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机械工程中的模态分析方法在机械工程领域，模态分析是一种重要的工具，用于研究和评估机械系统或结构的动力特性。
通过模态分析，工程师可以了解结构的固有振动频率、振型及其相关参数，从而对系统进行设计、改进和优化。
一、模态分析的基本原理模态分析基于结构的自由振动特性。
当结构受到外界激励或内部失稳因素影响时，会出现自由振动。
模态分析通过对这种振动进行精确测量和分析，得到结构的模态参数。
在模态分析中，最关键的一步是确定结构的固有频率和相应的振型。
固有频率是结构在自由振动时所表现出的振动频率，它与结构的刚度密切相关。
振型则描述了结构在不同固有频率下的变形形态，是结构动态响应的关键指标。
二、模态分析的常用方法1.加速度法加速度法是最常用的模态分析方法之一。
它基于物体的加速度与力的关系，通过测量结构上的加速度响应来推导出结构的模态参数。
具体操作中，可以通过加速度传感器将结构上的振动信号采集下来，再使用信号处理算法对信号进行分析。
2.激励-响应法激励-响应法是另一种常见的模态分析方法。
该方法将结构受到的激励信号与结构的振动响应进行对比，从而得到结构的模态参数。
激励信号可以是一个冲击物、一次瞬态激励或周期性激励。
3.频率域方法频率域方法是一种基于结构在频域内的特性进行模态分析的方法。
它以傅里叶变换为基础，将结构的时域信号转化为频域信号，进而得到结构的固有频率和振型。
频率域方法具有计算效率高、信号处理简易等优点。
4.有限元法有限元法是一种数值方法，常用于模态分析中的结构模态分析。
该方法将结构分解为多个小单元，利用有限元理论和方法对结构进行数值模拟。
通过进行有限元分析和计算，可以得到结构的固有频率和振型。
三、模态分析的应用领域模态分析在机械工程领域中具有广泛的应用。
它可以帮助工程师了解和评估结构的动力特性，发现结构的固有频率、共振点和脆弱部位，从而进行系统的设计和优化。
模态分析在航空航天领域中有着重要的应用。
通过对飞机、火箭等结构进行模态分析，可以评估其动态特性和共振情况，保证飞行安全性和运行可靠性。
机械系统动力学特性的模态分析机械系统动力学是研究物体在受到外力作用下的运动规律和机械系统动态特性的学科。
其中，模态分析是一种重要的方法，用于研究机械系统的固有振动特性。
本文将介绍机械系统动力学特性的模态分析方法及其应用。
一、模态分析的基本概念模态分析是研究机械系统振动模态的一种方法。
模态是指机械系统在自由振动状态下的振动形式和频率。
模态分析通过分析机械系统的初始条件、约束条件和外力等因素，确定机械系统的固有频率和振型，并进一步得到机械系统的振荡特性。
二、模态分析的基本步骤模态分析一般包括以下几个步骤：1. 系统建模：根据实际情况，将机械系统抽象为数学模型，包括质量、刚度、阻尼等参数。
2. 求解特征值问题：通过求解系统的特征值问题，得到系统的固有频率和振型。
3. 模态验算：将得到的固有频率和振型代入原始方程，验证其是否满足振动方程。
4. 模态分析：通过对系统的振动模态进行进一步分析，得到系统的动态响应和振动特性。
三、模态分析的应用模态分析在机械工程领域有广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 结构优化设计：通过模态分析，可以评估机械系统的固有频率和振型，判断系统是否存在共振现象或其他异常振动情况，为结构设计提供依据。
2. 动力学特性分析：通过模态分析，可以了解机械系统的振动特性，包括固有频率、阻尼特性和模态质量等指标，为系统的动力学性能评估和优化提供依据。
3. 故障诊断与预测：模态分析可以用于机械系统的故障诊断和预测。
通过对机械系统振动模态的变化进行监测和分析，可以判断系统是否存在故障，并提前发现潜在的故障。
4. 振动控制技术：通过模态分析，可以了解机械系统振动的特征，并采取相应的振动控制措施。
比如调节系统的阻尼、改变系统的刚度等，来减小系统的振动幅度，提高系统的稳定性和工作性能。
四、模态分析存在的问题与挑战模态分析作为一种成熟的技术方法，仍然面临一些问题和挑战。
例如，模态分析需要对机械系统进行精确的建模，包括质量、刚度和阻尼等参数的准确度和全面性。
1. 什么是模态分析？模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
2. 模态分析有什么用处？模态分析所的最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1. 评价现有结构系统的动态特性；通过结构的模态分析可以求得各阶模态参数（模态频率、模态振型以及模态阻尼），从而评价结构的动态特性是否符合要求，并校验理论计算结构的准确性。
2. 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3. 诊断及预报结构系统的故障；近年来，结构故障技术发展迅速，而模态分析已成为故障诊断的一个重要方法。
利用结构模态参数的改变来诊断故障是一种有效方法。
例如，根据模态频率的变化可以判断裂纹的出现；根据振型的分析可以确定断裂的位置；根据转子支承系统阻尼的改变，可以诊断与预报转子系统的失稳等。
4. 控制结构的辐射噪声；结构噪声是由于结构振动所引起的。
结构振动时，各阶模态对噪声的“贡献”并不相同，对噪声贡献较大的几阶模态称为“优势模态”。
