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普朗克函数反函数普朗克函数 (Planck function) 是物理学中一个用于描述热辐射的函数，它由德国物理学家普朗克 (Max Planck) 创立。
普朗克函数的反函数也是物理学研究中的一个重要部分。
一、普朗克函数的定义普朗克函数是指一个与温度，波长和辐射强度相关的函数。
它通常用于描述黑体辐射过程中的能量分布和辐射强度的密度。
普朗克函数被广泛地应用于天体物理学、气象学、空间科学、核物理学等领域，因为它能帮助科学家们更好地理解和解释物质的热量特性。
二、普朗克函数的特性普朗克函数被定义为：$$B(\nu, T) =\frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_bT}}-1}$$其中，$B(\nu, T)$ 表示在温度为 $T$ 的黑体内，频率为 $\nu$ 的辐射强度密度，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
普朗克函数有以下几个特点：1. 频率越高，辐射强度密度越大。
2. 在短波长处，普朗克函数函数值急剧上升，而且在极短波长处，函数值趋近于无穷大。
3. 随着温度的升高，普朗克函数曲线向短波长方向移动，且曲线最大值也会向短波长方向移动。
三、普朗克函数反函数的意义普朗克函数反函数，也称为辐射定律，是指一个从辐射强度密度到温度之间的关系式。
它是普朗克函数的逆运算，意义重大。
普朗克函数反函数的求解可以帮助我们在物理学领域中解决很多实际的问题。
例如，它可以被用来计算太阳辐射的温度、判断天体运动的情况等等。
四、普朗克函数反函数的公式普朗克函数反函数字面上的意思是一个可以将辐射强度密度转化为温度的函数。
它可以用下面这个公式进行求解：$$T = \frac{h\nu}{k_b{ln(\frac{2h\nu^3}{Ic^2}+1)}}$$其中，$T$ 表示温度，$I$ 表示辐射强度密度，$\nu$ 表示频率，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
量子物理公式总结量子物理是研究微观物质的行为规律的物理学分支，描述了微观世界的奇妙现象和量子系统的特性。
本文将对一些常见的量子物理公式进行总结和解释。
1. 波函数与薛定谔方程波函数是描述量子系统的数学工具，通常用符号ψ表示。
薛定谔方程是描述波函数演化随时间变化的定律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ(∂ψ/∂t) = Hψ，其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，H是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了波函数随时间的演化。
2. 波动性与粒子性的双重性质根据德布罗意假说，微观粒子也具有波动性。
德布罗意波长λ = h/p，其中h是普朗克常数，p是粒子的动量。
这个公式表明，质量较小的粒子具有更强的波动性。
3. 平面波的波函数平面波是一种纯粹的波动模式，其波函数可以表示为ψ(x) =Ae^(ikx)，其中A是归一化系数，k是波矢，x是位置。
平面波的波函数具有连续的能量谱和动量谱。
4. 薛定谔方程的定态解薛定谔方程的定态解是指系统在某个特定能级上的解。
定态波函数可以用复数形式表示为ψ(x) = φ(x)e^(iEt/ħ)，其中φ(x)是空间部分的波函数，E是能量。
定态解是量子力学中最基本的解，并用来描述电子在原子中的行为。
5. 测量与不确定原理根据不确定原理，无法同时精确测量粒子的位置和动量。
不确定原理的数学形式是ΔxΔp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。
这意味着粒子的位置和动量无法同时完全确定，存在一定的不确定性。
6. 角动量算符与角动量量子化角动量算符描述了粒子的旋转运动特性，通常用符号L表示。
它是一个矢量算符，包括轨道角动量和自旋角动量。
角动量的量子化表明，角动量只能取一系列离散的值，即量子化。
7. 定态Schrödinger方程定态Schrödinger方程是薛定谔方程的简化形式，适用于定常态。
它可以写成Hψ = Eψ，其中H是系统的哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
量子力学角动量公式量子力学中的角动量公式，就像是一把神奇的钥匙，能为我们打开微观世界的神秘大门。
