流体力学 无量纲方程

流体力学实验思考题解答（一）流体静力学实验1、 同一静止液体内的测压管水头线是根什么线？ 答：测压管水头指γpZ +，即静水力学实验仪显示的测压管液面至基准面的垂直高度。

测压管水头线指测压管液面的连线。

从表1.1的实测数据或实验直接观察可知，同一静止液面的测压管水头线是一根水平线。

2、 当0<B p 时，试根据记录数据确定水箱的真空区域。

答：以当00<p 时，第2次B 点量测数据（表1.1）为例，此时06.0<-=cm p Bγ，相应容器的真空区域包括以下3三部分：（1）过测压管2液面作一水平面，由等压面原理知，相对测压管2及水箱内的水体而言，该水平面为等压面，均为大气压强，故该平面以上由密封的水、气所占的空间区域，均为真空区域。

（2）同理，过箱顶小杯的液面作一水平面，测压管4中该平面以上的水体亦为真空区域。

（3）在测压管5中，自水面向下深度为0∇-∇=H AP γ的一段水注亦为真空区。

这段高度与测压管2液面低于水箱液面的高度相等，亦与测压管4液面高于小水杯液面高度相等，均为0∇-∇=H AP γ。

3、 若再备一根直尺，试采用另外最简便的方法测定0γ。

答：最简单的方法，是用直尺分别测量水箱内通大气情况下，管5油水界面至水面和油水界面至油面的垂直高度w h 和o h ，由式o o w w h h γγ=，从而求得o γ。

4、 如测压管太细，对测压管液面的读数将有何影响？答：设被测液体为水，测压管太细，测压管液面因毛细现象而升高，造成测量误差，毛细高度由下式计算式中，σ为表面张力系数；γ为液体的容重；d 为测压管的内径；h 为毛细升高。

常温（C t ︒=20）的水，mm dyn /28.7=σ或m N /073.0=σ，3/98.0mm dyn =γ。

水与玻璃的浸润角θ很小，可认为0.1cos =θ。

于是有一般说来，当玻璃测压管的内径大于10mm 时，毛细影响可略而不计。

另外，当水质不洁时，σ减小，毛细高度亦较净水小；当采用有机玻璃作测压管时，浸润角θ较大，其h 较普通玻璃管小。

二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。

当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。

本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。

量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。

流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。

流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。

相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。

根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。

在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。

例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。

雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。

流体力学实验思考题解答（一）流体静力学实验1、 同一静止液体内的测压管水头线是根什么线？ 答：测压管水头指γpZ +，即静水力学实验仪显示的测压管液面至基准面的垂直高度。

测压管水头线指测压管液面的连线。

从表1.1的实测数据或实验直接观察可知，同一静止液面的测压管水头线是一根水平线。

2、 当0<B p 时，试根据记录数据确定水箱的真空区域。

答：以当00<p 时，第2次B 点量测数据（表1.1）为例，此时06.0<-=cm p Bγ，相应容器的真空区域包括以下3三部分：（1）过测压管2液面作一水平面，由等压面原理知，相对测压管2及水箱内的水体而言，该水平面为等压面，均为大气压强，故该平面以上由密封的水、气所占的空间区域，均为真空区域。

（2）同理，过箱顶小杯的液面作一水平面，测压管4中该平面以上的水体亦为真空区域。

（3）在测压管5中，自水面向下深度为0∇-∇=H AP γ的一段水注亦为真空区。

这段高度与测压管2液面低于水箱液面的高度相等，亦与测压管4液面高于小水杯液面高度相等，均为0∇-∇=H AP γ。

3、 若再备一根直尺，试采用另外最简便的方法测定0γ。

答：最简单的方法，是用直尺分别测量水箱内通大气情况下，管5油水界面至水面和油水界面至油面的垂直高度w h 和o h ，由式o o w w h h γγ=，从而求得o γ。

4、 如测压管太细，对测压管液面的读数将有何影响？答：设被测液体为水，测压管太细，测压管液面因毛细现象而升高，造成测量误差，毛细高度由下式计算γθσd h cos 4=式中，σ为表面张力系数；γ为液体的容重；d 为测压管的内径；h 为毛细升高。

