02决胜新高考·名校交流四月联考卷(B数学解析

2022本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案 不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 设集合401x A x x ， 2112B ，，，，则 A B R A ． 11 ， B ． 21 ， C ． 211 ，， D ． 2112 ，，， 2． 已知复数z 满足(1i)12i z ，则z 在复平面内对应的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3． 设F 是抛物线2:2C y px （0p ）的焦点，经过点F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点．若OAB △（O 为坐标原点）的面积为，则pA . 24． 我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得 一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与 4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均 分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为 A ．191 B ．193 C ．195 D ．1975. 已知 πsin 6x5πsin 26xA ．35B ．15C ．25D ．356． 已知函数()()()e xf x x a x b 在x a 处取极小值，且()f x 的极大值为4，则bA ．1B ．2C ．3D ．47． 已知正四棱台1111ABCD A B C D 的上、下底面边长分别为1和2，P 是上底面1111A B C D的边界上一点．若PA PC的最小值为12，则该正四棱台的体积为A ．18． 北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50 cm ，上口直径为1003cm ，底座直径为25 cm ，最小直径为20 cm ，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为图1 图2A ．．73二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省决胜新高考高三下学期4月大联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知向量，满足，则与的夹角是()A. B. C. D.3.已知复数z满足，则()A. B.2 C. D.54.中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212m，短轴长度约为若直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24m，则l被C截得的线段长度约为()A.140mB.143mC.200mD.209m5.已知多项式，则()A.0B.32C.16D.6.对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，x，y，z可以是()A.x，y，z是空间中三个不同的平面B.x，y，z是空间中三条不同的直线C.x，z是空间中两条不同的直线，y是空间的平面D.x，y是空间中两条不同的直线，z是空间的平面7.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，则的最大值是()A. B. C. D.8.若，，，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有两组样本数据1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，则这两组样本数据的()A.样本平均数相同B.样本中位数相同C.样本方差相同D.样本极差相同10.若函数，且，则()A. B.C. D.11.已知点P在圆上，点，，则()A.点P到直线AB的距离的最小值是B.的取值范围是C.的取值范围是D.当为直角三角形时，其面积为312.佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系.记佩尔数列为，且，，则()A.B.数列是等比数列C.D.白银比为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高三4月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，知21i (1i)i i i i 1=1i i i 11z ，则zz =22(1i)(1i)1i 1(1)2 ，故选B ．2．C 【解析】由e 2x ，得ln 2x ，所以{|ln 2}B x x .又{|31}A x x ，0ln 21 ，所以A B {|3ln 2}x x .故选C ．3．D 【解析】易知抛物线22(0)x py p 的焦点为(0,)2F p.因为点(2,)P m 在抛物线C 上，所以2m p .根据抛物线的定义，得2||22pPF p ，即2440p p ，解得2p ，所以(0,1)F .故选D ．4．A 【解析】A 选项，2022年8月同比增长率为负数，说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A 正确； B 选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B 错误；C 选项，虽然2022年4月的同比增长率最高，但如果2021年4月原油产量比2021年3月低较多，那么增加量也不一定最大，故C 错误；D 选项，因为3.94 3.6 3.63(0.2) 1.4 2.5 2.92.79，所以2022年3月至11月的同比增长率的平均数约为2.7%，故D 错误.故选A ．5．A 【解析】由B ，M ，D 三点共线，可设1)0(BM xBD x ,则()AM AB x AD AB， 所以(1)2x AM AC x AB ，所以22(1)AM x AB xAC .又2AM AB AC,所以2(1)1x x，所以12x．故选A ． 6．C 【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接,,PH HG PG ，则,PH HG ,PG BC 所以PG 13.16 ， 则14422PBCABCDBC PGS PG S AB BC AB△正方形26.32 1.3719.2 ，故选C ．7．D 【解析】令sin cos t ，则22(sin cos )1sin 2t ，所以sin 21sin cos 可化为220t t ，解得1t 或2t ，而sin cos [4，所以sin cos 1 ．故选D ．8．D 【解析】因为函数(1)y f x 的图象关于坐标原点O 中心对称，所以(1)f x 为奇函数，所以()()110f x f x ，令0x ，得2(1)0f ，所以(1)0f .令3x ，得4(20)()f f ，所以()2(4)f f .因为当1x 时3,()1f x x ，所以(4)1f ，所以()12f ，所以(2)(1)101f f ．故选D ．9．B 【解析】易知直线l ：10kx y k 过定点()1,1Q ，且点Q 在圆O 内，当Q 是弦AB 的中点时，弦长AB 最小，此时||AB =()()PA PB PQ QA PQ QB 221||||4PQ AB 2||2PQ .当P 是线段QO 的延长线与圆O 的交点时，|PQ |最大，且最大值是2PA PB的最大值是2(22 4 ．故选B ．10．B 【解析】由正弦定理及1cos 2cos c a C A ，得sin 1cos sin 2cos C C A A， ∴sin sin cos 2sin cos sin A A C C A C ，∴sin sin cos cos sin 2sin A A C A C C ，即sin sin()2sin A A C C ， ∴sin sin 2sin A B C ，∴由正弦定理，得2.a b c 又4a b ，∴ 2.c ∵22222()4cos =12212262ab a b c a b C ab ab ab abab.∵a b ，∴4ab ，当且仅当2a b 时等号成立，∴614o 2c s 1C ，∴03C，∴0sin C.故选B ． 11．D 【解析】将平行四边形ABCD 补成如图1所示的矩形AC CA ，在矩形AC CA 中（如图1所示），设,AB b BD a ，则22244AC a b .如图2，沿对角线BD 折起后的三棱锥A BCD 的外接球也是直三棱柱ABC A DC 的外接球，且在ABC △中，120ABC ，所以30BAC AC B ．设ABC △的外接圆1O 的半径为r ，由正弦定理，得22sin sin 30AB br b AC B，则r b .设三棱锥A BCD 外接球的球心为O ，半径为R ，连接11,,OB OO BO ，则22222222111(24AA R OB O O BO r a b221(4)14a b ，所以1R ，所以所求外接球的表面积为4 ．故选D ．图1 图212．B 【解析】由题意，知0,a 令()e e ,0x a f x x a x ，则()e 10x f x ，所以()f x 在区间(0) ，上单调递增，易知()0f a ，所以当x a 时，()0f x ； 当0x a 时，()0f x .令21()e 2ln 1x x a a g x ，则对任意的(0)x ，，不等式21(e e )(e x a x x a x 2ln 1)0a a 恒成立， 等价于当x a 时，()0g x ；当0x a 时，()0g x . 易知21()e 2ln 1x x a a g x 在区间(0,) 上单调递增，所以x a 是21()e 2ln 1x x a a g x 的零点，即21e 2ln 10a a a a ， 即212ln e 1a a a a ，所以2ln 1e 2ln e 1a a a a . 构造函数()e t h t t ，显然h (t )在R 上单调递增，由2ln 1e 2ln e 1a a a a ，得(2ln )(1)h a h a ，所以2ln 1a a ，即2ln 10a a .令()2ln 1a a a ，显然()a 在区间(0) ，上单调递增，易知(1) =0，故1a ．故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高三4月大联考（全国乙卷） 文科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，得2=1i i i 11z ，则||z ，故选B ． 2．C 【解析】由题意，知2{|0e }A x x ，{|31}B x x ，则{|01}A B x x ，故选C ． 3．D 【解析】由题意，知1(,0)2F ，所以3||3||2PF OF .设00(,)P x y ，因为点P 在第一象限，所以00,x00y ，则013||22PF x，所以01x ，所以0y ，故点P 的坐标为.故选D ． 4．C 【解析】由表中数据，得 4.5x ，而样本点的中心(x y ,在回归直线ˆ20.8yx 上，则9.8y ，所以5 6.6910.4159.8658.8m ，解得12.8m ，故选C ．5．C 【解析】设切点为300(,2)x x ，∵32y x ，∴26y'x ，∴切线的斜率320002 =61x k x x ，化简，得200(2x x3)0 ，∴00302xx或，∴可作2条切线，故选C ． 6．B 【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接,,PH HG PG ，则,PH HG ,PG BC 所以PG 13.16 ，则14422PBC ABCDBCPGS PG SAB BC AB△正方形26.321.3719.2，故选B ．7．A 【解析】23,32m n m n ，3223=3+2733m mn n，当且仅当323=3m n时取等号，故选A ． 8．B 【解析】由11n T ，，得332,12a T ；由112n ，得232212232a T ,； 由213n ，得132********a T ,； 由314n ，得0321021222264a T ,. 若选A ，D ，则输出T =8，所以A ，D 错误；若选C ，则输出32T ，所以C 错误；对于B ，在4n 时，021a ，输出64T ，故选B.9．A 【解析】∵cos 2sin ①，sin 2cos 1 ②，∴22 ①②，得54cos sin 4sin cos 3 ，∴1sin()2，∴os()c tan() A. 10．C 【解析】由题意，得变换后的函数解析式为cos()y x ，该函数图象与y 轴交于点1(0)2,，即1cos =2.因为22，所以π=3．因为0x 在函数cos()y x 的单调递增区间上， 所以0[2ππ2π]k k ,，k Z ，即[2ππ,2π]k k ，k Z ，且ππ22，令=0k ，则π3， 所以πcos()3y x .当5π9x 时，0y ，则5ππcos()093 .因为5π9x 是函数cos()y x 在单调递减区间上的一个零点，所以5πππ2π932k ，k Z ，所以318=25k ，k Z ．设函数cos()y x 的最小正周期为T ,则π5π>29T ，所以905 ，所以3=2．故选C ． 11．D 【解析】设()M x y ,，由22||+||10MA MB ，得2222(1)(1)10x y x y ，化简得224x y ，即点M 的轨迹是以0(0)O ,为圆心，2为半径的圆.因为||2CN ，所以N 点的轨迹是以8(6)C ,为圆心，2为半径的圆， 所以||MN 的最大值为||414OC .故选D.12．D 【解析】∵3751252=128 ，∴3272(5)(2) ，即6277524 ，∴6ln 57ln 4 ，∴ln 57ln 46 ，∴47log 56，∴z x . 令2(1)()ln 1x f x x x ，则22214(1)()0(1)(1)x f x x x x x ，∴()f x 在(0,+) 上单调递增，∴19()(1)05f f ，即192(1)191975ln ln 01955615，∴y z ， ∴y z x ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A.34B.38C.14D.182. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0-1，1}4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 的取值为（ ） A. 2或4B. 2或3C. 4或5D. 3或56. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 ()|P B A =（ ） A.14B.13C. 16D. 112,7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ） A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 10. 如图，在直角三角形ABC中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值1+ D. B ，O ，P 三点共线时2x y +=为11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________.13. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 14. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小； （2）若CD =，求四边形ABCD 面积最大值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD ⊥；的在的（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD . 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积的最大值.19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y ，记x y +的取值为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p . （i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知 146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ）A.34B.38C.14D.18【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()4241632C 2168P X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭. 故选：B2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()000,,0P x y x ≥，由题意可得02x =，结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的准线为=1x -， 设()000,,0P x y x ≥，则024x +=，解得02x =， 所以013PF x =+=. 故选：C.3. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}【答案】D 【解析】【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出a 的取值集合. 【详解】因为集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，所以一元二次方程()()210x ax --=有等根时，可得21x a==，即1a =±，当方程有两不相等实根时，20x a ==，即0a =，综上，实数a 所有取值的集合为{}0,1,1-. 