在我们日常生活的宏观世界里，对于物体的转动和角动量的理解相对直观。
比如说，一个旋转的陀螺，我们能清楚地看到它的转动。
但在微观世界中，角动量的概念和表现可就大不相同啦。
咱先来说说量子力学角动量的基本公式：$J^2 = j(j + 1)\hbar^2$ 以及 $J_z = m_j\hbar$ 。
这里的 $j$ 代表角量子数，$m_j$ 则是磁量子数，而 $\hbar$ 是约化普朗克常数。
记得有一次，我给学生们讲解这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这东西看不见摸不着的，学它有啥用啊？”我笑着跟他们说：“同学们，就好比你们在玩拼图，每一块拼图看起来没啥特别，但当它们都拼在一起，就能呈现出一幅完整美丽的画面。
量子力学的角动量公式也是这样，虽然单个看起来有点复杂和抽象，但当它和其他的知识结合起来，就能让我们理解原子、分子，甚至是整个微观世界的运行规律。
”那咱们再深入一点聊聊这个公式。
在量子力学里，角动量不再是像宏观世界那样连续变化的，而是离散的、量子化的。
这就好比上楼梯，你只能站在特定的台阶上，而不能处于两个台阶之间的位置。
比如说氢原子中的电子，它的角动量就遵循这些公式。
电子的状态不是随意的，而是由特定的角量子数和磁量子数决定。
这就决定了电子能处于哪些特定的轨道，从而影响着原子的化学性质和物理性质。
再举个例子，在研究晶体结构的时候，角动量公式也发挥着重要作用。
晶体中的原子或者离子的排列方式，与它们的角动量特性息息相关。
想象一下，我们就像是微观世界的探险家，而角动量公式就是我们手中的地图和指南针。
它指引着我们在这个充满神秘和奇妙的微观领域中前行，让我们能够揭示那些隐藏在微小尺度下的奥秘。
总之，量子力学角动量公式虽然看似复杂难懂，但它却是我们探索微观世界的有力工具。
只要我们用心去理解，去探索，就能发现它背后所蕴含的无尽奥秘和美妙。
量子计量计算公式量子计量是一种用于描述和预测微观粒子行为的理论框架，它是量子力学的一个重要组成部分。
量子计量计算公式则是用来计算量子系统状态和性质的数学工具，它能够帮助我们理解和预测微观世界的现象。
在本文中，我们将介绍一些常见的量子计量计算公式，并探讨它们在量子力学中的应用。
首先，让我们来看看量子力学中最基本的公式之一——薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子系统的时间演化，它的数学表达式为：\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)\]其中，\(\Psi(\mathbf{r},t)\)是波函数，描述了量子系统的状态；\(\hat{H}\)是哈密顿算符，描述了系统的能量。
这个方程告诉我们，波函数随时间的演化是由哈密顿算符所决定的，它是量子系统动力学的基础。
接下来，我们来看看量子系统的测量。
在量子力学中，测量是一个非常重要的概念，它允许我们观察和获取量子系统的信息。
在进行测量时，我们需要用到投影算符。
投影算符可以将波函数投影到某个特定的测量结果上，它的数学表达式为：\[\hat{P}_\lambda = \sum_n |\lambda_n\rangle\langle\lambda_n|\]其中，\(\lambda\)表示测量结果，\(|\lambda_n\rangle\)表示对应于测量结果\(\lambda\)的本征态。
投影算符的作用是将波函数投影到测量结果\(\lambda\)对应的本征态上，这样我们就可以得到测量结果\(\lambda\)的概率。
除了测量外，我们还需要考虑量子系统的平均性质。
在量子力学中，平均性质可以用期望值来描述，它的数学表达式为：\[\langle\hat{A}\rangle = \langle\Psi|\hat{A}|\Psi\rangle\]其中，\(\hat{A}\)是描述某个物理量的算符，它对应于可观测量；\(\Psi\)是波函数。
量子力学公式范文量子力学是研究微观粒子在原子、分子和亚原子尺度下行为的物理学理论。
它是20世纪初由一些著名的科学家如普朗克、爱因斯坦、玻尔等人提出的，致力于描述微观世界的实验事实和观察结果。
量子力学公式则是量子力学的数学表达方式，帮助我们更好地理解和计算微观世界的现象和性质。
以下是一些常见的量子力学公式。
1. 德布罗意公式（De Broglie Formula）德布罗意公式是根据德布罗意假设提出的，描述微观粒子（如电子、光子）的波粒二象性。
根据该公式，任何一种粒子都对应着一种特定的波动性质。
其数学表达式为：λ=h/p其中，λ表示粒子的波长，h为普朗克常数，而动量p等于质量m与速度v的乘积。
