正态分布

• 作业： 作业： • P58 总二 14，15 ，
f (x)
处有拐点；曲线 y = f ( x)以Ox 轴为渐近线．
⑶．曲线 y = f ( x) 在x = µ ±σ
0 µ −h µ µ +h
x
⑷．若σ 固定，而改变µ的值，则f ( x) 的 图形沿x 轴平行移动，但不改变其形状． 因此 y = f ( x)图形的位置完全由参数µ 所
位置参数。 位置参数 确定． µ称为位置参数。
正态分布由它的两个参数 μ和σ唯一确定， 当μ和σ 唯一确定， 不同时，是不同的正态分布. 不同时，是不同的正态分布.
设 X ~ N(µ,σ 2 )
X 的分布函数是
(t −µ)2 2σ 2
1 F(x) = σ 2π
∫e
−∞
x −
dt, − ∞ < x < ∞
标准正态分布
若µ = 0，σ = 1，我们称 N ( 0，1) 为标准正态分布．
2
X −µ
~ N( 0, 1)
σ
= P{ X ≤ µ +σ x} =
作变换u = t −µ ，则du =
1 2πσ
µ +σ x
−∞
∫
e
( t −µ)2 −
2σ 2
dt
dt
Fz ( x) =
σ 1
2π
−∞
∫e
x
−
u 2
2
σ
，代入上式，得
du
P{
= Φ( x)
σ
≤ x−µ
∴FX ( x) = P{X ≤ x} =
均匀分布 的概率密度为： 若随机变量X 的概率密度为：
f (x)
1 , a< x<b f ( x) = b − a 0, 其它
a
b
服从区间( 上的均匀分布，记作： 则称X 服从区间(a, b)上的均匀分布，记作：
X ~ U ( a, b)
如果随机变量 X 的密度函数为
λ e−λx p( x) = 0
正态分布的定义
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
2 ( x−µ ) −
2πσ 则称随机变量 X 服从参数为 ( µ ， σ 2 ) 的
正态分布．记作X 正态分布．记作X N ( µ， σ 2 )
f ( x) =
1
e
−
2σ 2
( −∞ < x < +∞ )
f (x)
f(x) 所确定的曲线叫 作正态曲线. 正态曲线.
⑸．若µ固定，而改变σ 的值，由于f ( x) 的最大值为 2πσ 可知，当σ 越小时，y = f ( x)图形越陡，因而X 落在 形越平坦，这表明 X的取值越分散． f ( µ) = 1
µ附近的概率越大；反之，当σ 越大时，y = f ( x) 的图
决定了图形中峰的陡峭程度. σ 决定了图形中峰的陡峭程度. 称为形状参数。 σ 称为形状参数。
ϕ(x)
Φ (− x) = =−∫
x
−x
−∞
∫
1 e 2π
u2 − 2
u2 − 2
du
+∞
+∞
1 e x 2π
du =
∫
x
1 e 2π
u2 − 2
du
x
0
x
x
= 1 − Φ( x)
Φ(−x) =1− Φ(x)
P ( X ≤ x) = P ( −x ≤ X ≤ x)
= Φ( x) −Φ(−x)
−x x
= 2Φ( x) −1
正态分布表
P439页 正态分布表 查 P(z<0.2) P(z>0.55) P(z<-0.55)
标准正态分布Biblioteka 重要性在于， 任何一个一般的 标准正态分布的重要性在于， 正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
定理
则
设
X ~ N(µ,σ )
练习： 练习： 1. 若
Cx , 0 ≤ x ≤ 1 p(x) = 它 0 , 其
0.4 ；
0 , x p0 2 F(x) = x , 0 ≤ x p1 1 , x ≥1
求（1）C ；（2）{0.3≤X≤0.7} ；（3）F（x）
C=2 ；
2. 设X的分布列为：P{X=1}=1/4 ，P{X=2}=a ， P{X=3}=b
c = 1.96 c = 3.92 2
例3 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头 机会在0.01以下来设计的. 0.01以下来设计的 机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N (170,62), 问车门高度应如何确定? 问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求 cm,按设计要求 或
h −170 ) P( X ≤ h) = Φ( 6
X −170 ~ N(0,1) 6
≥
0.99
设 X ~ N(0, 1), 若 zα 满足条件
P{X > zα } = α, 0 < α < 1,
则称点 zα 为标准正态分布的上α 分位点。
ϕ(x)
查表可知 z0.05 = 1.645, z0.005 = 2.57,
z1−α z1-α = −zα , z0.95 = −1.645, z0.995 = −2.57.
