全等三角形专题二珍藏版

全等三角形1．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A、6B、4C、23D、52．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，有以下结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.55．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．46．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD ＝3，BD＝5，则四边形ABCD的面积为_______.7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE:ED=2:1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED 的面积是．8．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是2，那么△A1B1C1的面积是．9．如图，AB=AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE．10．如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是．11．如图，∠A=90°，∠ABC的角平分线交AC于E，AE=3，则E到BC的距离为．12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=4，O为AC的中点，OE⊥OD 交AB于点E．若AE=3，则OD的长为．13．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．15．（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE 相交于点P，求证：BE = AD；（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD，BE和CF交于点P，下列结论正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．16．已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BE∥DF．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE为BC边上的中线，CD⊥AE于点F，BD⊥BC于点B．（1）试说明：AE＝CD；（2）若AC＝10cm，求线段BD的长．18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．19．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．20．如图，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F．（1）请写出与A点有关的三个正确结论；（2）DE 与DF在数量上有何关系？并给出证明．21．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF=2CD ．23．在△ABC 中, ∠C=90°,BD 是△ABC 的角平分线,P 是射线AC 上任意一点（不 与A,D,C 三点重合）,过P 作PQ ⊥AB,垂足为Q,交直线BD 于E.（1）如图①,当点P 在线段AC 上时,说明∠PDE=∠PED.（2）如图②，作∠CPQ 的角平分线交直线AB 于点F,则PF 与BD 有怎样的位置关系?24．已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD 。

清单02 全等三角形（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．1．（2022秋•剑阁县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形2．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形考点二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．（2022秋•庄河市期末）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50°B．71°C．58°D．59°4．（2022秋•丹阳市校级期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，则DF＝cm．考点三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2022秋•莘县期末）如图，BC＝BD，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°6．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A＝∠D＝90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．7．（2023春•渠县校级期末）已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．8．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．考点四．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等10．（2022秋•磁县期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对11．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC．12．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．13．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．考点五．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2022秋•大田县期末）如图，正方形ABCD是一张边长为12cm的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中P，Q，R三点分别在边CD，AD，BC 上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，将△PDQ的面积用含x的代数式表示；（2）五边形PQABR的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•荣昌区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．16．（2022秋•宿城区校级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE．17．（2022秋•孝南区期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．考点六．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．18．（2023春•长安区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．19．（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D 在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．20．（2022秋•新化县期末）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点七．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋•双流区期末）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D 点．（1）求证：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．22．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点．（1）求∠CAD的大小；（2）若BC＝9，求DE的长．考点八．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．23．（2022秋•长安区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【核心素养提升】逻辑推理——构建全等三角形进行证明1．（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝．2．（2022秋•江岸区期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，将BC沿BA方向平移至AE，连接CE、DE，若以AC、BD和DE为边构成的三角形面积是，则DE ＝．3．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C 在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【中考热点聚焦】热点1.三角形全等的判定1．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．2．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．热点2.三角形全等的判定和性质的综合应用3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．5．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．6．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．7．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．8．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．热点3.三角形全等的实际应用9．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 10．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．热点4.角的平分线的性质11．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．12．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．。