full法和模态叠加法一、引言模态分析是结构工程领域中的重要研究方法，常用于钢结构、混凝土结构和土木工程等方面。
在模态分析中，有两种常见的分析方法，即full法和模态叠加法。
本文将对这两种方法进行具体介绍和比较。
二、full法1. 定义full法是指在模态分析中，考虑全部的模态，并将这些模态组合起来分析结构的动力响应。
full法通常包括以下步骤：•构建结构的刚度矩阵；•求解结构的动力特征值和模态（振型）；•将结构的动力响应表示为各个模态的幅值和相位的线性叠加。
2. 优点full法的优点主要有：•能够准确地考虑结构的全部模态，包括高阶模态；•结果具有较高的准确性和可靠性；•适用于各种结构、工况和加载条件。
3. 缺点full法的缺点包括：•计算量大，需要求解结构的全部模态；•对于复杂结构，求解动力特征值和模态比较困难；•只考虑了结构的线性特性，不能捕捉结构的非线性行为。
三、模态叠加法1. 定义模态叠加法是指利用有限个已知的模态来近似描述结构的动力响应。
模态叠加法通常包括以下步骤：•选择适当数量的模态；•对每个模态进行计算，得到各个模态的幅值和相位；•将各个模态的幅值和相位进行线性叠加，得到结构的动力响应。
2. 优点模态叠加法的优点包括：•计算简单，不需要求解全部模态；•适用于大型结构，能够准确地预测结构的动力响应；•可以考虑结构的非线性行为。
3. 缺点模态叠加法的缺点主要有：•只能利用有限个模态进行近似，可能导致结果的不准确性；•对于高阶模态的考虑较少，可能无法准确预测结构的振动响应。
四、full法与模态叠加法的比较1. 计算复杂度由于full法需要求解全部模态，计算复杂度较高。
而模态叠加法只需选择少量的模态进行计算，计算复杂度相对较低。
2. 结果准确性full法考虑了全部模态，能够提供较为准确和可靠的结果。
而模态叠加法通过近似描述，并不能保证结果的准确性，但在合理选择模态的情况下，结果仍然可以比较接近真实情况。
机械结构的模态分析与设计优化导言：机械结构是各种机械设备中的核心部分，它的性能直接影响着机器的使用寿命、稳定性和效率。
在设计过程中，进行模态分析并进行优化设计是一项关键任务。
本文将介绍机械结构的模态分析方法，并探讨如何通过优化设计提高机械结构的性能。
一、模态分析的意义模态分析是指通过计算机模型研究机械结构的固有振动特性，包括自然频率、振型和振幅等。
它的主要意义有以下几点：1. 预测结构的自然频率：自然频率是指机械结构在没有外力作用下固有的振动频率。
通过模态分析，可以预测结构的自然频率，从而避免共振问题的发生。
2. 优化结构设计：通过模态分析，可以得到结构的振型信息，了解结构的强度、刚度等特性，从而指导优化结构设计。
3. 预测结构的工作状态：模态分析还可以预测机械结构在工作状态下的振动情况，对于提前发现问题、减少结构疲劳损伤等方面有着重要作用。
二、模态分析的方法目前常用的模态分析方法有有限元法和试验法两种。
1. 有限元法：有限元法是一种通过离散化处理将连续体分解为有限个简单子单元，再将它们组合起来近似描述整个结构的方法。
利用有限元软件，可以通过建立结构的有限元模型进行模态分析，得到结构的自然频率和振型。
2. 试验法：试验法是通过实际测试手段获取结构的振动信息，并进行分析的方法。
利用振动传感器和频谱分析仪等设备，可以获取结构在不同频率下的振幅响应，从而得到结构的自然频率和振型。
三、设计优化的方法基于模态分析结果，可以通过设计优化方法提高机械结构的性能，具体方法有以下几种：1. 材料优化：可以通过改变机械结构的材料，提高结构的刚度和强度，从而改变结构的自然频率和振型。
2. 结构优化：可以通过改变机械结构的几何形状和尺寸，优化结构的刚度分布，减小共振问题的发生。
3. 阻尼优化：可以通过添加阻尼材料或改变结构的几何形状，提高结构的阻尼能力，减小振动势能的积累，减小结构的共振幅值。
4. 调节质量分布：可以通过调整结构的质量分布，改变结构的振动模态，从而减小共振现象的发生。
各种模态分析方法总结与比较一、模态分析模态分析是计算或试验分析固有频率、阻尼比和模态振型这些模态参数的过程。
模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
二、各模态分析方法的总结（一）单自由度法一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。
但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。
以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度(SDOF)法n1。
在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为：()[]}{}{T R R t r Q e t h rψψλ= 2-1而频域表示则近似为：()[]}}{{()[]2ωλωψψωLR UR j Q j h r tr r r -+-= 2-2 单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。
模态分析知识点总结一、基本用法1. 表示能力或可能性can 表示一种能力或者可能性，常用于表示某人有某种能力或者经验。
例如：He can speak English fluently.（他能流利地说英语。
