人教版初一数学上册数轴上两点间的距离

●分清：在数轴上，点的名称以及该点所代表的数.●数轴上任意两点的距离：两点大小已知，大减小；两点大小未知，两数之差的绝对值.●逆向思维：绝对值可理解为数轴上两点的距离。

如|a-b|表示数a和数b的两点之间的距离；|a+b|表示数a和数-b的两点之间的距离；|a|表示数a和原点之间的距离.●数轴上两点距离的表示：用点的名称；如数轴上两点A,B之间的距离记为AB.1.数轴上点A表示-5，点B表示3，则表示A,B两点间的距离的算式是（）A. -5+3B. -3-(-5)C. 3-(-5)D. 3-52.(1) 数轴上表示5和9的两点之间的距离是______(2) 数轴上表示-5和9的两点之间的距离是______(3) 数轴上表示5和-9的两点之间的距离是______(4) 数轴上表示-5和-9的两点之间的距离是______(5) 若数轴上表示a与-3的两点之间的距离是5个单位长度，则a的值是______3.数轴上点A(点的名称)表示的数为a（点A在数轴上所代表的数字）, 若点A到原点的距离为4，则a=______; 若点B表示的数为2，点A到点B的距离为6，则a=______;4.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离是_________; 表示-5和7两点之间的距离是___________;一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于_________;（2）如果|x-5|=3, 那么根据（1）的结论得x=_________;（3）若|x-2|=3, |y-1|=6, 且数x, y在数轴上对应的点分别是点M,N, 请借助数轴求M,N两点间的最大距离和最小距离的差；（4）若数轴表示数a的点位于-3与7之间，则|a-7|+|a+3|=_________.BA O ab 0 O 0 8 acd B C D5. 如图，数轴上的两个点A, B, 所表示的数分别为a, b ，那么A,B 两点之间的距离是AB=|a-b|. 直接利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是_________, 数轴上表示5和-7的两点之间的距离是_________;（2）在数轴上，点A （表示整数a ）在原点o 的左边，点B(表示整数b)在原点o 的右边，若|a-b|=9且AO=2BO,则a 的值是_________.6. 试试通过画数轴做出下列问题：已知|a+4|=1, |b-2|=5, 求a-b 的值.7. 如图数轴上A,B,C,D 四点所表示的数分别为a,8,c,d,若AB=BC=CD 且|a-d|=12, 求a, c, d 的值.8. 三点A,B,C 在数轴上，点A,B 在数轴上表示的数分别为-11，14（规定：数轴上两点A,B 之间的距离记为AB ）（1）若点C 在A,B 两点之间，满足AC=BC ，则点对应的数是_______________;（2）若点C 在A,B 两点之间，满足AC:BC=2:3,则点C 对应的数是____________;A23 -1 3M M’ 1 5 7 66 -5 N N ’ 图1 -37 a 图2|a-(-3)| |a-7| A B C （3）若点C 在数轴上，满足AC:BC=2:3,则点C 对应的数是_______________;（4）若点C 在数轴上，满足AC-BC=12,则点C 对应的数是______________;（5）若点C 在数轴上，满足AC+BC=32,则点C 对应的数是______________;参考答案：1. C (解析：3＞-5，已知大小，大减小)；2. (1) 4; (2)14; (3)14; (4)4; (5)2或-8；(5)解析：∵a 与-3大小未知，∴|a-(-3)|=5, ∴a=2或-8.3. ±4；8或-4；4. (1) 4; 12; |a-b|或|b-a|均可；(2) -2或8；4. (3) 由图1可知，M 点代表的数x=-1或5；N 点代表的数y=-5或7；MN 最大值=NM’=10; MN 最小值=M’N’=2; ∴差=10-2=8(4) 由图2可知，线段AB=|a-(-3)|=|a+3|；线段AC=|7-a|=|a-7|;∴|a-7|+|a+3|=AB+AC=AC=7-(-3)=105. (1) 6; 12; (2) -6;(2) 解析：∵点B在原点O的左边，∴b>0, ∴BO=b-0=b；同理AO=0-a=-a.∵|a-b|=9, ∴AB=9=AO+BO=-a+b=b-a;又∵AO=2BO, ∴-a=2◊b，∴b-a=b+2b=3b=9, ∴b=3, a=-(2◊3) =-6;6. -10或0或-12或-2；7. ∵|a-d|=12, ∴AD=12, ∴AB=BC=CD=3, ∴a=8-3=5, b=8+3=11，c=8+6=14;8. 由题可知，∵14＞-11，∴AB=14-(-11)=25.设点C点代表的数为x;(1)由“点C在A,B两点之间”可知，-11＜x＜14，则AC=x-(-11)=x+11, BC=14-x∵AC=BC，∴x+11=14-x, ∴2x=14-11=3，∴x=1.5;(2)与上题条件相同，AC=x+11,BC=14-x; ∵AC:BC=2:3, ∴2(14-x)=3(x+11)∴28-2x=3x+33 ∴x=-1;(3)由“点C在数轴上”可知，C点在数轴上位置不确定，也就是不知道x和-11，14的大小.大小不确定，则用绝对值运算。

压轴题：动点问题以及绝对值问题总结一、填空题1.数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是________，数轴上表示2和－5两点之间的距离是________.（2）在数轴上表示数x的点与﹣2的点距离是3，那么x＝________.（3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣2|的最小值是________.（4）如果x表示一个有理数，当x=________时，|x+3|+|x﹣6|=11.2.阅读下列内容：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离.根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x=________，若|x﹣2|＝|x+1|，则x=________；（2）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是________；（3）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是________；（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是________.二、综合题3.（1）在数轴上标出数﹣4.5，﹣2，1，3.5所对应的点A，B，C，D；（2）C，D两点间距离=________；B，C两点间距离=________；（3）数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离=________；（4）若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问①t为何值时P，Q两点重合？②t为何值时P，Q两点之间的距离为1？4.如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是18，8，﹣10．（1）填空：AB=________，BC=________；（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向左运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P 到达C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．5.已知a是最大的负整数，与互为相反数，在数轴上，所对应的点分别为A，B，C，点P为该数轴上一动点，其对应的数为x.（1）a=________，b=________，c=________；（2）化简：；（3）三个点在数轴上运动，其中点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点B与点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后B点到点A、点C的距离相等?6.已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且|2b+20|+|a-0|=0，P是数轴上的一个动点，0为原点。

