2016年浙江工业大学821运筹学I考研真题考研试题

管理运筹学复习题第一章一、单项选择题1.用运筹学分析与解决问题的过程是一个（ B ）A.预测过程B.科学决策过程C.计划过程D.控制过程2.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。

可以说这个过程是一个（ C ）A.解决问题过程B.分析问题过程C.科学决策过程D.前期预策过程3从趋势上看，运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段，其中最主要的是（ C ）A．数理统计 B．概率论 C．计算机 D．管理科学4运筹学研究功能之间关系是应用（ A ）A．系统观点 B．整体观点 C．联系观点 D．部分观点5运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的（ B ）A.最优目标B.最佳方案C.最大收益D.最小成本6.运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的（ C ）A.近期目标与具体投入B.生产计划及盈利C.管理问题及经营活动D.原始数据及相互关系7.运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，其具有的典型特性为（ A ）A．综合应用 B．独立研究 C．以计算为主 D．定性与定量8.数学模型中，“s·t”表示（ B ）A. 目标函数B. 约束C. 目标函数系数D. 约束条件系数9.用运筹学解决问题的核心是（ B ）A．建立数学模型并观察模型 B．建立数学模型并对模型求解C．建立数学模型并验证模型 D．建立数学模型并优化模型10.运筹学作为一门现代的新兴科学，起源于第二次世界大战的（ B ）A.工业活动B.军事活动C.政治活动D.商业活动11.运筹学是近代形成的一门（ C ）A．管理科学 B．自然科学 C．应用科学 D．社会科学12.用运筹学解决问题时，要对问题进行（ B ）A.分析与考察B.分析和定义C.分析和判断D.分析和实验13.运筹学中所使用的模型是（ C ）A.实物模型B.图表模型C.数学模型D.物理模型14.运筹学的研究对象是（ B ）A．计划问题 B．管理问题 C．组织问题 D．控制问题二、多项选择题1.运筹学的主要分支包括（ ABDE ）A.图论B.线性规划 C .非线性规划 D.整数规划 E.目标规划三、简答题1.运筹学的数学模型有哪些缺点?答：（1）数学模型的缺点之一是模型可能过分简化，因而不能正确反映实际情况。

运筹学考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性规划的标准形式中，目标函数的系数应为：A. 正数B. 负数C. 任意非零数D. 零2. 在单纯形法中，如果某个非基变量的检验数大于零，则：A. 该变量不能进入基B. 该变量必须进入基C. 该变量的值可以增加D. 该变量的值可以减少3. 下列哪项不是运输问题的特殊矩阵？A. 平衡矩阵B. V型矩阵C. U型矩阵D. 散布矩阵4. 对于一个确定的线性规划问题，下列哪项是正确的？A. 只有一个最优解B. 有多个最优解C. 可能没有可行解D. 所有选项都是正确的5. 在动态规划中，状态转移方程的作用是：A. 确定初始状态B. 确定最终状态C. 确定中间状态D. 确定最优解二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述单纯形法的基本步骤。

2. 解释什么是灵敏度分析，并说明其在运筹学中的应用。

3. 什么是网络流问题？请举例说明其在实际中的应用。

4. 描述动态规划的基本原理及其与分阶段决策过程的关系。

三、计算题（每题10分，共30分）1. 给定如下线性规划问题，请找出其最优解，并计算目标函数的最小值。

Maximize Z = 3x1 + 2x2Subject tox1 + 2x2 ≤ 103x1 + x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 02. 考虑一个有三个仓库（A、B、C）和三个市场（D、E、F）的运输问题。

运输成本矩阵如下：| D E F ||--|--|--|A | 2 3 4 || B | 1 2 3 || C | 5 6 7 |每个仓库的供应量和每个市场的需求量如下：Supply/Demand: A: 10, B: 8, C: 5, D: 8, E: 10, F: 7使用北街角规则找出初始可行解。

3. 一个公司想要在三个城市（城市1、城市2、城市3）之间运输货物。

运输成本和需求量如下表所示：| 城市1 城市2 城市3 ||--|--|--|| 2 3 5 || 1 2 4 || 3 4 6 |需求量：城市1: 4, 城市2: 3, 城市3: 2请使用匈牙利算法解决此问题。

《运筹学》试题及参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。

2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。

3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。

4、在图论中，称无圈的连通图为树。

5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。

二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题：1）max z =6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。

2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：可行解域为abcda ，最优解为b 点。

⑴⑵⑶⑷⑸⑹、⑺由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（11，0）T∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：AB C 甲94370乙46101203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。

