探索勾股数的规律

勾股数的第n个规律公式勾股数，又称毕达哥拉斯数，是一类特殊的整数三元组，满足勾股定理。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。

根据勾股定理，对于任意的正整数a、b和c，满足a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边，a和b为两条直角边。

而满足这一条件的整数三元组就被称为勾股数。

勾股数的规律公式可以表示为：a = m^2 - n^2b = 2mnc = m^2 + n^2其中m和n为任意正整数，且m > n。

根据这个公式，我们可以推导出无穷多个勾股数。

第一个规律是当n为1时，m可以取任意大于1的正整数。

当n=1时，a = m^2 - 1，b = 2m，c = m^2 + 1。

例如，当m=2时，可以得到a=3，b=4，c=5，满足勾股定理。

当m=3时，可以得到a=8，b=6，c=10，同样满足勾股定理。

可以看出，当n=1时，勾股数存在无穷多个。

第二个规律是当n为2时，m只能取大于2的奇数。

当n=2时，a = m^2 - 4，b = 4m，c = m^2 + 4。

例如，当m=3时，可以得到a=5，b=12，c=13，满足勾股定理。

当m=5时，可以得到a=21，b=20，c=29，同样满足勾股定理。

可以看出，当n=2时，勾股数也存在无穷多个。

第三个规律是当n为其他正整数时，m和n的取值存在限制。

当n 为其他正整数时，m和n必须互质且m和n不同时为奇数。

互质意味着m和n的最大公约数为1，即它们没有共同的因数。

这个规律可以通过数学证明得出，但在此不再详述。

根据上述三个规律，可以得出勾股数的一般规律：当n为1时，m 可以取任意大于1的正整数；当n为2时，m只能取大于2的奇数；当n为其他正整数时，m和n必须互质且m和n不同时为奇数。

根据这个规律，我们可以生成无穷多个勾股数。

勾股定理是数学中的重要定理，不仅在几何学中有广泛应用，也在物理学和工程学中有重要作用。

例如，在建筑设计中，勾股定理可以用来计算斜坡的长度和高度；在导弹轨迹计算中，勾股定理可以用来计算导弹的飞行距离和高度。

勾股定理探究报告
为什么勾股数中一定会有偶数？
假设三边a、b、c（a<b<c）都为奇数,则a2 为奇数b2和c2都为奇数,奇数与奇数相加会得偶数,这不符合a2+b2=c2.我们再设a和b为奇数,c为偶数,则a2 为奇数,b2为奇数,c2为偶数,奇数与奇数相加等于偶数,这符合a2+b2=c2.以此类推再设a、b、c都为偶数，则a2b2c2都为偶数，两个偶数相加一定会等于偶数，也符合a2+b2=c2。

所以勾股数中一定会有偶数。

三个勾股数的规律
设a、b、c为一组勾股数
当a为偶数时，如6、8、10；8、15、17；12、35、37；20、99、101... ...我们发现，除a外的b、c为两个连续的偶数或奇数。

我们知道a为偶数，我们就可以用2m（m>1）来表示它，则b=m2-1，c=m2+1.我们将b和c相加等于2m2，这是发现a2/2也等于2m2，所以我们得出a2/2=b+c且b和c是两个连续的奇数或偶数。

勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。

如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。

下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。

勾股数顺口溜及常用的套路勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数顺口溜及常用的套路。

勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。

7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。

9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。

(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。

10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。

12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。

勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数常见的套路(1)当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)(2)当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)。

对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。

关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。

《周札》卷十《地官。

大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。

而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。

”两者何其相似。

曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。

至今河南登封县还有周代观景台遗址。

《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。

《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。

光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。

夫子之道，皆能知之。

”可见陈子也是精通天文历算的学者。

顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。

其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

勾股数的第n个规律公式勾股数是指满足勾股定理的三个正整数（a，b，c），其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

勾股定理可以表示为a^2 + b^2 = c^2。

根据勾股定理的规律，我们可以推导出勾股数的一些特征和公式。

在这篇文章中，我们将探讨勾股数的第n个规律公式。

我们来看一下勾股数的前几个规律。

最简单的勾股数是(3, 4, 5)，接下来是(5, 12, 13)，然后是(8, 15, 17)，(7, 24, 25)，(9, 40, 41)，以及(11, 60, 61)等等。

