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破除缠论束缚（三）：唯一分解定理
缠论中，走势分解有两种方法，同级别分解以及非同级别分解，而这两种分解方法都可行的原因就是，这两种分解方式都能够对走势做出唯一分解。
以最常见的线段为例，在1分钟图中，大盘被唯一的分解成了连续线段的连接，而线段的划分具有唯一性，因此，线段划分走势就是在线段层面对走势的唯一分解，在缠论递归体系中，1分钟中枢由线段构成，因此，对走势进行1分钟同级别分解，分解出来的走势也具有唯一性，以此类推，才有了缠师所说的任何走势，都可以唯一表达为a1A1+a5A5+a30A30...的形式。
换句话说，正因为走势分解的唯一性存在，走势才具备了分析的可能。
而在分析的过程中，由于多义性的存在，使得走势组合方式呈现出了多样性，这种组合的多样性并不违背走势的唯一分解，因为任何一种组合方式都是在同一原则下进行的。
波浪理论之所以千人千浪，其本质原因就是因为波浪理论并没有一套原则，将走势进行唯一分解。
走势到底有多少种唯一分解方式我不知道，但可以明确的说，只要你的方法能够将走势进行唯一分解，那么这种方法就具备研究的意义。
在缠论体系中，由于走势必完美的存在以及中枢的递归关系，使得走势有了完全分类的可能以及分类的零界点，也就是说，在缠论视角下，一套分析方法是否能够得到市场的检验，首要条件就是能够对走势进行唯一分解，然后在走势必完美的第一原理下能够对走势进行完全分类，并给出分类的临界点，这样，就算并不是使用递归函数，却依旧是不违背缠论的一套有效的分析方法。
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
bzoj 唯一分解定理
唯一分解定理是数论中的一项基本定理，它指出每个大于1的正整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
这个定理在数论的研究中起着重要的作用，它揭示了正整数的内在结构和分解方式。
正整数的唯一分解定理可以简单地表述为：任何一个大于1的正整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
具体地说，如果一个正整数n可以表示为p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak的形式，其中p1、p2、...、pk是素数，a1、a2、...、ak是非负整数，且对于任意的i≠j，pi≠pj，那么这个表示就是唯一的。
唯一分解定理的证明过程较为复杂，需要运用到数论中的一些基本概念和定理。
但是，我们可以通过一个简单的例子来直观地理解唯一分解定理。
假设我们要将一个正整数n进行分解，首先我们可以从最小的素数
2开始尝试，如果n能被2整除，那么我们就将n除以2，并将2记录下来；如果n不能被2整除，我们就继续尝试下一个素数3，以此类推。
这样，我们就可以将n分解为一系列素数的乘积。
例如，假设n=48，我们可以将其分解为2^4 * 3^1。
这个表示是唯一的，因为我们无法找到其他的素数使得它们的乘积等于48。
唯一分解定理的重要性在于它使得我们能够更好地理解和研究正整数的性质。
它为数论中的其他定理提供了基础，同时也为实际问题
的求解提供了思路。
总的来说，唯一分解定理是数论中的一项重要定理，它揭示了正整数的分解方式，并为数论的研究提供了基础。
这个定理的证明较为复杂，但我们可以通过举例来直观地理解它的意义和应用。
唯一分解定理的发现和应用对于数论和其他相关领域的研究都有着重要的意义。
主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。
首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
最后给出一些相关的例子和定理的证明。
关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。
纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。
本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。
此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。
2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。
一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。
（2）所有它的理想都是主理想。
（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。
主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。
（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。
（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。
3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。
3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。
4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。
4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。
（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
