温州市平阳县鳌江中学高三数学一轮复习全能测试 专题八 解析几何 理

学习资料第八章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第二课时定点、定值、探究性问题课时规范练1．已知抛物线C:x2＝2py（p＞0），圆O：x2＋y2＝1.(1）若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF｜；（2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N,求｜MN｜的最小值及相应p的值．解析：（1）由题意得F（0，1），从而抛物线C：x2＝4y。

解方程组错误!得y＝－2±错误!。

不妨设y A＝错误!－2，∴｜AF｜＝5－1。

（2)设M（x0，y0)(y0＞0),则切线l：y＝错误!（x－x0）＋y0，结合x错误!＝2py0,整理得x0x－py－py0＝0。

由ON⊥l且｜ON｜＝1得错误!＝1，即｜py0｜＝错误!＝错误!，∴p＝错误!且y错误!－1＞0.∴|MN|2＝|OM｜2－1＝x20＋y错误!－1＝2py0＋y错误!－1＝错误!＋y错误!－1＝4＋错误!＋(y 错误!－1)≥8,当且仅当y0＝3时等号成立．∴｜MN|的最小值为2错误!，此时p＝错误!.2.已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1，A是椭圆上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D.（1）证明：直线BD的斜率为定值；（2)求△ABD面积的最大值．解析：(1）证明:设D（x1,y1），B(x2，y2），则A(－x1，－y1），直线BD的斜率k＝错误!，由错误!两式相减得错误!＝－错误!×错误!，∵k AB＝错误!＝－1，∴k＝错误!＝错误!，故直线BD的斜率为定值错误!.（2）连接OB(图略)，∵A,D关于原点对称，∴S△ABD＝2S△OBD，由(1）可知BD的斜率k＝错误!,设BD的方程为y＝错误!x＋t，∵D在第三象限，∴－错误!＜t＜1且t≠0，O到BD的距离d＝错误!＝错误!，由错误!,整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，∴x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!,∴S△ABD＝2S△OBD＝2×错误!×｜BD|×d＝错误!错误!×错误!＝｜t｜×错误!＝｜t|·错误!＝错误!·错误!≤2错误!。

课堂达标(四十六) 圆锥曲线的综合问题[A 根底稳固练]1．点A (0,2)和双曲线x 2－y 24＝1，过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设过点A (0,2)的直线为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－4kx －8＝0.当k 2＝4即k ＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点．当k 2≠4，方程有一解时Δ＝(－4k )2－4×(4－k 2)×(－8)＝0，∴k 2＝8，∴k ＝±22，为切线斜率，共有4条直线．应选D.[答案] D2．(2022·嘉定模拟)过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，那么这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，那么x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．应选D.[答案] D3．假设直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－41－k2×－10>0，x 1＋x 2＝4k1－k 2>0，x 1x 2＝101－k 2＞0，解得－153<k <－1. [答案] D4．(2022·山西太原五中模拟)中心为坐标原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，那么该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 [解析] 由c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12a 2－5010a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12a 2－5010a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1. [答案] C5．F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，那么||FA |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16[解析] 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.。

开卷速查(五十六) 圆锥曲线的综合问题1．[2015·北京]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P(0,1)和点A(m ，n)(m≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M 。

(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N 。

问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由。

解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2。

故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1。

设M(x M,0)。

因为m≠0，所以－1＜n ＜1。

直线PA 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0。

(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B(m ，－n)。

设N(x N,0)，则x N ＝m 1＋n。

“存在点Q(0，y Q )使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，y Q )使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |。