2021-2022学年度人教版七年级数学上册练习十五1.2.2 数轴-数轴上的动点问题1．如图,图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题:(1)如果点A、B表示的数互为相反数,那么点C表示的数是多少?(2)如果点D、B表示的数互为相反数,那么点C、D表示的数是多少?2．如图，点P、Q在数轴上表示的数分别是-8、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动.设点P、Q同时出发，运动时间为t秒.（1）若点P、Q同时向右运动2秒，则点P表示的数为_______，点P、Q之间的距离是______个单位；（2）经过__________秒后，点P、Q重合；（3）试探究：经过多少秒后，点P、Q两点间的距离为14个单位.3．已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且12AB=.若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，解决以下问题：(1)写出数轴上点B所表示的数；t=秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；(2)当1(3)若点P，Q分别从A、B两点同时出发，问运动多少秒后点P与点Q相距3个单位长度？4．小红家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A，B，C，D，学校位于小红家西150m，邮局位于小红家东100m，图书馆位于小红家西400m．（1）用数轴表示A，B，C，D的位置；（以小红家为原点）（2）一天小红从家中去邮局寄信后，以每分钟25m的速度往图书馆方向走了16分钟，这时小红距图书馆和学校各多少米？5．如图：在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，C 点表示数 c，b 是最大的负整数，且 a、b 满足|a+ 3|+（c﹣6）2=0．（1）a= ，b= ，c= ；（2）若将数轴折叠，使得 A点与B 点重合，则点 C与数表示的点重合；（3）点 A、B、C开始在数轴上运动，若点 A以每秒 2个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和点 C分别以每秒1个单位长度和 4个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 A与点 B之间的距离表示为 AB，点 A与点 C之间的距离表示为 AC，点 B与点 C之间的距离表示为 BC．则 AB= ，AC= ，BC= ．（用含 t的代数式表示）（4）请问：2BC+AB - 32AC的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．6．已知：b是最小的正整数，且a、b满足(c−5)2+|a+b|=0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值，a=______，b=____，c=______．（2）数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．①经过2秒后，求出点A与点C之间的距离AC．②经过t秒后，请问：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理上；若不变，请求其值．7．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B 两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）A，B两点之间的距离是；（2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为；（3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？8．一只电子跳蚤在数轴上左右跳动，最开始在数轴上的位置记为A，按如下指令运动：第一次向右跳动一格到A1．第二次在第一次的基础上向左跳动两格到A2．第三次在第二次的基础上向右跳动三格到A3．第四次在第三次的基础上向左跳动四格到A4，以此类推（1）若点A0表示原点，则跳动 10次后到点A10，它的位置在数轴上表示的数是．若每跳一格用时一秒，则跳动10次后到点A10，共用去时间是秒．（2）若跳动100次后到点A100，且所表示的数恰好是50，试求电子跳蚤的A初始位置所表示的数A．9．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中2AB BC=，设点A，B，C所对应数分别为a、b、c，且a b c m++=．（1）若点C为原点，1BC=，则a=__________，b=_________，m=_________；（2）若点B为原点，6AC=，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC AB=，求m的值．10．操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．（1）操作一：左右对折纸面，使1对应的点与-1对应的点重合，则-3对应的点与_____对应的点重合；（2）操作二：左右对折纸面，使-1对应的点与3对应的点重合，回答以下问题：①对折中心点对应的数为__________，对折后5对应的点与数_________对应的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，通过计算求A、B两点对应的数分别是多少？（3）操作三：已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，对折中心点C对应的数是c，此时点A与点B对折重合，那么a，b，c三数满足的关系式为__________．11．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，52，-3．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是____，A，B两点之间的距离为_____．（2）数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是_____．（3）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是_____；若此数轴上M，N两点之间的距离为2019(M在N的左侧)，且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是_____，点N表示的数是_____；（4）若数轴上P，Q两点间的距离为a (P在Q左侧)，表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是_____，点Q表示的数是_____(用含a，b的式子表示这两个数)．12．已知蜗牛从A点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“-”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm）依次为：+7，-5，-10，-8，+9，-6，+12，+4．（1）若A点在数轴上表示的数为-3，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明；（2）蜗牛在（1）题在数轴上停的位置作以下运动：第1次向左移动1个单位长度至B点，第2次从B点向右移动2个单位长度至C点，第3次从C点向左移动3个单位长度至D点，第4次从D点向右移动4个单位长度至E点，…，依此类推．这样第2019次移动到的点在数轴上表示的数为（请直接写出答案）．13．已知，如图，A、B、C分别为数轴上的三个点，A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，C点在B点左侧，C点到A距离是B点到A点距离的4倍．（1）求出数轴上B 点对应的数及AC 的距离．（2）点P 从A 点出发，以3单位/秒的速度项终点C 运动，运动时间为t 秒．①点P 点在AB 之间运动时，则BP =_______．（用含t 的代数式表示）②P 点在A 点向C 点运动过程中，何时P 、A 、B 三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t ．③当P 点运动到B 点时，另一点Q 以5单位/秒速度从A 点出发，也向C 点运动，点Q 到达C 点后立即原速返回到A 点，那么Q 点在往返过程中与P 点相遇几次？直接写出．．．．相遇是P 点在数轴上对应的数．14．如图 ．在数轴．上有A B 、两个点（点A 在点B 的左侧） ， 20AB =（1）如果点A 表示的数是5- ，那么，①点B 表示的数是_______．②如果点C 从点A 出发，沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，运动秒后，点C 表示的数是_______．（ 用含t 的代数式表示） ； 经过________秒 ， CA CB =．（2）如果点A 表示的数是10-，将数轴的负半轴绕原点O 顺时针旋转60° ，得到120AOB ∠=︒，如图2所示，射线OP 从OA 出发绕点O 顺时针旋转，速度是每秒15° ，同时，射线OQ 从OB 出发绕点O 逆时针旋转，速度是每秒5° ．设运动时间为t 秒，当20t =秒时， ,OP OQ 停止运动．①当t 为________秒时，OP 与OQ 重合． ②当12BOP BOQ ∠=∠时，t 的值是________．15．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为1-，正方形ABCD的面积为16．（1）数轴上点B表示的数为__________；（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''A B C D，移动后的正方形S=时，画出图形，并求出数轴上点A B C D与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S．当4'''''A表示的数；参考答案1．