α
0
zα
x
3 σ 准则 由标准正态分布的查表计算可以求得， 由标准正态分布的查表计算可以求得， (0,1)时 当X～N(0,1)时，
σ
P( X ≤1) = 2Φ(1) −1 = 0.6826
P( X ≤ 2) = 2Φ(2) −1 = 0.9544
c, 分布函数为： d, F(x) = 3 求 a, b, c, d , e 4, e,
−∞ < x <1 1≤ x < 2 2≤ x <3 3 ≤ x < +∞
( ½ ,
¼
,
0
,
¼ ,
1 )
练习
设X N(2,σ ),且P(2<X<4)=0.3,求: P(X<0)=?
2
0
µ
x
正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数 2πσ 由高等数学中的知识，我们有： f ( x) = 1 e
2 ( x−µ) −
2σ 2
( −∞< x < +∞)
f (x)
⑴．曲线关于直线x = µ 对称， 这表明：对于任意的h > 0，有 P{µ − h < X ≤ µ } = P{µ < X ≤ µ + h }
0 µ −h
µ
µ +h
x
⑵ 当x = µ 时 f ( x) 取 最大 ． ， 到 值 f ( µ) = 1 2πσ
x离 越 ， ( x) 的 就 小 这表 ， 于 样 度 µ 远 f 值 越 ． 明 对 同 长 区 ， 区 离 的 间 当 间 µ 越远 ，随 变 X 落 该 间 时 机 量 在 区 的 率 越 ． 中 概 就 小
⑴．P{1 ≤ X < 5}；⑵．P{ X − 2 > 6}；⑶．P{ X > 0}．
= 0.84134 + 0.62930 −1 = 0.47064
例2
P ( X −10 < C) = 0.95
已知 X ~ N (10,22 ) P ( X < d ) = 0.068 求
d , c.
解
d −10 P ( X < d ) = Φ = 0.068 2
X −µ
σ
} = Φ(
x−µ
σ
)
标准化
若
X ~ N ( 0,1)
P(a < X < b) = Φ(b) −Φ(a)
若 X ~ N(µ,σ ),
2
Z=
P(a < X < b) = P(
) <Z< σ σ b−µ a−µ = Φ( ) − Φ( )
σ a−µ
X −µ
~ N ( 0,1)
b−µ
σ
σ
例1
Y ~ N(µ,σ ) 时，
2
P(| Y − µ |≤ σ ) = 0.6826
P(| Y − µ |≤ 2σ ) = 0.9544
P(| Y − µ |≤ 3σ ) = 0.9974
可以认为， 可以认为， 的取值几乎全部集中在 [µ − 3σ , µ + 3σ ] Y 的区间内。 的区间内。 这在统计学上称为 "3 准则” σ准则”
分布函数为
标准正态分布的密度函数为 x − 1 e 2 ϕ ( x) = 2π
2
( −∞ < x < +∞)
t2 − 2
Φ( x) = ∫ ϕ ( t ) dt =
−∞
x
1 2π
−∞
∫e
x
dt
Φ(x)
( −∞< x < +∞)
对于 x ≥ 0 我们可直接查表求出 Φ ( x) = P( X ≤ x) 如果 x < 0 我们有公式
x >0 x ≤0
x
0
其中 λ (> 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为 λ 为常数，则称随机变量X 的指数分布． 的指数分布．记为 X ~ E(λ)
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思考题
• 对男生的身高进行抽查 结果X是一个随机变量 X 对男生的身高进行抽查,结果 是一个随机变量 结果 是一个随机变量, 的分布规律有什么特点? 的分布规律有什么特点 •某门课的考试成绩也可以看作一个随机变量 某门课的考试成绩也可以看作一个随机变量, 某门课的考试成绩也可以看作一个随机变量 他也具有中间多、 他也具有中间多、极端少的特点