2. 斯特恩-格拉赫实验公式（Stern-Gerlach Experiment Formula）斯特恩-格拉赫实验是研究自旋量子数的实验，结果显示自旋只能够取两个可能的方向。
其公式描述为：ΔSz=-ħ/2其中，ΔSz表示自旋在z方向上的测量值，ħ为约化普朗克常数。
3. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学最重要的基本方程之一，用于描述量子体系的演化。
薛定谔方程的一维形式为：iħ(∂ψ/∂t)=-ħ^2/(2m)(∂^2ψ/∂x^2)+Vψ其中，i表示虚数单位，ħ为约化普朗克常数，ψ为波函数，t表示时间，m为粒子质量，V为势能。
4. 测不准原理（Heisenberg's Uncertainty Principle）测不准原理是量子力学的基本原则之一，表明我们无法同时完全准确地测量一个粒子的位置和动量。
其数学表达为：ΔxΔp≥ħ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ为约化普朗克常数。
5. 能级公式（Energy Level Formula）能级公式用于描述量子体系中粒子的能级。
对于一维势阱来说，能级公式表达为：En=(n^2π^2ħ^2)/(2mL^2)其中，En表示第n个能级的能量，m为粒子质量，L为势阱长度，n 为正整数。
联系经典力学、量子力学、相对论力学的公式hmE mvp k2量子力学：波粒二象性hc hv cE cmc mcp 2相对论力学：)8/(3)2/()1/-1/1()1/-11(-44222022202220202c v c v c m cv c m cv c m cm mc E k经典力学：mpmvE k22122全微分dtdv m dt dm v dtmv d dtdp F)(Lhn nL h hPn Lf v vT vtsv f w xxwTx T w vtv w wt xvt vT t T wt /,222/222驻波温度常数波长速度周期频率能量T k ET c T vhv E 23V 1哈密顿函数、流体动力学、矢量矩阵力学、薛定谔方程、引力场方程与电磁场方程共同性合物与光子结合打出来的混无法计算，光电子是指21212221212222212129121212,22)()(212121,31,,W W W hv W hv mv mv E E hmE mv PE W hv mP mqBr mqBr m rqvB mv E chv cE hmcP v v r r m qBr v qB vm rrv m qvB k k kk kxim i E t i E hv c h c hv cE mcP hmE mvPx m m P E r U E r V E E mPmmv mvE mv P wvh hvE k k k k k k 2)(:,:/22:2)()(,22)(21,2222222222获得小质量；大质量，相互作用弱而用，相互作用强而获得的相互作希格斯场（上帝粒子）被赋予：起源于粒子与一团能量波包；起源于电磁相互作用，能量：等效原理）；—成正比（引力质量引力：引力大小与质量性质量）；动状态改变的本领（惯惯性：代表抵抗物体运（物质质量）；初中：所含物质的多少质量Higss c E m,/2关系的弯曲几何学）描述运动、质量、时空加速度等效；与引力等价，即引力与（电梯实验：非惯性系；引力质量得出等效原理质量、广义相对论：由惯性）、时间、空间的运动学（追光实验：描述运动，光速不变原理；中一切物理规律都相同、狭义相对论：惯性系都相同惯性系中一切物理规律、伽利略相对性原理：相对论321。
普朗克常数公式
【实用版】
目录
1.普朗克常数的定义与公式
2.普朗克常数的历史背景
3.普朗克常数的应用
4.普朗克常数在科学研究中的重要性
正文
普朗克常数公式是量子力学中的一个重要公式，其定义为能量子
E=hf，其中 E 代表能量子，h 代表普朗克常数，f 代表频率。
普朗克常数的数值约为 6.626070049×10^-34 J·s，它是一个物理学中的基本常数。
普朗克常数的历史背景可以追溯到 1900 年，当时德国物理学家马克斯·普朗克为了解释黑体辐射现象，提出了量子假说，即能量是以离散的小颗粒（能量子）形式存在的。
这个假说颠覆了当时物理学界的传统观念，开启了量子力学的研究之路。
普朗克因此被誉为量子力学的奠基人之一。
普朗克常数在科学研究中有着广泛的应用。
在量子力学、统计力学、热力学等领域，普朗克常数都是一个不可或缺的参数。
例如，在量子力学中，普朗克常数被用来描述光子的能量、频率和波长之间的关系；在统计力学中，普朗克常数用来描述粒子的量子态和热量等。