(1)点C表示的数是-1；(2)表示的数是0.5,点D表示的数是-4.5.详见解析.解析：（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．详解：(1)如图,点C表示的数是-1.(2)如图,点C表示的数是0.5,点D表示的数是-4.5.点睛：本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．2．（1）-4,10（2）4,12（3）①23②26③2④263解析：（1）点P表示的数为根据数在数轴的移动列算式计算即可．点P、Q之间的距离是先求出移动后P、Q表示的数再相减即可．（2）运动问题分为相遇和追及两种情况，分别列方程求出即可．相遇:P的路程+Q的路程=PQ；追及P的路程-Q的路程=PQ详解：（1）P表示的数：-8+2×2=-4,P表示的数：4+1×2=6 所以点P、Q之间的距离是6-（-4）= 10；（2）设经t秒点P、Q重合相遇时：2t+t=12解得t=4；追及时：2t-t=12解得t=12；（3）P向左运动，Q向右运动时：①2t＋t＋12＝14 解得 t＝23．点P、Q同时向左运动②2t＝26＋t 解得t＝26 点P、Q同时向右运动③2t＋12＝14＋t 解得t＝2．点P向右运动，Q向左运动时：④2t+t=12+14 解得t=26 3答：经过23、26、2、263秒时，P 、Q 相距14个单位． 考点：有理数的运算，数轴．3．（1）-4；（2）P 表示5，Q 表示-2；（3）1.8秒或3秒.解析：（1）根据点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且12AB =，设点B 为x ，根据绝对值的意义列式即可得知B 的数值；（2）根据数轴上的数值越向左越小，越向右越大的规律，用A 的数值减去P 点运动距离，用B 的数值加上Q 运动的数值即可得出答案；（3）设点P 运动时间为t 秒时，与Q 相距3个单位长度，则AP=3t ，BQ=2t ，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3列式计算即可.详解：解：（1）设B 点为x ，∵点A 表示的数为8，且12AB =， ∴812x -=解得4,30x x =-=∵点B 在A 点的左边∴点B 为-4；（2）∵P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P=8-3×1=5∵Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动∴Q=-4+2×1=-2即数轴上点P ，Q 所表示的数分别为3，-2；（3）设点P 运动t 秒时，与Q 相距3个单位长度，则AP=3t ，BQ=2t ，①如下图，当AP+BQ=AB-3时，即3t+2t=12-3，解得t=1.8秒；②如下图，当AP+BQ=AB+3时，即3t+2t=12+3，解得t=3秒，故运动1.8秒或3秒后点P与点Q相距3个单位长度.点睛：本题考查的是数轴上点的距离问题，能够结合数轴分不同情况列式结算是解题的关键.4．（1）见解析；（2）小红距图书馆100米，距学校150米解析：（1）根据题意，可设从西向东方向为正方向，小红家所在位置为原点，则很容易用数轴来表示A、B、C、D的位置；（2）根据路程＝速度×时间，结合（1）中的解答回答问题．详解：（1）根据题意，可设从西向东方向为正方向，小红家所在位置为原点，则用数轴表示上述A、B、C、D的位置如下：（2）25×16＝400（米），100﹣400＝﹣300，﹣300﹣（﹣400）＝100（米），﹣150﹣（﹣300）＝150（米）．故小红距图书馆100米，距学校150米．点睛：此题主要考查数轴的意义运用，熟练掌握，即可解题.5．（1）-3，-1，6；（2）-10；（3）AB=2+3t，AC=6t+9，BC=7+3t；(4)不变，2.5.解析：（1）利用|a+3|+（c-6）2=0，得a+3=0，c-6=0，解得a，c的值，由b是最大的负整数，可得b=-1；（2）先求出对称点，然后再求得点C到对称点的距离，从而求得点C的对称点；（3）利用数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得AB、AC、BC的长；（4）根据题意列方程即可得到结论．详解：（1）∵|a+3|+（c-6）2=0，∴a+3=0，c-6=0，∴a=-3，c=6，∵b是最大的负整数，∴b=-1；（2）点A与点B的中点对应的数为：312--=-2，点C到-2的距离为8，所以与点C重合的数是：-2-8=-10．（3）AB=t+2t+2=3t+2，AC=2t+4t+9=6t+9，BC=（4－1）t+7＝3t+7；（4）∵AB=3t+2,AC=6t+9,BC=3t+7,∴2BC+AB - 32AC=2(3t+7)+3t+2-32(6t+9)=6t+14+3t+2-9t-13.5=2.5,∴2BC+AB - 32AC的值不随着时间t的变化而改变，其值为2.5.点睛：考查了实数与数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．6．（1）a=-1，b=1，c=5；（2）14；（3）不变；2.解析：（1）根据b为最小的正整数求出b的值，再由非负数的和的性质建立方程就可以求出a、b的值；（2）分别表示出2秒钟过后A、C的位置，根据数轴上两点之间的距离公式就可以求出结论；（3）先根据数轴上两点之间的距离公式分别表示出BC和AB就可以得出BC-AB的值的情况．详解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．∵（c-5）2+|a+b|=0，∴{c−5＝0a+b＝0，∴a=-1，b=1，c=5．故答案为：a=-1，b=1，c=5；（2）由题意，得2秒钟过后A点表示的数为：-1-2=-3，C点表示的数为：5+6=11，∴AC=11-（-3）=14；故答案为：14；（3）由题意，得BC=4+2t，AB=2+2t，∴BC-AB=4+2t-（2+2t）=2．∴BC-AB的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2．点睛：本题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离的运用，代数式表示数的运用，非负数的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时求出弄清楚数轴上任意两点间的距离公式是关键．7．（1）4；（2）|x+4|；（3）1；（4）-3或5；（5）13或813．解析：（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，依此即可求解；（3）根据中点坐标公式即可求解；（4）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解；（5）分两种情况：点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解．详解：（1）A，B两点之间的距离是3-（-1）=4（2）x与-4之间的距离表示为|x-（-4）|=|x+4|（3）（-1+3）÷2=1．故点P对应的数是1；（4）点P在点A的左边，x的值是-1-（8-4）÷2=-3；点P在点B的右边，x的值是3+（8-4）÷2=5．故x的值是-3或5；（5）点A在点B的左边，（4-3）÷（2-0.5）×2+（-1）=13．点A所对应的数是1 3点A在点B的右边，（4+3）÷（2-0.5）×2+（-1）=813．点A所对应的数是813．故点A所对应的数是13或813．点睛：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．8．（1）﹣5，55；（2）100．解析：(1)根据数轴上“左加右减”的原则进行计算即可，先求出青蛙跳10次所跳过的总格数,再根据它每跳一格用时1秒即可求出结论；(2) 设A0表示的数为a，由若跳动100次后到点A100，且所表示的数恰好是50列代数式可求出a.详解：解：（1）∵在数轴原点上第一次向右跳动一格，到数1；第二次在第一次基础上向左跳两格，到数﹣1；第三次在第二次的基础上向右跳动三格；第四次在第三次的基础上向左跳四格，∴它跳10次后，它的位置在数轴上表示的数=0+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10=﹣5．答：它跳10次后，它的位置在数轴上表示的数是﹣5；电子跳蚤跳10次所跳过的格数=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∵它每跳一格用时1秒，∴它跳10次共用去的时间=55×1=55秒．答：它每跳一格用时1秒，它跳10次共用去55秒．故答案为﹣5，55；（2）设A表示的数为a，则a+1﹣2+3﹣4+…+99﹣100=50．∴a+（1﹣2）+（3﹣4）+…+（99﹣100）=50．∴a﹣50=50．∴a=100．∴点A表示的数是100．点睛：本题考查的是数轴,熟知数轴上各数的特点是解答此题的关键.9．（1）-3，-1，-4；（2）-2；（3）m=8或-40．解析：（1）根据数轴上的点对应的数、已知的线段关系以及对应数字间的关系即可解答；（2）先根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数，然后根据a b c m++=即可解答；（3）先确定点C的对应数为±8，然后再分8和﹣8两种情况解答即可．详解：解：（1）∵点C为原点，BC=1且B在C的左边∴B所对应的数为-1，∵AB=2BC，∴AB=2，∴AC=AB+BC=3,∴点A所对应的数为-3，∵m=a+b+c=-3-1+0=-4；故答案为：-3，-1，-4；（2）∵点B为原点，AC=6，AB=2BC，∴AC=3BC=6,即BC=2,AB=AC-AB=4∴点C所对应的数为2，点A所对应的数为-4∴m= a+b+c=-4+2+0=-2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC=AB，∴AB=8，当点C对应的数为8，AB=8，AB=2BC，∴BC=4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为-4，∴m=a+b+c=4-4+8=8；当点C所对应的数为-8，AB=8，AB=2BC，∴点B 所对应的数为-12，点A 所对应的数为-20。