专题2 全等三角形的常见模型及其构造方法（原卷版）类型一一线三等角模型（一）捕捉一线三等角模型1．（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点，AE＝EF，AE⊥EF，若BE＝3，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为．2．（2022秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠BAC ＝∠AEC＝α，若DE＝8，BD＝2，求CE的长．3．（2023春•榆林期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．（二）构造一线三等角模型4．（2022秋•武汉期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．165．（2023春•和平区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（4，7）D．（3，7）6．（2023•雁塔区校级开学）如图，直线l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，点A到直线l2的距离是3，点C到直线l2的距离是6，则正方形ABCD的面积为．7．（2021秋•恩施市校级月考）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD（D点在第四象限），过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．（1）捕捉手拉手模型8．（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：AC＝BD；结论Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ对，Ⅱ错B．Ⅰ错，Ⅱ对C．1，Ⅱ都对D．Ⅰ，Ⅱ都错9．（2021秋•十堰期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．（1）如图1．若∠AOB＝∠COD＝40°．则AC与BD的数量关系为；∠AMB的度数为；（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°，判断AC与BD之间存在怎样的关系？并说明理由；10．已知：在△ABD和△ACE中，AD＝AB，AC＝AE．（1）如图1，若∠DAB＝∠CAE＝60°，求证：BE＝DC；（2）如图2，若∠DAB＝∠CAE＝n°，求∠DOB的度数．11．（2021秋•恩施市校级期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）如图1，若AB＝4，则四边形AEDF的面积为（直接写出结果）；（3）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，则△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．类型三半角模型12．已知：边长为1的正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点．（1）若MN＝BM+ND，求证：∠MAN＝45°；（2）若△MNC得周长为2，求∠MAN的度数．13．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，请猜想PM与PN的数量关系并说明理由．14．（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．类型四倍长中线模型15．（2020•黄陂区期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（）A．5B．7C．8D．916．（2020秋•通河县期末）如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为．类型五截长补短构造全等三角形17．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．类型六平行线+线段中点构造全等三角形18．如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．19．（2023春•博山区期末）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE=132，求AB的长．。

专题02高分必刷题-全等三角形重难点题型分类（解析版）题型1：全等三角形的性质1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．2．如图，△ABC≌△DCB，△A＝80°，△DBC＝40°，则△DCA的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：△△ABC≌△DCB，∴∠D＝△A＝80°，△ACB＝DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°，∴∠DCA＝△DCB﹣∠ACB＝20°，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BE＝7，AD＝3，则AB＝．【解答】解：△△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB﹣AD＝DE﹣AD，即BD＝AE，∵BE＝7，AD＝3，∴BD＝AE＝＝2∴AB＝AD+DB＝3+2＝5．故答案为：5．题型2：添加一个条件，是两三角形全等4．如图，已知MB＝ND，△MBA＝△NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．△M＝△N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、△M＝△N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出△MAB＝△NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，△MBA＝△NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，已知△ADB＝△CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．△A＝△C B．AD＝BC C．△ABD＝△CDB D．AB＝CD【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．6．如图，已知△1＝△2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．△B＝△D D．△BAC＝△DCA 【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．题型三：尺规作图的依据7．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明△A′O′B′＝△AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：A．8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，△AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．题型4：角平分线的性质10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AD平分△CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：△AD平分△CAB，DE⊥AB，△C＝90°，∴DE＝CD，又△AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB ＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．11．如图，△ABC中，△C＝90°，AD是角平分线，AB＝14，S△ABD＝28，则CD的长为．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴由角平分线的性质，得DE＝CD．∵AB＝14，S△ABD＝28，∴×AB×DE＝28，即×14×DE＝28，解得DE＝4，∴CD＝4，故答案为：4．12．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是△ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．题型五：全等三角形中档证明题考向1：重叠边技巧①短边相等+重叠边=长边相等②长边相等-重叠边=短边相等13．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，△A＝△D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）△AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝△EFD，∴BC∥EF．14．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：AB∥DE．【解答】证明：△AF＝DC，∴AF﹣FC＝DC﹣CF，即AC＝DF．在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SSS），∴∠A＝△D，∴AB∥DE．考向2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等15．