普朗克常数在科学研究中的重要性不言而喻。
正是因为普朗克常数的发现，人们才开始认识到自然界的微观世界是离散的、量子化的，从而推动了量子力学的发展。
同时，普朗克常数也为许多科学理论和实验提供了关键的基础参数，对于科学研究的进步具有深远的影响。
总之，普朗克常数公式不仅是量子力学的基本公式，也是揭示自然界
微观世界奥秘的重要工具。
量子力学普朗克公式
普朗克公式是描述量子力学中光子能量的公式，由德国物理学家马克斯·普朗克于1900年提出。
公式表达了光子的能量与其频率之间的关系。
公式如下：
E = hν
其中，E表示光子的能量，h为普朗克常数（约等于6.62607004 × 10^-34 J·s），ν表示光子的频率。
这个公式表明，光子的能量是与其频率成正比的，而与波长无关。
这是量子力学的一个基本原理，称为能量量子化。
根据普朗克公式，光子的能量是离散的，而不是连续的。
这与经典物理学中的波动理论有所不同，后者认为能量是连续的。
普朗克公式对于解释黑体辐射的能谱分布提供了一个重要的解释。
它为量子力学的发展奠定了基础，并为后来的量子理论和量子力学的建立做出了重要贡献。
量子力学常用积分公式类型Ⅰ Г函数及其变化形式(1) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞-∞-∞-∞---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=Γ==Γ==Γ==Γ==Γ=⇒>Γ=0021000231)21(1)1(1)2(2)3(6)4()0)((παααdx x e dx e xdx e dx x e dx x e dx x e x xx x x x(2) ⎰∞-+Γ=)21(212ββdx x e x证明：在⎰∞-->Γ=01)0)((αααdx x e x 中令ｘ＝ｙ2即得。
(3) 2)21(2102π=Γ=⎰∞-dx e x证明：πθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-+-∞∞-∞∞--∞∞--drd r e dxdy edy edx er y x y x 020)(2222222022ππ=⇒=⇒⎰⎰∞-∞-dx e dx ex x(4)⎰∞∞---=ABBxAxe Adx e 4/22π证明：AB AB ABA B eAdyeeA dx edx ey x A BxAx 42422422221)(π===⎰⎰⎰∞∞--∞∞-∞∞-++---(5) 10!+∞-=⎰n n ax a n dx x e (0,>=a n 正整数)(6) a dx e ax π2102=⎰∞- (7) 121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n a n dx e x π(8) 1122!2+∞-+=⎰n ax n a n dx e x 类型Ⅱ 含有三角函数和指数函数的积分(9) ⎰+-=22ax axp a )px cos p px sin a (e pxdx sin e (10) ⎰++=22ax axp a )px sin p px cos a (e pxdx cos e 证明：222222)cos sin ()sin cos ()sin )(cos ()sin (cos p a px p px a e ip a px p px a e p a px i px ip a e ip a e dx edx px i px eax ax ax ipx ax ipxax ax+-+++=++-=+==+⎰⎰++(11) ax x a ax aaxdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰ (12) =⎰axdx x sin 2ax ax a ax a x cos )2(sin 2222-+ (13) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰(14) ax a a x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰)(15) ⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--++>++++=+)0(),arcsin(22)0(),ln(222222a x c a a c c ax x a c ax x a ac c ax x dx c ax (16) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⎰⎰正奇数），（正偶数）n n n n n n xdx xdx n n !!!)