因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q＝|x M ||x N |＝m21－n2＝2。

所以y Q ＝2或y Q ＝－2。

故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM＝∠ONQ。

点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)。

2．[2015·湖南]已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为26。

(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向。

(ⅰ)|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M 。

心尺引州丑巴孔市中潭学校第8章 第7节一、选择题1．(2021·模考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，那么该双曲线的方程为( )A ．5x 2－45y 2＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1D ．5x 2－54y 2＝1 [答案] D[解析] 抛物线y 2＝4x 焦点为(1,0)，∴双曲线中c ＝1，又e ＝c a ＝5，∴a ＝55，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45， ∴双曲线方程为x 215－y 245＝1. 2．(2021·郓城)对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)[答案] C[解析] 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或共内部即可，从而m ≥1. 又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，∴m ∈[1,5)∪(5，＋∞)． 3．图中的椭圆C 1、C 2与双曲线C 3、C 4的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，那么它们的大小关系是( ) A ．e 1<e 2<e 3<e 4 B ．e 2<e 1<e 3<e 4 C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3[答案] B[解析] ∵C 1、C 2为椭圆，∴e ∈(0,1) ∵C 3、C 4为双曲线，∴e ∈(1，＋∞) 比较C 1、C 2∵a 相等而C 1比C 2的短轴小， ∴C 1的焦距比C 2的焦距大，从而e 1>e 2同理C 4的虚轴长>C 3的虚轴长，而实轴长相同 ∴C 4的焦距>C 3的焦距 ∴e 4>e 3 综上可得：e 2<e 1<e 3<e 4，选B.[点评] 对于椭圆e ＝c a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，e 越大越扁，对于双曲线e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，e 越大开口越宽阔．4．以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，那么椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．26C ．27D ．42[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，那么将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27，应选C.5．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，假设OA →·OB →＝0，那么椭圆的离心率e 等于( )A.－1＋52B.－1＋32C.12D.32[答案] A[解析] 如图，F 2(c,0)把x ＝c 代入椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1得A (c ，b 2a)．由OA →·OB →＝0结合图形分析得 |OF 2|＝|AF 2|，即c ＝b 2a⇒b 2＝ac ⇒a 2－c 2＝ac⇒(c a )2＋c a －1＝0⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝5－12. 6．(2021·南开)双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足：|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，那么△PF 1F 2的面积是( )A ．1 B.12 C ．2D ．4[答案] A[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2n |PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，∴|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n 又∵|F 1F 2|＝2n ＋1，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2| ＝12(n ＋2＋n )(n ＋2－n )＝1. 7．在同一坐标系中方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为1a 2<1b2，所以是焦点在y 轴上的椭圆．方程ax ＋by 2＝0化为y 2＝－abx ，为焦点在x 轴的负半轴的抛物线．8．(2021·一中、雅礼联考)假设椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的连线的斜率为12，那么椭圆的离心率为( ) A.12 B.22C.32D.62[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么AB 中点为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，mx12＋ny 12＝1，mx 22＋ny 22＝1，两式相减得y 1＋y 2x 1＋x 2＝－m n ×x 1－x 2y 1－y 2，∴12＝－m n ×(－1)，即m n ＝12，离心率e ＝1m －1n 1m＝1－m n ＝22，应选B. 9．(2021·质检)P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2[答案] C[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当P 、Q 、F 、C 四点共线时取最小值，故最小值为|FC |－1＝17－1.10．(2021·北方四校联考)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过点A ⎝⎛⎭⎫p2，0的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，且MA →＝2AN →，过点M 、N 向直线x ＝－p 2作垂线，垂足分别为P 、Q ，△MAP 、△NAQ 的面积分别为记为S 1与S 2，那么( )A ．S 1∶S 2＝2∶1B ．S 1∶S 2＝5∶2C ．S 1∶S 2＝4∶1D ．S 1∶S 2＝7∶1[答案] C[解析] 依题意，点A 为抛物线的焦点，直线x ＝－p2为抛物线的准线，那么|MP |＝|MA |，|NA |＝|NQ |，∠PMA ＝π－∠QNA ，故S 1＝|MP ||MA |sin ∠PMA ＝4|AN |2sin ∠QNA ＝4S 2，应选C.二、填空题11．(2021·调研)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，那么双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a2<2， 即e 2<2，∵e >1，∴1<e < 2.12．点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为________．[答案] x 2－y 28＝1(x >1)[解析] 设另两个切点为E 、F ，如下列图，那么|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x >1)．①方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成区域面积为2； ②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y ＝±x ；③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线． [答案] ①②④[解析] 方程|x |＋|y |＝1与两轴交点A (－1,0)，B (0，－1)，C (1,0)，D (0,1)组成正方形的面积S ＝12|AC |·|BD |＝12×2×2＝2，故①真；设与两坐标轴距离相等的点为P (x ，y )，那么|x |＝|y |，∴y ＝±x ，故②真；∵两点E (－1,0)，F (1,0)的距离|EF |＝2>1，∴到两点E 、F 距离之和等于1的点不存在，∴③错误；与两点E 、F 距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线正确．14．