如图，AB＝AD，△C＝△E，△1＝△2，求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：△△1＝△2，∴∠1+∠EAC＝△2+∠EAC，即△BAC＝△DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．16．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC＝90°，△DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．【解答】证明：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又△△EAC ＝90°+∠CAD，△DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝△EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．考向三：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦1、全等图形2、全等三角形的性质3、全等三角形的判定方法4、添加条件使三角形全等5、全等三角形的应用6、全等三角形与动点问题7、角平分线的性质与判定8、倍长中线模型9、证明线段和差问题10、常见的辅助线一、全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．3．全等三角形的性质及应用①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；④全等三角形的周长相等，面积相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．“角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．全等三角形的证明思路：SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找一角的对边ì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．一、全等的几种模型（1） 平移型（2）对称型（3）旋转型二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1．倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO ＝DO ，结论：△AOB ≌△DOC.证明：如图，延长AO 到点D 使AO ＝DO ，由中点可知，OB ＝OC ，在△AOB和△DOC 中，OA OD AOB DOC OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AOB ≌△DOC .总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．基本图形，如下：在ABC △中，,AB AC AM >平分BACÐ（1）在AB 上截取AD AC =；（2）把AC 延长到点E ，使AB AE =.考点剖析考点一、全等图形例1．如图1，把大小为44´的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把44´的正方形网格分割成两个全等形．【解析】∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形．考点二、全等三角形的性质例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且ABC DAE△≌△．=+；(1)求证：DE CE BC∥？并证明你的猜想．(2)猜想：当ADEV满足什么条件时DE BC【解析】（1）解：∵ABC DAE△≌△，∴BC AE=，=，AC DE∴DE AC CE AE CE BC ==+=+；（2）解：猜想，90AED Ð=°时，DE BC ∥，∵ABC DAE △≌△，∴AED BCA Ð=Ð，∵DE BC ∥，∴BCE DEC Ð=Ð，∴DEC AED Ð=Ð，又180DEC AED Ð+Ð=°，∴90AED Ð=°，∴当ADE V 是直角三角形，且90AED Ð=°时，DE BC ∥．考点三、全等三角形的判定方法例3．如图，点C ，E ，F ，B在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB CD ∥，AE DF =，A D Ð=Ð．(1)请判断AB 和CD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB CF =，40B Ð=°，求D Ð的度数．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，∴B C Ð=Ð．在ABE △和DCF △中，∵A D B C AE DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABE △≌DCF △，∴AB CD =．（2）解：∵ABE △≌DCF △，∴AB CD =，BE CF =，B C Ð=Ð，∵40B Ð=°，例4．如图，已知,AB ED CD BF =∥.(1)现要从如下条件中再添加一个①AC EF =；②AB DE =；③A E Ð=Ð；④DF CB =得到ABC EDF △≌△．你添加的条件是：________．（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明．【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）（2）选择②证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，AB DE B D DF CB =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABC EDF \△≌△；选择③证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，A E B D DF CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ABC EDF \△≌△.考点五、全等三角形的应用(1)当D 点在伞柄AP 上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD 和CD 相等吗？请说明理由．例6．如图，已知ABC △中，B C Ð=Ð，8AB =厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为(t 秒)(03)t £<．(1)用含t 的代数式表示(2)若点P 、Q 的运动速度相等，经过(3)若点P 、Q 的运动速度不相等，当点【解析】（1）解：由题意得：则62PC t =-；（2）解：CQP △≌(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点别为E、(F如图①)，则PE(2)把三角尺绕着点P旋转(如图②想PE与PF的大小关系，并说明理由．Ð【解析】（1）解：∵OC平分AOB\=，PE PF考点八、倍长中线模型例8．（1）在ABC △中，46AB AC==，，AD 是BC 边上的中线，则中线AD 长范围为___________；（2）如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，点E F ，分别在AB AC ，上，且DE DF ^，求证：BE CF EF +>．【解析】（1）如图，延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，，则2AG AD =，Q AD 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC △和GDB △中，CD BD ADC GDB AD GD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADC GDB \△△，6BG AC \==，BG AB AG BG AB -<<+Q ，6464AG \-<<+，即210AG <<，2210AD \<<，15AD \<<，故答案为：15AD <<；（2）证明：如图，延长ED 至H 使ED DH =，连接CH ，FH ，，在BDE △和CDH △中，CD BD BDE CDH ED HD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌BDE CDH \△△，BE CH \=，DE DF ^Q ，=ED HD ，EF HF \=，CF CH FH +>Q ，CF BE EF \+>．考点九、证明线段和差问题例9．如图所示，在ABC △，100A Ð=°，40ABC BD Ð=°，平分ABC Ð交AC 于点D ，延长BD 至点E ，使ED AD =，连接CE ．求证：BC AB CE =+．【解析】证明：如图所示，在BC 上取一点F 使得BF AB =，连接DF ，∵100A Ð=°，40ABC Ð=°，∴40ABC ACB Ð=Ð=°，∵BD 是ABC △的角平分线，∴20ABD FBD Ð=Ð=°，在ABD △和FBD △中，AB FB ABD FBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABD FBD △△，∴ADB FDB AD DF ==∠∠，，又∵AD ED ADB EDC ==，∠∠，∴1801002060ADB FDB CDE Ð=Ð=Ð=°-°-°=°，FD ED =，∴18060FDC ADB FDB EDC =°--=°=∠∠∠∠，在CDE △和CDF △中，ED FD CDE CDF CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS CDE CDF △≌△，∴CE CF =，∴BC BF CF AB CE =+=+.考点十、常见的辅助线例10．如图，△ABC 中，AB =AC ,在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使CF =BE ,连接EF ，交BC 于点D ．求证：DE =DF ．【解析】证明：作FH P AB 交BC 延长线于H ，∵FH P AB ，∴∠FHC =∠B ，∠BED =∠HFD ．又∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．