结与归纳。
一、基本的不等式关系在不等式学科中，最基础、最重要的关系就是大小关系。
通常使用的符号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
大于号和小于号用于表示严格的大小关系，大于等于号和小于等于号则包含了等于的情况。
二、绝对值不等式绝对值不等式是高三阶段需要掌握的一个重要知识点。
对于任意的实数a，绝对值不等式可以分为三种情况：1. 当a > 0时，|x| > a的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞)；2. 当a = 0时，|x| > a的解集为全体实数集R；3. 当a < 0时，|x| > a的解集为空集。
绝对值不等式的求解需要根据以上三种情况进行分类讨论。
三、一元一次不等式一元一次不等式是最基础的一类不等式之一，在高三阶段需要非常熟练地掌握。
一元一次不等式的求解大致可以分为以下几个步骤：1. 将不等式两边的式子整理为一个多项式，注意保持不等式的方向不变；2. 描述不等式的解集，可以通过解析法或图像法等方式确定解集的范围。
四、二次不等式二次不等式在高三学习中也是一个重点，它的解集常常与多项式的图像、方程的根等有关。
1. 解二次不等式需要先将二次不等式整理为标准形式，即要使得二次项系数大于0。
2. 利用二次不等式的图像特点，以及平方的非负性质，确定解集的范围。
五、分式不等式分式不等式是高三学习中较为复杂的一类不等式，求解分式不等式的一般步骤如下：1. 找到分式不等式的定义域，即分母不能为0的条件；2. 利用分式的性质化简不等式，使其变为分子和分母均不为0的形式；3. 对分子和分母分别进行讨论，找出使得不等式成立的范围。
六、不等式的基本性质在高三学习中，还需要深入了解不等式的一些基本性质，这些性质在解决不等式问题时起到了重要的指导作用。
人教版高三数学必修5知识点：《不等式》知识点总结
数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了人教版高三数学必修5知识点，具体请看以下内容。
(1)不等关系
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
(2)一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例
3)。
(4)基本不等式：。
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(参见例4)。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的人教版高三数学必修5知识点，希望大家喜欢。
9.1.1《不等式及其解集》教学设计【内容】人教版七年级数学下第九章第一节【知识与技能】1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.2.正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”等数学术语.3.理解不等式的解、解集的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否是某个不等式的解.4.能用数轴表示不等式的解集.【过程与方法】经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.【情感、态度与价值观】使学生能独立克服困难,运用知识解决问题，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.教学重点理解不等式、不等式的解和解集,能正确列出不等式.教学难点准确应用不等号,理解不等式的解和解集的意义.学情与教材分析一、学情分析学生在小学对不等量关系、数量大小的比较等知识已经有所了解,但对含有未知数的不等式还是第一次接触，本节就是对“不等式”这一概念进一步明确，使它成为一种有效的数学工具.学生在列不等式时，对数量关系中的“不大于”、“不小于”、“负数”、“非负数”等数学术语的含义不能准确理解，在把用文字语言表述的不等关系转化为用符号表示的不等式时有一定困难,对不等式的解、不等式的解集两个概念容易混淆.二、教材分析不等式是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且也是后面学习函数等知识的基础.它是在学习了一元一次方程、二元一次方程组之后的后续内容，贯穿于数学学习的始终,起着承上启下的作用.本节是本章的第一课时，主要学习四个概念：不等式、不等式的解、解集。
同时渗透建模、类比、分类等思想方法.教学方法：引导发现法教学准备：教具：圆规、三角尺、多媒体及课件。
学具：圆规、三角尺。
教学过程：一创设情景引入新知（一）动画演示情景激趣：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个大人上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，这是什么原因呢？设计意图：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，分析能力，激发他们的学习兴趣问题1：出示图片(多媒体演示): 若设大象的体重为x吨，你能用式子表示图片中两个小朋友的对话吗？问题2：一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50千米。
选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库难点20 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a1. (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明：x 0＜21x . ●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值. 错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0. 技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理. 解：①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h ＞0)得：2121)1(31=⋅=++=hh h h h h V 而 所以V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米.［例2］已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1. (1)证明：|c |≤1；(2)证明：当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x ).命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理g (x )与f (x )的关系.(1)证明：由条件当=1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，取x =0得：|c |=|f (0)|≤1，即|c |≤1.(2)证法一：依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ，所以|c |≤1.当a ＞0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是增函数，于是 g (－1)≤g (x )≤g (1)，(－1≤x ≤1). ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，|c |≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2， 因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是减函数，于是g (－1)≥g (x )≥g (1)，(－1≤x ≤1)， ∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)，|c |≤1 ∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2.综合以上结果，当－1≤x ≤1时，都有|g (x )|≤2. 证法二：∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1) ∴|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，∵f (x )=ax 2+bx +c ，∴|a －b +c |≤1，|a +b +c |≤1，|c |≤1， 因此，根据绝对值不等式性质得： |a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2， |a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2，∵g (x )=ax +b ，∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2，函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线，因此|g (x )|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得，于是由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2，(－1＜x ＜1).)21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三当－1≤x ≤1时，有0≤21+x ≤1，－1≤21-x ≤0， ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，∴|f )21(+x |≤1，|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2. (3)解：因为a ＞0，g (x )在［－1，1］上是增函数，当x =1时取得最大值2，即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2. ① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1，∴c =f (0)=－1. 