常温（C t ︒=20）的水，mm dyn /28.7=σ或m N /073.0=σ，3/98.0mm dyn =γ。

水与玻璃的浸润角θ很小，可认为0.1cos =θ。

于是有dh 7.29=()mm d h 单位均为、 一般说来，当玻璃测压管的内径大于10mm 时，毛细影响可略而不计。

第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3

boussinesq假设下的无量纲化热力学方程热力学是研究能量转化和传递的学科，而无量纲化是一种将物理量转化为无单位的方法，以便更好地研究和比较不同系统之间的行为。

在流体力学中，Boussinesq假设是一种常用的假设，用于描述流体的温度和密度之间的关系。

在这篇文章中，我们将讨论Boussinesq假设下的无量纲化热力学方程。

首先，让我们来了解一下Boussinesq假设。

Boussinesq假设是基于以下观察：在流体的温度变化范围内，密度的变化可以忽略不计。

这意味着流体的密度可以近似为常数，从而简化了热力学方程的描述。

在Boussinesq假设下，我们可以将流体的密度表示为一个常数加上一个小的扰动，即ρ = ρ0 + ρ'，其中ρ0是常数，ρ'是小的扰动。

接下来，我们将对热力学方程进行无量纲化处理。

为了无量纲化方程，我们需要引入一些无量纲参数。

首先，我们引入无量纲温度θ，定义为θ = (T - T0) / ΔT，其中T是流体的温度，T0是参考温度，ΔT是温度变化范围。

然后，我们引入无量纲长度x，定义为x = X / L，其中X是流体的位置，L是参考长度。

最后，我们引入无量纲时间τ，定义为τ = t / τ0，其中t是时间，τ0是参考时间。

通过引入这些无量纲参数，我们可以将热力学方程进行无量纲化处理。

首先，我们考虑质量守恒方程。

根据Boussinesq假设，密度的变化可以忽略不计，因此质量守恒方程可以写为：∇·(ρu) = 0其中∇是梯度算子，u是流体的速度。

将密度表示为ρ = ρ0 + ρ'，并将速度表示为u = U + u'，其中U是参考速度，u'是小的扰动。

然后，我们将质量守恒方程进行无量纲化处理，得到：∇·(ρ0U + ρ'U + ρ'u') = 0接下来，我们考虑动量守恒方程。

根据Boussinesq假设，密度的变化可以忽略不计，因此动量守恒方程可以写为：ρ(u·∇)u = -∇p + μ∇^2u + ρ0g其中p是压力，μ是动力粘度，g是重力加速度。

2 1 2 2
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl

Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’

二维定常不可压缩N-S 方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S（Navier-Strokes）方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。

当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。

本文旨在对二维定常不可压缩N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。

量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。

流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。

流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。

相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。

根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。

在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。

例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。

雷诺数是用来判断流体流动特性的无量量，共有18个应力分量X 轴的运动微分方程：(2.1)最后导出沿x 轴的(2.2) (2.3)(2.4)纲量，对于封闭环境内的流动， 当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用 N-S 方程表示。

雷诺数：对于不同的‎流场，雷诺数可以‎有很多表达‎方式。

这些表达方‎式一般都包‎括流体性质‎（密度、黏度）再加上流体‎速度和一个‎特征长度或‎者特征尺寸‎。

这个尺寸一‎般是根据习‎惯定义的。

比如说半径‎和直径对于‎球型和圆形‎并没有本质‎不同，但是习惯上‎只用其中一‎个。

对于管内流‎动和在流场‎中的球体，通常使用直‎径作为特征‎尺寸。

对于表面流‎动，通常使用长‎度。

管内流场对于在管内‎的流动,雷诺数定义‎为:式中:(ρ假如雷诺数‎的体积流率‎固定，则雷诺数与‎密度（ρ）、速度的开方‎（）成正比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比假如雷诺数‎的质量流率‎（即是可以稳‎定流动）固定，则雷诺数与‎管径（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；与√速度（）成正比；与密度（ρ）无关平板流对于在两个‎宽板(板宽远大于‎两板之间距‎离)之间的流动‎,特征长度为‎两倍的两板‎之间距离。