(2021·联考)设直线l ：y ＝2x ＋2，假设l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，那么使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ， 代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx ＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25，∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．三、解答题15．(2021·全国)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． [解析] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1.消去y ，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，那么x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b2a 2＋b 2.因为直线AB 斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]，得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)．(1)求双曲线的HY 方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．假设点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝2，aba 2＋b2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1x >0y ＝k x －2得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，那么x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝4k 22－43－k2－4k 2－3>0，所以k 2>3.②因为PN →·QN →＝0，那么PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5. 又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3， 而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3. ∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)． 即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.17．(2021·崇文区)椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由．[解析] (1)由，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， ∴b ＝c ＝1，a ＝ 2. 所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2y ＝x －1得，3y 2＋2y －1＝0，解得y 1＝－1，y 2＝13. ∴S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝23. (3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k x －1可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2. MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0 ⇔⎝⎛⎭⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 21＋2k 2－2＝0⇔2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇔m ＝k 21＋2k2(k ≠0)． ∴0<m <12.。

命题点2 圆锥曲线在实际生活中的应用例3 （1）[2023高三名校联考（二）]如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后（A ，F 2，B 三点共线），分别经过点C 和点D ，且cos ∠BAC ＝－35，AB ⊥BD ，则E 的离心率为（ B ）A.√52 B.√173 C.√102 D.√5解析 如图，连接AF 1，BF 1，设｜AF 2｜＝m ，｜BF 2｜＝n ，由双曲线的定义可得｜AF 1｜＝2a ＋m ，｜BF 1｜＝2a ＋n ，由cos ∠BAC ＝－35，可得cos ∠F 1AF 2＝35，在Rt △AF 1B 中，sin ∠F 1AF 2＝2a ＋n 2a ＋m ＝45 ①，（2a ＋n ）2＋（m ＋n ）2＝（2a ＋m ）2 ②. 在△AF 1F 2中，可得4c 2＝m 2＋（2a ＋m ）2－2m （2a ＋m ）·35③. 由①②可得{n ＝23a ，m ＝43a ，代入③可得9c 2＝17a 2，则离心率e ＝c a ＝√173.故选B. （2）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所示）时，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.2 m ，深度为1 m ，则该抛物线的标准方程为 y 2＝6.76x .解析 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O 重合，焦点F 在x 轴上，｜AB ｜＝5.2.设抛物线的标准方程为y 2＝2px （p ＞0），由已知条件可得，点A （1，2.6）在抛物线上，所以2p ＝2.62＝6.76，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝6.76x .训练2 [2023上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM 和其上方的抛物线MOF （部分）组成，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知｜AB ｜＝44 m ，∠A ＝45°，｜AC ｜＝4 m ，｜CD ｜＝5 m ，立柱｜DN ｜＝5.55 m.图1图2 （1）求立柱｜CM ｜及横梁｜MF ｜；（2）求抛物线MOF 的方程和桥梁的拱高｜OH ｜.解析 （1）由∠A ＝45°，可知｜CM ｜＝｜AC ｜＝4 m.因为四边形ABFM 是等腰梯形，由对称性知：｜AC ｜＝｜BE ｜＝4 m ，所以｜MF ｜＝｜CE ｜＝｜AB ｜－｜AC ｜－｜EB ｜＝44－4－4＝36（m ）.（2）由（1）知｜CH ｜＝｜AH ｜－｜AC ｜＝18，所以点M 的横坐标为－18， 则N 的横坐标为－（18－5）＝－13.设点M ，N 的纵坐标分别为y 1，y 2，由图形，知｜y 1－y 2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），将点M ，N 的坐标代入，得（－18）2＝－2py 1，（－13）2＝－2py 2，两式相减，得2p （y 2－y 1）＝182－132＝155，解得2p ＝100，故抛物线的方程为x 2=−100y.因此，当x ＝－18时，y ＝－1100x 2＝－1100×324＝－3.24，故｜y 1｜＝3.24，所以桥梁的拱高｜OH ｜＝3.24＋4＝7.24（m ）.强化训练1.[命题点2/2024北京市陈经纶中学模拟]如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上.由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC ⊥F 1F 2，｜F 1B ｜＝163，｜F 1F 2｜＝4，则截口BAC 所在椭圆的离心率为 13 .解析 以F 1F 2的中点为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由BC ⊥F 1F 2及椭圆性质可得，BC 为椭圆的通径，所以｜F 1B ｜＝b 2a ＝163，｜F 1F 2｜＝2c ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，c ＝2，b ＝4√2，所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13. 2.[命题点2/2023东北三省四市联考]早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，拱桥轮廓线OAC 所在抛物线的方程为 x 2=−80y ，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为 14013 .解析 设桥拱所在抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），由题图可知，曲线经过点C （20，－5），代入方程得202＝－2p ×（－5），解得p ＝40，所以桥拱所在抛物线的方程为x 2＝－80y .因为四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C 1：（x －14）2＝－2p'y ，由题图知抛物线C 1经过点C （20，－5），则（20－14）2＝－2p'×（－5），解得p'＝185，所以C 1：（x －14）2＝－365y ，点A 为桥拱所在抛物线x 2＝－80y 与C 1：（x －14）2＝－365y 的交点，设A （x ，y ），7＜x ＜14，由{ x 2＝－80y ，（x －14）2＝－365y ，7<x <14，解得x ＝14013，所以点A 的横坐标为14013.。