故选：D4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因()()11f x f x +=-，所以()()()()1111f x f x ++=-+，即()()2f x f x +=-， 又()()f x f x -=-，函数()f x 的定义域为R ，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()2f x f x =-+， 所以，()()24f x f x +=-+，故()()()24f x f x f x =-+=+， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()20245064000f f f =⨯+==. 故选：A5. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3C. 4或5D. 3或5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知：点P 的轨迹为以AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆，结合两圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，且0a >， 因为PA PB ⊥，可知点P 的轨迹为以线段AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆， 又因为点P 在圆22:1C x y +=上，为可知圆C 与圆M 有且仅有一个公共点，则CM r R =+或CM r R =-， 即41a =+或41a =-，解得3a =或5a =. 故选：D.6. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 ()|P B A =（ ） A.14B.13C. 16D. 112【答案】B 【解析】【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =， 又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =， 且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===. 故选：B.7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ） A. 112 B. 1122-C. 102D. 1022-【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设2n n b a =， 则1212242b a a ====-，3213a a =+=，2432682b a a ====-，5417a a =+=，365214162b a a ====-，76115a a =+=，487230322b a a ====-，可归纳得：122n n b +=-，1222n n n a b +==-，所以11201022a b ==-. 故选：B8. 已知正三棱锥 P －ABC 底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O ，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC 垂直的直线上，又因为底面边长为所以底面正三角形的内切圆的半径为1tan 3012r AB =︒⋅'==， 又因为球的半径1r =，即r r '=，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O ，如图，过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ，则H 为棱切球在PA 上的垂足，所以1OH r ==，的又因为122cos30AB OA ===︒，所以1cos 2OH AOH OA ∠==, 因为()0,πAOH ∠∈，所以60AOH ∠=︒， 又由题意可知，PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥， 所以30POH ∠=︒所以cos30OH PO ===︒所以11232P ABC V -=⨯⨯=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） Az =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，利用复数模的公式计算可判断A ；由虚部概念可判断B ；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C ；根据复数的减法的几何意义求解可判断D . 【详解】对于A ，因为()1i 2i z +=-， 所以()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z ---===-++-， .所以z ==，A 正确； 对于B ，由上可知，z 的虚部为32-，故B 错误， 对于C ，因为33i 22z =+，所以13135i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 对于D ，记复数ω对应的点为(),A a b ，复数2z 对应的点为()1,3B -，则由21z ω-=可得1OA OB BA -==，即点A 在以B 为圆心，1为半径的圆上，所以，OA 的最大值为11OB +=+，即ω的最大值为1+，D 错误.故选：AC10. 如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y += 【答案】ACD【解析】【分析】依题意可得O 为AC 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A ，建立平面直角坐标系，求出圆O的方程，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用坐标法判断B 、C ，由三点共线得到//BP BO，即可求出θ，从而求出x ，y ，即可判断D.【详解】因为AO OC =，即O 为AC 的中点，所以1122BO BA BC =+，故A 正确；如图建立平面直角坐标，则()0,0B，)C，(A，O ，所以()CB =，BO =，则01CB BO ⋅==- ，故B 错误； 又2AC==，所以圆O 的方程为221x y ⎛⎛-+-=⎝⎝，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭，又)BC =，所以cos 0sin 1BP BC θθθ⎫⎫⋅=+⨯+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭ ，因为π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，θ⎡∈-⎣，所以0,1BP BC ⎡⋅∈⎣，故BP BC ⋅最大值为1C 正确；因为B ，O ，P 三点共线，所以//BPBO，又BO =，cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭，sin cos θθ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭，即sin cos θθ=， 所以π4θ=，所以BP =，又)BC =，(BA =，且BP xBA yBC =+，即())x y=+=，所以==11x y =⎧⎨=⎩，所以2x y +=，故D 正确.故选：ACD11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数证明πsin2x x >，π31sin 244x x >+和π3sin 22n n a a ≤均成立，从而可得BCD 正确.假设A 选项存在N*k ∈ ，使1k a =，则11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B ，要证数列{}n a 单调递增，只需要证πsin 2nn a a >， 令()π1sin,,123f x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππcos 122f x x ='-， ()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()110,1103f f ''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点0x ，当01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()0,1x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin2f x x x =-在01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为增函数，在()0,1x x ∈上为减函数， 因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0f x >即πsin 2x x >， 令n x a =，则有πsin2n n a a >，故B 正确； 对于A ，假设存在N*k ∈，使得1k a =，则1ππsin sin 122k k a a +===， 所以11k a +=，所以11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，故A 错误； 对于C ，要证+13144n n a a ≥+，只需证π31sin 244n n a a ≥+， 令()π311sin,,12443g x x x x ⎡⎫=--∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 224g x x '=-，()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10344g f ⎛⎫=->=-⎪''< ⎝⎭， 故()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点1x ，当11,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，当()1,1x x ∈时，()0g x '<，所以()π31sin244g x x x =--在11,3x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭为增函数，在()1,1x 上为减函数， 因为()1103g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0g x ≥即π31sin 244x x >+， 令n x a =，则有π31sin244n n a a >+，故C 正确； 对于D ，令()π31sin,,1223h x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因()1330,10322h h ⎛⎫=-<=-⎪''< ⎝⎭， 故()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，因为103h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()103h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭即π3sin 22x x ≤， 所以π3sin22n n a a ≤，即132n n a a +≤， 整理得到：112n n n a a a +-≤，其中1,2,3,,n =故21112a a a -≤32212a a a -≤，……112n n n a a a +-≤累加后可得1112n n a a S +-≤即1122n n a a S +≤+，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到.三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________. 【答案】2 【解析】【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得. 【详解】因为43b =，所以3log 4b =， 所以23lg 32lg 2log 3log 42lg 2lg 3ab =⨯=⨯=. 故答案为：213. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方为差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】9 【解析】【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1,则两组数据混合后，新数据的平均数4267510x ⨯+⨯==，则新数据的方差()()2224662517591010s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：914. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________. 【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数判断其单调性和最值，令()t f x =，整理得可得()2110t a t a +-+-=，构建()()211g t t a t a =+-+-，结合()f x 的图象分析()g t 的零点分布，结合二次函数列式求解即可.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，则()()11e xf x x -=-'，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；可知()f x 在(),1∞-内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()11f x f ≤=， 且当x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0； 作出()f x 的图象，如图所示，对于关于x 的方程()()11f x a f x +=+，令()1t f x =≠-，可得11t a t +=+，整理得()2110t a t a +-+-=， 且1-不为方程()2110t a t a +-+-=的根， 可知方程11t a t +=+等价于()2110t a t a +-+-=， 若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，可知()2110t a t a +-+-=有两个不同的实数根1212,,t t t t <， 且1201t t <<<或1201t t <<=或1201t t =<<， 构建()()211g t t a t a =+-+-，若1201t t <<<，则()()0101320g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得312a <<；若1201,1t t <<=，则()1320g a =-=，解得32a =， 此时方程为211022t t --=，解得121,12t t =-=，不合题意；若1201t t =<<，则()010g a =-=，解得1a =， 此时方程为20t =，解得120t t ==，不合题意； 综上所述：实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；（2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）=45ADC ∠︒（22+ 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =由等腰三角形可得30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =，然后四边形面积分成BCD ABD S S + 即可求解. 【小问1详解】在ABC 中，AB BC ==，120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =，又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=， 因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒. 【小问2详解】在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD =+=+∠2sin ABD =+∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =+，即四边形ABCD 2+.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD ⊥；（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD . 【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】【分析】（1）过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，分析可知PBC 为等边三角形，可得PF BC ⊥，结合面面垂直的性质可得PF ⊥平面ABCD ，即可得结果；（2）取线段AD 的中点N ，连接NF ，建系，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，求平面PAD 的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，由题意知：BCDM 为矩形，可得2,tan 60AMAM BC DM ====︒，由60PC PCB =∠=︒，则PBC 为等边三角形，且F 为线段BC 的中点，则PF BC ⊥， 又因为平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCB ⋂平面ABCD BC =，PF ⊂平面PCB ， 可得PF ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， 所以PF AD ⊥. 