又∠ACB =∠FCH ，∴∠FHC =∠FCH ．∴CF =HF ．又∵BE =CF ，∴HF =BE ．在△DBE 和△DHF 中，,B FHC BE HFBED HFD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△DBE ≌△DHF （ASA ）．∴DE =DF ．过关检测一、选择题1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A ．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B ．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C ．三边分别相等的两个三角形全等D ．两点之间线段最短【答案】B【解析】Q 点O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，由对顶角相等得AOB A OB ¢¢Ð=Ð，在AOB △和A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB ¢¢=ìïÐ=Т¢íï=î，(SAS)≌AOB A OB ¢\¢△△，AB A B ¢\=¢，即只要量出A B ¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选B ．2．如图，AOB ADC △≌△，90O D Ð=Ð=°，70OAD Ð=°，当AO BC ∥时，则ABO Ð度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．55°【答案】A 【解析】∵AOB ADC △≌△，∴AB AC =，BAO CAD Ð=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，设ABC ACB x Ð=Ð=，∵BC OA ∥，∴ABC BAO CAD x Ð=Ð=Ð=，180ACB CAO Ð+Ð=°，∴180ACB CAD OAD Ð+Ð+Ð=°，∵70OAD Ð=°，∴70180x x ++°=°，解得：55x =°，∴55BAO Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴905535ABO Ð=°-°=°．故选A ．3． 如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，已知：CE DF =，ACE BDF Ð=Ð，下列条件中不能判定△≌△ACE BDF 的是A ．E FÐ=ÐB ．AC BD =C ．AE BF =D ．∥AE BF【答案】C 【解析】A 、符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；B 、符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；C 、不符合全等三角形的判定定理，SSA 不能推出△≌△ACE BDF ，故本选项符合题意；D 、因为∥AE BF ，所以A FBD Ð=Ð，所以符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意．故选C ．4．如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，BE AD ^交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =；其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】,90BC AC ACB =Ð=°Q ，45CAB ABC \Ð=Ð=°，AD Q 平分BAC Ð，22.5BAE EAF \Ð=Ð=°，Q 在Rt ACD △与Rt BFC △中，90,90EAF F FBC F Ð+Ð=°Ð+Ð=°，EAF FBC \Ð=Ð，BC AC EAF FBC BCF ACD =Ð=ÐÐ=ÐQ ，，，∴Rt Rt ≌ADC BFC △△，AD BF \=，故①正确．②Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC △△，CF CD \=，故②正确．③Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC△△,CF CD AC CD AC CF AF \=+=+=，22.5CBF EAF Ð=Ð=°Q ，\在Rt AEF △中，9067.5F EAF Ð=°-Ð=°，45CAB Ð=°Q ，18018067.54567.5ABF F CAB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，ABE AFE \≌△△，A ．1个B ．2个【答案】D 【解析】①ABC ÐQ 和ACB Ð的平分线相交于点EBO CBO \Ð=Ð，BCO FCO Ð=Ð∵EF BC ∥，Q 点O 是ABC △的内心，OD 1122AEF S AE OD AF \=×+×△1()2AE AF OD =+×【答案】135【解析】如图，连接AD 、BD由图可知，在DFB △和BEC △90DF BE DFB BEC FB EC =ìïÐ=Ð=°íï=î，【答案】AD AB =或3=Ð【解析】AC Q 平分DAB Ð12\Ð=Ð，又AC AC =Q ，【答案】7【解析】∵EF AB ^，∴90FEB Ð=°，∵BF AC ^，∴90ADB Ð=°，∴90F FBE Ð+Ð=°，A Ð+【答案】15° 6【解析】（1）Q 90AEC Ð=90BED DFC \Ð=Ð=°，在Rt BDE △和Rt CDF △中，【解析】设经过xQ厘米，点==AB AC24\=厘米，12BDQABC ACBÐ=Ð\要使BPD △与CQP V 全等，必须BD CP =或BP CP =，即12164x =-或4164x x =-，解得：1x =或2x =，1x =时，4BP CQ ==，414¸=；2x =时，12BD CQ ==，1226¸=；即点Q 的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11．如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 上一点，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ，且DE DF =．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．(1)你选择的是：△__________△≌__________；(2) 根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为AED AFD V V ≌，故答案为：AED ，AFD （答案不唯一）；（2）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ^，AED \△和AFD △是直角三角形，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，()Rt Rt HL ≌AED AFD \△△．12．如图，点D E 、分别在线段,AB AC 上，AE AD =，不添加新的线段和字母，从下列条件①B C Ð=Ð，②BE CD =，③AB AC =，④ADC AEB Ð=Ð中选择一个使得≌ABE ACD △△．(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：∵AE AD =，A A Ð=Ð，可以利用SAS,AAS,ASA 三种方法证明≌ABE ACD △△；故可以选择的条件可以是：①或③或④（2）选择①：在ABE △和ACD △中，A ABC AE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ≌ABE ACD △△；选择③在ABE △和ACD △中，AB AC A A AE AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABE ACD △△；选择④在ABE △和ACD △中，ADC AEB AE ADA A Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE ACD △≌△．13．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B Ð=Ð，ACE BDF Ð=Ð．(1)求证：ADE BCF △△≌．(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【解析】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，A B ACE BDF AE BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ACE BDF \≌△△．AC BD \=．AD BC \=．在ADE V 和BCF △中AE BF A B AD BC =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADE BCF \△△．（2）由（1）知ACE BDF V V ≌，2BD AC \==，8AB =Q ，4CD AB AC BD \=--=，故CD 的长为4．14．如图，ABC △的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ，连接BP ，CP ．(1)求证：BD CE =；(2)若6cm AB =，10cm AC =，直接写出AD 的长为______．【解析】（1）证明：Q 点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP \=，AP Q 是DAC Ð的平分线，DP EP \=，在Rt BDP △和Rt CEP △中，BP CP DP EP =ìí=î，(1)【探究发现】图1中AC 与BM 的数量关系是 (2)【初步应用】如图2，在ABC △中，若12AB =(3)【探究提升】如图3，AD 是ABC △的中线，过点AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与由（1）可知，(SAS)≌MDB ADC △△，8BM AC \==，在ABM △中，AB BM AM AB BM -<<+，128128AM \-<<+，即4220AD <<，210AD \<<，即BC 边上的中线AD 的取值范围为210AD <<；（3）2EF AD =，EF AD ^，理由如下：如图3，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，由（1）可知，(SAS)BDM CDA △≌△，BM AC \=，AC AF =Q ，BM AF \=，由（2）可知，AC BM ∥，180BAC ABM \Ð+Ð=°，AE AB ^Q 、AF AC ^，90BAE FAC \Ð=Ð=°，180BAC EAF \Ð+Ð=°，ABM EAF \Ð=Ð，在ABM △和EAF △中，AB EA ABM EAF BM AF =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ABM EAF \△≌△，AM EF \=，BAM E Ð=Ð，AD DM =Q ，2AM AD \=，2EF AD \=，EAM BAM BAE E APE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，90APE BAE \Ð=Ð=°，EF AD \^．。