人教版初一数学上册知识点归纳总结一、有理数。

1. 有理数的概念。

- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

- 例如：3是正整数，-5是负整数，0.5=(1)/(2)是分数，0.333·s=(1)/(3)也是分数，它们都属于有理数。

2. 数轴。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- 数轴上的点与有理数一一对应。

右边的数总比左边的数大。

例如：在数轴上表示-2的点在表示-3的点的右边，所以-2 > -3。

3. 相反数。

- 只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

- 若a与b互为相反数，则a + b=0。

例如：3与-3互为相反数，3+( - 3)=0。

4. 绝对值。

- 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

- 即| a|=a(a≥0) -a(a < 0)。

例如：|5| = 5，| - 3|=3。

5. 有理数的加减法。

- 加法法则：- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如：2 + 3=5，(-2)+(-3)=-5。

- 异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如：2+( - 3)=-1，(-2)+3 = 1。

- 一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a - b=a+( - b)。

例如：5-3 = 5+( - 3)=2。

6. 有理数的乘除法。

- 乘法法则：- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如：2×3 = 6，(-2)×(-3)=6，2×(-3)=-6。

- 任何数同0相乘都得0。

- 多个有理数相乘：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。

例如：(-2)×(-3)×4 = 24，(-2)×3×4=-24。

数轴上两点间距离 专题训练〖规律归纳〗数轴上点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，则： ①到点A 与点B 的距离相等（即线段AB 的中点）的点表示的数是a+b 2；②若能明确点A 与点B 的位置关系，则点A 与点B 的距离（即线段AB 的长）为：大数减小数； ③若不能明确点A 与点B 的位置关系，则点A 与点B 的距离（即线段AB 的长）为|a −b |或|b −a | 例1．【思考】数轴上，点C 是线段AB 的中点，请填写下列表格： 【发现】通过表格可以得到，数轴上一条线段的中点表示的数是这两条线段端点表示的数的 ； 【表达】若数轴上A 、B 两点表示的数分别为m 、n ，则线段AB 的中点表示的数是 ；【应用】如图，数轴上点A 、C 、B 表示的数分别为﹣2x 、13x ﹣4、1，且点C 是线段AB 的中点，求x 的值．练习：如图，点A ，B 在数轴上表示的数分别为﹣2与+6，动点P 从点A 出发，沿A →B 以每秒2个 单位长度的速度向终点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿B →A 以每秒4个单位长度的速度向 终点A 运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动． （1）当Q 为AB 的中点时，求线段PQ 的长； （2）当Q 为PB 的中点时，求点P 表示的数．例2．如图1，点A ，B ，C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b ，4．某同学将 刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A ，发现点B 对应刻度1.8cm ，点C 对齐刻 度5.4cm ．（1）在图1的数轴上， AC ＝ 个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的 cm ； （2）求数轴上点B 所对应的数b ；（3）在图1的数轴上，点Q 是线段AB 上一点，满足AQ ＝2QB ，求点Q 所表示的数．练习：在数轴上，点A 代表的数是﹣12，点B 代表的数是2，AB 代表点A 与点B 之间的距离． （1）①AB ＝ ；②若点P 为数轴上点A 与B 之间的一个点，且AP ＝6，则BP ＝ ； ③若点P 为数轴上一点，且BP ＝2，则AP ＝ ．（2）若C 点为数轴上一点，且点C 到点A 点的距离与点C 到点B 的距离的和是35，求C 点表示的数．（3）若P 从点A 出发，Q 从原点出发，M 从点B 出发，且P 、Q 、M 同时向数轴负方向运动，P 点的运动速度是每秒6个单位长度，Q 点的运动速度是每秒8个单位长度，M 点的运动速度是每秒2个单位长度，当P 、Q 、M 同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？A 点表示的数B 点表示的数C 点表示的数2 6 ﹣1﹣5 ﹣31例3．（1）在数轴上标出数﹣4.5，﹣2，1，3.5所对应的点A，B，C，D；（2）C，D两点间距离＝；B，C两点间距离＝；（3）数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离＝；（4）若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问①t为何值时P，Q两点重合？②t为何值时P，Q两点之间的距离为1？练习：如图，数轴的原点为0，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数字1，AB＝6，BC＝2，动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒2个长度单位和每秒1个长度单位的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）（1）求点A、C分别对应的数；（2）求点P、Q分别对应的数（用含t的式子表示）（3）试问当t为何值时，OP＝OQ？〖尝试反馈〗1．已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为和；（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知数轴上点A，O，B对应的数分别为﹣2，0，6，点P是数轴上的一个动点．（1）设点P对应的数为x．①若点P到点A和点B的距离相等，则x的值是；②若点P在点A的左侧，则PA＝，PB＝（用含x的式子表示）；（2）若点P以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，同时点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，点B以每秒12个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点M和点N分别是AP 和OB的中点，设运动时间为t．求MN的长（用含t的式子表示）；3．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．4．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣5，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发：（1）若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数．（2）若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．（3）若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数．5．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q 是数轴上两个动点；（1）直接写出点N所对应的数；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？6．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．7．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）MN的长为；（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．8．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|a+12|+（b﹣6）2＝0．（1）求A、B两点之间的距离；（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q 以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等．参考答案例1．（1）4，﹣3，﹣1；（2）和的一半；（3）n+m 2；（4）由题意得，−2x+12=13x −4，解得：x ＝278．练习：（1）PQ ＝2﹣0＝2，（2）设点Q 移动的时间为t 秒，则移动后点Q 所表示的数为6﹣4t ，移动后点P 所表示的数为﹣2+2t ， 当Q 为PB 的中点时，有−2+2t+62=6−4t ，解得，t ＝45，此时．点P 为﹣2+2×45＝﹣25．例2：（1）9；0.6．（2）点B 所对应的数b 为﹣2；（3）设点Q 所表示的数是x ，依题意有 x ﹣（﹣5）＝2（﹣2﹣x ），解得x ＝﹣3．故点Q 所表示的数是﹣3． 练习：（1）①14．②BP ＝AB ﹣AP ＝14﹣6＝8．③P 在数轴上点A 与B 之间时，AP ＝AB ﹣BP ＝14﹣2＝12；当P 不在数轴上点A 与B 之间时，因为AB ＝14，所以P 只能在B 右侧，此时BP ＝2，AP ＝AB+BP ＝14+2＝16．（2）假设C 为x ，当C 在A 左侧时，AC ＝﹣12﹣x ，BC ＝2﹣x ，AC+BC ＝35，解得x ＝−452； 当C 在B 右侧时，AC ＝x ﹣（﹣12），BC ＝x ﹣2，AC+BC ＝35，解得x ＝252．（3）设经过时间T 秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T ，Q 点坐标为﹣8T ，M 点坐标为2﹣2T ．当Q 在P 和M 的正中间，即Q 为PM 的中点时，2（﹣8T ）＝（﹣12﹣6T ）+（2﹣2T ），解得T ＝54s ．当P 在Q 和M 的正中间，即P 为QM 的中点时，2（﹣12﹣6T ）＝（﹣8T ）+（2﹣2T ），解得T ＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．当PQ 重合时，即M 到P 、Q 距离相等时，此时MP ＝MQ ， ∴﹣12﹣6T ＝﹣8T ，∴T ＝6s ．因此，当T ＝54秒时，此时，M ＝﹣12，Q ＝﹣10，P ＝﹣392． 当T ＝6秒时，此时，M ＝﹣10，Q ＝﹣48，P ＝﹣48． 例3：（1）如图所示：（2）CD ＝3.5﹣1＝2.5，BC ＝1﹣（﹣2）＝3；（3）MN ＝|a ﹣b|；（4）①依题意有2t ﹣t ＝3，解得t ＝3．故t 为3秒时P ，Q 两点重合；②依题意有2t ﹣t ＝3﹣1，解得t ＝2；或2t ﹣t ＝3+1，解得t ＝4．故t 为2秒或4秒时P ，Q 两点之间的距离为1．故答案为：2.5，3；|a ﹣b|． 练习：（1）∵AB ＝6，BC ＝2，∴点A 对应的数是1﹣6＝﹣5，点C 对应的数是1+2＝3．（2）∵动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒2个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动， ∴点P 对应的数是﹣5+2t ，点Q 对应的数是3+t ；（3）①当点P 与点Q 在原点两侧时，若OP ＝OQ ，则5﹣2t ＝3+t ，解得：t ＝23；②当点P 与点Q 在同侧时，若OP ＝OQ ，则﹣5+2t ＝3+t ，解得：t ＝8，当t 为23或8时，OP ＝OQ ． 〖尝试反馈〗1．（1）6，4．（2）5t ，3t ．（3）由题意：（5﹣3）t ＝6，∴t ＝3． （4）由题意：6+3t ﹣5t ＝5或5t ﹣（6+3t ）＝5，解得t ＝12或112， 2．（1）①−2+62＝2，②根据数轴上两点之间距离的计算公式得：﹣2﹣x ，6﹣x ；（2）①移动后，点A 表示的数为﹣2﹣3t ，点B 表示的数为6+12t ，点P 表示的数为t ， ∵点M 是AP 的中点，∴点M 在数轴上所表示的数为−2−3t+t2=−1−t ；∵点N 是OB 的中点，∴点N 在数轴上所表示的数为6+12t+02＝3+6t ；∴MN ＝3+6t ﹣（﹣1﹣t ）＝4+7t ．3．（1）根据题意得2t+t ＝28，解得t ＝283，∴AM ＝563＞10，∴M 在O 右侧，且OM ＝563﹣10＝263，∴当t ＝283时，P 、Q 两点相遇，相遇点M 所对应的数是263； （2）由题意得，t 的值大于0且小于7．若点P 在O 左边，则10﹣2t ＝7﹣t ，解得t ＝3．若点P 在O 右边，则2t ﹣10＝7﹣t ，解得t ＝173． （3）∵N 是AP 的中点，∴AN ＝PN ＝12AP ＝t ，∴CN ＝AC ﹣AN ＝28﹣t ，PC ＝28﹣AP ＝28﹣2t ， 2CN ﹣PC ＝2（28﹣t ）﹣（28﹣2t ）＝28．4．（1）C 点对应的数为﹣5+4×6＝19，（2）点D 对应的数为﹣5﹣4×30＝﹣125，（3）①相遇前PQ＝20时，设运动时间为a秒，4a+6a＝55﹣（﹣5）﹣20，解得：a＝4，因此Q点对应的数为﹣5+4×4＝11，②相遇后PQ＝20时，设运动时间为b秒，4b+6b＝55﹣（﹣5）+20，解得：b＝8，因此C点对应的数为﹣5+4×8＝27，故Q点对应的数为11或27．5.（1）点N所对应的数是1；（2）点P所对应的数是﹣3.5或1.5．（3）①点P在点Q的左边：（4+2×5﹣2）÷（3﹣2）＝12（秒），点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2＝﹣37，点Q对应的数是﹣37+2＝﹣35；②点P在点Q的右边：（4+2×5+2）÷（3﹣2）＝16（秒）；点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2＝﹣45，点Q对应的数是﹣45﹣2＝﹣47．6．（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m＝﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40.综上所述 m＝8或﹣40．7．（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4；（2）根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x，解得：x＝1；（3）①当点P在点M的左侧时．根据题意得：﹣1﹣x+3﹣x＝8．解得：x＝﹣3．②P在点M和点N之间时，则x﹣（﹣1）+3﹣x＝8，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间．③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝8．解得：x＝5．∴x的值是﹣3或5；（4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．所以t+1＝3﹣2t，解得t＝23，符合题意．综上所述，t的值为23或4．8．（1）∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．∴a+12＝0，b﹣6＝0，即：a＝﹣12，b＝6；∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；（2）点C、D在线段AB上，∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，∴BC＝18﹣14＝4，CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；（3）设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，①当点P、Q重合时，AP﹣DQ＝AD，即：3t﹣2t＝10，解得，t＝10，②当点C是PQ的中点时，有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，14﹣3t＝2t﹣4，解得，t＝185，答：经过185或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．。