【小问2详解】由（1）可知：PF ⊥平面ABCD ，取线段AD 的中点N ，连接NF ，则FN ∥AB ，2FN =， 又因为AB BC ⊥，可知NF BC ⊥，以F 为坐标原点，,,NF FB FP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()(),1,,0,0,3,A D P B ， 因为E 为线段PF 上一点，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，可得()()()2,,,0,DA DP BE a ==-=，设平面PAD 的法向量(),,n x y z =，则2030n DA x n DP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令3x =-，则2y z ==-，可得()2n =--，由题意可得：cos ,n BE n BE n BE ⋅===⋅， 整理得2440a a -+=，解得2a =，所以当2EF =，直线BE 与平面PAD. 17 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥. 【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解 【解析】【分析】（1）求导可得()221ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；.（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x=->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【小问1详解】由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+内恒成立， 可知()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，令()0f x ¢>，解得x >()0f x '<，解得0x <<；可知()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增. 【小问2详解】构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， 由0x >可知10x +>， 构建()1e ,0x h x x x=->， 因为1e ,xy y x==-在()0,∞+内单调递增，则()h x 在()0,∞+内单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭， 可知()h x 在()0,∞+内存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<； 当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 内单调递减，在()0,x +∞内单调递增， 则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0x x -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=， 即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积的最大值. 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）设2001,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为20012y x x x =-，与椭圆方程联立，结合韦达定理求AB ，代入02x =即可得结果； （2）根据题意可知：点G 为OAB 的重心，进而可得13GABOAB S S ==△△.【小问1详解】由²2x y =可得21,2y x y x '==， 设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可知直线l 的斜率0k x =， 可知切线方程为()200012y x x x x -=-，即20012y x x x =-，联立方程200221212y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()22340001212202x x x x x +-+-=，可知()()62442000001Δ4421228402x x x x x ⎛⎫=-+-=--->⎪⎝⎭，解得0x <<，设()()1122,,,A x y B x y ，则4300121222001222,2121x x x x x x x x -+==++，则AB == 若P 的坐标为()2,2，即02x =，所以AB ==.【小问2详解】因为点O 到直线2001:02l x x y x --=的距离d =，由题意可知：点G 为OAB的重心，且0x <<，可知1111133232GAB OABS S d AB==⨯⋅=⨯△△=2212⎡⎤⎢⎥≤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，=x=所以GAB△.【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y，记x y+的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望()E X；（2）记第n秒末粒子回到原点的概率为n p.（i）已知22(C)Cnk nn nk==∑求34,p p以及2n p；（ii）令2n nb p=，记nS为数列{}n b的前n项和，若对任意实数0M>，存在*n∈N，使得nS M>，则称粒子是常返的.已知146!eπen nn nn⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的.【答案】（1）见解析 （2）（i ）30p =；4964p =；()()2242!116!n nn p n ⎡⎤⎣⎦=（ii ）见解析 【解析】【分析】（1）求出求X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 分布列，再由数学期望公式求出()E X ； （2）（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，表示出2n p ，由组合数公式化简即可得出答案；（ii ）利用题目条件可证明()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案. 【小问1详解】粒子在第2秒可能运动到点()()()1,1,2,0,0,2或()()()0,0,1,1,1,1--或()()()1,1,2,0,0,2----的位置，X 的可能取值为：2,0,2-，()412164P X =-==，()810162P X ===，()412164P X ===， 所以X 的分布列为：X2- 02P141214()()1112020424E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：()a 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有44A 种情形；()b 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有242C 种情形； 于是424444A +2C 9464p ==，第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，故()()()22222222202!C C C 144!!k k n knnn n k n kn n n k k n p k n k ---====⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()()()()2222222002!!11C C C 44!!!nnn k n k n n n n n k k n n n k n k -====⋅⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()222222011C C C 44nn k nn n n n nk ==⋅=⋅∑.故()()()()222222422!111C C 41616!nnn n nnnnn p n ⎡⎤⎣⎦=⋅==.（ii146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可知：()()22222!e C!nn nn n n ⎫=>=⎣⎦于是()222211C 46nn n np n=⋅>， 令()()ln 1,0f x x x x =-+>，()11011x f x x x=-=>++'， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，于是()()ln 10x x x >+>，从而有：()21111111ln 1ln 1666n nn n k k k k S p n k k ===⎛⎫=>>+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 即[]x 为不超过x 的最大整数，则对任意常数0M >，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，6e 1M n >-，于是()1ln 16n S n M >+>, 综上所述，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，n S M >成立，因此该粒子是常返的.【点睛】关键点睛：本题第二问（ii ）的关键点在于利用146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可得()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案.。

江苏省四校联考2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥2．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2 B ．2-C ．32D ．32-5．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-16．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．55B ．35C ．79D ．2358．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C 3D 239．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．110．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．511．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．1312．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届高三4月大联考数学（答案在最后）（试题卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.姓名______.准考证号______.祝你考试顺利！机密★启用前一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（）A.160B.160- C.220D.220-【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理直接列式求出3x 的系数.【详解】二项式6(2)x -的展开式中，3x 系数为333366C 2(1)C 8160⨯⨯-=-⨯=-.故选：B2.已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（）A.(),5-∞ B.[]3,4- C.()6,8 D.()3,4【答案】D 【解析】【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解.【详解】不等式27120x x -+<解得34x <<，不等式14x -<，即414x -<-<，解得35x -<<，可得()()()3,4,3,5,3,4M N M N ==-⋂=.故选：D.3.若复数z 满足i zz=，则z 可以是（）A.1i +B.2i+ C.1i- D.12i+【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+，由此写出z ，根据z 与z 的关系得到a 与b 的关系，从而选出正确选项.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i,i zz a b z=-=，即()i i i ,i i a b a b a b a b +=-+=+，即a b =，故选：A.4.原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（）（参考数据：lg20.3≈）A.4小时 B.5小时C.6小时D.7小时【答案】C 【解析】【分析】依据题意列出方程，利用对数的运算性质结合给定的特殊对数值处理即可.【详解】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要x 分钟，则241210000x⋅=，两边取对数得lg2lg10000424x⋅==，解得42496320lg20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要320165.3603=≈小时，故在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要6小时.故选：C.5.已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（）A.=1x -B.1x = C.12x =-D.12x =【答案】C 【解析】【分析】直线与抛物线联立方程组消去x ，由Δ0=求出a 的值，由抛物线方程求其准线方程.【详解】依题意，联立2220x y y ax++=⎧⎨=⎩，消去x 得2220y ay a ++=，则2Δ480a a =-=，由0a ≠得2a =，故抛物线C 的方程为22y x =，其准线方程为12x =-.故选：C.6.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（）A.3B.9C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，根据余弦定理及二倍角公式求得22cos 3θ=，根据θ的范围即可得解.【详解】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，设CD BD a ==，则2cos ,cos AC a BC a θθ==.故在BCD △中，由余弦定理可得224222cos 1cos22cos 2a a a a a θθθθ+-==⋅，而2cos22cos 1θθ=-，故2212cos 1cos 2θθ-=，解得221cos ,cos233θθ==，在直角三角形ACD 中，θ为锐角，故cos 0θ>，故cos 3θ=.故选：A.7.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（）A.14B.724 C.712D.1724【答案】B 【解析】【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中的放法数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果.【详解】将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有44A 24=种放法，恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有24C 6=种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是2444C 17A 24P +==，故选：B.8.使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（）A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】换元sin cos t θθ=+，利用二倍角公式和两角和的余弦公式的逆用将题干不等式转化为关于t 的不等式，解出t 满足的关系进而排除得到正确选项.【详解】令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则()()2222sin 22sin cos sin cos sincos 1t θθθθθθθ==+-+=-，()()()()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos tθθθθθθ⋅-⋅=+=所以已知不等式化为()2πsin 1cos sin 2t t t ⎛⎫-≤=+⎪⎝⎭.