心尺引州丑巴孔市中潭学校第8章 第1节一、选择题1．(2021·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m (m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，应选A.2．(文)(2021·文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[答案] A[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0，∵过点(1,0)，∴b ＝－1，应选A.(理)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，那么a ＝( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1 [答案] A [解析] y ′＝2ax ，在(1，a )处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1.3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－2,2)D ．(2，－2)[答案] D[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y )，那么⎩⎨⎧x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1，解之得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A |＝|B |＝1时，点A (x 0，y 0)关于l 的对称点B (x ，y )的坐标，x ＝－By 0－C A ，y ＝－Ax 0－C B. 4．(2021·模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O (0,0)，A (2,0)，C (0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，那么k 的取值范围为( ) A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－1,0]D ．[－2,0] [答案] D[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，∵k OD ≥k OB ＝12，∴k ＝－1k OD≥－2，且k <0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k ≤0.5．(文)点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，10)B ．(10，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(10，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，10 [答案] D[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43<a <10，应选D.(理)如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，那么整数a 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4[答案] C[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0，∴318<a <5，又a 为整数，∴a ＝4. 6．(2021·)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，那么l 的斜率等于( )A ．1B.32C.12D.33 [答案] C[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l ′，那么OA →、OB →在l ′上的射影也相等，故A 、B 到直线l ′的距离相等，设l ′：y ＝kx ，那么|k －3|1＋k 2＝|－3k －1|1＋k2，∴k ＝－2或12， ∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12. [点评] 设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k )，由OA →，OB →在a 上射影的长度相等可得|a ·OA →||a |＝|a ·OB →||a |，可解出k . 7．设A (0,0)，B (2,2)，C (8,4)，假设直线AD 是△ABC 外接圆的直径，那么点D 的坐标是( )A ．(16，－12)B ．(8，－6)C ．(4，－3)D ．(－4,3)[答案] A[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．8．(文)(2021·质检)经过圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －1＝0[答案] B [解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0，∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，应选B.(理)(2021·)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，那么log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021的值为( )A ．－log 20212021B ．－1C ．log 20212021－1D ．1 [答案] B[解析] 由y ＝x n ＋1得y ′＝(n ＋1)x n，那么在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，x n ＝nn ＋1，∴log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021＝log 2021(x 1·x 2·…·x 2021)＝log 2021⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×20212021＝log 202112021＝－1，应选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 [答案] C[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为 1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±24.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－24，24.应选C. (理)(2021·模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A (3，－1)，C (2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，那么B 点轨迹的方程为( )A ．3x －y －20＝0(x ≠13)B ．3x －y －10＝0(x ≠13)C ．3x －y －9＝0(x ≠－8)D ．3x －y －12＝0(x ≠－8)[答案] A [解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫52，－2，设B (x ，y )，那么B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y )在直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x )－(－4－y )＋1＝0，即3x －y －20＝0.∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x ≠13.10．一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p ，直线l 在两坐标轴上的截距之和为q ，且p 比q 大1，那么这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋6C ．4＋3 3D ．5＋26 [答案] D[解析] 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，那么12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b ≥2ab ，∴12ab ≥2ab ＋1，即(ab )2－4ab －2≥0，解得ab ≥2＋6， ∴12ab ≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6. 二、填空题11．(2021·)向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，那么直线l 的一般方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] a ＋2b ＝(－2,3)，设l 上任一点P (x ，y )，那么AP →＝(x －3，y ＋1)，由条件知，(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，∴2x －3y －9＝0.12．(2021·临安)设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1所表示的平面区域，那么区域D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．[答案] 42 [解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影局部所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.13．(2021·怀宁月考)“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行〞的充要条件是“a ＝____〞．[答案] －2[解析] 由条件知a 3＝2a －1，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3，当a ＝3时，两直线重合不合题意，∴a ＝－2.14．(文)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)，那么y x 的最大值、最小值分别为________．[答案] 23，－1 [解析] 设k ＝y x ，那么y x表示线段AB ：3x －2y －5＝0 (1≤x ≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A (1，－1)，B (3,2)．由图易知：k max ＝k OB ＝23， k min ＝k OA ＝－1.(理)(2021·调研)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案] [0，π2)∪(2π3，π) [解析] 由题意f ′(x )＝a (x －1)2－3， ∵a >0，∴f ′(x )≥－3，因此曲线y ＝f (x )上任一点的切线斜率k ＝tan α≥－3，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3<α<π. 三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如下列图，假设40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．[解析] 当0≤x ≤10时，直线过点O (0,0)，A (10,20)，∴k OA ＝2010＝2， ∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x ≤40时，直线过点A (10,20)，B (40,30)，此进k AB ＝30－2040－10＝13， ∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)， 即y ＝13x ＋503； 当x >40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v 1，放水的速度为v 2，在OA段时是进水过程，∴v 1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v 1＋v 2＝13， ∴2＋v 2＝13.∴v 2＝－53. ∴当x >40时，k ＝－53. 又过点B (40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C (58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，0≤x ≤1013x ＋503，10<x ≤40－53x ＋2903，40<x ≤58.(理)矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝⎛⎭⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝⎛⎭⎫－1，13在AD 所在直线上．(1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C 1的方程；(2)点E ⎝⎛⎭⎫－12，0，点F 是圆C 1上的动点，线段EF 的垂直平分线交FM 于点P ，求动点P 的轨迹方程． [解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－43. 又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)， 即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎨⎧ 3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)．又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心．而|MA |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋－1－02＝52， ∴外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝54. (2)由题意得，|PE |＋|PM |＝|PF |＋|PM |＝|FM |＝52，又|FM |>|EM |， ∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵c ＝12，a ＝54，∴b 2＝a 2－c 2＝516－14＝116. 故动点P 的轨迹方程是x 2516＋y 2116＝1.16．直线l 1过点A (－1,0)，且斜率为k ，直线l 2过点B (1,0)，且斜率为－2k，其中k ≠0，又直线l 1与l 2交于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)假设过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程． [解析] (1)设M (x ，y )，∵点M 为l 1与l 2的交点，∴⎩⎨⎧ y x ＋1＝ky x －1＝－2k(k ≠0)， 消去k 得，y 2x 2－1＝－2，∴点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．(2)由(1)知M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，那么2x 12＋y 12＝2① 2x 22＋y 22＝2② ①－②得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－2×x 1＋x 2y 1＋y 2， ∵N ⎝⎛⎭⎫12，1为CD 的中点， 有x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝2，∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1， ∴直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1、l 2都相切，求l 2所在直线的方程和圆C 的方程．[解析] 直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，那么D (23，2)．∵l 的倾斜角为30°.∴l 2的倾斜角为60°.∴k 2＝ 3. ∴反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0. 圆C 与l 1切于点A ，设C (a ，b )． ∵⊙C 与l 1、l 2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， ∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴a ＝33②由①②得⎩⎨⎧ a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.。