!1((,2!!!)!1(cos sin 2020πππ(17) ⎪⎩⎪⎨⎧<->=⎰∞)0(,2)0(,2sin 0a a dx x ax ππ(18) 2sin 022adx x ax π⎰∞= (19) ⎰∞-+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a ) (20) ⎰∞-+-=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )类型Ⅲ 一类含有指数函数的积分(21) 645.161112121020≈===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞πk k yx k dy ye k dx e x (22) 404.2121113102302≈==-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞k k yx k dy e y k dx e x (23) 15161141410343π===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞k k yx k dy e y k dx e x （利用901414π=∑∞=k k 可证96)12(1404π=+∑∞=k k ）(24) 612.22121112/3102/12/302/1⨯===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞ππk k yx kdy e yk dx e x(25) 341.1431431112/5102/32/502/3⨯===-∑∑⎰⎰∞=∞=∞-∞ππk k yx kdy e yk dx e x (26) 121)1(1)1(12121121π=-=-=+∑∑⎰⎰∞=-∞=∞--∞k k k yk x kdy yekdx e x。
量子力学常用计算公式1. 哈密顿算符（Hamiltonian Operator）哈密顿算符在量子力学中用于描述系统的总能量。
它的一般形式为：H = K + V其中，K表示动能算符，V表示势能算符。
2. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的时间演化。
其一维形式为：iℏ∂ψ/∂t = -ℏ^2/(2m) ∂^2ψ/∂x^2 + Vψ其中，i表示虚数单位，ℏ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，V为势能。
3. 波函数归一化（Normalization of Wavefunction)波函数必须满足归一化条件，即在整个空间积分后等于1。
对一维情况而言，归一化条件表示为：∫|ψ|^2 dx = 14. 物理量期望值（Expectation Value of Physical Quantity)物理量的期望值表示在量子态中对该物理量进行测量得到的平均值。
对一个可观测量A而言，其期望值定义为：<E[A]> = ∫ψ*Aψ dx其中，A表示物理量算符，ψ为波函数，*表示复共轭。
5. 不确定度原理（Uncertainty Principle)不确定度原理描述了同时测量一对共轭物理量（如位置和动量）的限制。
其数学表达为：ΔxΔp >= ℏ/2其中，Δx表示位置测量精度，Δp表示动量测量精度，ℏ为约化普朗克常数。
6. 一维势阱（One-dimensional Potential Well)一维势阱是一个常见的量子力学模型，用于探讨粒子在势能为零或有限的区域内的行为。
在无穷深势阱中，粒子的波函数为定态波函数，表示为：ψ_n(x) = sqrt(2/L) * sin(nπx/L)其中，L表示势阱的长度，n为正整数。
7. 自旋（Spin)自旋是粒子的固有属性，在量子力学中用于描述粒子的角动量。
自旋算符的本征态表示自旋的量子态，常用的自旋算符包括Sx、Sy和Sz。