专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。

那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。

【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.类型一、求值（速度、时间、距离）例1．如图在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a ，b 满足2a +＋6b -＝0；(1)点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；(2)若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在数轴上找一点C ，使AC ＝2BC ，则C 点表示的数 ；(3)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t 表示）．【答案】(1)-2；6；(2)103或14 (3)甲球与原点的距离为：t +2；当03t 时，乙球到原点的距离为62t -；当3t >时，乙球到原点的距离为26t -【解析】(1)解：∵|a +2|+|b −6|=0，∵a +2=0，b −6=0，解得，a =−2，b =6，∵点A 表示的数为−2，点B 表示的数为6．故答案为：−2；6．(2)设数轴上点C 表示的数为c ，∵AC =2BC ，∵|c −a |=2|c −b |，即|c +2|=2|c −6|，∵AC =2BC >BC ，∵点C 不可能在BA 的延长线上，则C 点可能在线段AB 上和线段AB 的延长线上， ①当C 点在线段AB 上时，则有−2∵c ∵6，得c +2=2(6−c )，解得：c =103； ②当C 点在线段AB 的延长线上时，则有c >6，得c +2=2(c −6)，解得c =14，故当AC =2BC 时，c =103或c =14；故答案为：103或14． (3)∵甲球运动的路程为：1∵t =t ，OA =2，∵甲球与原点的距离为：t +2；乙球到原点的距离分两种情况：①当0<t ∵3时，乙球从点B 处开始向左运动，直到原点O ，∵OB =6，乙球运动的路程为：2∵t =2t ，乙到原点的距离：6−2t (0∵t ∵3)；②当t >3时，乙球从原点O 处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t −6(t >3)．例2．如图，数轴上两个动点A ，B 起始位置所表示的数分别为8-，4，A ，B 两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A 点的运动速度为2个单位/秒．(1)若A ，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度．(2)若A ，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？(3)若A ，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有2CA CB =，求C 点的运动速度．【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)43个单位/秒 【解析】(1)解：B 点的运动速度为：8422OA OB ÷=÷=1个单位/秒． (2)∵OA +OB =8+4=12＞8，且A 点运动速度大于B 点的速度，∵分两种情况，①当点B 在点A 的右侧时，运动时间为1281821OA OB -+-=-=4秒． ②当点A 在点B 的右侧时，运动时间为1281821OA OB +++=-=20秒， 综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度；(3)设点C 的运动速度为x 个单位/秒，运动时间为t ，根据题意得知8+（2-x ）×t =[4+（x -1）×t ]×2，整理，得2-x =2x -2，解得x =43， 故C 点的运动速度为43个单位/秒．【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示-10，点B 表示10，点C 表示18，我们称点A 和点C 在数轴上相距28个长度单位．动点P 、Q 同时出发，点P 从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t 秒．问：(1)动点P 从点A 运动至点C 需要多少时间？(2)求P 、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数．【答案】(1)动点P 从点A 运动至点C 需要19秒；(2)P 、Q 两点相遇时，t 的值为313秒，相遇点M 所对应的数是163． 【解析】(1)解：由图可知：动点P 从点A 运动至C 分成三段，分别为AO 、OB 、BC ，AO 段时间为102＝5，OB 段时间为101=10，BC 段时间为82=4， ∵动点P 从点A 运动至C 点需要时间为5+10+4=19（秒），答：动点P 从点A 运动至点C 需要19秒；(2)解：点Q 经过8秒后从点B 运动到OB 段，而点P 经过5秒后从点A 运动到OB 段，经过3秒后还在OB 段，∵P 、Q 两点在OB 段相遇，设点Q 经过8秒后从点B 运动到OB 段，再经进y 秒与点P 在OB 段相遇，依题意得：3+y +2y =10，解得：y =73，∵P 、Q 两点相遇时经过的时间为8+73=313（秒）， 此时相遇点M 在“折线数轴”上所对应的数是为3+73=163； 答：P 、Q 两点相遇时，t 的值为313秒，相遇点M 所对应的数是163． 【变式训练2】如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点B 表示的数为4，8AB =，2BC =．(1)点A 表示的数是______，点C 表示的数是______．(2)动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t （0t >）秒．①用含t 的代数式表示：点P 表示的数为______，点Q 表示是数为______；②当1t =时，点P 、Q 之间的距离为______；③当点Q 在C B →上运动时，用含t 的代数式表示点P 、Q 之间的距离；④当点P 、Q 到点C 的距离相等时，直接写出t 的值．【答案】(1)4-，6；(2)①42t -+，6t -；②7；③103t -；④t 的值为103或10 【解析】(1)解：A 点在B 点左边，B 点表示4，AB =8，∵A 点表示的数，4-8=-4；C 点在B 点右边，BC =2，∵C 点表示的数为：4+2=6；(2)解：①P 点向右运动，∵P 点表示的数为-4+2t ；Q 点向左运动，∵Q 点表示的数为6-t ；②t =1时，P 点-2，Q 点5，两点距离=5-（-2）=7；③∵Q 点在右，P 点在左，∵两点距离=6-t -（-4+2t ）=10-3t ，④当P ，Q 相遇时，两点到C 点距离相等，此时2t +t =10，解得：t =103， 当P 点在C 点右边，Q 点在C 点左边时，-4+2t -6=6-（6-t ），解得：t =10，∵t 的值为103或10； 【变式训练3】如图，点A 、B 为数轴上的点（点A 在数轴的正半轴），8AB =，N 为AB 的中点，且点N 表示的数为2．(1)点A 表示的数为______，点B 表示的数为______；(2)点M 为数轴上一动点，点C 是AM 的中点，若1CM =，求点M 表示的数，并画出点M 的位置；(3)点P 从点N 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，设运动时间为()0t t >秒．在运动过程中，点P 、Q 之间的距离为3时，求运动时间t 的值．【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒．【解析】(1)解：∵8AB =，N 为AB 的中点，∵AN ＝BN ＝12AB ＝4∵点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧∵点A表示的数为2＋4＝6，点B表示的数为2－4＝﹣2，即点A表示的数为6，点B表示的数为﹣2，故答案为：6，﹣2(2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示，∵ C是AM的中点，CM＝1，∵AM＝2CM＝2，∵点M表示的数是6＋2＝8；当点M在点A的左侧时，如图2所示，∵ C是AM的中点，CM＝1，∵AM＝2CM＝2，∵点M表示的数是6－2＝4．故点M表示的数是8或4；(3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3，由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1，当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示，由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7，∵点P、Q之间的距离为3时，运动时间t＝1秒或7秒．类型二、定值问题例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝．(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．①t秒钟过后，AC的长度为（用含t的关系式表示）；②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2【解析】(1)解：由题意得，单项式-xy2的系数a＝-1，最小的正整数b＝1，多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；故答案为：-1，1，5(2)①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；故答案为：6＋4t②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；∵BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．AB=．动点P从点A出发，【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且20t t>秒．以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)点P运动10秒时追上点Q；(3)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由见解析．【解析】(1)解：∵点A 表示的数为12，B 在A 点左边，AB =20，∵点B 表示的数是12-20=-8，∵动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t （t ＞0）秒， ∵点P 表示的数是12-5t ．故答案为：-8，12-5t ；(2)解：设点P 运动x 秒追上点Q ，Q 表示的数是-8-3t ，根据题意得：12-5x =-8-3x ，解得：x =10，∵点P 运动10秒时追上点Q ；(3)解：线段MN 的长度不发生变化，都等于10；理由如下：∵点A 表示的数为12，点P 表示的数是12-5t ，M 为AP 的中点，∵M 表示的数是1212551222t t +-=-， ∵点B 表示的数是-8，点P 表示的数是12-5t ，N 为PB 的中点，∵N 表示的数是81255222t t -+-=-， ∵MN =（12-52t ）-（2-52t ）=10． 【变式训练2】如图，已知数轴上点A 表示的数为9，B 是数轴负方向上一点，且15AB =．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为(0)t t >秒．(1)数轴上点B 表示的数为_____，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式表示）(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P ，Q 同时出发，问t 为何值时，点P 追上点Q ？此时P 点表示的数是多少？(3)若点M 是线段AP 的中点，点N 是线段BP 的中点．点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出MN 的长度；【答案】(1)6-，95-t ；(2)－16；(3)不发生变化，152【解析】(1)解：∵数轴上点A 表示的数为8，且AB =14，∵点B 表示的数为−6，点P 表示的数为95-t ，故答案为：6-，95-t ．(2)解：设点P 运动t 秒时，在点C 处追上点Q ，如图，则5,2==AC t BC t ，因为AC BC AB -=，所以5215-=t t ．解得5t =．所以点P 运动5秒时，在点C 处追上点Q ．当5t =时，9592516-=-=-t ．此时P 点表示的数是16-．(3)解：不发生变化．理由是：因为M 是线段AP 的中点，N 是线段BP 的中点，所以11,22==PM AP PN BP ． 