【红对勾】（新课标） 高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何单元质量检测 理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1或3D ．－1或－3解析：因为直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，所以－(a ＋2)≠0，所以3x －(a ＋2)y ＋1＝0的斜截式方程为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2，由两直线平行，得3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或a ＝－3.答案：A2．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( )A ．(1,0)，(－1,0)B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析：c 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，所以c ＝ 3.由焦点在x 轴上．所以焦点坐标为(3，0)，(－3，0)．答案：C3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3D ．1解析：圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，弦AB 的长l ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.答案：B4．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析：设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即a －52＋22＝a ＋12＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.答案：D5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案：A6．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 解析：由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b 2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C.答案：C7．过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．答案：D8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D9．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解析：对于双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1，a 21＝cos 2θ，b 21＝sin 2θ，c 21＝1；对于双曲线C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1，a 22＝sin 2θ，b 22＝sin 2θtan 2θ，c 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2θcos 2θ＝sin 2θcos 2θ＝tan 2θ.∵只有当θ＝k π＋π4(k ∈Z )时，a 21＝a 22或b 21＝b 22或c 21＝c 22，而0<θ<π4，∴A ，B ，C 均错；设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＝1cos 2θ，e 22＝tan 2θsin 2θ＝1cos 2θ. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等． 答案：D10．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，① |F 1F 2|＝2 3.又因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以∠F 1AF 2＝90°. 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，②由①②联立解得，|AF 1|＝2－2，|AF 2|＝2＋ 2.在双曲线C 2中，2c ＝23，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝22，故e ＝c a＝32＝62，故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝012．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案：x ＋y －1＝013．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．解析：椭圆的左焦点为F (－1,0)，右焦点为E (1,0)，根据椭圆的定义，|PF |＝2a －|PE |，∴|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋2a －|PE |＝2a ＋(|PQ |－|PE |)，由三角形的性质，知|PQ |－|PE |≤|QE |，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a ＋|QE |＝22＋32＝5 2.答案：(0，－1)14．已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析：将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.答案：2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，原点到过点A (a,0)，B (0，－b )的直线的距离为455.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．解：(1)因为ca ＝32，a 2－b 2＝c 2，故a ＝2b ，因为原点到直线AB ：x a －y b ＝1的距离d ＝ab a 2＋b 2＝455，解得a ＝4，b ＝2，故所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，易得Δ>0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，EF 的中点是M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－4k 1＋4k 2，y M ＝kx M ＋1＝11＋4k2， 所以k BM ＝y M ＋2x M ＝－1k， 又因为k ≠0，所以k 2＝18，所以k ＝±24.16．(10分)过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4. (1)求r 的值；(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM →＝OA →＋OB →，求|OM →|的最小值(O 为坐标原点)．解：(1)圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为O (0,0)， 于是|QO |2＝(－2)2＋(21)2＝25，由题设知，△QDO 是以D 为直角顶点的直角三角形， 故有r ＝|OD |＝|QO |2－|QD |2＝25－42＝3.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，则A (a,0)，B (0，b )，∴OM →＝(a ，b )，∴|OM →|＝a 2＋b 2. ∵直线l 与圆O 相切，∴|－ab |a 2＋b2＝3⇒a 2b 2＝9(a 2＋b 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，∴a 2＋b 2≥36，∴|OM →|≥6，当且仅当a ＝b ＝32时取到“＝”． ∴|OM →|取得最小值为6.17．(12分)如图，已知点E (m,0)(m >0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)设直线AB的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(12分)(2014·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；②求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1.当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.。

