2019版九年级下册初三数学北师大版全套课件第1章直角三角形的边角关系第一章第6课时三角函数的应用

c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:

课堂小测
•1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是
（）
•A
•A.
B.
C.
D.
B 【解析】由正弦的定义可得 ,
A
C
.
课堂小测
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( •C)
A.
B. 2 C.
D.
【解析】由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，
课堂小测
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cos
，
BC=10，则AB的值是（ C ）
• A．9 B．8 C．6 D．3
•提示：先利用余弦求出AC的长度，再利用勾股定理，求出AB的长度即可.
课堂小测
•4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（B ）
B
•斜
边
•∠A的对
•┌边
A •∠A的邻 C
边
•即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
课堂小结
•在定义中应该注意的几个问题: •(1) sin A,cos A,tan A 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构 •造直角三角形) . •(2)sin A,cos A,tan A 是三个完整的符号,表示∠A的正弦,余弦,正切,习惯省去 •“∠”这个符号. •(3)sin A,cos A,tan A 都是比值.注意比的顺序,且sin A,cos A,tan A 均大于0,无 •单位. •(4)sin A,cos A,tan A 的值只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长大小无 •关.
A
5
5
B 6D

所以AB= a·tanα
4.（晋江·中考）如图，BAC 位于6×6的方格纸中，
则 tan BAC ＝
.
B
D
A EC
【解析】设小正方形的边长为1.取AB与格点的交 点为D,AC与格点的交点为E，则
tan BAC ＝ DE 3 .
AE 2
答案： 3 2
5.（眉山·中考）如图，在一次数学课外实践活动中， 要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪 CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前 进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这 幢教学楼的高度AB．
2.如果改变∠A 的大小,
A
∠A的对边与邻边的比值会C2C1随之改变吗?
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
【定义】 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对
边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A B 的正切.记作tan A 即
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
A ∠A的邻边
C
【议一议】 梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? tanA的值越大,梯子AB1越陡.
B1 B2
A
C2
C1
【跟踪训练】
一. 判断：
1. 如图 (1) tan A BC ( 错 ).
B
AC
2．如图 (2) tan A BC AB
3．如图 (2) tan B 10 7
4．如图 (2)tan A AC BC
C
B C
┌ DB
【例题】
例1：下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
6m ┐ 8m α
13m β
(甲)
(乙)
【解析】甲梯中, tan 6 3 .

新课讲解
当缆车继续从点B到达点D时,它又 走过了200m.缆车由点B到点D的行 驶路线与水平面的夹角为∠β=420,由 此你还能计算什么?
新课讲解
为了方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长 的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少?（如下图所示）
∠A是多少度呢？
可以借助于科学计算器.
cosA=0.8607 tanA=0.1890
cos-10.8607=30.60473007 tan-10.1890=10.70265749
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 为单位的结果。
，即键可显示以“度、分、秒”
新课讲解
按键顺序为
，显示结果为：sin-10.25=14.47751219°，
例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米， ∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
讲授新课
(1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． 所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
中考链接
C
中考链接
2. （2017•威海）为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了

3. 已知角A为梯子与地面所成的角，sin A的值越 大 ，梯子越 陡；cos A的值越 小 ，梯子越陡.
1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A的值为( D ) 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3), 那么cos已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin ∠AOB的 值为( A )
4. 如图，在下面的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上， 则∠AOB 的正弦值和余弦值分别是( D )
B 5
③若∠A为锐角，化简式子：
第一章 直角三角形的边角关系
1. 锐角三角函数 第2课时
1. 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， ∠ A 的 对边 与
斜边 的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即sin A＝
；∠A的
邻边 与 斜边 的比叫做∠A的余弦，记作 cos A，即cos A＝
.
2. 锐角A的 正弦 、 余弦 和 正切 都是∠A 的三角函数．
5. 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A，cos A，tan A的值．
【基础训练】 1. 在△ABC 中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是( C )
2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB＝15，sin A＝13，则BC 等于( B )

随堂练习
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高 为7m,扶梯的长度是多少?
解：如图，
C 90,sin A BC AB
又∠A=300 ，BC=7m，
1 7 2 AB
AB 27 14(m)
答：扶梯的长度是14m.
随堂练习
*3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
13m
4m
5m
β
8m （甲）
（乙）
解:甲梯中， tanα = 4 = 1 .
82
乙梯中，
tan β = 5 = 5 . 132 52 12
∵tanα＞tanβ，∴甲梯更陡.
学以致用
正切也经常用来描述山坡的坡度．例如，有一山坡在 水平方向上每前进100 m 就升高 60 m（图 1-6），那 么山坡的坡度就是
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程， 能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应 的锐角的大小.
回顾与思考
锐角三角函数定义
B
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。 c
解:在Rt△ABC中，
sinA = BC = 0.6,AC = 200,
C
AC
BC = 0.6
200
200
┌
BC = 200× 0.6 = 120 A
B
随堂练习
1.如图:在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=10，求AB，sinB.
cos A = 12 . 13
解 : cos A = AC = 12 ,AC = 10, AB 13