全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题02 全等三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△P AB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①③④2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④3．（2分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE5．（2分）如图，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，点G为AD的中点，GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，连接AG、BG．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．187．（2分）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB＝OC，添加下列哪个条件能判定△ABC是等腰三角形？”请你判断正确的条件应为（）A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°9．（2分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③B．②④C．①②③④D．①③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝，则AD的长为．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD＝CA，在射线CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝°．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为．14．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG ＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．18．（2分）如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF 于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为．19．（2分）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．20．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．22．（8分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．23．（6分）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．24．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC ＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．25．（9分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．26．（6分）如图，线段AB上两点C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，连结DE并延长至点M，连结CF并延长至点N，DE、CF交于点P，MN∥AB．求证：△PMN是等腰三角形．27．（6分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD∠COB；（2）求证：△AOG≌△COE；（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝°．28．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．11/ 1212/ 12。

专题二全等三角形的性质与判定一、单选题1．下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）．．23A．50°B．59°C．69°D．71°4．如图，点E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠C B．AG=DG C．∠AFE=∠DEF D．BE=CF5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）．A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS6．已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A．72°B．60°C．48°D．50°7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL8．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C．添加一个条件后，不能证明△ABF≌△DCE，这个条件可能是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．BF=CE D．AF=ED9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°10．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD11．如图，已知∠CAB=∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（）A．AC=BD B．CB=DA C．∠C=∠D D．∠ABC=∠BAD12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS13．如图，AB=4厘米，BC=6厘米，∠B=∠C，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是（）A．1B．1.5C．1或1.5D．1或214．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．50°B．54°C．60°D．76°15．如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，要使得△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．BE=CF D．AC∥DF17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是（）A．64°B．65°C．51°D．55°18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本据实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．等角对等边D．两点之间线段最短19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点A(0,a)，B(b,0)，C(−4,4)，其中b<a<0，则a，b之间的数量关系是（）A．a+b=−4B．a−b=4C．a+b=−8D．a−b=820．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS21．如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（）A．∠B=∠C B．GE=GF C．∠AFE=∠DEF D．BF=CE 22．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②③23A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 24．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°25．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（ ）A．BC=BD B．∠C=∠D C．AC=AD D．∠ABC=∠ABD26．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A+∠D=90°B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠227．如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若∠1+∠2+∠3=96°，则∠3的度数为．29．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，△ADE的周长为cm．30313233．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．34．