可以观察到，这些勾股数的斜边c都是一个奇数，并且a和b之间的差距逐渐增大。

我们可以通过数学推导来得出勾股数的第n个规律公式。

假设第n 个勾股数为(a, b, c)，其中a和b都是奇数，c是一个奇数。

根据前面的观察，我们可以假设 a = 2m + 1，b = 2m + 2n + 1，c = 2m + 2n + 2，其中m和n都是非负整数。

根据勾股定理，我们可以得到(a, b, c)满足的条件：(2m + 1)^2 + (2m + 2n + 1)^2 = (2m + 2n + 2)^2。

将这个等式展开并化简，可以得到4n^2 + 4n + 1 = 4m(m + n + 1)。

进一步化简得到n(n + 1) = m(m + n + 1)。

通过观察我们可以发现，当m = n时，等式成立。

所以，第n个勾股数的规律公式可以表示为(a, b, c) = (2n + 1, 2n + 2n + 1, 2n + 2n + 2)，其中n为非负整数。

通过这个规律公式，我们可以计算出任意一个勾股数。

例如，当n = 1时，我们可以得到(3, 4, 5)；当n = 2时，我们可以得到(5, 12, 13)；当n = 3时，我们可以得到(7, 24, 25)。

通过逐步增加n的值，我们可以计算出更多的勾股数。

勾股数的规律公式不仅可以用于计算勾股数，还可以用于解决一些几何问题。

勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。

勾股定理数组的规律稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊勾股定理数组的规律，这可有意思啦！你知道吗？勾股定理说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那勾股定理数组呢，就是满足这个关系的一组数。

比如说 3、4、5 就是一组常见的勾股数，因为 3 的平方加上 4 的平方正好等于 5 的平方。

我发现勾股定理数组有个好玩的地方，就是如果一组数是勾股数，那给它们同时乘以一个整数，得到的新数组还是勾股数。

就像3、4、5 乘以 2 变成 6、8、10，还是满足勾股定理呢！还有哦，勾股定理数组的规律可不只是这些。

如果一组勾股数中最小的奇数是 m，那另外两个数就是(m² 1) / 2 和(m² + 1) /2 。

是不是有点神奇？比如说 5 是最小的奇数，按照这个规律算，另外两个数就是(5² 1) / 2 = 12 ，(5² + 1) / 2 = 13 ，5、12、13 果然也是勾股数！怎么样，勾股定理数组的规律是不是很有趣？咱们接着探索！其实啊，勾股定理数组还有很多隐藏的小秘密等着我们去发现呢。

每次找到新的规律，都感觉像是找到了宝藏一样开心！对啦，你要是在做题的时候能熟练运用这些规律，那可就轻松多啦，简直是如虎添翼！好啦，今天就先聊到这儿，咱们下次继续深挖勾股定理数组的奇妙世界！稿子二嗨呀，亲爱的小伙伴！咱们又见面啦，今天来唠唠勾股定理数组的规律哟！说起勾股定理数组，那可是数学里的小精灵，藏着好多好玩的秘密。

你想想，像 6、8、10 或者 5、12、13 这样的数组，它们之间的关系是不是特别奇妙？这就是勾股定理的魅力所在。

我发现啊，勾股定理数组中的数好像总是有着特殊的“默契”。

比如说，如果一组勾股数中最大的数是偶数，那么另外两个连续的奇数就是勾股数。

还有还有，如果一组勾股数从小到大排列，相邻两个数的差也有规律呢。

有时候它们的差是固定的，有时候又会按照某种模式变化。

而且哦，勾股定理数组在实际生活中也有大用处呢！比如说盖房子的时候，工人师傅要确定直角，就可以用勾股定理数组来帮忙。

常用勾股数组口诀勾股数顺口溜口诀勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数顺口溜及口诀。

供参考。

勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。

7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。

9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。

(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。

10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。

12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。

什么是勾股数所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a²+b²=c²,a,b,c∈n。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

常用勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五；5，12，13：5·21（12）记一生（13）等等。

下面就和我一起了解一下吧，供大家参考。

什么是勾股数勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

勾股数的规律详解勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。

计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。

因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。

例：已知在△abc中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠c=90°。

此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。

如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。

由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

勾股数顺口溜及常用的套路一、勾股数顺口溜勾股定理是数学中最基础、最重要的定理之一，通过这个定理可以找到一类特殊的数，它们满足勾股定理的条件，被称为勾股数。

下面给大家介绍一首顺口溜，简单易记，帮助大家记住勾股数的特点：三四五，五十二，七五二，十九年。

找勾股数，此公式，一加一，乘积除以二。

这首顺口溜通过数字和押韵的方式，将勾股数的特点表达清晰明了。

接下来，我们将进一步探讨勾股数的常用套路。

二、勾股数的常用套路1. 寻找勾股数的基本思路勾股数是满足勾股定理的整数解，即满足a^2 + b^2 = c^2的三个整数（a、b、c），其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

寻找勾股数的常用套路是通过遍历整数，检验是否满足勾股定理条件。

2. 遍历法遍历法是最简单直观的寻找勾股数的方法，通过遍历a、b的所有可能取值，计算c的值，并判断是否满足勾股定理。

常用的遍历区间是1到n，n根据具体情况而定。

3. 欧拉公式欧拉公式是一种利用辗转相除法寻找勾股数的方法。

欧拉公式表达式为：m = k * (m^2 – n^2)，n = 2 * k * m，c = k * (m^2 + n^2)，其中m、n、c分别表示勾股数的三个整数解。