卜人入州八九几市潮王学校金新学案高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(八)第八章解析几何—————————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．双曲线－＝1的焦点坐标是()A．(1,0)，(－1,0) B．(0,1)，(0，－1)C．(，0)，(－，0) D．(0，)，(0，－)2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2021·卷)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝04．方程mx2＋y2＝1所表示的所有可能的曲线是()A．椭圆、双曲线、圆B．椭圆、双曲线、抛物线C．两条直线、椭圆、圆、双曲线D．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线5．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是()A．－x＋2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0C．－x＋2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝06．直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，那么△ECF的面积为()A. B.C．2 D.7．假设点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的间隔为，那么该双曲线的离心率为()A. B.C．2 D．28．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是() A．x＝1 B．y＝1C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝09．a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，那么lg e1＋lg e2的值()A．大于0且小于1 B．大于1C．小于0 D．等于010．A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为()A．(－1,0) B．(1,0)C. D.11．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．假设P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P到x轴的间隔为()A. B．3C. D.12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，假设＝，·＝48，那么抛物线的方程为() A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝16x D．y2＝4x第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．假设抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点重合，那么p的值是________．14．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P、Q两点，假设点P坐标为(1,2)，那么点Q的坐标为______．15．设M是椭圆＋＝1上的动点，A1和A2分别是椭圆的左、右顶点，那么·的最小值等于________．16．双曲线－＝1的左、右焦点为F1、F2，P是双曲线右支上一点，且PF1的中点在y轴上，那么△PF1F2的面积为________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)双曲线－＝1的焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，直线x＝与渐近线交于点P(1，m)，其中m>0.(1)求双曲线方程；(2)设点F1′，F2′分别为F1，F2关于直线y＝－x的对称点，求以F1′，F2′为焦点且过P′(3,2)点的椭圆方程．18．(12分)圆C的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.(1)求圆心C的轨迹方程；(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．19．(12分)圆C1的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，且C2的离心率为，假设C1、C2相交于A、B两点，且线段AB恰好为C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．20．(12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.(1)假设半焦距c＝2，且、e、成等比数列，求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于M、N两点，P是直线l与椭圆C的一个交点，且M＝λ，求λ的值；(3)假设不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e2.【解析方法代码108001121】21．(12分)设椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且·＝0，坐标原点O到直线AF1的间隔为|OF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(－1,0)，交y轴于点M，假设M＝2，求直线l 的方程．22．(14分)椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)假设以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．答案卷(八)一、选择题1．C c2＝a2＋b2＝2＋1，∴c＝.∴焦点为(，0)，(－，0)，选C.2．C当a＝1时，直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直成立；当直线x＋y＝0与直线x－ay＝0垂直时，a＝1.所以“a＝1〞是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直〞的充要条件．3．D抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r＝＝1，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，应选D.4．C当m＝1时，方程为x2＋y2＝1，表示圆；当m<0时，方程为y2－(－m)x2＝1，表示双曲线；当m>0且m≠1时，方程表示椭圆；当m＝0时，方程表示两条直线．5．D由题意知所求直线与直线2x－y－2＝0垂直．又2x－y－2＝0与y轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋2y＋4＝0.6．C圆心(2，－3)到EF的间隔d＝＝.又|EF|＝2＝4，∴S△ECF＝×4×＝2.7．A由于双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，故点P到直线的间隔d＝＝⇒a＝b，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e＝＝.8．D由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，设圆心为O，那么O(2,0)，∴k OM＝＝－2.∴直线l的斜率k＝，∴l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.9．C由题意，得e1＝，e2＝(a>b>0)，∴e1e2＝＝<1，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg<0.10．B点B(2,2)关于x轴的对称点为B′(2，－2)，连接AB′，易求得直线AB′的方程为2x＋y－2＝0，它与x轴交点M(1,0)即为所求．11．D设椭圆短轴的一个端点为M.由于a＝4，b＝3，∴c＝<b.∴∠F1MF2<90°，∴只能∠PF1F2＝90°或者∠PF2F1＝90°.令x＝±得y2＝9＝，∴|y|＝.即P到x轴的间隔为.12．B由＝及||＝||知在Rt△ACB中，∠CBF＝30°，|DF|＝＋＝p，∴AC＝2p，BC＝2p，·＝4p·2p·cos30°＝48，∴p＝2.抛物线方程为y2＝4x.二、填空题13．解析：双曲线x2－＝1的右焦点为(2,0)，由题意，＝2，∴p＝4.答案：414．解析：∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y＝－x.∵两圆的连心线垂直平分公一共弦，∴P(1,2)，Q关于直线y＝－x对称，∴Q(－2，－1)．答案：(－2，－1)15．解析：设M(x0，y0)，那么＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)⇒·＝x02＋y02－4＝x02＋－4＝x02－1，显然当x0＝0时，·取最小值为－1.答案：－116．解析：如图，设PF1的中点为M，那么MO∥PF2，故∠PF2F1＝90°.∵a＝4，b＝3，c＝5，∴|F1F2|＝10，|PF1|＝8＋|PF2|.由|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2得(8＋|PF2|)2＝|PF2|2＋100，∴|PF2|＝，S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF2|＝.答案：三、解答题17．解析：(1)∵＝1，c＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.∴双曲线方程为－＝1.(2)由题意，得F1′(0,2)，F2′(0，－2)，又P′(3,2)．所以椭圆长轴长2a′＝＋＝8，∴a′＝4.∴b′2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.18．解析：(1)设C(x，y)，那么消去m，得y＝4－x，∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，∴直线OC的方程为x－y＝0.由得x＝y＝2.即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2.圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.19．解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)．A、B在椭圆上，∴b2x12＋a2y12＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2.∴b2(x2＋x1)(x2－x1)＋a2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.又线段AB的中点是圆的圆心(2,1)，∴x2＋x1＝4，y2＋y1＝2，∴k AB＝－＝－，椭圆的离心率为，∴＝1－e2＝，k AB＝－＝－1，直线AB的方程为y－1＝－1(x－2)，即x＋y－3＝0.由(x－2)2＋(y－1)2＝和x＋y－3＝0得A.代入椭圆方程得：a2＝16，b2＝8，∴椭圆方程为：＋＝1.20．解析：(1)∵e2＝×，∴e＝，∴a＝3，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x，y)，那么，解得P.∵M，N(0,3)，M＝λ，∴λ＝.(3)证明：∵M、N的坐标分别为M，N(0，a)，由，解得(其中c＝)，∴P.由M＝λ得＝λ，∴，∴21．解析：(1)由题设知F1(－，0)，F2(，0)，由于·＝0，那么有⊥，所以点A的坐标为，故AF1所在直线方程为y＝±，所以坐标原点O到直线AF1的间隔为(a>)，又|OF1|＝，所以＝，解得a＝2(a>)，所求椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，那么有M(0，k)，设Q(x1，y1)，由于M＝2，∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)，解得x1＝－，y1＝.又Q在椭圆C上，得＋＝1，解得k＝±4，故直线l的方程为y＝4(x＋1)或者y＝－4(x＋1)，即4x－y＋4＝0或者4x＋y＋4＝0.22．解析：(1)由，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．∵长轴长为2，离心率e＝，∴b＝c＝1，a＝.所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)因为直线l过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为1，所以直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得3y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1，y2＝.∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.(3)当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，此时∠POQ小于90°，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，∴y1y2＝.因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形⇔O·O＝0，由O·O＝x1x2＋y1y2＝＋＝0得k2＝2，∴k＝±.∴所求直线的方程为y＝±(x－1)．。