如图，OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB．求证：AB=CD．35．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，PF交AC于点H，求证：(1)△ABP≌△FBP；(2)AH=AB−BD．37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．38．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．39．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：△CDE≌△FAE．(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．41．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，AD=CD，AB=CB，对角线AC交BD与点O.(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；(2)求证：AC⊥BD.43．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若CE=BF．(1)求证：AE=DF；(2)求证：AB∥CD．44．如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，AF=DE，∠B=∠C，求证：AB=CD．45．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=5，BE=3，求DG的长．46．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD．47．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．48．（变图形—平移型）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．50．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过直角顶点A作直线MN,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E．(1)如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由；(2)当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD,CE,DE之间的数量关系．51．如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：BE=CF．54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，AB=CD，CE=FB．求证：AE∥DF．55．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM=DN56．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0°<α<90°)得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1 B1C全等除外）；(2)当△BB1D是等腰三角形且BB1=BD时，求α的值．参考答案题号12345678910答案C C B D B C D D C A题号11121314151617181920答案B A C A D B A A D D题号21222324252627答案D A B B A D B1．C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．【详解】解：由题可得∠A=180°−60°−54°=66°，∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，故C选项符合题意；∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．2．C【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到AD=DC=BD，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到∠B+∠C=90°．【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∵BD=DC，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠C+∠B+∠CAD+∠BAD=180°，∴∠B+∠C=90°．故选：C．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，∴∠α=180°−50°−71°=59°，故选：B4．D【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；D、由BE=CF即可证明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS证明△ABF≌△DCE，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．5．B【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．【详解】解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，∴△ACD≌△BEF(SSS)，∴∠MBN=∠PAQ，故选：B．6．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵图中两个三角形全等，∴△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=180°−60°−72°=48°，∴∠1=48°，故选：C．7．D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8．D【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据SSS，ASA，SAS，AAS逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵AB=DC，∠B=∠C，当∠A=∠D构成ASA，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BE=CF得到BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当AF=ED不能得到三角形全等的判定，符合题意，故选：D．9．C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠1的度数．【详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得∠2=180°−50°−72°=58°，由全等三角形的性质可得∠1=∠2=58°，故选：C．10．A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，条件为边边角，∴不能证明△ABC≌△BAD，故A符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠CAB=∠DBA，条件为边角边，∴能证明△ABC≌△BAD，故B不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠C=∠D，条件为角角边，能证明△ABC≌△BAD，故C不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，BC=AD，条件为边角边，能证明△ABC≌△BAD，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴添加的条件是：AC=BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故选项A不符合题意；添加的条件是：CB=DA，无法判断△ABC≌△BAD，故选项B符合题意；添加的条件是：∠C=∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；添加的条件是：∠ABC=∠BAD，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：B12．A【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得∠AOB=∠A′O′B′．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；④过点C′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，O′C′=OCO′D′=OD，C′D′=CD∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠A′O′B′，即运用的判定方法是SSS．故选：A．13．C【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．由题意知，BP=2t，CP=6−2t，由△ABP与△CQP全等，分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况，列方程求解即可．【详解】解：由题意知，BP=2t，CP=6−2t，∵△ABP与△CQP全等，∴分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况求解；当△ABP≌△PCQ时，PC=AB，即6−2t=4，解得t=1；当△ABP≌△QCP时，BP=CP，即2t=6−2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，故选：C．14．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∠1是边a的对角，即边b、c夹角，∴∠1的度数是180°−54°−76°=50°．故选：A．15．D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；故选：D．16．