[]2πππ11,1,222t t ⎡-∈-+∈+⎢⎣，故原不等式的解分两段：①πππ122t -≤+≤-得π12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，原不等式化为2π12t t -≤+，即2π102t t ---≤.②πππ122t -≤+≤+得π2t ⎡∈-⎢⎣，原不等式化为2π1π2t t ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭，即2π102t t +--≤.四个选项对应的t 取值范围分别为[[][,,1,0,1⎡⎤---⎣⎦，当t =时，由②2ππ11022+--=->t t 不符合题意，排除A 、B ；当t =2ππ11022--=+->-t t 不符合题意，排除D ；[]1,0t ∈-时易验证满足①，故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9.已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（）A.l 过定点()1,1B.圆C 与y 轴相切C.若l 与圆C 有交点，则m 的最大值为0D.若l 平分圆C ，则25m =-【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线方程与m 的取值无关，求解定点判A ，利用直线与圆的位置关系判断B ，C ,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D 即可.【详解】对A ，整理直线l 的方程，得()()240m x y x y -++-=，令0x y -=，解得x y =，当x y =时，直线方程与m 的取值无关，又2x y +=，解得1x y ==，即l 必过定点()1,1，故A 正确；对B ，整理圆C 的方程，得22(2)(3)4x y ++-=，易知圆心到y 轴的距离为2，又2r =，故得圆C 与y 轴相切，故B 正确；对C ，若l 与圆C 有交点，设圆心C 到直线l 的距离为d ，可得2d =，解得142,,17m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故C 错误；对D ，若l 平分圆C ，则l 必过圆心，易知圆心为()2,3-，将()2,3-代入直线l 的方程，得5240m -+-=，解得25m =-，故D 正确.故选：ABD.10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时（）A.AB CD⊥B.直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C.平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D.四面体ABCD的内切球的半径为2【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意画出图形，再由几何法求解异面直线垂直、线面成角、面面成角和内切球半径即可.【详解】如图所示，当平面BAC ⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，记E 为AC 中点，此时DE ⊥平面BAC ，因为AB ⊂平面BAC ，所以AB DE ⊥，因为CD DE D = ，所以AB 与CD 不垂直，A 错误.对于B ：直线BD 和平面ABC 所成角即为EBD ∠，因为tan 1ED EBD BE ∠==，故π4EBD ∠=，B 正确.对于C ：由于BC CD BA AD ===，取BD 中点G ，则有,CG BD AG BD ⊥⊥，故CGA ∠为平面ABD 与平面BCD 所成角的平面角.则2221cos 23AG CG AC CGA AG CG +-∠==⨯，C 正确.对于D ：设内切球球心为I ，内切球半径为r ，由等体积法知，13ABCD I ABC I BCD I ACD I ABD ABCD V V V V V rS ----=+++=其中，1133ABCD ACD V BE S =⨯=，1122222ABCD S ⎡⎤⎛⎫⎛=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦，故32ABCD ABCD V r S ===D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（）A.()()()42f f f < B.()()422f f >C.()2f < D.()()24e 2>f f 【答案】BC 【解析】【分析】根据()10f x '>>可判断()f x 在()1,∞+单调递增，即可判断A ，构造()()f x g x x=，利用导数求解()g x 在()1,∞+单调递增，即可判断BC,构造()()exf x h x =，求导求解()h x 在()1,∞+单调递减，即可判断D.【详解】由已知得()f x x x>，故()()22,422f f >>，又因为()10f x '>>，所以()f x 在()1,∞+单调递增，所以()()()42,f f f >A 错误；构造函数()()f x g x x=，则()()()10f x g x f x x x ⎛⎫=⋅-> ⎪⎝⎭''，所以()g x 在()1,∞+单调递增，因此()()42g g >，即()()()()42,42242f f f f >>，B 正确；由于()()1,1f x f x x x>>>，故()()()()()()()()()()2,,()f f x f x g f x g x f x xf f x f x x>><，因此()2f <，C 正确；构造函数()()exf x h x =，则()()()exf x f x h x '='-，而()()f x x f x >>'，故()()0,h x h x '<在()1,∞+单调递减，因此()()()()()()2424242,4e 2e e f f h h f f <<<，D 错误.故选:BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比为2的等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______.【答案】114【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得答案.【详解】由题意可得()2323411141a a a a q q q a++=++==，解得1114a =，故答案为：114.13.函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.【答案】【解析】【分析】对()f x 求导，可得()2f f ωω⎛⎫=⎪⎝'⎭'，则2sin sin2ω=，即可得出ω的最小值.【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>，所以()sin f x x ωω=-'，因为函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，所以()2sin f ωωω'=-，2sin2f ωω⎛⎫=-⎪⎝⎭'，故有2sin sin2ωωω-=-，即2sin sin2ω=，则()222πk k ω=+∈Z 或()22π2πk k ω+=+∈Z ，解得)k ω=∈Z 或)k ω=∈Z ，当0k =，<，故ω的最小值为..14.若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.【答案】{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∞∈⋃+无解，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∞∈⋃+无零点，当1a =时直接判断，当1a ≠时求出函数的导函数，再分1a >、01a <<两种情况讨论，当1a >时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需()()0min 0g x g x =>，从而求出0x 的取值范围，再结合()0011ln ln 2x x a +=求出a 的范围.【详解】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∞∈⋃+无解，将方程变形得ln 2ln ln ln 0x x a x a -⋅+=，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∞∈⋃+无零点，易得()g x 的定义域为()0,∞+，仅在讨论零点时舍去1x =的情况；若1a =时，则()ln g x x x =，当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >，故在()()0,11,∞⋃+无零点，因此1a =符合题意；当1a ≠时，则()2ln 1ln a g x x x =+-'，设()2ln 1ln a x x x ϕ=+-，则()22ln x ax x ϕ='+，当1a >时()0x ϕ'>，则()x ϕ在()0,∞+单调递增，即()g x '在()0,∞+单调递增，由于0x →时()g x ∞'→-，x →+∞时()g x ∞'→+，由零点存在性定理可知()g x 在()0,∞+必有、且只有一个零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∞∈+时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，其中()0011ln ln 2x x a +=，故只需令()00g x >，当01x =时()0ln 0g x a =>符合题意，因此()()()000000001ln ln 1ln 1ln 2g x x x x x x x x =-+++()200012ln ln 102x x x ⎡⎤=--->⎣⎦，即()2002ln ln 10x x --<，解得01ln 12x -<<，则0e x <<，设()()11ln2h x x x =+，e x ⎫<<⎪⎭，则()()12ln 02h x x =+>'，所以()h x 在⎫⎪⎭上单调递增，又h =，()e e h =，ln ea <<，则ee a <<；当01a <<时，()1ln 0g a =<，02g=>，故()g x 在区间1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭必有零点，与所求不符.综上，a 的取值范围为{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值.【答案】（1）单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-（2）极大值为26e，极小值为22e -【解析】【分析】（1）根据函数求出导函数，再由导函数解出原函数的单调区间即可；（2）根据第1问的单调性求出极值即可.【小问1详解】因为()213e x x f x --=，所以()()()2113123e ex x x x x x f x --'--+-+==，令()0f x '=，解得3x =或=1x -，令()0f x '<得3x >或1x <-，令()0f x '>得13x -<<，列表如下：x(),1∞---1()1,3-3()3,∞+()f x '-0+-()f x极小值极大值故()f x 的单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-.【小问2详解】由（1）可得()f x 的极大值为()263ef =，极小值为()212e f -=-.16.多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：绿藻衣藻水绵蓝藻硅藻A66666B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；（2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.【答案】（1）15（2）（i ）A 的多样性大于B （ii ）答案见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；（2）根据给出211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑求出，然后比较即可.【小问1详解】记事件C 为“两个生物个体为同一物种”，则C 发生的概率为()11155P C =⨯=.【小问2详解】（i ）由表可知30,5,A B A B N N S S ==⎧⎨==⎩所以2214156305A D =-⨯⨯=，()22222216711243653090B D =-⨯++++=；即A BD D >，故A 的多样性大于B ；（ii ）在（i ）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而A 中各物种数量均相同，即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性.17.如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 的中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ；（2）求二面角P ME N --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先通过PHE PGS ∽，证PD GE ⊥，再通过MN ⊥平面PBD ，证MN PD ⊥，最后通过线面垂直判定定理即可证PD⊥平面EMGN ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角P ME N --的余弦值即可.【小问1详解】连接,AC BD ，设AC BD O = ，连接PO ，有PO ⊥平面ABCD ，由题意得,ME NE MG NG ==，且6,6BD PO ===,连接MN ，EG ，设EG MN S ⋂=，则MS NS =，故S 在PO 上，过E 作,EH PO H ⊥为垂足，在POB 中，23PE EH PB OB ==，故2EH =，因为MN AC ，所以13,12PS PO SH PH PS ===-=，故1tan tan 2SEH DPO ∠==∠，所以PHE PGS ∽，所以90,PGE PHE PD GE ∠∠==⊥ ，又,,MN OP MN BD ^^OP ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，BD OP O = ，故MN ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，故MN PD ⊥.又,MN GE S GE ⋂=⊂平面,EMGN MN ⊂平面EMGN ，故PD ⊥平面EMGN .【小问2详解】以,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系可得()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,6,0,3,0A B P D -，由（1）得PD ⊥平面EMGN ，故平面EMGN 的一个法向量为()0,3,6DP =其中()()3,0,6,3,3,0AP AB =-=-设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则03603300n AP x z x y n AB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1z =可得()2,2,1n =设θ为二面角P ME N --的平面角，则cos cos ,15n DP θ==，由图可知所求二面角为锐角，故二面角P ME N --的余弦值为15.18.已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点.（1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）；（2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值.【答案】（1）0002x y x y y =-（22+【解析】【分析】（1）由离心率和所过的点求出双曲线的方程为222:2C x y -=，由点P 在第一象限，将双曲线2C变形为y =，利用导数求切点处的切线方程.（2）直线与双曲线联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离表示出QAB 面积，消元后由基本不等式求最大值.【小问1详解】焦点在x 轴上的双曲线2C，则双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为222x y a -=，由双曲线过点)，代入方程，解得双曲线222:2C x y -=，点()00,P x y 在2C 上，有22002x y -=，因为点P 在第一象限，所以可以将双曲线2C变形为y =.求导有y '=当0x x =时，000x x x y y =='=，所以AB 的方程为：()0000x y y x x y -=-，化简有0002x y x y y =-.【小问2详解】设()()01122002,,,,,x k m A x y B x y y y ==-，有2222k m -=，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222124220k x kmx m +++-=，有12221224212221km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()22Δ821240k m =+-=>，12AB x =-=222121k k =++，点Q 到直线AB的距离d =，则12QABS AB d == 0002,x k m y y ==-代入，有QAB S =△)200203234y y y ++()()()0002200222411343212216y y y y y ⎡⎤⎫--=+=+⎢⎥⎪⎪+-+-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()0021116232122y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥=+≤+=⎢⎥-++⎢⎢⎥-⎣⎦⎢⎣当且仅当023y =+时取等号，故QAB 面积的2+.