流体中的物‎体对于流体中‎的物体的雷‎诺数,经常用Re‎p表示。

用雷诺数可‎以研究物体‎周围的流动‎情况，是否有漩涡分离，还可以研究‎沉降速度。

流体中的球‎对于在流体‎中的球，特征长度就‎是这个球的‎直径，特征速度是‎这个球相对‎于远处流体‎的速度，密度和黏度‎都是流体的‎性质。

在这种情况‎下，层流只存在‎于Re=0.1或者以下‎。

在小雷诺数‎情况下，力和运动速‎度的关系遵‎从斯托克斯定‎律。

搅拌槽对于一个圆‎柱形的搅拌‎槽，中间有一个‎旋转的桨或‎者涡轮，特征长度是‎这个旋转物‎体的直径。

速度是ND‎,N是转速(周/秒)。

雷诺数表达‎为:对于流过平‎板的边界层，实验可以确‎认，当流过一定‎长度后,层流变得不‎稳定形成湍‎流。

对于不同的‎尺度和不同‎的流体，这种不稳定‎性都会发生‎。

一般来说，当, 这里x是从‎平板的前边‎缘开始的距‎离,流速是边界‎层以外的自‎由流场速度‎。

一般管道流‎雷诺数＜2100为‎层流(又可称作黏‎滞流动、线流)状态，大于400‎0为湍流(又可称作紊‎流、扰流)状态，2100～4000为‎过渡流状态‎。

欧拉数
Eu

p
v 2

压力 惯性力
主要反映 粘性力相似
主要反映 重力相似
主要反映 压力相似
如果两个流动力学相似，则它们的上述三个准则数必须相等。
于是：
Fr Fr'
•
Eu Eu'
Re Re'
这三个等式称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。判断两个流 动是否相似，只要判断这三个准则是否相等。
v2 惯性力
Fr gl
重力
； v2 v '2 gl g 'l '
1
； v


2 l
基本比例尺为：
密度比例尺 和长度比例尺l 。
弗劳德模型法在水利工程上应用广泛。
图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1） δρ=1, δl=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、 收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下， 求各实物上的量。
能满足这三个关系，便是完全相似。实际上，
2 V
gl
p



2 v
很难同时满足。
l v
1
因为
g 1
代入第一式，得
V


2 l
从第三式可得
V

ν l
3
所以



2 l
3
即流体的运动粘度比例尺和线性比例尺要保持



2 l
显然不现实。因为一般来说模型和实物所用流体
压强[p] ML-1T-2
动力粘性 系数[µ]
ML-1T-1
运动粘性 系数[ν]
L2T-1

流体力学中常见的几个无量纲数无量纲量具有数值的特性，可通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。

在科研中，无量纲数对于理论求解，实验研究和数值计算都有指导意义。

以下为流体力学中常见的无量纲数：1 雷诺数（Re）自然界的流体流动有两种流态：低速流动，流体为有规则有秩序的流动，称为层流；当流速增大时，流体逐渐转为一种杂乱无章的流动状态，称为湍流。

雷诺数反应了惯性力和粘性力的比值，是判断流场处于湍流还是层流的一个数值，其表达式：其中，ρ为密度，v为流体平均流速，d为特征长度，一般依据具体的研究问题进行选择，μ是动力粘度。

雷诺数较小时，粘滞力对流场的影响大于惯性，流场中流速的扰动会因粘滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性对流场的影响大于粘滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。