B【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB=DE，∠B=∠DEF，再逐一分析添加的条件结合ASA，SAS，AAS可得答案.【详解】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴补充∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；补充AC=DF，不能证明△ABC≌△DEF，故B符合题意；补充BE=CF，∴BC=EF，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故C不符合题意；补充AC∥DF，∴∠ACB=∠F，可利用AAS证明△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选B17．A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠1=64°，故选：A．18．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【详解】解：O为AA′、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，∵∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴在△AOB与△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB=A′B′，故选：A．19．D【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用AAS证明△BCM≌△ACN，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，∵∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，∴四边形CMON是矩形，∴∠MCN=90°，∴∠ACN+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∠BCM+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠ACN,在△BCM和△ACN中，∠BCM=∠ACN∠BMC=∠ANC，BC=AC∴△BCM≌△ACN(AAS)，∴BM=AN，又∵点C坐标为(−4，4)，∴点M坐标为(−4，0)，点N坐标为(0，4)．∴BM=−4−b，AN=4−a∴−4−b=4−a即a−b=8．故选：D．20．D【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即【详解】解：由作法得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，OD=O′D′OC=O′C′，CD=C′D′∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．21．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A、添加∠B=∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；B、添加GE=GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；C、添加∠AFE=∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；D、添加BF=CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；故选：D．22．A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合DM=DM可得△COM≌△DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠1=∠2即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOM(SSS)．∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．在△ADF和△CBE中，{∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．C．在△ADF和△CBE中，{AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．24．B【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知∠ACB=∠A′CB′，给等式的两边同时减去∠BCA′，可得到∠ACA′=∠BCB′=30°．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∵∠BCA′+∠BCB′=∠BCA′+∠A′CA，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°．故选：B．25．A【分析】根据题目中的已知条件AB=AB，∠CAB=∠DAB，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解；由图形可知：AB=AB，∠CAB=∠DAB，A.再加上条件BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项合题意；B. 再加上条件∠C=∠D，可利用AAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意；C. 再加上条件AC=AD，可利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；D. 再加上条件∠ABC=∠ABD，可利用ASA可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意．故选：A【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．26．D【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°∠A=∠2，AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、C选项正确，不符合题意；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，但∠1不一定等于∠2，故D选项错误，符合题意．故选：D．27．B【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：由题意可得，B选项符合边角边判定，故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．28．48°/48度，∴在∵∴29先长=∴∴【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．30．AB/BA【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．由AAS判断出△ABC≌△ADC即可得到答案．【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在△ABC，△ADC中，∠1=∠2∠B=∠D，AC=AC∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AD=AB．故答案为：AB．31．证明见解析【分析】根据平行得出∠B=∠DEF，然后用“边角边”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF．∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．32．见解析【分析】利用AAS证明△ACO≌△DBO，即可得到结论．【详解】解：证明：在△ACO和△DBO中∠AOC=∠DOB∠A=∠DAC=DB∴△ACO≌△DBO(AAS)．∴AO=DO,CO=BO．∴AO+BO=DO+CO∴AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．详见解析【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△ABF与Rt△DCE中：{AF=DE BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)∴AB =DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．34．见解析【分析】根据已知条件得出∠AOB=∠COD，进而证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD,即∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD∴AB=CD．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．35．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出∠APB=135°，易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；（2）由（1）结论可得∠F=∠BAD,AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．【详解】（1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ACB=90°，∴∠PAB+∠PBA=12(∠ABC+∠BAC)=45°,∴∠APB=135°，∴∠DPB=45°,∵PF⊥AD,∴∠BPF=135°,在△ABP和△FBP中，∠BPF=∠APB=135°BP=BP∠ABP=∠FBP∴△ABP≌△FBP(ASA)；（2）∵△ABP≌△FBP，∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF，∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，在△APH和△FPD中，∠F=∠CADAP=PF∠APH=∠FPD=90°∴△APH≌△FPD(ASA),∴AH=DF,∵BF=DF+BD,∴AB=AH+BD.