【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i na f a +≤≤=.（1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0f x x-=无实根，证明：{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,,n m f x x a ==不是“最终常数列”，求1a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,1【解析】【分析】（1）利用“最终常数列”定义即可证明；（2）利用反证法结合“最终常数列”新定义证明必要性，利用“最终常数列”定义证明必要性；（3）利用第二问的证明结论即可求出1a 的取值范围.【小问1详解】因为()f x x >，所以对任意{}(){}111,min min n i i i ni nn m a f a a +≤≤≤≤≥=>，故数列最小值不变.即对于任意{}{}{}(){}()11111,min min ,min min i i n i i i ni mi ni mn m a a a f a f a +≤≤≤≤≤≤≤≤≥===恒成立.故对于任意1n m ≥+，有{}()1min n i i ma f a ≤≤=，故{}n a 是“最终常数列”.【小问2详解】必要性，若{}n a 不为“最终常数列”，假设存在一个n m ≥使得{}11min n i i n a a +≤≤≥，则由（1）同理可知其最小值不变，故{}n a 为“最终常数列”，矛盾.所以对任意{}11,min n i i nn m a a +≤≤≥<.故对任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立，故()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}nb 定义递推，知对任意正整数,i m i i b a +=.充分性：若任意正整数,i m i i b a +=，则()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}n a 定义知任意1n m ≥+，均有{}1min n i i n a a ≤≤=成立.由此知{}{}1111min min n i i n i n i na a a a +≤≤+≤≤=≤=.又由()0f x x -=知1+≠n n a a ，故1n n a a +<，即{}n a 在第1m +项后严格递减，故不是“最终常数列”.综上，原命题得证.【小问3详解】由（2）知：要求(){}12111min i i f a a a a ≤≤=<=，解得()10,1a ∈.下面证明：()11,4a ∈即为所求.由()11,4a ∈时，()()22110,1a f a a ==∈，由递推可知，对任意*n ∈N 均有()0,1n a ∈.进而()1n n a f a +=对任意*n ∈N 均成立，结合（2）结论知{}n a 不是“最终常数列”.故1a 的取值范围是()0,1.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一要准确理解给定的新定义；二要利用反证法得出矛盾.。

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（ ）A. 160B. 160-C. 220D. 220-2. 已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（ ） A. (),5-∞ B. []3,4-C. ()6,8D. ()3,43. 若复数z 满足i zz=，则z 可以是（ ） A. 1i +B. 2i +C. 1i -D. 12i +4. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：lg20.3≈） A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时5. 已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（ ） A =1x -B. 1x =C. 12x =-D. 12x =6. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使.用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（ ）A.B.C.D.7. 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A.14B.724C.712D.17248. 使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（ ） A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9. 已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（ ） A. l 过定点()1,1 B. 圆C 与y 轴相切C. 若l 与圆C 有交点，则m 最大值为0D. 若l 平分圆C ，则25m =-10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时的（ ） A. AB CD ⊥B. 直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C. 平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D. 四面体ABCD的内切球的半径为211. 已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（ ） A. ()()()42f f f <B. ()()422f f >C. ()2f <D. ()()24e 2>f f三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知公比为2等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______. 13. 函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.14. 若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的极值.16. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：的绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 A6 6 6 6 6 B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.17. 如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ； （2）求二面角P ME N --的余弦值.18. 已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C ，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点. （1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）； （2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值.19. 若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i na f a +≤≤=.（1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0fx x-=无实根，证明：的的{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,(2),n m f x x a ==-不是“最终常数列”，求1a 的取值范围.参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（ ）A. 160B. 160-C. 220D. 220-【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理直接列式求出3x 的系数.【详解】二项式6(2)x -的展开式中，3x 系数为333366C 2(1)C 8160⨯⨯-=-⨯=-. 故选：B2. 已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（ ） A. (),5-∞ B. []3,4-C. ()6,8D. ()3,4【答案】D 【解析】【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解. 【详解】不等式27120x x -+<解得34x <<， 不等式14x -<，即414x -<-<，解得35x -<<， 可得()()()3,4,3,5,3,4M N M N ==-⋂=. 故选：D. 3. 若复数z 满足i zz=，则z 可以是（ ） A. 1i + B. 2i +C. 1i -D. 12i +【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+，由此写出z ，根据z 与z 的关系得到a 与b 的关系，从而选出正确选项.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i,i zz a b z=-=， 即()i i i ,i i a b a b a b a b +=-+=+，即a b =， 故选：A.4. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：lg20.3≈） A. 4小时 B. 5小时C. 6小时D. 7小时【答案】C 【解析】【分析】依据题意列出方程，利用对数的运算性质结合给定的特殊对数值处理即可. 【详解】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要x 分钟，则241210000x⋅=，两边取对数得lg2lg10000424x⋅==， 解得42496320lg20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要320165.3603=≈小时， 故在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要6小时. 故选：C.5. 已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（ ） A. =1x - B. 1x =C. 12x =-D. 12x =【答案】C 【解析】【分析】直线与抛物线联立方程组消去x ，由Δ0=求出a 的值，由抛物线方程求其准线方程. 【详解】依题意，联立2220x y y ax++=⎧⎨=⎩，消去x 得2220y ay a ++=， 则2Δ480a a =-=，由0a ≠得2a =，故抛物线C 的方程为22y x =，其准线方程为12x =-. 故选：C.的6. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，根据余弦定理及二倍角公式求得22cos 3θ=，根据θ的范围即可得解.【详解】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，设CD BD a ==，则2cos ,cos AC a BC a θθ==.故在BCD △中，由余弦定理可得224222cos 1cos2cos 2cos 2a a a a a θθθθ+-==⋅， 而2cos22cos 1θθ=-，故2212cos1cos 2θθ-=，解得221cos ,cos233θθ==，在直角三角形ACD 中，θ为锐角，故cos 0θ>，故cos θ= 故选：A.7. 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A.14B.724C.712D.1724【答案】B 【解析】【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,44个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中的放法的数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有44A 24=种放法， 恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有24C 6=种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是2444C 17A 24P +==， 故选：B.8. 使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（ ） A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】换元sin cos t θθ=+，利用二倍角公式和两角和的余弦公式的逆用将题干不等式转化为关于t 的不等式，解出t 满足的关系进而排除得到正确选项.【详解】令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()()2222sin 22sin cos sin cos sincos 1t θθθθθθθ==+-+=-，()()()()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos t θθθθθθ⋅-⋅=+=所以已知不等式化为()2πsin 1cos sin 2t t t ⎛⎫-≤=+⎪⎝⎭. []2πππ11,1,222t t ⎡-∈-+∈+⎢⎣，故原不等式的解分两段：①πππ122t ≤+≤-得π12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，原不等式化为2π12t t -≤+，即2π102t t ---≤.②πππ122t -≤+≤+得π2t ⎡∈-⎢⎣，原不等式化为2π1π2t t ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭，即2π102t t +--≤.四个选项对应的t取值范围分别为[[][,,1,0,1⎡⎤--⎣⎦，当t =时，由②2ππ11022+--=->t t 不符合题意，排除A 、B ；当t =2ππ11022--=+->-t t 不符合题意，排除D ；[]1,0t ∈-时易验证满足①， 故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9. 已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（ ） A. l 过定点()1,1 B. 圆C 与y 轴相切C. 若l 与圆C 有交点，则m 的最大值为0D. 若l 平分圆C ，则25m =- 【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线方程与m 的取值无关，求解定点判A ，利用直线与圆的位置关系判断B ，C ,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D 即可.【详解】对A ，整理直线l 的方程，得()()240m x y x y -++-=，令0x y -=，解得x y =， 当x y =时，直线方程与m 的取值无关，又2x y +=，解得1x y ==， 即l 必过定点()1,1，故A 正确；对B ，整理圆C 的方程，得22(2)(3)4x y ++-=，易知圆心到y 轴的距离为2， 又2r =，故得圆C 与y 轴相切，故B 正确；对C ，若l 与圆C 有交点，设圆心C 到直线l 的距离为d ，可得2d =≤，解得142,,17m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故C 错误；对D ，若l 平分圆C ，则l 一定是圆C 的直径，且必过圆心，易知圆心为()2,3-，将()2,3-代入直线l 的方程，得5240m -+-=，解得25m =-，故D 正确. 故选：ABD.10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时（ ） A. AB CD ⊥B. 直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C. 平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D. 四面体ABCD的内切球的半径为2 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意画出图形，再由几何法求解异面直线垂直、线面成角、面面成角和内切球半径即可. 【详解】如图所示，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，记E 为AC 中点，此时DE ⊥平面BAC ，因为AB ⊂平面BAC ，所以AB DE ⊥，因为CD DE D = ，所以AB 与CD 不垂直，A 错误.对于B ：直线BD 和平面ABC 所成角即为EBD ∠，因为tan 1ED EBD BE ∠==，故π4EBD ∠=，B 正确. 对于C ：由于BC CD BA AD ===，取BD 中点G ，则有,CG BD AG BD ⊥⊥， 故CGA ∠为平面ABD 与平面BCD 所成角的平面角.则1cos 3CGA ∠，C 正确.