2 努塞尔数（Nu）努塞尔数以德国物理学家 Wilhelm Nusselt 的名字命名，以纪念其该方向研究的突破贡献。

在流体边界（表面）的热传递中，努塞尔数 (Nu) 是跨越边界的对流热量与传导热量的比率。

在传热实验及流体仿真计算中，Nu 数是反映对流换热能力的一个重要无量纲数。

其中，h为流体的对流传热系数，L 为传热面的几何特征长度，λ为流体的导热系数。

3 普朗特数（Pr）普朗特数是表示流体中能量和动量迁移过程相互影响的无因次组合数，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质对对流传热过程的影响，其表达式：其中，υ为运动粘度，α为热扩散系数，μ为动力粘度，Cp为定压比热，λ为导热系数。

从热物性的角度看，如果已知动力粘度、导热系数以及定压比热中的任何2个参数，就可以通过普朗特数得到第3个。

4 马赫数（Ma）马赫数是流体力学中表征流体可压缩程度的一个重要的无量纲参数，记为Ma，定义为流场中某点的速度v同该点的当地声速c之比，它是以奥地利科学家E.马赫的姓氏命名的。

无量纲的ns方程推导流体力学是研究流体运动规律的学科，其中最基本的方程就是Navier-Stokes （NS）方程。

为了简化NS方程的求解过程，我们需要对其进行无量纲化处理。

本文将对无量纲的NS方程进行推导。

在推导之前，我们需要先了解一些基本概念。

首先是无量纲化，即通过引入合适的无量纲化参数，把方程中的物理量转化为无量纲形式。

其次是Reynolds数，它是流体运动的无量纲参数，用于描述流体的惯性力和粘性力之间的比值。

推导过程：1. 定义无量纲变量我们定义无量纲化的速度、长度和时间为U、L和T，原方程的速度、长度和时间分别为u、l和t。

然后，我们引入无量纲化参数Reynolds数Re，定义为：Re = Ul/ν其中ν为流体的动力粘度。

2. NS方程的无量纲化根据NS方程，我们有：∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ·∇p + ν∇²u其中u为速度场，p为压力场，ρ为密度，ν为动力粘度。

将上述方程中的各个物理量用无量纲变量表示，可以得到无量纲NS方程的形式：∂u* / ∂t* + u*·∇*u* = -∇*p* + 1/Re∇²u*其中u* = u/U，∇* = ∇/L，p* = p/(ρU²)，t* = t/(LU/ν)，Re = UL/ν。

3. 无量纲NS方程的物理含义由于NS方程是流体的基本运动方程，因此无量纲NS方程也保留了原方程的物理含义。

其中，∂u* / ∂t* 表示速度随时间变化的无量纲速度，u*·∇*u* 表示由速度梯度引起的速度变化率，-∇*p* 表示液体微团受到的压力梯度力，1/Re∇²u* 表示由粘性引起的速度梯度。

4. 无量纲NS方程的求解通过对无量纲NS方程进行求解，我们可以得到流体运动的无量纲解。

然后，我们通过乘上相应的量纲参数，即U、L和T，可以得到流体运动的有量纲解。

总结：无量纲化是简化NS方程求解过程的重要步骤。

第六、七、八章习题简答6-1 假设自由落体的下落距离s与落体的质量m，重力加速度g及下落时间t有关，试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。

解：首先将关系式写成指数关系：s=Km a g b t c其中，K为无量纲量，也称无量系数。

各变量的量纲分别为：dim s=L，dim W=MLT-2，dim t= T，dim g=LT-2。

将上式指数方程写成量纲方程：L=( MLT-2) a ( LT-2) b ( T) c根据物理方程量纲一致性原则得到M：0=aL：1=a+bT：0=-2a-2b+c得出a=0 b=1 c=2代入原式，得s=Km0gt2即s=Kgt2注意：式中重量的指数为零，表明自由落体距离与重量无关。

其中系数K须由实验确定。

6-7已知矩形薄壁堰的溢流量Q与堰上水头H、堰宽b、水的密度ρ和动力粘滞系数μ，重力加速度g 有关，试用π定理推导流量公式。

题6-7图解：首先将函数关系设为 F(Q ，H ，b ，ρ，μ，g )=0其中变量数n=6，选取基本变量H 、ρ、g ，这3个变量包含了L 、T 、M 三个基本量纲。