章末复习
素养提升
专题一 方程思想在解直角三角形中的应用
【要点指导】在“双直角三角形”中, 如果两个直角三角形求解 的条件都不充分, 可设其中一条线段的长度, 再用所设未知数表示 其他的线段, 最后结合图形与已知条件建立方程或方程组求解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
章末复习
例1 益阳市为了改善市区交通状况, 计划在康富路的北端修建通 往资江北岸的新大桥． 如图1-Z-4所示, 新大桥的两端位于A, B 两点, 小张为了测量A, B之间的江宽, 在垂直于新大桥AB 的直线 形道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1° , ∠BCA=68.2°, CD=82米, 求AB的长. (结果精确到0.1米； 参考数据： sin76.1°≈0.97, cos76.1°≈0.24, tan76.1°≈4.04, sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37, tan68.2°≈2.50)
30° , 45° , 60°角 的三角函数值
利用三角函数测高
章末复习
归纳整合
专题一 关于锐角三角函数的概念及计算
【要点指导】中考中常借助一定的背景图形(网格、三角形等)通 过等量代换及转化, 将某些无法求解的锐角三角函数转移或构建 特殊的直角三角形, 借助数形结合求解.
章末复习
例1 在△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c, 且b2= (c+a)(c-a), 5b-4c=0, 求sinA+sinB的值．
章末复习
母题3 (教材P25复习题第12题) 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至 B港, 然后再沿北 偏西30°方向航行10 km至C港. (1)求A, C两港之间的距离(结果精确到0.1 km)； (2)确定C港在A港的什么方向.

议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
大于1吗？
B
A
┌ C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一 的确定的值与它对应.
典例精析 例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡?
甲
13m α ┌
5m
乙 6m
B'
B
A
C
A'
C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定 时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
概念学习
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）， 记作sinA ， 即
斜边
c A b
B
对边
a C
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
典例精析
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
A 5 ┌ 6 D C
解 : 过A作AD BC于D, 则在RtABD中,
AB 5, 易知BD 3, AD 4.
B
5
AD 4 BD 3 sin B , cos B , AB 5 AB 5 AD 4 tan B . BD 3
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？
讲授新课
一 正切的定义
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，
称为梯子的铅直高度
A
从梯子的底端B到墙角C的距离，
称为梯子的水平宽度
梯子与地面的夹角

(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系 ? AC1 AC2
如果改变B2在梯子上的位置
B1
B2 B3
(如B3C3 )呢?
A
C3 C2
C1
由此你得出什么结论?
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么它的对边
与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切,
北师大版九年级下册第一章
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体
你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
在实践中探索
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
?
小丽的问题,如图:
E
A
5m
6m
B 2m C F 2m D
生活问题数学化
梯子AB和EF哪个更 陡？你是怎样判断
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及 AC2,算出它们的比,也能说明梯 子AB1的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗?
A
B1 B2
C2
C1
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
驶向胜利 的彼岸
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
).
A
C
(1)
).
(6).如图 (2)
). tan A 0.7,
7┍m A 10m C
(2)
( ).
). tan A 0.7或 tan A 0.7
老师期望:你能从
(5).如图 (2) tan A 0.7 ( ). 中悟出点东西.

•
4.开篇写 湘君眺 望洞庭 ，盼望 湘夫人 飘然而 降，却 始终不 见，因 而心中 充满愁 思。续 写沅湘 秋景， 秋风扬 波拂叶 ，画面 壮阔而 凄清。
•
5.以景物 衬托情 思，以 幻境刻 画心理 ，尤其 动人。 凄清、 冷落的 景色， 衬托出 人物的 惆怅、 幽怨之 情，并 为全诗 定下了 哀怨不 已的感 情基调 。
1、定义 2、特殊角三角函数值，逆推
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课堂精讲
好好学习！天天向上！
课堂精讲 Listen attentively
例1、在Rt△ABC中，∠C＝900，若 求：cosA，sinB，tanA的值 . 点拨：画出图形，直观分析。结合勾股定理和 三角函数知识单位三角形解决。
小结与拓展 作业布置 老师寄语
目录 contents
课前预习
好好学习！天天向上！
课前预习 Listen attentively 先自已复习，然后小组交流讨论 你学到了什么？
1、举例说明三角函数在现实生活中的应用. 2、你能应用三角函数解决哪些问题? 3、如何测量一座楼的高度?你能想出几种方法? 4、梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构， 并与同伴交流。
重点和难点
重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.提高知识的理解水平和综合能力.
难点：能根据实际问题设计活动方案.及时地把有关知识上升为数学经验，形成个性化的学习技 能.
好好学习！天天向上！
目录 contents
课前预习
考点梳理 课堂精讲
考点1
考点2
中考突破
考点3
考点4
好好学习！天天向上！
例2、如图,甲、乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶 看乙楼楼顶,仰角为30度乙楼有多高?(结果精确到1m).