专题8.8 立体几何综合问题（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以几何体为载体，考查空间几何体中的最值问题、折叠问题以及探索性问题，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）空间向量的概念及有关定理1．空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．（二）空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)；②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)；③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则||(AB d AB a ==（三）异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角． ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π．③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||a b a b θϕ⋅==⋅. （四）直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |. （五） 二面角(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．（六）利用向量求空间距离点面距的求法：如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |. 【常考题型剖析】 题型一： 向量与立体几何中最值问题 例1. （2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥SO 的高1,SO AB =是底面上圆O 的直径，2AB =，M 是圆O 上的动点，N 是SM 的中点，则直线AN 与平面SBM 所成角的正弦值的最大值为（ ）A ．13B ．23C ．223D ．1 例2.（山东·高考真题（理））如图所示，已知四棱锥P—ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°,E,F 分别是BC,PC 的中点.(1)证明:AE ⊥PD;(2)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C 的余弦值. 例3.（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【方法技巧】解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．空间向量法求最值也是要求出目标函数，但是需要先依据题意建立空间直角坐标系，注意建系时使坐标易于求解或表达，然后求目标函数的表达式．题型二：立体几何“翻折”“折叠”问题例4.（2018·全国·高考真题（理））如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.例5.（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.例6.（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥,2,7P ABCD AB PA -==(1)求证：PA BD ⊥(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，P AD 旋转至1,P AD PCD 旋转至2P CD 如图所示，其中二面角1P AD B --与二面角2P CD B --相同，当12DP DP ⊥时，求平面1PAD 与2P CD 所成的锐二面角的余弦值 【总结提升】解答“翻折”“折叠”问题的两个策略：1.确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决2.确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算题型三：探索性问题----空间角的存在性问题例7. （2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，O ，M ，N 分别为线段BC ，AA 1，BB 1的中点，P 为线段AC 1上的动点，AO=12BC ，AB=3，AC=4，AA 1=8.(1)求点C到平面C1MN的距离；(2)试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.例8.（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为=，N为线段BC上的动正方形，PD⊥底面ABCD，M为线段PC的中点，PD AD点．(1)证明：平面MND⊥平面PBC(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面P AB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．例9.（湖北·高考真题（理））如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．【总结提升】与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解．求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量，利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．题型四： 探索性问题----线面关系中的存在性问题例10. （2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥E ABCD -中，//AB CD ，4CD AB =，点F 为棱CD 的中点，与E ，F 相异的动点P 在棱EF 上.(1)当P 为EF 的中点时，证明：//PB 平面ADE ；(2)设平面EAD 与平面EBC 的交线为l ，是否存在点P 使得//l 平面PBD ？若存在，求EP PF的值；若不存在，请说明理由. 例11.（2019·北京·高考真题（理））如图，在四棱锥P –ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AD ；（Ⅱ）求二面角F–AE–P 的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．例12. （2016·北京·高考真题（理））如图,在四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD ,,,,1,2,5PA PD PA PD AB AD AB AD AC CD ⊥=⊥====.（1）求证:PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ？若存在, 求AM AP的值；若不存在, 说明理由. 【总结提升】解决线面关系中存在性问题的策略对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用向量法进行线面关系的逻辑推理，寻找假设满足的数据或事实，若满足，则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设．专题8.8 立体几何综合问题（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以几何体为载体，考查空间几何体中的最值问题、折叠问题以及探索性问题，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）空间向量的概念及有关定理1．空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．（二）空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)；②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)；③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则||(AB d AB a ==（三）异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角． ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π．③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||a b a b θϕ⋅==⋅. （四）直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |. （五） 二面角(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)． （六）利用向量求空间距离点面距的求法：如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【常考题型剖析】题型一： 向量与立体几何中最值问题例1. （2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥SO 的高1,SO AB =是底面上圆O 的直径，2AB =，M 是圆O 上的动点，N 是SM 的中点，则直线AN 与平面SBM 所成角的正弦值的最大值为（ ）A ．13B ．23 C ．223D ．1 【答案】C 【解析】【分析】做OE AB ⊥交圆上一点E ，以O 为原点，、、OE OB OA 所在的直线为、、x y y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设(),,0M a b ，则1,,222⎛⎫⎪⎝⎭a b N ，且221a b +=， 求出AN 、平面AMB 的一个法向量坐标，设直线AN 与平面SBM 所成的角为θ，可得sin cos ,θ⋅===-AN n AN n AN n()()()()3222791,121--+=∈--x x f x x x ，利用导数可得()f x 的最值，从而得到答案. 【详解】做OE AB ⊥交圆上一点E ，以O 为原点，、、OE OB OA 所在的直线为、、x y y 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则()0,0,0O ，()0,1,0A -，()0,1,0B ，()0,0,1S ， 设(),,0M a b ，则1,,222⎛⎫⎪⎝⎭a b N ，且221a b +=，当0,1a b ==时，()0,1,0M 与()0,1,0B 重合，此时SMA 构不成平面， 当0,1a b ==-时，()0,1,0-M 与()0,1,0A -重合，此时SMB 构不成平面， 即1b ≠±，0a ≠，所以(),,1=-SM a b ，()0,1,1=-SB ，1,1,222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a bAN ，设平面AMB 的一个法向量为(),,n x y z =，所以00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩SM n SB n ，即00+-=⎧⎨-=⎩ax by z y z ，令1y =，则1,1-==bx z a ， 所以1,1,1-⎛⎫= ⎪⎝⎭b n a ，设直线AN 与平面SBM 所成的角为θ，111sin cos ,θ-+++⋅===b bAN n AN n AN n ==，令()()()()3222791,121--+=∈--x x f x x x ，()()()()()221,11x x f x x x +=∈--' 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10x -<<时，()0f x '<，()fx 单调递减，所以()()min902≥=fx f ，≤=，直线AN 与平面SBM . 故选：C.例2.（山东·高考真题（理））如图所示，已知四棱锥P—ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°,E,F 分别是BC,PC 的中点.(1)证明:AE⊥PD;(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.【答案】（1）证明略（2）所求二面角的余弦值为【解析】【详解】(1) 由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,所以AE⊥PD.(2) 如图所示，设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH、EH,由(1)知,AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中,AE=,所以,当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,∠EHA最大.此时,tan∠EHA===,因此AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.方法一因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,所以,平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角.在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,又SE===,在Rt△ESO中,cos∠ESO===,即所求二面角的余弦值为.方法二由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(，，1），所以=(，0，0），=(，，1）.设平面AEF的一法向量为m=（x1，y1，z1），因此取z1=-1，则m=（0，2，-1），因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-，3，0），所以cos 〈m,〉===.因此,二面角E—AF—C 为锐角, 所以所求二面角的余弦值为例3.（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2）112B D = 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为1111,//BFA B A B AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,A M B N ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅，则1CBF BB N ∠=∠． 又因为1190BB N B NB ∠+∠=︒，所以1190CBF B NB BF B N ∠+∠=︒⊥，． 又因为111111,BFA B B N A B B ⊥=，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥． [方法二] 【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1BB AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）． 因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅=，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+1BF EB BF BB =⋅+⋅11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=22025-=，所以BF ED ⊥． （2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =， 因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =， 设平面11BCC B 与平面DEF的二面角的平面角为θ， 则cos m BA mBAθ⋅=⋅==当12a =时，2224a a -+取最小值为272， 此时cos θ．