树状数组

树状数组及其应用(Binary Indexed Trees)一、什么是树状数组【引例】假设有一列数{A i}（1<=i<=n），支持如下两种操作：1.将A k的值加D。

（k，D是输入的数）2.输出A s+A s+1+…+A t（s，t都是输入的数，s<=t）分析一：线段树建立一颗线段树（线段长度1~n）。

一开始所有结点的count值等于0。

对于操作1，如果把A k的值加D，则把所有覆盖了A k的线段的count值加D。

只有log2n 条线段会受到影响，因此时间复杂度是O（log2n）。

每条线段[x..y]的count值实际上就是A x+A x+1+…+A y的值。

对于操作2，实际上就是把[s..t]这条线段分解成为线段树中的结点线段，然后把所有的结点线段的count值相加。

该操作（ADD操作）在上一讲线段树中已介绍。

时间复杂度为O （log2n）。

分析二：树状数组树状数组是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。

增加数组C，其中C[i]=a[i-2^k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。

由c数组的定义可以得出：i K1(1)201-2^0+1=1…1c[1]=a[1]2(10)212-2^1+1=1…2c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2]3(11)203-2^0+1=3…3c[3]=a[3]4(100)224-2^2+1=1…4c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4] 5(101)205-2^0+1=5…5c[5]=a[5]6(110)216-2^1+1=5…6c[6]=a[5]+a[6]=c[5]+a[6]………………为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。

如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

树状数组的操作树状数组的⼀些基本操作。

树状数组⽀持单点修改和查询区间和的操作，但和线段树不同，它不⽀持区间修改操作（有些题⽬可以将区间修改转化为单点修改，有些则不可以）。

下⾯介绍树状数组的预处理和基本操作。

1.求lowbit(n)上⼀篇博客介绍了lowbit的定义和使⽤定义的基本求法。

但是依据定义求lowbit未免⿇烦。

因⽽，求lowbit需要导⼊公式：lowbit(n)=n&(-n)。

求lowbit函数：int lowbit(int n){//求n的lowbitreturn n&(-n);}2.对某个元素进⾏加法操作根据树状数组的性质，对于任意⼀个结点x，只有结点c[x]及其祖先结点保存的区间和中含a[x]，所以我们只需要对x不断向上搜索即可。

代码：void update(int x,int y){//将x位置元素加上yfor(;x<=N;x+=lowbit(x){//依次寻找x的⽗节点c[x]+=y;//进⾏更新}}这⾥在寻找x的⽗节点时运⽤了上⼀篇博客中的性质③（具体的证明⽅法我也不会qwq）。

举例证明：假设我们要对A[2]进⾏加x的操作。

2的lowbit值为2，则第⼀步2变成了4，对C[4]进⾏处理。

4的lowbit值为4，则第⼆步变成了8，对C[8]进⾏处理。

此时已到达循环边界。

再假设我们要对A[5]进⾏加x的操作。

5的lowbit值为1，则第⼀步5变成了6，对C[6]进⾏处理。

6的lowbit值为2，则第⼆步变成了8，对C[8]进⾏处理。

此时已到达循环边界。

3.查询前缀和操作前缀和的求法：求出x的⼆进制表⽰中每个等于1的位，把[1,x]分成logN个⼩区间，⽽每个⼩区间的区间和已保存在数组c中。

代码（我也不会证）：int sum(int x){//求1~x的区间和int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x);){ans+=c[x];}return ans;}举例证明：假设我们要求A[6]的前缀和。

树状数组离线技巧（原创实用版3篇）目录（篇1）1.树状数组的基本概念2.树状数组的离线算法3.离线算法的优化4.离线算法的应用正文（篇1）树状数组是一种基于数组的统计数据方法，可以快速计算多个等差数列的和。

其基本概念包括数组、计数器和递减性。

离线算法是树状数组的一种优化算法，可以提高计算效率。

离线算法的核心思想是利用二进制表示和压缩存储来减少空间占用。

1.树状数组的基本概念树状数组是一种基于数组的统计数据方法，可以快速计算多个等差数列的和。

其基本概念包括数组、计数器和递减性。

树状数组可以通过在数组中插入元素来计算多个等差数列的和，同时还可以维护计数器和递减性。

2.树状数组的离线算法离线算法是树状数组的一种优化算法，可以提高计算效率。

离线算法的核心思想是利用二进制表示和压缩存储来减少空间占用。

具体来说，离线算法将树状数组中的每个节点都表示为一个二进制数，并将计数器压缩存储为一个数组。

这样，就可以减少空间占用，提高计算效率。

3.离线算法的优化离线算法的优化包括利用二进制表示和压缩存储来减少空间占用，以及利用计数器的稀疏性来减少计算量。

二进制表示可以将树状数组中的每个节点都表示为一个二进制数，从而减少空间占用。

压缩存储可以将计数器压缩存储为一个数组，从而减少空间占用。

计数器的稀疏性是指树状数组中大多数节点的计数器值较小，可以利用这个特性来减少计算量。

4.离线算法的应用离线算法可以应用于很多实际问题中，比如搜索和查询、快速加法和去重等。

离线算法可以利用二进制表示和压缩存储来减少空间占用，从而提高计算效率。

目录（篇2）1.树状数组的基本概念2.树状数组的离线算法3.离线算法的优化4.离线算法的应用正文（篇2）树状数组是一种基于数组的统计数据集的方法，可以快速计算给定区间的和。