对于D ：设内切球球心为I ，内切球半径为r ，由等体积法知，13ABCD I ABC I BCD I ACD I ABD ABCD V V V V V rS ----=+++=其中，1133ABCD ACD V BE S =⨯= ，1122222ABCD S ⎡⎤⎛⎫⎛=⨯⨯+= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦，故32ABCD ABCD V r S ===D 正确. 故选：BCD.11. 已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（ ） A. ()()()42f f f <B. ()()422f f >C. ()2f <D. ()()24e 2>f f【答案】BC 【解析】【分析】根据()10f x '>>可判断()f x 在()1,+∞单调递增，即可判断A ，构造()()f xg x x=，利用导数求解()g x 在()1,+∞单调递增，即可判断BC,构造()()exf x h x =，求导求解()h x 在()1,+∞单调递减，即可判断D.【详解】由已知得()f x x x >，故()()22,422f f >>， 又因为()10f x '>>，所以()f x 在()1,+∞单调递增，所以()()()42,f f f >A 错误；构造函数()()f xg x x=，则()()()10f x g x f x x x '⎛⎫=⋅-⎝'> ⎪⎭，所以()g x 在()1,+∞单调递增，因此()()42g g >，即()()()()42,42242f f f f >>，B 正确； 由于()()1,1f x f x x x>>>，故()()()()()()()()()()2,,()f f x f x g f x g x f x xf f x f x x >><，因此()2f <C 正确；构造函数()()e x f x h x =，则()()()exf x f x h x '-'=，而()()f x x f x >>'，故()()0,h x h x '<在()1,+∞单调递减，因此()()()()()()2424242,,4e 2e ef f h h f f <<<，D 错误. 故选:BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知公比为2的等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______. 【答案】114【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得答案. 【详解】由题意可得()2323411141a a a a q q q a++=++==，解得1114a =， 故答案为：114. 13. 函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.【解析】【分析】对()f x 求导，可得()2f f ωω⎛⎫=⎪⎝'⎭'，则2sin sin2ω=，即可得出ω的最小值. 【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>，所以()sin f x x ωω=-'， 因为函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，所以()2sin f ωωω'=-，2sin2f ωω⎛⎫=-⎪⎝⎭'， 故有2sin sin2ωωω-=-，即2sin sin2ω=，则()222πk k ω=+∈Z 或()22π2πk k ω+=+∈Z ，解得)k ω=∈Z或)k ω=∈Z ，当0k =，<，故ω..14. 若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.【答案】{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∈+∞ 无解，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∈+∞ 无零点，当1a =时直接判断，当1a ≠时求出函数的导函数，再分1a >、01a <<两种情况讨论，当1a >时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需()()0min 0g x g x =>，从而求出0x 的取值范围，再结合()0011ln ln 2x x a +=求出a 的范围.【详解】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+()()0,11,x ∈+∞ 无解， 将方程变形得ln 2ln ln ln 0x x a x a -⋅+=，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∈+∞ 无零点， 易得()g x 的定义域为()0,∞+，仅在讨论零点时舍去1x =的情况；若1a =时，则()ln g x x x =，当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >， 故在()()0,11,+∞ 无零点，因此1a =符合题意； 当1a ≠时，则()2ln 1ln a g x x x =+-'，设()2ln 1ln a x x x ϕ=+-，则()22ln x ax x ϕ+='， 当1a >时()0x ϕ'>，则()x ϕ在()0,∞+单调递增，即()g x '在()0,∞+单调递增，由于0x →时()g x '→-∞，x →+∞时()g x '→+∞，由零点存在性定理可知()g x 在()0,∞+必有、且在只有一个零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 其中()0011ln ln 2x x a +=，故只需令()00g x >， 当01x =时()0ln 0g x a =>符合题意， 因此()()()000000001ln ln 1ln 1ln 2g x x x x x x x x =-+++ ()200012ln ln 102x x x ⎡⎤=--->⎣⎦，即()2002ln ln 10x x --<，解得01ln 12x -<<0e x <<，设()()11ln 2h x x x =+，e x ⎫<<⎪⎭，则()()12ln 02h x x =+>'，所以()h x 在⎫⎪⎭上单调递增，又h =，()e e h =，ln e a <<e e a <<；当01a <<时，()1ln 0g a =<，0g=>，故()g x 在区间⎛ ⎝必有零点，与所求不符.综上，a 的取值范围为{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的极值.【答案】（1）单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-（2）极大值为26e，极小值为22e - 【解析】【分析】（1）根据函数求出导函数，再由导函数解出原函数的单调区间即可； （2）根据第1问的单调性求出极值即可. 【小问1详解】因为()213e x x f x --=，所以()()()2113123e ex x x x x x f x --'--+-+==， 令()0f x '=，解得3x =或=1x -，令()0f x '<得3x >或1x <-，令()0f x '>得13x -<<，列表如下：x(),1∞---1()1,3-3()3,∞+()f x ' -0 +-()f x极小值极大值故()f x 的单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-. 【小问2详解】由（1）可得()f x 的极大值为()263ef =，极小值为()212e f -=-. 16. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 A6 6 6 6 6 B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素. 【答案】（1）15（2）（i ）A 的多样性大于B （ii ）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；（2）根据给出211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑求出，然后比较即可.【小问1详解】记事件C 为“两个生物个体为同一物种”， 则C 发生的概率为()11155P C =⨯=. 【小问2详解】（i ）由表可知30,5,A B AB N N S S ==⎧⎨==⎩ 所以2214156305A D =-⨯⨯=，()22222216711243653090B D =-⨯++++=； 即A B D D >，故A 的多样性大于B ；（ii ）在（i ）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而A 中各物种数量均相同， 即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性.17. 如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 的中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ； （2）求二面角P ME N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先通过PHE PGS ∽，证PD GE ⊥，再通过MN ⊥平面PBD ，证MN PD ⊥，最后通过线面垂直判定定理即可证PD ⊥平面EMGN ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角P ME N --的余弦值即可. 【小问1详解】连接,AC BD ，设AC BD O = ，连接PO ，有PO ⊥平面ABCD ，由题意得,ME NE MG NG ==，连接MN ，EG ，设EG MN S ⋂=，则MS NS =，故S 在PO 上， 过E 作,EH PO H ⊥为垂足，在POB 中，23PE EH PB OB ==， 故2EH =，因为MN AC ，所以13,12PS PO SH PH PS ===-=， 故1tan tan 2SEH DPO ∠∠==，所以PHE PGS ∽， 所以90,PGE PHE PD GE ∠∠==⊥ ，又,,MN OP MN BD ^^OP ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，BD OP O = ，故MN ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面，所以PBD MN PD ⊥.又,MN GE S GE ⋂=⊂平面,EMGN MN ⊂平面EMGN ，故PD ⊥平面EMGN . 【小问2详解】以,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系可得()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,6,0,3,0A B P D -，由（1）得PD ⊥平面EMGN ，故平面EMGN 的一个法向量为()0,3,6DP =其中()()3,0,6,3,3,0AP AB =-=-设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则03603300n AP x z x y n AB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩， 令1z =可得()2,2,1n =设θ为二面角P ME N --的平面角，则cos cos ,n DP θ==，由图可知所求二面角为锐角，故二面角P ME N --18. 已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点. （1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）；（2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值. 【答案】（1）0002x y x y y =- （2【解析】【分析】（1）由离心率和所过点求出双曲线的方程为222:2C x y -=，由点P 在第一象限，将双曲线2C变形为y =，利用导数求切点处的切线方程.（2）直线与双曲线联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离表示出QAB 面积，消元后由基本不等式求最大值. 【小问1详解】焦点在x 轴上的双曲线2C，则双曲线为等轴双曲线， 设双曲线方程222x y a -=，由双曲线过点)，代入方程，解得双曲线222:2C x y -=，点()00,P x y 在2C 上，有22002x y -=，因为点P 在第一象限，所以可以将双曲线2C变形为y =.求导有y '=当0x x =时，000x x x y y =='=，所以AB 的方程为：()000x y y x x y -=-， 化简有0002x y x y y =-. 【小问2详解】 设()()01122002,,,,,x k m A x y B x y y y ==-，有2222k m -=， 的为联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222124220k x kmx m +++-=，有12221224212221km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()22Δ821240k m =+-=>，2AB x =-==， 点Q 到直线AB的距离d则12QAB S AB d == 0002,x k m y y ==-代入， 有QAB S =△()()()0002200222411343212216y y y y y ⎡⎤⎫--=+=+⎢⎥⎪⎪+-+-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()002111632122y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+≤=⎢⎥-++⎢⎢⎥-⎣⎦⎢⎣当且仅当02y =QAB+【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19. 若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i n a f a +≤≤=. （1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0f x x -=无实根，证明：{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,(2),n m f x x a ==-不是“最终常数列”，求1a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()1,4【解析】 【分析】（1）利用“最终常数列”定义即可证明；（2）利用反证法结合“最终常数列”新定义证明必要性，利用“最终常数列”定义证明必要性； （3）利用第二问的证明结论即可求出1a 的取值范围.【小问1详解】因为()f x x >，所以对任意{}(){}111,min min n i i i n i n n m a f a a +≤≤≤≤≥=>，故数列最小值不变. 即对于任意{}{}{}(){}()11111,min min ,min min i i n i i i n i m i n i m n m a a a f a f a +≤≤≤≤≤≤≤≤≥===恒成立. 故对于任意1n m ≥+，有{}()1min n i i m a f a ≤≤=，故{}n a 是“最终常数列”. 【小问2详解】必要性，若{}n a 不为“最终常数列”，假设存在一个n m ≥使得{}11min n i i na a +≤≤≥，则由（1）同理可知其最小值不变，故{}n a 为“最终常数列”，矛盾.所以对任意{}11,min n i i nn m a a +≤≤≥<. 故对任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立，故()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立， 又由{}nb 定义递推，知对任意正整数,i m i i b a +=.充分性：若任意正整数,i m i i b a +=，则()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}n a 定义知任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立. 由此知{}{}1111min min n i i n i n i na a a a +≤≤+≤≤=≤=. 又由()0f x x -=知1+≠n n a a ，故1n n a a +<，即{}n a 在第1m +项后严格递减，故不是“最终常数列”. 综上，原命题得证.【小问3详解】由（2）知：要求(){}12111min i i f a a a a ≤≤=<=，解得()11,4a ∈. 下面证明：()11,4a ∈即为所求. 由()11,4a ∈时，()()()221121,4a f a a ==-∈， 由递推可知，对任意*n ∈N 均有()1,4n a ∈. 进而()1n n a f a +=对任意*n ∈N 均成立，结合（2）结论知{}n a 不是“最终常数列”.故1a 的取值范围是()1,4.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一要准确理解给定的新定义；二要利用反证法得出矛盾.。