4. 边界条件的判断在寻找勾股数的过程中，需要注意边界条件的判断。

例如，a、b、c必须为正整数，且a < b < c，同时满足a、b、c的最大公约数为1，以确保找到的是最简勾股数。

三、总结勾股数的顺口溜和常用套路，是帮助我们记忆和寻找勾股数的有效方法。

通过这样的方式，我们能更好地掌握勾股定理和勾股数的特点，为数学和实际问题的解决提供了便利。

以上就是关于勾股数顺口溜及常用的套路的介绍。

希望通过这篇文章的阅读，可以帮助大家更好地理解勾股数的概念和应用，提升数学问题的解决能力。

勾股数的规律总结归纳
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数的规律，供参考。

勾股数的规律
1.在一组勾股数中，当最小边是奇数是，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。

2.在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。

3.在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

勾股数规律公式
1.当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
2.当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
什么是勾股数
勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a²+b²=c²)。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

探索勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理;如果直角三角形的三边a 、b 、ca ﹤b ﹤c,由勾股定理可知：222a b c +=,其中a 为勾,b 为股,c 为弦;若它们都为整数时,则它们称为一组数;如何求得一组勾股数呢勾股数有多少组呢为此我们可以在以下四个方面来研究这些问题;一、当勾为奇数时,探求勾股数的规律2、归纳规律：1每组中a 都是奇数；22a b c =+,212a b -=；3c = b+1,212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a nb n n -+-===+ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1n 为正整数; 3、证明：∵22222(21)(22)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222n n +、2221n n ++;3证明过程：同前面的证明;二、当勾为偶数是,探求勾股数的规律2、 归纳规律：1、每组中a 勾是偶数第一组较特殊：勾比股大；2、2214,22a abc b -=+=⨯3、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时,则：或22c=b+2=(n 2n)+2=n 2n+2++,于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++n 为正整数;3、 证明： ∵22222[2(1)](2)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、22n n +、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;三、运用配方法探求勾股数的规律1、a 勾、b 股、c 弦用含有m 、n 两个不同的正整数且m ＞n 的代数式表示： 此时,它们也是一组勾股数;2、证明：∵222222()(2)a b m n mn +=-+∴222a b c +=∴22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数;四、运用已知勾股数探求勾股数的规律1、如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;例如一组勾股数是3、4、5,当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10;2、证明：∵222a b c +=∴222222()()na nb n a n b +=+∴如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;说明：在等腰直角三角形中因为a=b,因此22222a b a c +==得c =,所以a 、b 、c不可能都为整数;即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数;综上所述得以下勾股数的四种表现形式：★ 2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; ★ 2n+1、n 2+2n 、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;★ 22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数; ★ 如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;我们从中任取一种形式来,给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数; 每种形式也可求出无数组勾股数,所以勾股数的组数也就是无数个了;。

（5）勾股数组的规律满足不定方程a 2+b 2=c 2的三个正整数称为勾股数组。

古巴比伦公元前2000年左右就发现了很多勾股数组。

成书于西汉时期的《周髀算经》中记载的(3，4，5)无疑是中国数学史上发现最早的一组勾股数组。

公元一世纪，我国古代数学著作《九章算术》中对于具体的数据（如勾股和、弦长等）给出了求勾股弦三个数的具体算法。

有人推测，九章算术已经给出了勾股数的一般规律：若给了两个数m 、n ，则)(2122n m -、mn 、)(2122n m +就是一组勾股数，刘徽更明确了所有的勾股数组的比率满足这一规律，但从文字看还只是具体数据的，尚不能明确。

公元前6世纪毕达哥拉斯学派发现：任取一个奇数，把它的平方数分为相差1的两个数，那么这三个数就是勾股数. 若m 为大于1的奇数，则（m ，212-m ，212+m ）便是一组勾股数组。

因此，国外人们习惯把勾股数组叫做毕达哥拉斯三元数组。

欧几里得也曾给出求勾股数组的方法：m 、n 是整数，（2222,2,m n m mn n +-）是一组勾股数。

实际上，可以证明：在三个数互质的情况下，勾股数组都可以写成（2222,2,m n m mn n +-）的形式，或者说勾股数组都可以写成（)(,2),k(m 2222n m k kmn n +-）的形式。

◎勾股数组的规律，可能真是一个“下金蛋的母鸡”勾股数组的规律，太复杂了，学生哪能探究？是的，学生要完全探究出这些规律确实困难，但也许学生探究的过程中会有很多收获哟。

当年，被称为“业余数学家之王”的法国数学家费马，在阅读丢番图的《算术》一书中“分一个给定的平方数为两个平方数的和”这个问题时，写下了著名的旁注：“一个立方数不可能分解成两个立方数的和，一个四次方数不能分解成两个四次方数的和，一般地说，大于2的任意次幂的数都不能分解为两个同次幂的数的和。

我找到了这个命题的一个真正奇妙的证明，但书上空白的地方太窄，写不下。