全等三角形专题复习(1)版本2：证两次与K型

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

全等三角形知识点总结及复习[全文5篇]第一篇：全等三角形知识点总结及复习全等三角形知识点总结及复习一、知识网络二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与DE交于点B。

专题总复习（一）全等三角形、轴对称一、复习目标：1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.二、重难点分析：1、全等三角形的性质与判定；2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.三、知识点梳理：知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质.（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL （只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角③有公共边的，公共边一定是对应边•④有公共角的，公共角一定是对应角.⑤有对顶角的，对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中. （常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形. 知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等知识点七：证明线段相等的方法. （重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法. （重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.知识点九：全等三角形中几个重要的结论.（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等.知识点十：三角形中常见辅助线的作法. （重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.四、例题精讲：考点一：考查全等三角形的性质定理及判定定理类型1下列三角形全等的判定中，只适用于直角三角形的是（）A SSSB 、SASC 、ASAD 、HL类型2下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A、一锐角和一直角边对应用相等 B 、两直角边对应相等C、两锐角对应相等 D 、斜边、直角边对应相等类型3如图，AC和BD相交于点O, B0=D0, AO=C0,则图中的全等三角形共有多少对（）A、1对B 、2对C 、3对D 、4对考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用•类型1 在ABC中，AB AC， A 120，BC 6cm, AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于F，求证：BM MN NC .C类型2如图所示，在ABC中，AB AC，BD 平分ABC，BD BC AD，DE AB.（1）求A的度数；（2）求证：AE BE.考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用•类型1已知ABC和DEB为等边三角形，点A、D、B在同一直线上，如图1所示.（1）求证：DC AE ；C(2) 若BM CD , BN AE ，垂足分别为 M 、N ,如图2,求证： BMN 是等边三角形.类型2如图所示， ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD , BDC 120 , E 、F 分别在AB 、AC 上，且 EDF 60，求 AEF 的周长.类型3如图所示， ABC 是等边三角形，AE CD ，BQ AD 于点Q BE 交AD 于点P ， (1) 求 PBQ 的度数；(2) 请判断PQ 与PB 的数量关系，并说明理由; (3) 若 PQ 3, PE 1，求 AD 的长.的高为2、.3，求DE DF 的值.类型4如图所示,ABC 为等边三角形, CD 为BC 边上的一点, ABCBD C考点四：角平分线与全等三角形的综合运用 在 ABC 中，AD 平分 BAC ，CE AD 于 E ，求证： ACE B ECB . 如图所示，在 ABC 中，AD 平分 BAC ， C 2 B ，求证：AB AC CD .如图所示，AB//CD , BE 平分 ABC , CE 平分 BCD ，求证：BC AB CD .考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用 类型1如图所示， ABC 为等腰三角形，AB AC ,点D,E 分别在AB 和AC 的延长线上，且BD CE , DE 交 BC 于点 G ，求证：DG GE .类型 类型 类型类型 于占-J如图所示，在 ABC 中， C 60，AF,BE 分别为 CAB, BE 交AC 于点F , AF,BE 相交于点G ，求证：GE GF .ABC 的角平分线，AF 交BCCDAC，CE AB，垂足分别为D、E，BD,CE相交于点F , 求证：BE CD .