根据π定理，上式可变为 f (π1，π2，π3)=0 式中Q g H c b a 1111ρπ=b g Hc b a 2222ρπ=μρπ3333c b a g H =将各数方程写成量纲形式：)()()(dim 132********---==T L LT ML L T L M c b a π根据量纲的一致性，有： L ：a 1-3b 1+c 1+3=0 T ：-2c 1-1=0 M ：b 1=0得a 1=-5/2，b 1= 0，c 1= -1/2所以 gHQ Q g H 2521251==--π同理可得Hb b H ==-12πgH g H ρμμρπ23211233==---这样原来的函数关系可写成0(2325=），，gH H b g H Q f ρμ 即），gH H b f gHQ ρμ23125(=则5252312((H g Hb f H g g H H b f Q ）），==ρμ 6-8 加热炉回热装置冷态模型试验，模型长度比尺λl =5，已知回热装置中烟气的运动粘滞系数为ν=0.7×10-4m 2/s ，流速为υ=2.5m/s ，试求20℃空气在模型中的流速为多大时，流动才能相似。

流体力学的无量纲化
无量纲化是一种将物理量表示为无量纲形式的方法，它常用于流体力学中，因为流体力学中存在多个物理量，如速度、压力和密度等。

通过无量纲化可以简化流体力学问题的求解。

在流体力学中，常用的无量纲化方法包括流体力学相似律和雷诺数无量纲化。

流体力学相似律是指在一定条件下，不同流动情况下的物理量可以通过乘以适当的无量纲系数进行比较。

例如，在相似的流动情况下，可以使用雷诺数来无量纲化速度、长度和时间。

雷诺数定义为惯性力和黏性力之比，一般记作Re。

通过将流体
力学问题中的速度、长度和时间都除以相应的基准量，可以得到无量纲化的雷诺数。

相似的流动情况下，具有相同雷诺数的流动可以认为是相似的，可以直接应用相似性理论来推导和求解流体力学问题。

另一种常用的无量纲化方法是通过引入无量纲参数将流体力学方程进行无量纲化。

例如，在研究悬浮颗粒在流体中的运动时，可以引入斯托克斯数和阿兰达尔斯数来无量纲化流体力学方程。

斯托克斯数定义为颗粒的惯性力与黏性力之比，阿兰达尔斯数定义为颗粒的惯性力与浮力之比。

通过将流体力学方程中的速度、压力和力都除以相应的基准量，可以得到无量纲化的方程。

这样可以简化流体力学方程的求解，得到无量纲的解析解或数值解。

12
万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
F
2 R
g
dV 1 2 g p V 2 V dt
旋转流体力学运动方程
13
地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
重力为有势力
方程变为： 2k V 1 G ( ' , p ' ) z R0 Fr
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1 z ' ' 2k V G ( , p ) Fr R0
梯度取旋度为零
对上式取旋度 (k V ) 0
U L V 1 1 g 2 (V )V p 2 L g L2 V 2k V U L UT t L
RO
1/Fr
Ek
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
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2.埃克曼数
特征粘性力 U / L2 Ek 特征偏向力 U L2
反映了旋转流体中粘性的相对重要性
1 g 重力项： Fr

流体力学课程实验思考题解答（一）流体静力学实验1、 同一静止液体内的测压管水头线是根什么线 答：测压管水头指γpZ +，即静水力学实验仪显示的测压管液面至基准面的垂直高度。

测压管水头线指测压管液面的连线。

从表的实测数据或实验直接观察可知，同一静止液面的测压管水头线是一根水平线。

2、 当0<B p 时，试根据记录数据确定水箱的真空区域。

答：以当00<p 时，第2次B 点量测数据（表）为例，此时06.0<-=cm p Bγ，相应容器的真空区域包括以下3三部分：（1）过测压管2液面作一水平面，由等压面原理知，相对测压管2及水箱内的水体而言，该水平面为等压面，均为大气压强，故该平面以上由密封的水、气所占的空间区域，均为真空区域。