）2. 表示允许或请求can 还可以表示允许或请求，常用于询问或请求。
例如：Can I borrow your pen?（我可以借用你的笔吗？）3. 表示推测may/might 表示一种推测或者可能性。
may 表示较肯定的可能性，而 might则表示较不肯定的可能性。
例如：She may be at home.（她可能在家。
）4. 表示意愿或请求will/would 表示一种意愿或请求，用于表达主观上的愿望。
例如：I will go with you.（我愿意和你一起去。
）5. 表示必须must 表示一种必须或者必然性，常用于表示情态。
例如：We must finish the work before 5 o'clock.（我们必须在5点之前完成工作。
）二、情态动词在疑问句和否定句中的用法1. 疑问句情态动词在疑问句中通常直接放在主语之后，而不需要借助助动词 do/does/did。
例如：Can you swim?（你会游泳吗？）2. 否定句在否定句中，情态动词需要在后面加上 not形成否定形式。
例如：I can not solve the problem.（我解决不了这个问题。
）三、情态动词在动词不定式中的用法情态动词后一般跟动词原形构成动词不定式。
例如：You must finish the work on time.（你必须按时完成工作。
）四、情态动词在完成时态中的用法情态动词在完成时态中不使用have/has/had构成完成时态的形式，而是直接加上动词原形。
例如：She must have known the truth.（她一定知道了真相。
）五、情态动词在被动语态中的用法在被动语态中，情态动词与 be 动词构成被动语态形式。
机械结构设计中的模态分析与优化机械结构设计是现代机械工程领域的关键环节之一。
在设计机械结构时，我们需要追求更高的性能和更好的可靠性。
而模态分析和优化是帮助我们实现这一目标的重要工具和方法。
模态分析是一种用来研究和评估机械结构动力学特性的分析方法。
它通过分析机械结构的固有频率和模态形态，来了解和预测结构在振动和冲击载荷下的响应和稳定性。
在机械结构设计中，模态分析可以解决诸如结构自由振动、固有频率、模态形态和阻尼等问题。
在进行模态分析时，我们需要将结构模型化为一个数学模型，并利用数值计算方法求解其固有频率和振型。
常用的模态分析方法有有限元方法和模态分析法等。
有限元方法是一种将连续体分割成离散的有限元的方法，通过求解离散结构的特征值问题来获得结构的固有频率和振型。
模态分析法则是一种通过对结构加上激励，观察结构的振动响应，从而得到结构的固有频率和模态形态的方法。
这些方法可以帮助设计师更准确地了解结构的动力学特性，从而在设计中合理地选择材料、调整结构参数和改善结构刚度等。
模态分析的结果对机械结构的设计和优化具有重要意义。
首先，通过分析结构的固有频率和振型，我们可以避免在结构设计中遇到共振问题，从而保证结构在工作中的稳定性和可靠性。
其次，通过模态分析可以确定结构的主要振型和具有较大振幅的部位，有利于进一步进行振动和噪声控制。
最后，通过对结构模态进行优化，可以实现结构的轻量化和性能的提高。
例如，可以通过改变结构的材料、形状和连接方式等来改变结构的固有频率，从而实现结构的优化设计。
在进行机械结构的模态分析时，我们还需要考虑其他因素的影响，如结构的阻尼特性和非线性特性。
阻尼特性是指在振动中能量损失的能力，常用的阻尼模型有比例阻尼和附加阻尼等。
非线性特性是指结构在受到较大振动幅度时，材料和连接方式等会发生变化，导致结构的刚度和动态特性发生改变。
这些因素的综合影响对于结构的动力学分析和优化具有重要意义。
总结起来，机械结构设计中的模态分析与优化是一项重要而复杂的任务。
各种模态分析方法总结与比较一、模态分析模态分析就是计算或试验分析固有频率、阻尼比与模态振型这些模态参数的过程。
模态分析的理论经典定义:将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标,使方程组解耦,成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程,以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵,其每列为模态振型。
模态分析就是研究结构动力特性一种近代方法,就是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态就是机械结构的固有振动特性,每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比与模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得,这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果就是由有限元计算的方法取得的,则称为计算模记分析;如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数,称为试验模态分析。
通常,模态分析都就是指试验模态分析。