（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0x 3+0x 4+0x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x 解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）B 1B 2B 3B 4s iA 1A 2A 312348765910119108015d j82212181）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。

运筹学试题及答案一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错4、如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X1≤1 和 X1≥2 。

5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。

6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。

问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_ 无解_____；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。

11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X4,X5,X6为松驰变量。

考研运筹学真题及答案考研运筹学真题及答案考研运筹学是管理学专业的一门重要课程，也是考研中的一项难点。

为了帮助考生更好地备考运筹学，本文将介绍一些常见的考研运筹学真题及答案，供考生参考。

一、线性规划线性规划是运筹学中的重要概念，也是考研运筹学中的常见考点。

下面是一道典型的线性规划题目：题目：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，每单位产品B的利润为4万元。

生产一个单位产品A需要1小时的人工时间和2小时的机器时间，生产一个单位产品B需要2小时的人工时间和1小时的机器时间。

公司每天可用的人工时间为8小时，机器时间为10小时。

问如何安排生产，使得利润最大化？解答：首先，设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y。

根据题目中的条件，我们可以列出以下的约束条件：1x + 2y ≤ 8 （人工时间的约束条件）2x + 1y ≤ 10 （机器时间的约束条件）x ≥ 0 （产品A的非负约束条件）y ≥ 0 （产品B的非负约束条件）同时，我们需要定义一个目标函数，即利润的表达式。

根据题目中的条件，利润的表达式为：Max Z = 3x + 4y将约束条件和目标函数综合起来，我们可以得到线性规划问题的标准形式：Max Z = 3x + 4ys.t.1x + 2y ≤ 82x + 1y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 0求解这个线性规划问题，可以使用单纯形法或者其他求解方法。

最终得到的解就是使得利润最大化的生产安排。

二、排队论排队论是运筹学中的另一个重要概念，也是考研运筹学中的考点之一。

下面是一道典型的排队论题目：题目：某银行有两个窗口，每个窗口的服务时间服从指数分布，服务率分别为μ1和μ2。

假设到达银行的客户服从泊松分布，到达率为λ。

求客户等待时间的期望。

解答：根据排队论的基本原理，客户等待时间的期望可以通过利用排队模型中的公式来计算。

在这个题目中，我们可以使用M/M/2模型来进行求解。

M/M/2模型是指到达过程和服务过程都服从泊松分布，且有两个服务通道。

《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 运筹学的核心思想是（）A. 最优化B. 系统分析C. 预测D. 决策答案：A2. 在线性规划中，约束条件可以用（）表示。

A. 等式B. 不等式C. 方程组D. 矩阵答案：B3. 以下哪个不是运筹学的基本模型？（）A. 线性规划B. 整数规划C. 非线性规划D. 随机规划答案：D4. 在目标规划中，以下哪个术语描述的是决策变量的偏离程度？（）A. 目标函数B. 约束条件C. 偏差变量D. 权重系数答案：C5. 在动态规划中，以下哪个概念描述的是在决策过程中，某一阶段的最优决策对后续阶段的影响？（）A. 最优子结构B. 无后效性C. 最优性原理D. 阶段性答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 运筹学是一门研究在复杂系统中的______、______和______的科学。

答案：决策、优化、实施2. 在线性规划中，若目标函数为最大化，则其标准形式为______。

答案：max z = c^T x3. 在非线性规划中，若目标函数和约束条件均为凸函数，则该规划问题为______。

答案：凸规划4. 在目标规划中，若决策变量x_i的权重系数为w_i，则目标函数可以表示为______。

答案：min Σ(w_i d_i^+ + w_i d_i^-)5. 在动态规划中，若状态变量为s_n，决策变量为u_n，则状态转移方程可以表示为______。

答案：s_{n+1} = f(s_n, u_n)三、判断题（每题5分，共25分）1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得。

（）答案：正确2. 在整数规划中，若决策变量为整数，则目标函数和约束条件也必须为整数。

（）答案：错误3. 目标规划中的偏差变量可以是负数。

（）答案：正确4. 在动态规划中，最优策略具有最优子结构。

（）答案：正确5. 在非线性规划中，若目标函数为凸函数，则约束条件也必须为凸函数。

运筹学考研真题运筹学作为管理科学的重要分支，旨在应用数学、统计学、信息学等方法解决管理问题。

对于想要考研的同学来说，熟悉并掌握运筹学相关知识是必不可少的。

下面将以运筹学考研真题为例，介绍考研中常见的运筹学问题。

一、整数规划整数规划是运筹学中常见的问题之一。

下面是一道典型的整数规划题目：有一工厂需要生产产品A和产品B两种商品，设给定时间内生产产品A i 的成本为C i ，给定时间内生产产品B j 的成本为C j ，产量限制分别为A i ≤D i 和B j ≤D j 。