基本公式简要第一章▲p h =λ h E =ν▲()()1r d r 32=⎰全 ψ▲()()()p d e p 21r 3r p i 23 ⋅⎰=ϕπψ ()()()r d e r 21p 3r p i 23 ⋅-⎰=ψπϕ ▲()()r d r Aˆr A 3* ψψ⎰= ▲∇-= i p ˆ p ˆr l ˆ ⨯= t i E ˆ∂∂= ()r V m2H 22+∇-=▲()()()t ,r r V m 2t ,r ti 22ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=∂∂ ▲()()()t ,r t ,r t ,r *ψψρ= ()()**m2i t ,r j ψψψψ∇-∇-=⎰⋅-=⎰s s d j d dtdτρτ ▲()() iEt E e r t ,r -=ψψ▲()()()r E r r V m 2E E 22 ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇- ()()r E r H ˆE E ψψ=▲()()t iE n nn n e r C t ,r -∑=ψψ第二章▲无限深势阱 ,3,2,1n ,ma2nE 2222n ==π()a x 0ax ,0x ,0,a x n sin a 2x n <<⎪⎩⎪⎨⎧><⎪⎭⎫ ⎝⎛=πψ▲方势垒的反射与透射反射系数=i r j j透射系数i t j j T =()E V ,E V m 200>-= κ1a >>κ,()()(),E V m 2a 2exp V E V E 16T 020 ---≈ ▲方势阱的反射,透射(),E V m 2k 0 +=',V E 1V E 4a k sin 1T 002⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+= 共振透射 ,3,2,1n ,n a k =='π,1T =, ,3,2,1n ,ma2n V E 22220n =+-=π▲δ势()x ψ'的跃变条件 ()()()02002ψγψψm ='-'-+ δ势阱()()x x V γδ-= ()0>γ中的束缚态()LxeL 1x -=ψ222m Eγ-= γm L 2 =▲一维谐振子()22x 21x V μω=()ω 21+==n E E n ,,,2,1,0 =n()()x H e A x n 2x n n 22αψα-=，()()mnnmdx x x δψψ=⎰+∞∞-，()()()x x nnnψψ1-=-第三章▲[]αββαδ i p x =ˆ, [],x i x ,l ˆγαβγβαε =[]γαβγβαεp i p ,l ˆ= []γαβγβαεl ˆi l ˆ,l ˆ = ▲,i lˆz ϕ∂∂-= .sin 1sin sin 1l ˆ22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-=ϕθθθθθ 222r 22222222222mr2lˆm 2p ˆmr 2l ˆr r r 1m 2mr 2l ˆr r r r 1m 2T ˆ +=+∂∂-=+∂∂∂∂-= 径向动量算符⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂-=r r i p r 1ˆ▲1A ˆA ˆA ˆA ˆ11==-- ().BˆB ˆA ˆ111A ˆ---= ▲转置算符*A ˆd Aˆ~*d ψτϕϕτψ⎰=⎰，()~A ˆ~B ˆB ˆA ˆ~=. ▲Aˆ厄米共轭算符+A ˆ ()()ϕψϕψ,A ˆA ˆ,=+,*ˆ~ˆAA=+()++++=A B C AC B A ˆˆˆˆˆˆˆ ▲ 厄米算符()()ϕψϕψ,A ˆAˆ,=, 或AˆAˆ=+().,m n n m δψψ=▲力学量A ˆ涨落()()⎰-=-=τψψ∆d A A ˆA A ˆA 2*22▲ϕ∂∂-= i l ˆz本征函数()ϕπϕψim e 21=, ,2,1,0±±=mx i p x ∂∂-= ˆ 本征态()()x p i x p xxe x ''=πψ21x p ':+∞<'<∞-x p (连续变化) ()()()x x p *p p p dx x x xx''-'='+∞∞-'⎰δψψ()z 2l ,l的正交归一共同本征函数()()()()()()ϕθπϕθim m l mlm e cos P !m l !m l 41l 21,Y +-⋅+-=. lm Y 称为球谐函数，它们满足()lm 2lm 2Y 1l l Y l ˆ +=， ,Y m Y l ˆlm lm z = ,l ,1l ,,1l ,l m ,,2,1,0l -+--==,Y Y d sin d m m l l m l *lm20''''=⎰⎰δδθθϕππ▲不确定关系()()[]B ˆ,A ˆ21B A 22≥∆∆ []B ˆ,A ˆ21B A ≥∆∆ 2p x x ≥∆∆▲∑=αααψψa , ()ψψαα,a =▲()()xx ik 0e dk 21x x -∞+∞-⎰=-πδ,()()()()⎰='-''∞+∞-'-''x p p i x e d21p p πδ▲箱归一化LnhL n 2p p n ===π , ()Lnx