所以()minsin θ==112B D =． [方法二] ：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE平面11BB C C FT =．作1B H FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1DHB ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//C G A B 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-． 又1111BD B T C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31ts t =+．又111B H B TC F FT =，即11B H =1B H =．所以DH == 则11sin B D DHB DH∠===所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠= [方法三]：投影法 如图，联结1,FB FN ，DEF 在平面11BB C C 的投影为1B NF ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS Sθ=．设1(02)B D t t =≤≤，在1Rt DB F 中，DF在Rt ECF 中，EF D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE 在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅sin DFE∠=1sin2DFES DF EF DFE=⋅∠13,2B NFS= 1cos B NFDFESSθ==，sinθ=当12t=，即112B D=，面11BB CC与面DFE【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C与面DFE所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE在面11BB C C上的投影三角形的面积与DFE△面积之比即为面11BB C C与面DFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．【方法技巧】解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．空间向量法求最值也是要求出目标函数，但是需要先依据题意建立空间直角坐标系，注意建系时使坐标易于求解或表达，然后求目标函数的表达式．题型二：立体几何“翻折”“折叠”问题例4.（2018·全国·高考真题（理））如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为,AD BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PF BF⊥.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF PF ⊥，BF EF ⊥，又因为PF EF F =，利用线面垂直的判定定理可以得出BF ⊥平面PEF ，又BF ⊂平面ABFD ，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD 的法向量，设DP与平面ABFD 所成角为θ，利用线面角的定义，可以求得34sin 3HP DP HP DPθ⋅===⋅.【详解】（1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，又PFEF F =，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）作PH EF ⊥，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.由（1）可得，DE PE ⊥.又2DP =，1DE =，所以PE =又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥.可得32PH EH ==.则()330,0,0,,1,,0,1,,22H P D DP ⎛⎛⎛⎫--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ HP ⎛= ⎝⎭为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin 3HP DP HP DPθ⋅===⋅所以DP 与平面ABFD 例5.（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH ．以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0CG =（1，0AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．例6.（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥,2,7P ABCD AB PA -==(1)求证：PA BD ⊥(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，P AD 旋转至1,P AD PCD 旋转至2P CD 如图所示，其中二面角1P AD B --与二面角2P CD B --相同，当12DP DP ⊥时，求平面1P AD 与2P CD 所成的锐二面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2)34【解析】【分析】（1）连接,BD AC ，交于点O ，连接PO ，PO ⊥面ABCD ，得PO BD ⊥，从而证得BD ⊥平面PAC ，得线线垂直；（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z轴建立空间直角坐标系，设是二面角1P AD B --大小为θ，表示出12,P P 的坐标，由向量垂直求出θ，得12,P P 的坐标，再求出平面1P AD 与平面2P CD 的一个法向量，则法向量夹角得二面角． (1)证明：连接,BD AC ，交于点O ，连接PO ，PO ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PO BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PO AC O =，,PO AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，BD PA ∴⊥．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设点E 为DA 中点，则1PE F 是BC 中点，则EF AD ⊥，又1PE AD ⊥， 所以1PEF ∠是二面角1P AD B --的平面角，即1PEF θ∠=，1(1)P θθ∴，同理2,1)P θθ2124348sin 0DP DP θθθ⋅=++=解得：cos θ=1sin 2θ=，12(1,(6,1P P ∴--1(1,(2,0,0)DP DA =-=设1(,,)n x y z =为平面1P AD 的法向量，则10n DA ⋅= ，20x ∴=， 0x ∴=，110n DP ⋅=，60x y ∴-+=，取1y =，则z = 1n ∴=2(6,1DP =-，(0,2,0)DC =，设2(,,)n m s t =为平面2P CD 的法向量，则 20n DC ⋅= ，20s ∴= ，0s ∴=，220n DP ⋅=，60m -+=，取1m =，则t 2n ∴=，123cos ,4n n <>==，平面1P AD 与平面2P CD 所成的锐二面角的余弦值为34．【总结提升】解答“翻折”“折叠”问题的两个策略：1.确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决2.确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算题型三：探索性问题----空间角的存在性问题例7.（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，O，M，N分别为线段BC，BC，AB=3，AC=4，AA1=8.AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的动点，AO=12(1)求点C到平面C1MN的距离；(2)试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.【答案】(1)(2)35【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得AB ⊥平面11ACC A ，线面垂直的性质定理可得AB CM ⊥，,M N 分别为11,AA BB 的中点得CM MN ⊥，再利用勾股定理可得1CM C M ⊥，再由线面垂直的判定定理可得答案.（2）以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面11BB C C 的法向量，设()000,,P x y z ，利用1=AP mAC 可得MP ，再由线面角的向量求法可得直线MP 与平面11BB C C 所成的角θ的正弦值，再分0m ≠、0m ≠讨论可得答案. (1)在ABC 中，O 为BC 中点且1,2AO BC AB AC =∴⊥， 平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，AB ∴⊥平面11ACC A ，又CM ⊂平面11,ACC A AB CM ∴⊥，,M N 分别为11,AA BB 的中点，.MN AB CM MN ∴∴⊥∥，在直角AMC 和直角11MA C △中，1114,4AM A M AC AC ====，111,AMC AMC CM C M ∴≅∴==222111323264,CM C M CC CM C M ∴+=+==∴⊥，11,,MN C M M MN C M ⋂=⊂平面1,MNC CM ∴⊥平面1C MN ，∴点C 到平面1C MN 的距离为CM =(2)1AA ⊥平面ABC ，由（1）得1,,AB AC AA 三线两两重直，以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图，则()()()()()()110,0,0,3,0,0,0,4,0,0,4,8,0,0,4,3,0,8A B C C M B ，()()13,4,0,0,0,8BC BB ∴=-=，设平面11BB C C 的法向量为()1111,,n x y z =，则111340,80,x y z -+=⎧⎨=⎩令14x =得()113,4,3,0y n ==，设()()0001,,,01P x y z AP mAC m =，则()()000,,0,4,8x y z m =，()()0,4,8,0,4,84P m m MP m m ∴=-，设直线MP 与平面11BB C C 所成的角为θ，则11sin 516n MP n MPθ⋅===，若0,sin0m θ==，此时，点P 与A 重合；若0m ≠，令()11t t m=，则3sin 5θ==，当2t =，即1,2m P =为1AC 的中点时，sin θ取得最大值35.例8.（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面MND ⊥平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)点N 在线段BC 的中点 【解析】 【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥，而CD BC ⊥，可证得BC ⊥平面PCD ，从而得BC DM ⊥，而DM PC ⊥，所以DM ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ==，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可 (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以PD BC ⊥，因为CD BC ⊥，CD PD D =，所以BC ⊥平面PCD ，因为DM ⊂平面PCD ， 所以BC DM ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD =， 所以PD CD =，因为在PDC △中，PD CD =，M 为线段PC 的中点， 所以DM PC ⊥， 因为PC BC C ⋂=， 所以DM ⊥平面PBC ，因为DM ⊂平面DMN ， 所以平面MND ⊥平面PBC ， (2)当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下： 因为PD ⊥底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ， 所以,PD DA PD DC ⊥⊥， 因为DA DC ⊥，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设1PD AD ==，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,1,0)(01)N λλ<<，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM λ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面PAB 的法向量，则0m AP x z m AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，令1x =，则=(1,0,1)m ， 设(,,)n a b c =为平面MND 的法向量，则01122n DN a b n DM b c λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，则(1,,)n λλ=-， 因为平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,2m n m n m n⋅==⨯，化简得24410λλ-+=，得12λ=，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°例9.（湖北·高考真题（理））如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）与平面所成角的大小【解析】【详解】本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值．同时考察直线与平面所成角．本题可用综合法和空间向量法都可以．运用空间向量法对计算的要求要高些．（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．由，知，△为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），，，且，所以平面．又，所以．于是，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时, 三棱锥的体积最大．解法2：同解法1，得．令，由，且，解得．当时，；当时，．所以当时，取得最大值．故当时, 三棱锥的体积最大．（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．于是可得，，，，，，且．设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．设平面的一个法向量为，由及，得可取．设与平面所成角的大小为，则由，，可得，即．故与平面所成角的大小为解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．如图b，取的中点，连结，，，则∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，所以. 因为平面，又面，所以.又，所以面. 又面，所以.因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一个四等分点），．连接，，由计算得，所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，，则平面．在平面中，过点作于，则平面．故是与平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即与平面所成角的大小为【总结提升】。