类型5已知ABC、ADE是两个腰互不相等的等腰直角三角形,AB AC，AD AE，BAC DAE 90，连结DC .（1）求证：BE CD ；（2）求证：BE CD .类型2如图所示，在ABC中，BD CD , 12，求证：AD平分BAC.类型3如图所示，在Rt ABC中, ACB 90，AC BC，D为BC中点，CE AD于E，交AB 于F，连接DF，求证：ADC BDF .类型4如图所示，已知AB AC，BD考点六：考查中线与全等三角形的综合运用类型1如图所示，AD是ABC的中线，求证：2AD AB AC类型2 如图所示，CE、CB分别是ABC，ADC的中线，且AB AC，求证：CD 2CE.C 90，CD 是Rt ABC 的中线，求证：AD BD CD .考点七：考查全等三角形关于“质点运动”问题(通常与一次函数相结合)(难点)类型1已知直线AB的函数解析式为y x 8，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，点0到直线AB的距离为4、2，动点Q从点B开始在线段BA上向点A移动，同时动点P从点A开始向线段A0上向点0移动，两点速度均以1个单位长度的速度移动，设点Q、P移动时间为t s.(1) 求出A、B两点的坐标.(2) 当t为何值时，APQ与OBQ全等.类型3已知如图所示，在Rt ABC 中,（3）是否存在AOQ与OBQ全等？若存在，试求出此时t的取值范围及线段OQ所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由考点八：旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形的综合运用• 类型1:如图所示，点O是等边ABC内一点，AOB 110，BOC 针方向旋转60得ADC，连接OD .（1）求证：COD是等边三角形；（2）当a 150时，试AOD判断的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？五、练习巩固.1、如上图若A 105，ME、NF分别为AB、AC的垂直平分线，求2、如图所示，在ABC 中，AB AC，A 36，BD 平分ABC，DE AB，a，将BOC绕点C按顺时AB C MAN的度数.E A(1) 图中有多少个等腰三角形，请写出来• (2) 求证：BD BC AD ;(3) 若 BDC 的周长为24cm , AB 14 cm ，求 ABC 的周长.B C 90 , M 为BC 的中点，AM 平分 DAB ，求证：DM 平分 ADC.3、如图所示, ABC 中，AD 平分 BAC ， AB AC CD ，求证： C 2 B4、如图所示，在 ABC 中, BD DC ，ED DF ，求证：BE CF EF .5、如图所示，在Rt ABC 中, B 45，AD 平分 BAC ，求证：AB AC CD6如图所示,CA7、如图⑴ 所示，ABC沿着DE对折，使点A刚好落在点B上，如图⑵ 所示，将图⑵ 再沿着BF(AF)对折(图⑶ 所示)，使点C刚好落在点D上，得到图(4).请问：(1) ABC中A的度数为；⑵根据上述的折叠，图(1)中，有个等腰三角形.(1)8、如图所示，在AB 20cm, AC 8cm，求DE 的长.9、如图所示，已知BD AD，CE AB垂足为E，求证：CDF 为等腰三角形.10、如图所示，在ABC中，AB CD，BAD28cm2，BDA，AE是ABD的中线.求证：AC 2AEE D11、如图所示，已知在ABC中，AB AC 10cm, BC 8cm，点D为AB的中点，（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？12、如图1所示，ABC和DEB为等边三角形，A、B、E在同一条直线上，连接AD、CE分别交BC、BD于点G、F，连结GF .（1）求证：AD CE.（2）求证：BGF是等边三角形.（3）将BDE绕点B按顺时针方向旋转90，其他条件不变的情况下，在图2中补出符合要求的条件，并判断第（1）（2）两小题的结论是否成立？图1C图213、如图①所示，在 Rt ABC 中， BAC 90，AB AC ，点D 、E 是直线AC 上的两动点，且AD CE ，AM BD ，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，直线BD 交直线NE 于点F • (1)试探究 EDF 与 DEF 的大小关系；⑵ 如图②所示，若D 、E 运动到如图位置，其他条件不变，图①中的还成立吗？若成立，请证明出来，若不存在，试说明理由⑶ 如图③所示，当DE 运动到如图的位置，此时的EDF 与 DEF 的大小关系EEDF 与 DEF 的大小关系又是如何？请证明你的结论FAAD EME M N CBCC BBNN1课前练习ABCAADDC BBBCCE有何数量关系？试说明理由之间有又何数量关系？不要求证明CDE 有公共的顶点C1、如图所示，已知两个等边 E 在BC 上时，AD 与BE 之间的数量关系为M F3、.DF '(1)如图①，当D 在AC 上⑵如图②，当B 、C 、D 共线时，连接AD 、BE 交于点M ，连接CM ，线段BM 、AM 、CM 之间⑶如图③，当B 、C 、D 不共线时，线段BM 、AM 、CMAD12<32、如图所示，已知四边形ABCD是正方形，⑴如图①，若M为BC的中点，AM MN , CN平分DCE并交MN于点N.求证：AM MN⑵如图②，若M为BC边上的一点，其它条件不变，AM MN还能成立吗？若成立，请证明;若不成立，请说明理由。