树状数组的主要优点是可以有效地减少计算量，提高计算速度。

下面我们来介绍树状数组的离线算法及其优化和应用。

一、树状数组的基本概念树状数组是一种基于数组的统计数据集的方法，可以快速计算给定区间的和。

第01讲什么是树状数组？树状数组用来求区间元素和，求一次区间元素和的时间效率为O(logn)。

有些同学会觉得很奇怪。

用一个数组S[i]保存序列A[]的前i个元素和，那么求区间i,j的元素和不就为S[j]-S[i-1]，那么时间效率为O(1)，岂不是更快？但是，如果题目的A[]会改变呢？例如：我们来定义下列问题：我们有n个盒子。

可能的操作为1.向盒子k添加石块2.查询从盒子i到盒子j总的石块数自然的解法带有对操作1为O(1)而对操作2为O(n)的时间复杂度。

但是用树状数组，对操作1和2的时间复杂度都为O(logn)。

第02讲图解树状数组C[]现在来说明下树状数组是什么东西？假设序列为A[1]~A[8]网络上面都有这个图，但是我将这个图做了2点改进。

（1）图中有一棵满二叉树，满二叉树的每一个结点对应A[]中的一个元素。

（2）C[i]为A[i]对应的那一列的最高的节点。

现在告诉你：序列C[]就是树状数组。

那么C[]如何求得？C[1]=A[1];C[2]=A[1]+A[2];C[3]=A[3];C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];C[6]=A[5]+A[6];C[7]=A[7];C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];以上只是枚举了所有的情况，那么推广到一般情况，得到一个C[i]的抽象定义：因为A[]中的每个元素对应满二叉树的每个叶子，所以我们干脆把A[]中的每个元素当成叶子，那么：C[i]=C[i]的所有叶子的和。

现在不得不引出关于二进制的一个规律：先仔细看下图：将十进制化成二进制，然后观察这些二进制数最右边1的位置：1 --> 000000012 --> 000000103 --> 000000114 --> 000001005 --> 000001016 --> 000001107 --> 000001118 --> 000010001的位置其实从我画的满二叉树中就可以看出来。

树状数组武钢三中 吴豪【引言】在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。

因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

【理论】为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。

如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。

( 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。

另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：首先看修改操作：已知下标i，求其父节点的下标。

我们可以考虑对树从逻辑上转化：如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。

有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)即 p = i + i&(i^(i-1)) 。

接着对于求和操作：因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。

树状数组和线段树-电脑资料一、树状数组在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]，实现：对于正整数x，定义lowbit（x）为x的二进制表达式中最右边的1所对应的值。

Lowbit(x)=xand-x对于节点i，如果它是左子节点，其父节点为i+lowbit(i)；构造一个辅助数组C，其中Ci=Ai-lowbit(i)+1+Ai-lowbit(i)+2+…+Ai即C的每个元素都是A数组中的一段连续和。

具体是每个灰色节点i都属于一个以它自身结尾的水平长条，这个长条中的数之和就是Ci。

如C12=A9+A10+A11+A12=C10+A11+A12如何更新C数组中的元素：如果修改了一个Ai，需要更新C数组中的哪些元素呢？从Ci开始往右走，边走边“往上爬”（不一定沿着树中的边爬），沿途修改所有结点对应的Ci即可。

预处理时先把C数组清空，然后执行n次add操作。

总时间为O（nlogn）如何计算前缀和Si：顺着结点i往左走，边走边“往上爬”（不一定沿着树中的边爬），把沿途经过的Ci累加起来就可以了。

对于query（L,R）=SR-SL-1。

代码：varb,c,f:array[0..100000]oflongint;ff,a:Array[0..100000]ofboolean; i,j,m,n,x,y,ans,l,r,tmp:longint; s:string;functiondfs(x:longint):longint; beginifx<=1thenexit;c[f[x]]:=c[f[x]]+c[x];dfs(f[x]);end;proceduredfs1(x:longint);begindec(c[x]);ifx<=1thenexit;dfs1(f[x]);end;proceduredfs2(x:longint);begininc(c[x]);ifx<=1thenexit;dfs2(f[x]);beginreadln(n);fillchar(ff,sizeof(ff),true); fori:=1ton-1dobeginreadln(x,y);f[y]:=x;inc(b[x]);end;fori:=1tondoc[i]:=1;fori:=1tondobeginifb[i]=0thendfs(i);end;readln(m);fori:=1tomdobeginx:=0;readln(s);ifs[1]='Q'thenforj:=3tolength(s)dox:=x*10+ord(s[j])-ord('0');writeln(c[x]);end;ifs[1]='C'thenbeginforj:=3tolength(s)dox:=x*10+ord(s[j])-ord('0');ifff[x]thendfs1(x)elsedfs2(x);ff[x]:=notff[x];end;end;End.二、线段树1,.线段树的结构:区间：用一对数a和b表示一个前闭后开的区间[a,b)。

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察这个图：令这棵树的结点编号为C1，。

令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：C1 = A1C2 = A1 + A2C3 = A3 C4 = A1 + A2 + A3 + A4C5 = A5C6 = A5 + A6C7 = A7C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8...C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16这里有一个有趣的性质：设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。

因为这个区间最后一个元素必然为Ax，所以很明显：Cn = A(n –2^k + 1) + ... + An算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：int lowbit(int x){return x&(x^(x–1));}当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：step1:令sum = 0，转第二步；step2:假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；step3: 令n = n –lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：n = n –lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。

而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。