∴AH=AB−BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．37．见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定ΔABC≌ΔDEF(SAS)，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在ΔABC与ΔDEF中，AB=DE∠B=∠DEF，BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)，∴AC＝DF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键. 38．见解析【分析】先证明ΔBDO≌ΔCEO(AAS)，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E，∴∠BDO =∠CEO =90∘，在ΔBDO 和ΔCEO 中，∠BDO =∠CEO ∠BOD =∠COE OB =OC，ΔBDO≌ΔCEO (AAS)，∴OD =OE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OA 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．39．见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B =∠C ，再由SAS 证明△ABD≌△ACE ，从而得AD =AE ．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠B =∠C BD =CE，∴△ABD≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．(1)证明见解析(2)5【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据AAS 证明△CDE 和△FAE 全等．（1）根据 AAS 证明△CDE 和△FAE全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE =∠F ，∵点E 是AD 中点，∴DE =AE ，在△CDE 和△FAE 中，∠DCE =∠F ∠CED =∠FEA DE =AE，∴△CDE≌△FAE (AAS)；（2）由（1）知△CDE≌△FAE ，∴CE =FE ，CD =AF∵BE ⊥GF ，∴BE 垂直平分CF ，∴BC =BF ，∵CD =3，AB =2，∴AF =CD =3，∴BC =BF =AF +AB =3+2=5．41．证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A 作AP ⊥B C 于P ，利用三线合一得到P 为DE 及BC 的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A 作AP ⊥B C 于P ．∵AB =AC ，∴BP =PC ；∵AD =AE ，∴DP =PE ，∴BP−DP =PC−PE ，∴BD =CE ．42．(1)△ABD≌△CBD(2)证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，再结合等腰三角形的性质可得结论.【详解】（1）解：△ABD≌△CBD，理由如下：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)；（2）∵△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵DA=DC，∴AD⊥AC.43．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，（1）根据题意得∠AEB=∠DFC=90°，由CE=BF得BE=CF，则有Rt△CDF≌Rt△BAE，结合全等的性质即可证明；（2）利用Rt△CDF≌Rt△BAE得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；【详解】（1）证明：∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴BE=CF，在Rt△CDF与Rt△BAE中，CD=ABCF=BE，∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)∴AE=DF，（2）由（1）可知Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)，∴∠C=∠B，∴AB∥CD．44．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证△AEB≌△DFC(AAS)，即可得出结论．∴∵∴∴在∴∴45(2)（（∴∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB, AC=CB,∴△ADC≌△CEB (AAS)（2）由（1）得△ADC≌△CEB∴CE =AD =5，CD =BE =3，∴BF =DE =CE−CD =5−3=2，∴EF =BF +BE =2+3=5，∴EF =AD ．∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠FEG =∠ADG =90°在△FEG 和△ADG 中，∠FEG =∠ADG,∠FGE =∠AGD,FE =AD,∴△FEG≌△ADG (AAS)，∴DG =EG =12DE =1．46．证明见解析【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明∠BAC =∠EAD ，在用ASA 证明△ABC≌△AED 即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】证明∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC∴∠BAC =∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∠B =∠AED AB =AE ∠BAC =∠EAD，∴△ABC≌△AED ．∴AC =AD 47．见解析【分析】先根据SSS 定理得出△ABC≌△DEB （SSS ），故∠ACB =∠EBD ，再根据∠AFB 是△BFC 的外角，可知∠AFB =∠ACB +∠EBD ，可得出∠AFB =2∠ACB，故可得出答案．【详解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BDAB=EDBC=BE∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．48．见解析【分析】根据中点的定义得出AC=CB，即可根据SSS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BE，AC=CB∴△ACD≌△CBE(SSS)．【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．49．见解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．50．(1)DE=BD+CE，见解析(2)见解析，CE−BD=DE或BD−CE=DE【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，则∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，而AB=CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD+CE=AE+AD=DE；（2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD<45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则CE−BD=AD−AE=DE；二是MN与边BC相交且∠BAD>45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD−CE=AE−AD=DE．【详解】（1）证明：∵BD⊥MN,CE⊥MN，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)；∴AD=CE,BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）解：CE−BD=DE或BD−CE=DE，理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD<45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴CE−BD=AD−AE=DE．如图3，MN与边BC相交且∠BAD>45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴BD−CE=AE−AD=DE．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键．51．见解析【分析】根据∠1=∠2，可得出∠ACB=∠DCE，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS证三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE．52．证明见解析【分析】先利用A S A证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．【详解】在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．53．见解析【分析】根据题意可以证得△ABC≅△DEF，所以BC=EF，即可得到结论．【详解】根据题意，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≅△DEF，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，∴BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．54．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，。