2021~2021学年度高三年级四月份测试题数学试卷B一、选择题一共10小题，每一小题4分，一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项.1.命题p ：x ∀∈R ，e 1x >，那么命题p 的否认为〔 〕 A. 0x ∃∈R ，0e 1x ≤ B. x ∀∈R ，e 1x < C. 0x ∃∈R ，0e 1x > D. x ∀∈R ，e 1x ≤【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否认是特称命题即可得解. 【详解】原命题是全称命题，∴命题p 的否认是“0x ∃∈R ，0e 1x ≤〞.应选：A.【点睛】此题考察了全称命题的否认，属于根底题.2.设集合{}2|340A x Z x x =∈--≤，2{|e1}x B x -=<，那么A B =〔 〕A. {1,0,1,2}-B. [1,2)-C. {1,0,1}-D. [1,2]-【答案】C 【解析】【分析】转化条件得{}1,0,1,2,3,4A =-，{}|2B x x =<，利用集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，{}{}{}2|e 1|20|2x B x x x x x -=<=-<=<，那么{}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1x x AB -<=-=.应选：C.【点睛】此题考察了一元二次不等式和指数不等式的求解，考察了集合交集的运算，属于根底题.3.以下函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是〔 〕 A. 3()2x f x =-+ B.12()log ||f x x =C. 3()3f x x x =- D. ()sin f x x =【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质()()f x f x -=-和函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，()3()2f x f x x -=+≠-，不是奇函数，故A 错误；对于B ，()12()log ||f x x f x -=-=，所以()f x 为偶函数不是奇函数，故B 错误；对于C ，()3()3f x x x f x -=-+=-，所以()f x 为奇函数；由()2()31f x x '-=-，当()0,1x ∈时，()0f x '-<，故()f x 在()0,1上单调递减，故C 正确；对于D ，由正弦函数的单调性可知，函数()sin f x x =在()0,1上单调递增，故D 错误. 应选：C.【点睛】此题考察了奇函数性质的应用和常见函数的单调性，考察了利用导数判断函数的单调性，属于根底题. 4.3log2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，那么a ，b ，c 的大小关系是〔 〕 A. c b a << B. b a c << C. c a b << D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解. 【详解】由对数函数的单调性可知33log2log31a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tan tan 3033c ππ===-<， 故01c b a <<<<. 应选：A.【点睛】此题考察了利用对数函数单调性比拟大小，考察了正切函数的性质，属于根底题. 5.为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会〞〔简称“西博会〞〕，组委会举办了“西博会〞知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565岁民进展随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号分组各组人数各组人数频率分布直方图第1组[15,25) 10第2组[25,35)a根据以上图表中的数据可知图表中a 和x 的值分别为〔 〕 A. 20，0.15B. 15，0.015C. 20，0.015D. 15，0.15【答案】C 【解析】 【分析】由题意算出总人数后乘以对应频率即可求得a ，利用各组频率和为1即可求得x ，即可得解. 【详解】由题意可得总人数为101000.0110=⨯人，那么1000.021020a =⨯⨯=，由各组频率和为1可得()0.010.020.030.025101x ++++⨯=，解得0.015x =. 应选：C.【点睛】此题考察了频率分布直方图的应用，属于根底题. 6.向量(2,23)a =，假设163a b ⋅=-，那么b 在a 上的投影是〔 〕 A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】 【分析】由b 在a 上的投影为a ba⋅，代入求解即可得解.【详解】由题意b 在a 上的投影为()2216433223a ba-⋅==-+.应选：D.【点睛】此题考察了平面向量数量积的应用，属于根底题.7.某三棱锥的三视图如下图，那么这个三棱锥中最长的棱的长度为〔 〕A. 5B. 3C. 6D. 23【答案】B 【解析】 【分析】将几何体复原在长方体中即可找到最长的棱，计算即可得解.【详解】将几何体复原在长方体中，如图，那么该几何体即为A BCD -， 可得最长棱为长方体的一条体对角线222213AC =++=.应选：B.【点睛】此题考察了三视图的识别，考察了转化化归思想，属于根底题. 8.ABC ，那么“sin cos A B =〞是“ABC 是直角三角形〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】假设sin cos A B =，那么2A B π+=或者2A B π=+；假设2A π=，那么sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】假设sin cos A B =，那么2A B π+=或者2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形； 假设2A π=，那么sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =〞是“ABC 是直角三角形〞的既不充分也不必要条件. 应选：D.【点睛】此题考察了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于根底题. 9.“杨辉三角〞是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形〞早了300多年.如图是由“杨辉三角〞拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，那么100a 的值是〔 〕A. 5049B. 5050C. 5051D. 5101【答案】B 【解析】 【分析】观察数列的前4项，可得()12n n n a +=，代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 应选：B.【点睛】此题考察了观察法求数列的通项公式，属于根底题. 10.关于函数2()(1)e xf x x ax =+-，有以下三个结论： ①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ②函数的极值点不可能是1-； ③函数必有最小值.其中正确结论的个数有〔 〕 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D 【解析】 【分析】把函数()f x 的零点转化为函数21y x ax =+-的零点，即可判断①；求得()f x '后代入1x =-，根据()f x '是否为0即可判断②；设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，结合①可得当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，再证明4()0f x <即可判断③；即可得解.【详解】由题意函数()2()1e xf x x ax =+-的零点即为函数21y x ax =+-的零点，令210x ax +-=，那么240a =+>，所以方程必有两个不等实根1x ，2x ，设12x x <， 由韦达定理可得121x x =-，故①正确；()()()22()2e 1e 21e x x xf x x a x a a x x x a ⎡⎤+=+++-⎣=++⎦'-，当1x =-时，()1112()e 201a a f x e --=--+-'=-≠，故1-不可能是函数()f x 的极值点，故②正确；令()0f x '=即()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a =+--=+>，设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，那么当()3,x x ∈-∞，()4,x x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()34,x x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以4()f x 为函数极小值； 由①知，当()1,x x ∈-∞时，函数()0f x >，所以当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，又 (0)0xf e =-<，所以()30,x ∈+∞，所以()4()00f x f ≤<，所以4()f x 为函数的最小值，故③正确. 应选：D.【点睛】此题考察了函数与导数的综合问题，考察了推理才能，属于中档题. 二、填空题一共5小题，每一小题5分，一共25分.11.在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，3x -的系数为________.〔用数字答题〕 【答案】80 【解析】 【分析】写出通项公式为()52152rrr r T C x -+=-，令523r -=-即可得解.【详解】由题意52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()55215522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令523r -=-即4r =，那么()445280C -=.故答案为：80.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，属于根底题.12.复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，那么z 的实部为_________，虚部为________. 【答案】 (1). 3 (2). 4 【解析】 【分析】设()0,0z a bi a b =+>>，由题意26a =，5z ==，求出a 、b 后，根据复数实部、虚部的概念即可得解.【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，那么z a bi =-， 由6z z +=可得26a =即3a =，那么3z bi =+，由||5z =可得5z ==，解得4b =， 所以34z i =+，故z 的实部为3，虚部为4. 故答案为：3，4.【点睛】此题考察了复数的运算、模、几何意义以及一共轭复数的概念，属于根底题. 13.设无穷等比数列{}n a 的各项为整数，公比为q ，且||1q ≠，1322a a a +<，写出数列{}n a 的一个通项公式________.【答案】1*2()n n a n N -=-∈〔答案不唯一〕【解析】【分析】由题意可得数列首项1a 、公比q 均为整数，再根据1322a a a +<利用不等式的性质可得10a <，即可得解.【详解】由题意可得数列首项1a 、公比q 均为整数，由1322a a a +<可得21112a q q a a +<，假设10a >，那么2210q q +<-无解，不合题意； 假设10a <，那么2210q q +>-，解得1q ≠.所以数列{}n a 首项10a <.所以数列{}n a 的通项公式可以为1*2()n n a n N -=-∈. 故答案为：1*2()n n a n N -=-∈〔答案不唯一〕.【点睛】此题考察了等比数列通项公式的应用，考察了不等式根本性质的应用和分类讨论思想，属于根底题.14.在平面直角坐标系中，点(0,1)A ，(1,1)B ，P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，那么线段BQ 的长度的最大值是________.1 【解析】 【分析】转化条件得Q 点轨迹为以O 为圆心，OA 为半径的圆〔不包括点F 〕，由max BQ OB OA即可得解. 【详解】A 关于直线OP 的对称点记为Q ，P 为直线AB 上的动点，∴OQ OA =，∴Q 点轨迹为以O 为圆心，OA 为半径的圆〔不包括点F 〕，如图，又 OB ==∴max221BQ OA .故答案为：21+.【点睛】此题考察了圆上点到定点间隔 最值的求解，考察了转化化归思想，属于中档题. 15.关于曲线22:4C x xy y -+=，给出以下三个结论： ① 曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ② 曲线C 恰好经过4个整点〔即横、纵坐标均为整数的点〕； ③ 曲线C 上任意一点到原点的间隔 都不大于22其中，正确结论的序号是________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】设(),P a b 为曲线上任意一点，判断(),Q a b --、(),M a b -、(),N a b -是否满足曲线方程即可判断①；求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用222x y xy ≤+即可得228x y +≤，即可判断③；即可得解.【详解】设(),P a b 为曲线上任意一点，那么224a ab b -+=，设点P 关于原点、x 轴、y 轴的对称点分别为(),Q a b --、(),M a b -、(),N a b -， 因为()()()()22224a a b b a ab b ----+-=-+=；()()22224a b b ab a a b --+-=++≠；()()22224a b b a ab b a --+=++≠-；所以点Q 在曲线C 上，点M 、点N 不在曲线C 上，所以曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称，故①正确； 当0x =时，2y =±；当0y =，2x =±.此外，当2x =时，2y =；当2x =-时，2y =-.故曲线过整点()0,2，()0,2-，()2,2，()2,2--，()2,0，()2,0-，故②错误； 又 ()22220x y xy x y +-=-≥，所以222x y xy ≤+恒成立， 由224x xy y -+=可得2222442x y xy x y ++=+≤+，当且仅当x y =时等号成立，所以228x y +≤，所以曲线上任一点到原点的间隔≤，故③正确. 故答案为：①③.【点睛】此题考察了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.三、解答题一共6小题，一共85分.解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程.16.：①函数1()cos sin()(0)64f x x x πωωω=+->； ②向量(3sin ,cos 2)m x x ωω=，11(cos ,)24n x ω=，且0>ω，()f x m n =⋅；③函数1()sin(2)(0,)22f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点1(,)62π请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答._________________，且函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的间隔 为2π. 〔1〕假设02πθ<<，且1sin 2θ=，求()f θ的值； 〔2〕求函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间. 注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一 【解析】【分析】〔1〕选择一个条件，转化条件得1()sin(2)26f x x π=+，由题意可得6πθ=，代入即可得解； 〔2〕令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得x 的取值范围后给k 赋值即可得解. 【详解】方案一：选条件① 因为1()cos sin()64f x x x πωω=+-1cos (sin cos cos sin )664x x x ππωωω=+-211cos cos 24x x x ωωω=+-12cos 24x x ωω=+112cos 2)22x x ωω=+1sin(2)26x πω=+，又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案二：选条件②因为(3sin ,cos 2)m x x ωω=，11(cos ,)24n x ω=，所以311()sin cos cos 2sin(2)2426f x m n x x x x πωωωω=⋅=+=+. 又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案三：选条件③由题意可知，22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)2f x x ϕ=+. 又因为函数()f x 图象经过点1(,)62π，所以11sin(2)226πϕ=⨯+.因为||2ϕπ<，所以 6π=ϕ，所以1()sin(2)26f x x π=+.〔1〕因为02πθ<<，1sin 2θ=，所以 6πθ=.