振动模态就是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性,就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此,模态分析就是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
模态分析最终目标就是在识别出系统的模态参数,为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断与预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
二、各模态分析方法的总结(一)单自由度法一般来说,一个系统的动态响应就是它的若干阶模态振型的叠加。
但就是如果假定在给定的频带内只有一个模态就是重要的,那么该模态的参数可以单独确定。
以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度(SDOF)法n1。
在给定的频带范围内,结构的动态特性的时域表达表示近似为:()[]}{}{T R R t r Q e t h rψψλ= 2-1而频域表示则近似为:()[]}}{{()[]2ωλωψψωLR UR j Q j h r tr r r -+-= 2-2 单自由度系统就是一种很快速的方法,几乎不需要什么计算时间与计算机内存。
这种单自由度的假定只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才就是正确的。
然而实际情况通常并不就是这样的,所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据进行近似,同时识别这些参数的模态,就就是所谓的多自由度(MDOF)法。
单自由度算法运算速度很快,几乎不需要什么计算与计算机内存,因此在当前小型二通道或四通道傅立叶分析仪中,都把这种方法做成内置选项。
然而随着计算机的发展,内存不断扩大,计算速度越来越快,在大多数实际应用中,单自由度方法已经让位给更加复杂的多自由度方法。
1、峰值检测峰值检测就是一种单自由度方法,它就是频域中的模态模型为根据对系统极点进行局部估计(固有频率与阻尼)。
峰值检测方法基于这样的事实:在固有频率附近,频响函数通过自己的极值,此时其实部为零(同相部分最小),而虚部与幅值最大(相移达90°,幅度达峰值)图1。
出现极值的那个固有频率就就是阻尼固有频率r ω的良好估计。
相应的阻尼比r ζ,的估计可用半功率点法得到。
设1ω与2ω分处在阻尼固有频率的两侧(1ω<r ω<2ω),则:()()()221r j H j H J H ωωω== 2-3rr ωωωζ212-=2-4 2、模态检测模态检测就是根据频域中的模态模型对复模态(或实模态)向量进行局部估计的一种单自由度方法。
在()[]}}{{()[]2ωλωψψωLRUR j Q j h r tr r r -+-=中略去剩余项则单个频响函数在r ω处的值近似为:()()()rjr rjrr r r r r jrr r r tj A Q j j Q j H σσψψωσωψψω-≈-≈+-≈111 2-5由此式可见,频响函数在r ω处的值乘以模态阻尼因r σ,就就是留数(的估计值如图1。
利用这种模态检测方法之前,先要估计出r ω图1 对频响应函数的幅值进行峰值与模态检测3、圆拟合圆拟合就是一种单自由度方法,用频域中的模态模型对系统极点与复模态(或实模态)向量进行局部估计。
此方法依据事实就是:单自由度系统的速度频响函数(速度对力)在奈奎斯特图(即实部对虚部)上呈现为一个圆。
如果把其她模态的影响近似为一个复常数,那么在共振频率r ω附近,频响函数的基本公式为:()()1j R j jVU j H r tj ++-+-+=ωωσω 2-6因此,首先要选择共振频率附近的一组频率响应点,通过这些点拟合成一个圆。
阻尼固有频率r ω可以瞧成就是复平面上数据点之间角度变化率最大(角间隔最大)的那个点的频率,也可以瞧成就是相位角与圆心的相位角最为接近的那个数据点的频率。
对于分得开的模态而言,二者的差别就是很小。
阻尼比r ζ估计如下:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 2tan 2112θθωωωζr r 2-7式中1ω,2ω:分居在r ω两侧的两个频率点:1θ,2θ:分别为频率点在1ω与2ω得半径与r ω得半径之间的夹角。
圆的直径与阻尼固有频率点的角位置含有复留数U+jV 的信息:()VUV U r =-+=ασφtan ,22 2-8式中φ:圆的直径α:园心与固有频率点的连线跟虚轴之间的夹角.圆拟合法速度也很快,但为避免结果出错,特别就是在模态节点附近,需要操作者参与。
(二)单自由度与多自由度系统粘性阻尼单自由度SDOF 系统如图2的力平衡方程式表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡图2 单自由度系统()()()()t f t Kx t x C t xM =++&&& 2-9 其中M:质量C: 阻尼K:xx x &&&&&:加速度,速度,位移 f:外力 t 时间变量,把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。