分两种情况：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，如图所示，所以111115()22222=+=+=+==MN MP NP AP BP AP BP AB ． ②当点P 运动到点B 的左侧时，如图所示，所以111115()22222=-=-=-==MN MP NP AP BP AP BP AB ． 综上所述，线段MN 的长度不发生变化，其值为152． 【变式训练3】点A 、B 在数轴上对应的数分别为a 、b ，且a 、b 满足2130a b ++-=．(1)如图1，求线段AB 的长；(2)若点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x +=-的根，在数轴上是否存在点P 使PA PB BC +=，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P 在B 点右侧，P A 的中点为M ，N 为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①2PM BN -的值不变；②23PM BN -的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．【答案】(1)4；(2)存在，当点P 表示的数为-1.5或3.5时，PA PB BC +=；理由见解析(3)结论①正确，2PM BN -=2【解析】(1)解：∵|a +1|+（b -3）2=0，∵a +1=0，b -3=0，∵a =-1，b =3，∵AB =|-1-3|=4．答：AB 的长为4；(2)解：存在，∵12122x x +=-，∵x =-2，∵BC =23--=5． 设点P 在数轴上对应的数是m ，∵PA PB BC +=，∵|m +1|+|m -3|=5，令m +1=0，m -3=0，∵m =-1或m =3．①当m ≤-1时，-m -1+3-m =5，m =-1.5；②当-1＜m ≤3时，m +1+3-m =5，（舍去）；③当m ＞3时，m +1+m -3=5，m =3.5．∵当点P 表示的数为-1.5或3.5时，PA PB BC +=；(3)解：设P 点所表示的数为n ，∵P A =n +1，PB =n -3．∵P A 的中点为M ，∵PM =12P A =12n +． ∵N 为PB 的四等分点且靠近于B 点，∵BN =14PB =34n -，∵①PM -2BN =12n +-2×34n -=2（不变）， ②PM +23BN =12n ++23×34n -=23n （随点P 的变化而变化）， ∵正确的结论为①，且PM -2BN =2．类型三、点之间的位置关系问题例1．如图，已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且12AB =．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)解决问题：①当1t =时，写出数轴上点B ，P 所表示的数；②若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3个单位长度？(2)探索问题：若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点．当点P 在A ，B 两点之间运动时，探索线段MN 与线段PQ 的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B 表示-4，点P 表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∵点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∵点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∵3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∵3x+2x=15，解得：x=3．∵点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=12AQ+12BP-PQ=12（AQ+BP-PQ）-12PQ=12AB-12PQ=12（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c 满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝，b＝；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，P A+PB+PC＝13，求x的值．(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)13或1或53或233；(3)1，2617，167，8．【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+（c﹣9）2＝0，∵|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，∵a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1；(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，P A+PB+PC＝13，P A+PC=12，则PB=1，∵此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：由B到A时：x=1÷3=13，由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=53，由C到B时：x=23÷3=233；故x的值为:13或1或53或233．(3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜23），当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（23≤t＜143），当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（143≤t≤8），当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，PM相遇时3t＋4t=2，t=27，MN相遇时4t＋5t=12，t=43，PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=74，0≤t＜27，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣85舍去；2 7＜t＜23，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=78舍去；2 3≤t＜43，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；4 3＜t＜74，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=2617；7 4＜t＜143，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=167；14 3≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；故t的值为：1，2617，167，8．【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)写出数轴上点A、B表示的数；(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝13CQ，设运动时间为t（t＞0）秒．①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．【答案】(1)A点表示-10，B表示2，(2)①点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，②t的值为：2秒或285秒或20秒；【解析】(1)解：∵O为原点，C表示6，BC=4，∵B表示2，∵AB=12，∵A点表示-10；(2)解：①∵点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，∵P点表示的数为-10+6t，∵点M为AP的中点，∵点M表示的数为：12（-10-10+6t）=-10+3t，∵点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，∵Q点表示的数为6+3t，∵点N为13CQ，∵点N表示的数为：6+13×（6+3t-6）=6+t，②当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-（-10+3t），解得：t=285，当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-（-10+3t）=6+t-2，解得：t=2，当N是B、M中点，B点在左侧时，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-（6+t），解得：t=20，∵t的值为：2秒或285秒或20秒；【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5，点B表示的数为13，点C 表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上（点M在点N的左边）．(1)求线段AB中点表示的数；(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；(3)如图3：在（2）的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．【答案】(1)4；(2)5；(3)703或803【解析】(1)解：线段AB中点表示的数为51342-+=，∵线段AB中点表示的数为4；(2)解：点N表示的数为：-5+9=4线段BC中点表示的数为：2135.52-+=根据题意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5，∵点N恰为线段BC的中点重合时，x的值为5；(3)解：当点N恰为线段BP的中点时，根据题意，得20.61340.32tt-++=+，方程无解，当点P恰为线段BN的中点时，根据题意，得40.31320.62tt++=-+，解得：t=703，当点B恰为线段PN的中点时，根据题意，得20.640.3132t t-+++=，解得：t=803，综上，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，t的值为703或803．【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C 是(),A B的优点．例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(),A B的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是(),B C的优点．(1)在图1中，点C是(),A B的优点，也是（A，_____________）的优点；点D是(),B C的优点，也是（B，_____________）的优点；(2)如图2，A ，B 为数轴上两点，点A 所表示的数为－2，点B 所表示的数为4．设数x 所表示的点是(),A B 的优点，求x 的值；(3)如图3，A ，B 为数轴两点，点A 所表的数为－20，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B 出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止，设点Р的运动时间为t 秒，在点Р运动过程中，是否存在P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t 的值；如果不存在，说明理由．【答案】(1)D ，A ；(2)10或2；(3)当4t =或6t =或8t =时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点【解析】(1)解：A ，B 为数轴上两点，点A 表示的数为－1，点D 表示的数为0，表示数1的点C 到点A 的距离是2，到点D 的距离是1，那么点C 是(),A D 的优点；表示数0的点D 到点B 的距离是2，到点A 的距离是1，那么点D 是A 的优点，故答案为：D ；A ；(2)解：由题意得()224x x --=-，∵()224x x +=-或()224x x +=--，解得10x =或2x =；(3)解：由题意得运动t 秒时点P 表示的数为405t -，∵()40520605PA t t =---=-，()=404055PB t t --=，()402060AB =--=，当A 是（B ，P ）的优点时，∵()602605t =-，解得6t =；当B 为（A ，P ）的优点时6025t =⋅，解得6t =；当P 为（A 、B ）的优点时60525t t -=⋅，解得4t =；当P 为（B ，A ）的优点时()52605t t =-，解得8t =；综上所述，当4t =或6t =或8t =时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。