另外，工厂对产品A和产品B的最大需求分别为a、b，现在需要确定如何分配产量以最小化生产成本。

该问题的数学模型为：Min ∑∑(C iA i +C jB j )s.t. ∑(A i )≥a; ∑(B j) ≥b;A i ≤D i,B j ≤D j其中，∑∑表示对所有 i 和 j 的求和。

二、线性规划线性规划是运筹学中的另一个重要问题。

下面是一道典型的线性规划题目：某工厂计划从两个供应商采购原料，并且需要满足产量和质量要求。

设供应商1提供的原料A、B的单价分别为x、y，供应商2提供的原料A、B的单价分别为u、v，工厂对原料A和原料B的需求分别为a、b。

另外，工厂对原料A和原料B的质量要求分别为等级1和等级2，供应商1和供应商2提供的原料质量分别为m 1、m 2 和n 1、n 2。

现在需要确定从每个供应商采购的原料数量以最小化采购成本。

该问题的数学模型为：Min z = xa + yb + ua + vbs.t. ma + na ≥ q;mb + nb ≥ q;x, y, u, v ≥ 0.其中，z表示采购成本，q表示质量要求。

三、动态规划动态规划是运筹学中应用较为广泛的一种方法。

下面是一道典型的动态规划题目：考虑一个自上而下的棋盘，每个格子上的数字表示从该格子到终点需要的最少步数。

棋盘的最左上角为起点，最右下角为终点，棋盘上的数字都是正整数。

运筹学试题及答案运筹学试题及答案一、选择题1. 运筹学是一门综合应用学科，它的研究对象是哪些问题？A. 经济决策问题B. 工程管理问题C. 交通运输问题D. 能源问题E. 以上都是答案：E. 以上都是2. 下列哪项不是运筹学的研究方法？A. 数学规划B. 数据分析C. 模拟仿真D. 统计推断答案：D. 统计推断3. 运筹学中的线性规划是一种用于解决什么类型的问题？A. 最小化问题B. 最大化问题C. 平衡问题D. 优化问题答案：D. 优化问题4. 运筹学中使用的线性规划求解算法有哪些？A. 单纯形法B. 整数规划法C. 动态规划法D. 匈牙利算法答案：A. 单纯形法5. 运筹学中的最优化问题可以分为哪两类？A. 离散最优化和连续最优化B. 线性最优化和非线性最优化C. 线性最优化和整数最优化D. 线性最优化和动态最优化答案：B. 线性最优化和非线性最优化二、判断题1. 运筹学只研究最优化问题，不研究约束条件。

答案：错误2. 运筹学只能用于解决企业管理问题，不适用于其他领域。

答案：错误3. 数学规划是运筹学的重要方法之一，但并不是唯一的方法。

答案：正确4. 运筹学的研究对象只包括一些实际运作困难的问题。

答案：错误5. 线性规划只适用于线性关系，不能处理非线性关系。

答案：正确三、简答题1. 什么是运筹学？答：运筹学是一门综合应用学科，通过数学建模和优化方法来解决经济、工程、管理、交通运输等领域中的优化问题。

它体现了一种科学的决策方法和管理思维，可以帮助人们做出最优决策。

2. 运筹学的主要研究方法有哪些？答：运筹学的主要研究方法包括数学规划、数据分析、模拟仿真和统计推断。

其中，数学规划是运筹学中最重要的方法之一，包括线性规划、整数规划、动态规划等。

数据分析通过对大量数据的统计和分析来揭示内在的规律，模拟仿真通过模拟现实场景进行实验和推演来验证决策方案的可行性，统计推断通过对样本数据进行概率分析和推断来进行决策。