因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图象的对称轴， 由此得－ab2＜0 ，即b =0. 由①得a =2，所以f (x )=2x 2－1.●锦囊妙计1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 二、填空题2.(★★★★★)下列四个命题中：①a +b ≥2ab ②sin 2x +x 2sin 4≥4 ③设x ，y 都是正数，若y x 91+=1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________.3.(★★★★★)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.三、解答题4.(★★★★★)已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2. (1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围.5.(★★★★)某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍.(1)设y =ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 6.(★★★★★)设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )²f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1. (1)求证：f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1； (2)求证：f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)²f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围.7.(★★★★★)已知函数f (x )=1222+++x cbx x (b ＜0)的值域是［1，3］，(1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证：lg57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513.［科普美文］数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在《自然辩证法》一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n 有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明.另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性.等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？参考答案难点磁场解：(1)令F (x )=f (x )－x ，因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，所以F (x )=a (x －x 1)(x －x 2).当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0，又a ＞0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1，∴x 1－x ＞0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0，由此得f (x )＜x 1. (2)依题意：x 0=－ab2，因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根. ∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－a ax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=，因为ax 2＜1， ∴x 0＜2211x a ax =歼灭难点训练一、1.解析：由题意f (a )=g (a )＞0，f (b )=g (b )＞0，且f (a )＞f (b )，g (a )＞g (b ) ∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］ =2g (b )＞0，∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) 同理可证：f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )答案：A二、2.解析：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε.答案：④3.解析：由已知y 1=x 20；y 2=0.8x (x 为仓库与车站距离)费用之和y =y 1+y 2=0.8x + x20≥2x x 208.0⋅=8当且仅当0.8x =x20即x =5时“=”成立 答案：5公里处三、4.证明：(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1，且x ＞0.∵x 1＜2＜x 2＜4，∴(x 1－2)(x 2－2)＜0，即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4，12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得(2)解：由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1²x 2=a1＞0，所以x 1，x 2同号 1°若0＜x 1＜2，则x 2－x 1=2，∴x 2=x 1+2＞2， ∴g (2)＜0，即4a +2b －1＜0①又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a a b ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得， 21)1(2+-b ＜3－2b②解②得b ＜412°若 －2＜x 1＜0，则x 2=－2+x 1＜－2 ∴g (－2)＜0，即4a －2b +3＜0③又2a +1=1)1(2+-b ，代入③式得 21)1(2+-b ＜2b －1④解④得b ＞47. 综上，当0＜x 1＜2时，b ＜41，当－2＜x 1＜0时，b ＞47. 5.解：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p (1+10x)元、n (1－10y)元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y =ax 的条件下，z =1001［－a［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜aa )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x =aa )1(5-.(2)由z =1001(10+x )(10－32x )＞1，解得0＜x ＜5.6.(1)证明：令m ＞0，n =0得：f (m )=f (m )²f (0).∵f (m )≠0，∴f (0)=1取m =m ，n =－m ，(m ＜0)，得f (0)=f (m )f (－m )∴f (m )=)(1m f -，∵m ＜0，∴－m ＞0，∴0＜f (－m )＜1，∴f (m )＞1(2)证明：任取x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］ =f (x 1)－f (x 2－x 1)²f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］， ∵f (x 1)＞0，1－f (x 2－x 1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在R 上为单调减函数.(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得，由题意此不等式组无解，数形结合得：1|2|2+a ≥1，解得a 2≤3 ∴a ∈［－3，3］7.(1)解：设y =1222+++x cbx x ，则(y －2)x 2－bx +y －c =0 ①∵x ∈R ，∴①的判别式Δ≥0，即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0， 即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0 ②由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2，b =－2，b =2(舍） (2)任取x 1，x 2∈［－1，1］，且x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，且 (x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0，∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221211221222x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，lg f (x 2)＞lg f (x 1)，即F (x 2)＞F (x 1)∴F (x )为增函数.,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记即－31≤u ≤31，根据F (x )的单调性知F (－31)≤F (u )≤F (31)，∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立.选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)。