人教版七年级上册数学期末复习专题---数轴类动点问题（4）1．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：①请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：；B：；②观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；③若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；④若数轴上M、N两点之间的距离为2014（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N表示的数分别是：M：；N：．2．同学们，你会求数轴上两点间的距离吗？例如：数轴上，3和5两数在数轴上所对的两点之间的距离可理解为|3﹣5|＝2或理解为5﹣3＝2，5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可理解为|（﹣5）﹣2|＝7或|5﹣（﹣2）|＝7．试探索：（1）求7与﹣7两数在数轴上所对的两点之间的距离＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4这样的整数是．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x+6|是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由．3．根据给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：，B：．（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：．（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则：①B点与哪个数表示的点重合？②若数轴上M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，求M、N两点表示的数分别是多少？4．某中学位于东西方向的北京路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：（1）聪聪家与刚刚家相距多远？（2）如果把这条北京路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你画出这条数轴，并在数轴上标出他们三家与学校的大概位置（数轴上一格表示50米）（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少？（4）如果数轴上有两点A、B，点A所表示的数是x1，点B所表示的数是x2，你认为可用一个怎样的式子来求数轴上AB两点之间的距离d？请用含有x1，x2的式子把d表示出来．5．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以3，再把所得数对应的点向左平移1个单位，得到点P的对应点P′．（1）点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图，若点A表示的数是1，则点A′表示的数是；若点B′表示的数是﹣4，则点B表示的数是；（2）若数轴上的点M经过上述操作后，位置不变，则点M表示的数是．并在数轴上画出点M的位置．6．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：；B：；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：N：．7．一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走2.5千米到达小颖家，然后向西走了10千米到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家，小彬家，小颖家的位置．（2）小明家距小彬家多远？（3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？8．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼．（1）以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；（2）小明家与小刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？9．已知在数轴上到表示数﹣3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1，有这样的关系，那么在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是．（3）已知在数轴上表示数x的点到表示数﹣2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，求数x．10．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到C时，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）若这辆摩托车每100km耗油2升，这趟路共耗油多少升？参考答案1．解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5．故答案为：﹣3或5；（3）当A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为：0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2014（M在N的左侧）可知，点M、N到﹣1的距离为2014÷2＝1007，所以，M点表示数﹣1﹣1007＝﹣1008，N点表示数﹣1+1007＝1006．故答案为：﹣1008，1006．2．解：（1）7﹣（﹣7）＝14，故答案为：14；（2）∵|x+3|+|x﹣1|＝x+3+1﹣x＝4，∴x+3≥0，且x﹣1≤0，∴﹣3≤x≤1，即符合条件的整数有±1，0，﹣2，﹣3，故答案为：±1、0、﹣2、﹣3．（3）有最小值．最小值为9，理由是：∵丨x﹣3丨+丨x+6丨可以理解为：在数轴上表示x到3和﹣6的距离之和，∴当x在3与﹣6之间的线段上（即﹣6≤x≤3）时：即丨x﹣3丨+丨x+6丨的值有最小值，最小值为3﹣（﹣6）＝9．3．解：（1）利用数轴得出：A：1 B：﹣2.5；故答案为：1，﹣2.5；（2）分为两种情况：①当点在表示1的点的左边时，数为1﹣4＝﹣3；②当点在表示1的点的右边时，数为1+4＝5；故答案为：5和﹣3；（3）①∵A点与﹣2表示的点重合，∴A点与﹣2关于﹣0.5对称，∴B点与表示1.5的点重合，②∵数轴上M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，∴M、N两点表示的数分别是﹣1006，1005．4．解：（1）150+200＝350（米）；（2）如图所示：；（3）体育场所在点所表示的数是﹣110；（4）数轴上两点x1，x2之间的距离是d＝|x1﹣x2|．5．解：（1）点A'表示的数是：1×3﹣1＝2；设点B表示的数为x，则3x﹣1＝﹣4，解得：x＝﹣1，若点B'表示的数是：﹣4，则点B表示的数是﹣1；（2）设点M表示的数为y，则3y﹣1＝y，解得：y＝，即点M表示的数是：，在数轴上画出点M的位置如图所示：．6．解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5．故答案为：﹣3或5；（3）当A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧）可知，点M、N到﹣1的距离为2010÷2＝1005，所以，M点表示数﹣1﹣1005＝﹣1006，N点表示数﹣1+1005＝1004．故答案为：﹣1006，1004．7．解：（1）；（2）根据数轴可知：小明家距小彬家是7.5个单位长度，因而是7.5千米；（3）路程是2×10＝20千米，则耗油量是：20×0.5＝10升．答：小明家距小彬家7.5千米，这趟路货车共耗油10升．8．解：（1）如图所示：A、B、C分别表示小明、小红、小刚家（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣4.5）＝8.5（千米）；（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+10+4.5）×0.05＝1（升）．答：小明家与小刚家相距8.5千米，这辆货车此次送货共耗油1升．9．解：（1）4﹣（﹣3）＝7．（2）在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是：（a+b）．（3）由x与﹣2的差的绝对值等于x与6的差的绝对值的2倍，得：x﹣（﹣2）＝2（x﹣6），解得：x＝14．x﹣（﹣2）＝﹣2（x﹣6），解得：x＝．10．解：（1）（2）C村离A村为：4﹣（﹣2）＝4+2＝6（km）．答：C村离A村有6km．（3）邮递员实际一共走了|﹣2|+|﹣3|+|+9|+|9﹣5|＝2+3+9+4＝18（km），18÷100×2＝0.36答：这趟路共耗油0.36升．。