i x ip p eL1e L 1x nnπψ==第四章▲()[]tAH ,A i 1t A dt d ∂∂+== ▲位力定理V r p m1T 22∇⋅==▲对称变换Q :I QQ Q Q ==++1Q Q -+=平移x δ的算符()[],p ˆx i exp x x exp x D x δδδ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=空间旋转δϕ算符()[],l ˆi exp exp R z δϕϕδϕδϕ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂= ▲ψψ+=ij P (ψ称为对称波函数) ψψ-=ij P (ψ称为反对称波函数)()()()()()[]()()(),q q P 121q q q q 21q ,q 2k 1k 121k 2k 2k 1k 21S k k 21212121ϕϕϕϕϕϕψ+=+=()()()()()[]()()()()()()().q q P 121q q q q 21q q q q 21q ,q 2k 1k 122k 1k 2k 1k 1k 2k 2k 1k 21Ak k 212211212121ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ-==-=第五章 ▲哈密顿量()()()r V r2l r r r 2r V r 2l 2p r V 2H 22222222r 22++∂∂-=++=+∇-=μμμμμ ▲能量本征方程：()ψψμμE r V r 2lr r r 222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂- 径向波函数()r R l 满足的方程：()()()()()()0r R r 1l l r V E 2dr r dR r 2dr r R d l 22l 2l 2=⎪⎭⎫⎝⎛+--++ μ ()1l 2f l+=()()r r r R l l χ= ()()()()()0r r 1l l r V E 2r l 22l =⎪⎭⎫⎝⎛+--+"χμχ ▲质心运动()()R E R M2CT 2R 2φφ=∇-相对运动()()()C T 22E E E ,r E r r V 2-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-ψψμ▲无限深球方势球 s 态()0l =： ()()()()0r r V E 2r l 2l =-+"χμχ(),000=χ().0a 0=χ (),2,1,0n ,a21n E r 22r 220n r =+=μπ()(),a r 0,ar 1n sin a 2r r 0n r ≤≤+=πχ ()[]1dr r 2a0n r =⎰χ0l ≠情况： ()(),a k ,r k j C r R l n l n l n l l n l n r r r r r ξ==球贝塞尔函数()()ρρπρ21l l J 2j +=()().dr r r R r R a 0n n 2R l n r r l r n r ⎰=''δ,,2,1,0n ,a2E r 2ln 22l n r r==ξμ ▲ 三维各向同性谐振子 ()22r 21x V μω=()()22r 2r ll n r ,23l ,n F er ~r R 22r αα+--().,2,1,0l ,n ,23N E E r N =+==ωl n 2N r +=()()2N 1N 21f N ++=▲ 氢原子 ()()ξξξ,2l 2,1l n F N r R 2l nl nl +++-=-e()()()ϕθϕθψ,Y r R ,,r lm nl nlm =,,3,2,1n ,n 1a 2e n12e E E 22224n =-=-==μ2n nf =径向概率密度()r P =()2nl r χ1n l -=,称为“圆轨道”:无节点0n r =.,nar n 1n ,n er --∝χ, 最可几半径n r ：()21nn r -χ极大值所在的位置为,,3,2,1n ,a n r 2n ==[][] i ,i l ,z =∂∂-=ϕϕϕ绕z 轴的环电流密度2nlm sin r 1me j ψθμϕ -=磁矩m c 2m e M B z μμ-=-= c2e B μμ=1g l -≡l zg m M =若取c 2e μ为单位,则l zg m M =. 类氢离子()r Ze r V 2-= ,,3,2,1n ,nZ 2e E 2224n =-=μ径向波函数与氢原子径向波函数形式相同,只是将波尔半径a 换成Z a .。