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

《全等三角形》考点重点专题讲解专题一全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成"SSS"）2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成"SAS"）3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成"ASA"）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成"AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用"斜边、直角边"，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成"HL"）．也就是说"斜边、直角边"是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO为公共边，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90o，∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由AE=AD，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC为公共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又∠EAO=∠DAO， AO为公共边，所以△ABO≌△ACO．图1所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．要使△ABC≌△ADE，根据SAS可知只需AC=AE 图2即可；根据ASA可知只需∠B=∠D；根据AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．求证：AO平分∠BAC．分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．证明：连结BC．因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．图3即∠3=∠4，所以BO=CO．因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以△ABO≌△ACO．所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法．例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB 于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以图4△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒图5(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是．第(3)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测图6得OD＝OB，这时测出CD的长为，则AB的长就是．(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB．又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．∴CD=AB=．专题二角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例7 已知：如图21，△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．图21在△BED与△CFD中，∠1＝∠2，∠BED＝∠CFD＝，BD=CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段．证明：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，作EG⊥BC，垂足为G，作EH⊥CD，垂足为H．∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG．同理EG =EH．∴EF=EH．∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90o．图22在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD．图23在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD，AE=AC，∴△EAD≌△CAD．∴∠AED=∠C，CD=DE．∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B．∵∠AED=∠B+∠EBD，∴∠B=∠EDB．∴BE=ED．∴BE=CD．∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．证明：延长CE交AB于点F．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90o．在△FEA和△CEA中，∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．图24∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．图25例11 如图26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．求证：CD=BE．分析：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等．证明：过点D作DF∥AB交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．图26∴∠2=∠3，∴DF=BF．∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90o，∠3+∠5=90o．∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠4=∠C，CD=DF．∴CD=EF=BF，即CD=BE．课程咨询电话：62015778/80 62015809/10。

全等三角形复习专题全等三角形是初中数学中的重要内容，它不仅是几何学习的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。

为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面我们来进行一次全面的复习。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

“完全重合”意味着它们的形状和大小都完全相同，对应边相等，对应角也相等。

例如，两个三角形的三条边分别为 3cm、4cm、5cm，且三个角分别为 30°、60°、90°，如果将它们叠放在一起能够完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。

也就是说，如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度是一样的。

比如△ABC≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等。

同样，若两个三角形全等，它们的对应角的度数也是相同的。

例如在上面的例子中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等，面积相等。

因为全等三角形的边和角都对应相等，所以它们的周长和面积自然也相等。

三、全等三角形的判定1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么△ABC≌△DEF。

2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么△ABC≌△DEF。

3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么△ABC≌△DEF。

4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

全等证明解题方法归纳【第 1 部分全等基础知识归纳、小结】1 、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：（1 ）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2 ）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（位置变化）图1 图2 图32 、全等三角形的表示方法：若△ ABC 和△ A′ B′是C全′等的，记作“△ABC ≌△A′B′”C′其中，“≌”读作“全等于” 。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。

（1 ）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2 ）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。

（3 ）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法（1 ）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2 ）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；第1页共20页全等证明解题方法归纳（3 ）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有 3 种：平移、对称、旋转；5 、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（ SSS ）②边角边（ SAS ）③角边角（ ASA ）④角角边（ AAS ）⑤斜边，直角边（ HL ）注意：（容易出错）（ 1 ）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（ 2 ）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即 AAA ；㈡有两边和其中一角对应相等，即 SSA 。