数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。

【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？ 【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。

200 ÷180 =10 （米/秒）9【解法二】用方程解。

设速度为 x 米/ 秒，根据路程=时间×速度，得： 200 = 180x ，解得 x =10。

9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。

【题 2】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。

设运动时间为 t 。

（1）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 运动的距离； （2）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；（3）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

（4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点 P 为线段 AB 的三等分点？【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。

所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。

其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。

（1）根据路程=速度×时间，有： AP = t ； （2） AP = t ，故点 P 表示的数为t ；（3）点 B 表示的数为 200，点 P 表示的数为t ，且 P 在 B 左边，故 PB = 200 - t 。

（4）若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况：①AP=2PB ，即： t = 2 ⨯ (200 - t )，解得t = 400秒； 3②2AP=PB ，即： 2t = 200 - t ，解得t =200秒； 3现在，我们将【题 2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：【题 3】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为b ，且数 A 和数 B 的距离为 200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。

章节测试题1.【答题】将数轴上一点P先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是______．【答案】6【分析】本题考查数轴上的动点问题.【解答】设点P原来表示的数为x，根据题意，得：x+3−5=4，解得x=6，即原来点P表示的数是6，故答案为：6．2.【答题】在数轴上，点A表示的数是3+x，点B表示的数是2-x，且A，B两点的距离为8，则x=______．【答案】3.5或-4.5【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离. 数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数．【解答】根据A，B两点的距离为8，当点B在点A左边时，得3+x-（2-x）=1+2x=8，解得x=3.5；当点B在点A右边时，得2-x-（3+x）=-1-2x=8，解得x=-4.5．故答案为3.5或-4.5．3.【答题】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合…），则数轴上表示-2016的点与圆周上表示数字______的点重合．【答案】1【分析】本题考查数轴上的动点问题，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．【解答】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2016÷4=504，∴表示﹣2016的点是第504个循环组的第4个数1重合，故答案为：1．4.【答题】如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径，把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，则此时点C表示的数是______.【答案】-π【分析】本题考查数轴上的动点问题.【解答】∵把圆片沿数轴向左滚动半周，半圆的长度为π，∴滚动的距离为π，∴点C 表示的数是-π．故答案为-π．5.【答题】在数轴上到表示2的点的距离等于5的负数是______．【答案】﹣3【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】到2的距离等于5的点有两个，一个在2右边，为2+5=7；一个在2左边，为2-5=-3．故在数轴上到表示2的点的距离等于5的负数是-3．故答案为-3．6.【答题】数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长度为2016厘米的线段，则线段盖住的整点个数为______．【答案】2016或2017【分析】本题考查有理数在数轴上的表示.【解答】2016厘米，从整数点开始，有2017个点，不从整数开始可以盖2016个．7.【答题】数轴上与原点的距离为2的点表示的数是______．【答案】±2【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】数轴上与原点的距离为的点表示的数是：故答案为：8.【答题】在数轴上与表示-2的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是______．【答案】1或-5【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】在数轴上与表示-2的点的距离为3个单位长度的点有两个，分别在-2的左侧和右侧，∴-2分别加3或减3，这个点为1或-5．9.【答题】数轴上与表示-2的点相距8.5个长度单位的点表示的数是______．【答案】-10.5和6.5【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】分类讨论：（1）所求的点在-2的左边，则-2-8.5=-10.5；（2）所求的点在-2的右边，则-2+8.5=6.5.故数轴上与表示-2的点相距8.5个长度单位的点表示的数是―10.5和6.5．10.【答题】如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿数轴匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了9分钟，那么到达B点还需要______分钟．【答案】6【分析】本题考查数轴上的动点问题.【解答】∵9÷3=3，∴2×3=6，即由C到点B还需要6分钟．11.【答题】在数轴上与﹣2对应的点的距离为4个单位长度的点有______个，它们对应的数是______．【答案】两，﹣6或2【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】在数轴上与-2对应的点距离为4个单位长度的点有2个，其中-2左边的那个点表示的数是-6，-2右边那个点表示的数是2．12.【答题】在数轴上表示的两个数中，______的数总比______的数大．【答案】右边左边【分析】本题考查数轴的定义.【解答】数轴上表示的两个数，右边的数为正半轴，左边的数为负半轴的的数，∴右边的数总比左边的大，故答案为：右，左．13.【答题】在数轴上与表示-2的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是______．【答案】-5或1【分析】本题考查数轴上两点间的距离.设数轴上与表示-2的点相距3个单位长度的点所表示的数是x，再根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．【解答】设数轴上与表示−2的点相距3个单位长度的点所表示的数是x，则|x-（-2）|=3，解得x=1或x=−5．故答案为：-5或1．14.【答题】在数轴上，与原点距离为6的点所表示的数是______．【答案】±6【分析】一般地，设a是一个正数，数轴上与原点距离是a的点有两个，它们分别在原点左右两侧，表示为-a和a，这两点关于原点对称．【解答】距离原点距离为6的点表示的数有两个，分别在原点左右两侧，为6和-6．故答案为±6．15.【答题】数轴上、两点的距离为2，点表示的数为-1，则点表示的数为______．【答案】1或-3【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】∵点A表示的数为-1，A，B两点的距离是2，∴当点B在点A的左边时，点B 表示的数为-1-2=-3；当点B在点A的右边时，点B表示的数为-1+2=1．16.【答题】在数轴上，若点P表示-2，则距P点5个单位长度的点表示的数是______．【答案】-7或3【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】在数轴上与表示-2的点距离5个单位长度的点表示的数是-2+5=3或-2-5=-7．故答案为3或-7．17.【答题】如果数轴上的点A对应的数为3，那么与A点相距200个单位长度的点所对应的有理数为______．【答案】203或-197【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】设该点表示的数是x，则|3-x|=200，故3-x=200或3-x=-200，解得x=-197或203．18.【答题】数轴上到表示-1的点距离6个单位长度的点表示的数是______.【答案】-7或5【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】由题意得：当所求点在−1的左侧时，则距离6个单位长度的点表示的数是−1−6=−7；当所求点在−1的右侧时，则距离6个单位长度的点表示的数是−1+6=5．故答案为：-7或5．19.【答题】数轴上，点A如果表示3，那么与A点相距4个单位的点表示的数是______．【答案】7或-1【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】如图所示，与3表示的点距离4个单位长度的点是-1或7．20.【答题】距离原点3个单位长度的数是______．【答案】【分析】本题考查数轴上两点间的距离.【解答】如图所示，数轴上距离原点3个单位长度的数是±3．。