（2）同理，过箱顶小杯的液面作一水平面，测压管4中该平面以上的水体亦为真空区域。

（3）在测压管5中，自水面向下深度为0∇-∇=H AP γ的一段水注亦为真空区。

这段高度与测压管2液面低于水箱液面的高度相等，亦与测压管4液面高于小水杯液面高度相等，均为0∇-∇=H AP γ。

3、 若再备一根直尺，试采用另外最简便的方法测定0γ。

答：最简单的方法，是用直尺分别测量水箱内通大气情况下，管5油水界面至水面和油水界面至油面的垂直高度w h 和o h ，由式o o w w h h γγ=，从而求得o γ。

4、 如测压管太细，对测压管液面的读数将有何影响答：设被测液体为水，测压管太细，测压管液面因毛细现象而升高，造成测量误差，毛细高度由下式计算γθσd h cos 4=式中，σ为表面张力系数；γ为液体的容重；d 为测压管的内径；h 为毛细升高。

常温（C t ︒=20）的水，mm dyn /28.7=σ或m N /073.0=σ，3/98.0mm dyn =γ。

水与玻璃的浸润角θ很小，可认为0.1cos =θ。

于是有dh 7.29=()mm d h 单位均为、 一般说来，当玻璃测压管的内径大于10mm 时，毛细影响可略而不计。

第六节粘性流体动力学的无量纲特征参数粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分方程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。

为了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传热学方面的特征对方程进行简化，目的是略去方程中的次要项，保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。

为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留，有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较，就可以决定方程中各项的取舍。

1．特征物理量：--特征长度；--特征速度；--特征时间；--特征压力；--特征密度；--特征温度；--特征粘性系数；--特征第二粘性系数；--特征等容比热；--特征等压比热--特征热传导系数；--特征重力；--特征声速；用上述特征参数就可以将粘性流体的基本方程方程无量纲化，在无量纲化方程中将出现以下无量纲的特征参数。

2．无量纲参数：（1）：它是与流场的不定常性有关的数。

无量纲数称为斯特罗哈数，用St表示之：（2）：它是与流体的物性有关的数。

利用状态方程有：式中：<< 回页首（3）：它是与流体运动状态及物性有关的物理量。

利用声速公式，可得：其中：是气体动力学中重要的特征参数，反映了惯性力与压差力之比值；是声速。

（4）：它是与重力加速度有关的物理量。

人们称为佛罗德数：表示惯性力与重力之比。

（5）：它是与粘性有关的无量纲物理量。

人们称为雷诺数：Reynolds数是粘性流体力学中重要的特征物理量，它表示惯性力与粘性力之比。

<< 回页首（6）：与热传导有关，它又可化为：其中：，称为普郎特数，它的物理意义是对流热与传导热之比。

（7） Eckert 数：其中为壁面温度。

Eckert数是传热学中重要的特征物理量。

（8）努赛尔数：数是表征物面热传导特性的无量纲参数，其中是边界上的特征热通量。

流体力学的三个基本方程
1. 质量守恒方程：
质量守恒方程是基于质量守恒定律的表达式，描述了流体中质量的变化。

它可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0。

其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。

2. 动量守恒方程：
动量守恒方程是基于牛顿第二定律的表达式，描述了流体中动量的变化。

它可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg.
其中，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。

∂v/∂t表示对时间的速度偏导数，v·∇v表示速度矢量的梯度运
算，∇·τ表示应力张量的散度。

3. 能量守恒方程：
能量守恒方程描述了流体中能量的变化。

它可以表示为：
∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -p∇·v + ∇·(k∇T) +
ρv·g + Q.
其中，e是单位质量的内能，T是流体的温度，k是热传导系数，Q是单位质量的热源或耗散。

∂(ρe)/∂t表示对时间的内能偏导数，∇·(ρev)表示内能流的散度，p∇·v表示压力功的散度，
∇·(k∇T)表示热传导的散度，ρv·g表示重力功的散度。

这三个基本方程是流体力学的核心方程，通过它们可以描述流
体在各种条件下的运动、变形和能量转换。

它们是流体力学研究和
工程应用的基础。