所以11()()sin 6222f f ππθ===〔2〕由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤， 所以函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为2[,]63ππ，75[,]63ππ. 【点睛】此题考察了三角函数图象的综合应用，考察了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.17.体温是人体安康状况的直接反响，一般认为成年人腋下温度T 〔单位：C ︒〕平均在3637C C ︒~︒之间即为正常体温，超过37.1C ︒即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T ≤≤；高热：3840T <≤；超高热〔有生命危险〕：40T >. 某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开场，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进展消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：〔1〕请你计算住院期间该患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值；〔2〕在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进展某一特殊工程“α工程〞的检查，记X 为高热体温下做“α工程〞检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；〔3〕抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的顶峰，开场杀灭细菌，到达消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果互相HY ，请根据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最正确，并说明理由.【答案】〔1〕39.55C ；〔2〕分布列见解析，6()5E X =；〔3〕答案不唯一，给出合理理由即可. 【解析】 【分析】〔1〕由题意利用平均数公式直接求解即可；〔2〕由题意利用超几何分布的概率公式即可分别求出(0)P X =、(1)P X =、(2)P X =，列出分布列后即可求期望；〔3〕可从各抗生素降温总数，使用抗生素时体温平均值和方差，体温稳定下降的时间是点和单日温度下降最大值几个角度去考虑，选出效果最正确的抗生素.【详解】〔1〕由表可知，该患者一共6天的体温不低于39C ，记平均体温为x ，1(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55C 6x =++++=.所以，患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C . 〔2〕X 的所有可能取值为0，1，2.3032351(0)10C C P X C ===，21323563(1)105C C P X C ====，1232353(2)10C C P X C ===.那么X 的分布列为：所以1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 〔3〕“抗生素C 〞治疗效果最正确可使用理由：①“抗生素B 〞使用期间先连续两天降温C 又上升C ，“抗生素C 〞使用期间持续降温一共计C ，说明“抗生素C 〞降温效果最好，故“抗生素C 〞治疗效果最正确.②抗生素B 〞治疗期间平均体温C ，方差约为0.0156；“抗生素C 〞平均体温38C ，方差约为0.1067，“抗生素C 〞治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间是节点降温效果明显，故“抗生素C 〞治疗效果最正确. “抗生素B 〞治疗效果最正确可使用理由：自使用“抗生素B 〞开场治疗后，体温才开场稳定下降，且使用“抗生素B 〞治疗当天一共降温C ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B 〞治疗效果最正确.【点睛】此题考察了平均数的计算、超几何分布概率和期望的求解以及样本估计总体的实际应用，属于中档题.18.在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD .底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，且1AB =，2PA AD DC ===，22PD =.〔1〕求证：AB PD ⊥；〔2〕求二面角P BC D --的余弦值；〔3〕假设M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.【答案】〔1〕见解析；〔26〔3〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕由面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可得证； 〔2〕建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面BCD 的一个法向量是n ，平面PBC 的一个法向量为m ，利用cos ,n m n m n m⋅〈〉=即可得解；〔3〕利用反证法，假设棱BC 上存在点F ，//MF PC ，由题意(1,2,1)MF λλ=+-，(2,2,2)PC =-，设MF PC μ=可得122212λμλμμ+=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，此方程无解，故假设错误，即可得证.【详解】〔1〕证明：因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 平面ABCD平面PAD AD =，AB 平面ABCD ， AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ， 又因为PD ⊂平面PAD ， 所以AB PD ⊥.〔2〕因为2PA AD ==，PD =PA AD ⊥. 由〔1〕得AB ⊥平面PAD ，所以AB PA ⊥， 故AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，那么(0,0,2)P ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D .因为PA ⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量是(0,0,1)n =. 而(1,0,2)PB =-，(2,2,2)PC =-， 设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么由0,0,m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取1z =，有(2,1,1)m =-，所以16cos ,66n m n m n m⋅〈〉===. 由题知，二面角P BC D --为锐角，所以二面角P BC D --的余弦值为66.〔3〕证明：假设棱BC 上存在点F ，//MF PC ，设,[0,1]BF BC λλ=∈. 依题意，可知(0,0,1)M ，(1,2,0)BC =，(1,2,0)F λλ=+， 所以(1,2,1)MF λλ=+-，(2,2,2)PC =-，设MF PC μ=，根据假设，有122212λμλμμ+=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，而此方程组无解，故假设错误，问题得证.【点睛】此题考察了面面垂直和线面垂直性质的应用，考察了空间向量的应用和反证法的应用，属于中档题.19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，3AB =.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P 〔异于点F 〕，使x 轴上任意点到直线PA ，PB 的间隔 均相等？假设存在，求P 点坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕存在点(4,0)P【解析】 【分析】〔1〕由题意可得方程222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程后即可得解；〔2〕设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题意120121020122(1)()0()()my y x y y x k x x k x +-+-+==-，联立方程组表示出12y y +、12y y ，代入即可得解.【详解】〔1〕由题意得222223,1,2b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得:2a =，b =1c =.所以椭圆的HY 方程为：22143x y +=.〔2〕依题意，假设直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且10x x ≠，02x x ≠. 设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 那么1110y k x x =-，2220y k x x =-.因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在1x my =+上， 故111x my =+，221x my =+，而x 轴上任意点到直线PA ，PB 间隔 均相等等价于“PF 平分APB ∠〞，继而等价于120k k +=. 那么12121020y y k k x x x x +=+--12210121020()()()x y x y x y y x x x x +-+=--1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +-+==--.联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：22(34)690m y my ++-=， 有122634my y m -+=+，122934y y m -=+. 那么0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++===+--+--，即040m mx -+=，故04x =或者0m =〔舍〕. 当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意.故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线PA ，PB 间隔 均相等.【点睛】此题考察了椭圆方程的求解，考察了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.20.函数2()e ()x f x ax a R =-∈.〔1〕假设曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； 〔2〕()f x 在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围；〔3〕写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围.〔请直接写出结论〕 【答案】〔1〕e2a =；〔2〕(,e 2]-∞-；〔3〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕由题意结合导数的几何意义可得()01f '=，即可得解；〔2〕原命题等价于2e 2x a x -≤在(0,1]x ∈上有解，设2e 2()x g x x-=，(0,1]x ∈，通过求导可得max ()(1)2g x g e ==-，由有解问题的解决方法即可得解；〔3〕令()0f x =，显然0x =不成立，假设0x ≠，那么2xe a x =，令()2x e h x x =，求导后画出函数()h x 的草图数形结合即可得解.【详解】〔1〕因为2()e ()x f x ax a R =-∈，故()e 2x f x ax '=-.依题意(1)e 20f a ='-=，即e 2a =. 当e 2a =时，e (1)02f =≠，此时切线不与x 轴重合，符合题意， 因此e 2a =. 〔2〕当[0,1]x ∈时，()f x 最大值不小于2⇔2()e 2x f x ax =-≥在[0,1]x ∈上有解，显然0x =不是解，即2e 2x a x-≤在(0,1]x ∈上有解， 设2e 2()x g x x-=，(0,1]x ∈， 那么3e 2e 4()x x x g x x -='+. 设()e 2e 4x x h x x =-+ ，(0,1]x ∈，那么()e (1)0x h x x '=-≤.所以()h x 在(0,1]单调递减， ()(1)40h x h e ≥=->，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,1]单调递增，所以max ()(1)2g x g e ==-.依题意需2a e ≤-，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-.〔3〕当0a ≤时，()y f x =有0个零点；当2e 04a <<时，()y f x =有1个零点 当2e 4a =时，()y f x =有2个零点；当2e 4a >时，()y f x =有3个零点.· 【点睛】此题考察了导数的综合应用，考察了数形结合思想和转化化归思想，考察了推理才能，属于中档题.21.集合{}12{|(,,,),0,1,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥，对于12(,,,)n A a a a =n S ∈，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义A 与B 的差为1122(,,,)n n A B a b a b a b -=---；A 与B 之间的间隔 为1122(,)=+n n d A B a b a b a b --++-.〔1〕假设(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ；〔2〕,,n A B C S ∀∈，证明：(,)(,)d A C B C d A B --=；〔3〕,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕一定有偶数，理由见解析【解析】【分析】〔1〕由题意结合新概念A B -可直接得解；〔2〕先证明0i c =、1i c =时，均有i i i i i i a c b c a b ---=-，由新概念运算即可得证； 〔3〕设(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =，由〔2〕可得(,)(0,)d A B d B A k =-=，(,)(0,)d A C d C A l =-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=，设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，即可得2h l k t =+-，即可得解.【详解】〔1〕由题意可得，所有满足要求的A ，B 为：()0,0A =，()0,1B =；()0,1A =，()0,0B =；()1,0A =，()1,1B =；()1,1A =，()1,0B =.〔2〕证明：令12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =， 对1,2,,i n =，当0i c =时，有i i i i i i a c b c a b ---=-；当1i c =时，有1(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-.所以(,)d A C B C --11112222n n n n a c b c a c b c a c b c =---+---+⋅⋅⋅+---1122(,)n n a b a b a b d A B =-+-++-=.〔3〕A ∀，B ，n C S ∈，(,)d A B ，(,)d A C ，(,)d B C 三个数中一定有偶数. 理由如下：设12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅，12(,,,)n B b b b =⋅⋅⋅，12(,,,)n n C c c c S =⋅⋅⋅∈，(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =，记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈，由〔2〕可知: (,)(,)(0,)d A B d A A B A d B A k =--=-=， (,)(,)(0,)d A C d A A C A d C A l =--=-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=， 所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k ，(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l . 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，那么2h l k t =+-.由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数，即(,)d A B ，(,)d A C ，(,)d B C 三个数中一定有偶数.【点睛】此题考察了新概念在推理与证明中的应用，考察了逻辑推理才能和新概念的理解才能，属于中档题.。