把上面的时间域方程变换到拉氏域复变量P,并假设初始位移与初始速度为零,则得到拉氏域方程:()()p F K Cp Mp =++2,或()()()p F p X p Z = Z:动刚度经过变换可得传递函数的定义,()()p Z p H 1-= 即()()()p F p H p X =()()()M K p M C p Mp H ///12++=2-10上式右端的分母叫做系统特征方程,它的根即就是系统的极点就是:()()()()()M K M C M C /2/2/22,1-±-=λ 2-11如果没有阻尼C=0,则所论系统就是保守系统。
我们定义系统的无阻尼固有频率为:M K /1=Ω 2-4临界阻尼C c 的定义为使(2、3)式中根式项等于零的阻尼值:M K M C c /2= 2-5而临界阻尼分数或阻尼比ζ1为:ζ1=CC c ,阻尼有时也有用品质因数即Q 因数表示:()12/1ξ=Q 2-6系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统(ζ1>1)、临界阻尼系统(ζ1=1)与欠阻尼系统(ζ1<1)。
过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。
欠阻尼系统的响应时一种衰减振动,而临界阻尼系统则就是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。
实际系统的阻尼比很少有大于10%的,除非这些系统含有很强的阻尼机制,因此我们只研究欠阻尼的情形。
在欠阻尼的情况下式2-11两个共轭复根:111ωσλj +=,11*1ωσλj -= 2-7 其中1σ为阻尼因子1ω为阻尼固有频率。
有关系统极点的另外一些关系式有:()121111Ω-+-=ζζλj 2-8 212111σωσζ+-= 2-9111Ω-=ζσ 2-10 21211σω+=Ω 2-112-2式写成 如下形式:()()()*11/1λλ-+-=p p Mp H 2-12在展开成部分分式形式,则有:()*1*111λλ-+-=p A p A p H ,这里112/1ωj M A = 2-13 这里的1A 与*1A 就是留数。
多自由度系统多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个矩阵的方程。
下面就是以而自由度系统为例。
如图:图3 多自由度系统该系统的运动方程如下:()()()()()()()()()()()()()()t f t x K t x K K t x C t x C C x M t f t x K t x K K t x C t x C C x M 21223212232221221212212111=-++-++=-++-++&&&&&&&& 2-14 写成矩阵形式就是⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡212132222121322221212100f f x x K K K K K K x x C C C C C C x x M M &&&&&& 2-15 或者[]{}[]{}[]{}{}f x K x C x M =++&&&2-16 其中[M ]、[C ]、[K ]、{f(t)}与{x(t)}分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量与响应向量。
把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域(变量为p )且假定初始位移与初始速度为零,则得:[][][]()(){}(){}p F p X K C p M p =++22-17或者就是 ()[](){}(){}p F p X p Z = 式中:[Z(p )]动刚度矩阵 2-18 可以得到传递函数矩阵为:()[]()[]()[]()()p Z p Z adj p Z p H ==-1 2-19式中 ()[]()p Z adj :()p Z 的伴随矩阵,等于[]Tijij Z ε;ij Z :()[]p Z 去掉第行第列后的行列式 ⎩⎨⎧+→-+→=等于奇数如果等于偶数如果j i j i ij 11ε;传递函数矩阵含有幅值函数。
2-19式中的分母,即就是()[]p Z 的韩烈士,叫做系统的特征方程。
与单自由度情况一样,系统特征方程的根,即系统极点,决定系统的共振频率。
根据特征值问题,可以求出系统特征方恒的根。
为了把系统方程2-17转化为一般的特征值问题公式,加入下面的恒等式:[][](){}{}0=-X M p M p 2-20将此式与2-17式结合在一起得:[][](){}{}'F Y B A p =+ 2-21其中 [][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C M M A 0 , [][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=K M B 00, {}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=X X p Y , {}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=F F 0'。
如果力函数等于零,那么式2-19就成了关于实值矩阵的一般特征值问题,其特征值马祖下列方程的p 值:[][]0=+B A p 2-22它的根就就是特征方程()0=p Z 的根。