10/11（二）浙江工业大学运筹学考试试卷学院： 班级： 姓名： 学号：一、填空题（共30分）1. 如果把约束方程⎩⎨⎧≥+≤+552432121x x x x 标准化为⎩⎨⎧=+-+=++552435421321x x x x x x x 时, 3x 是______变量，4x 是______变量，5x 是______变量. 2. 右图对应于某线性规划问题的约束集合，则其基解为 __________, 基可行解为____________.3. 设原问题为⎩⎨⎧≥==0max X b AX CXz ， 则其对偶问题为__________________; 若对偶问题为无界解,则其原问题为__________.4. 线性规划中，影子价格1Y -=CB 是原问题的__________, 也是对偶问题的___________. 5. 某工程拟从4个项目中选择若干项目，若令⎩⎨⎧=，个项目未被选中第，个项目被选中第 i 0 i ,1i x 4,3,2,1=i . 则用i x 的线性表达式表示下列要求：(1) 4个项目中有且仅有一个被选中_____________________________;(2) 4个项目中有三个项目被选中_______________________________.6. 作为动态规划的状态变量，应具有___________性; 贝尔曼提出的最优性原理是____________________, 它是判断一个策略最优的______________条件.7. 已知某线性规划问题的最优单纯形表如表1所示，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束为≤形式，写出原线性规划问题____________________.8. 指派问题中效益矩阵的独立零元个数___________效益矩阵的阶数时，就得到了最优解. 9. 运输问题的运价矩阵C 是n m ⨯的，则C 的秩为______________; 在____________和_____________过程中可以出现退化现象.10. 某一求目标函数极大值的线性规划问题，用单纯形法求解得到最终表如表2，其中常数αααα，，，321和1σ未知，且不含人工变量. 问应如何限制这些参数，使得下列结论成立： (1) 当____________________, 有唯一最优解； (2) 当____________________, 有无穷多最优解； (3) 当____________________, 有无界解.二、选择题（共30分）1. 若某线性规划有可行解，则________一定不是其可行域.C2. 某线性规划问题有3个变量，5个约束方程，则其基可行解个数不可能是_________ A. 6 B. 8 C. 10 D . 123. 用大M 法求解⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+=0,3232..42max 21212121x x x x x x t s x x z 的单纯形最终表如表3, 则原问题______________A. 有唯一最优解B. 有无界解C. 无可行解D. 有无穷多最优解4. 一对对偶问题中，___________一定不可能出现.A. 两个都有最优解B. 一个有无界解，另一个无可行解C. 两个都无可行解D. 一个有最优解，另一个有无可行解5. 线性规划可行域的顶点一定____________A. 不是基解B. 是最优解C. 不是最优解D. 不能表示成任意其他两个可行解的凸组合6. 线性规划可行域非空无界，则_____________A. 其对偶问题无可行解B. 该线性规划无最优解C. 该线性规划一定有最优解D. 该线性规划存在基可行解表37. 下列序列可能是某个简单图的次的次序_______________A. 7,6,5,4,3,2B. 6,6,5,4,3,2,1C. 6, 5, 5, 4,3,2,1D. 3,3,3,3,3,3,48. 表4是整数规划问题的相应线性规划问题的单纯形表终表. 为了使用割平面法，那么______A. 3/26/56/543-≤--x xB. 3/26/16/543-≤+x xC. 3/23/13/143≤--x xD. 3/23/13/143-≤-x x9. 满足树条件的图______________A. B. C. D.10. 下列图中的流是可行流的____________A.B.C.D.三、计算题（共40分）A BC D EF 13(8)9(9)6(5) 6(6)7(1)5(5)4(0)11(10)12(7)A BCD EF 8(5) 5(4)5(3) 6(5)6(1)5(1)4(2)11(8)7(6)A BCD EF 13(8)9(9)6(5) 6(6)7(1)5(5)4(3) 11(10)12(7)A BCD EF 13(11)9(9)5(5) 6(6)5(4)5(5)4(0) 10(11)10(10)表41. 设5件工件需要先后在A 、B 两台机器上加工, 已知各自所需的加工时间如表5所示, 试2. 考虑下列原线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥=++≤++++=0,0,01243252..32max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z (1) 写出其对偶问题；(2) 已知 (3, 2, 0) 是上述原问题的最优解，根据互补松弛定律，求出对偶问题的最优解； (3) 如果上述线性规划中的第一个约束为资源约束，写出这种资源的影子价格.3. 求图中从A 到各点的最短路.4. 已知某工厂计划生产I 、II 、III 三种产品，各产品需要在A 、B 、C 设备上加工. 结合给出的该线性规划的Lindo 输出结果，回答以下问题。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

一、 解： 121284x x x +=⎧⎨=⎩ ⇒ 1242x x =⎧⎨=⎩ *243214Z =⋅+⋅= 1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩ ⇒ 123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ *33192224Z =+⋅=二、（10分）证明：若ˆX 、ˆY 分别是原问题和对偶问题的可行解。

那么ˆˆ0s s YX Y X ==,当且仅当ˆX、ˆY 为最优解。

证明：min ,0,0S S S S max z CX Yb AX X b YA Y C X X Y Y ω==+=-=≥≥设原问题和对偶问题的标准关系是原问题对偶问题将原问题目标函数中的系数向量C 用C=Y A-YS 代替后，得到 z =(YA − YS )X =YAX − YSX将对偶问题的目标函数中系数列向量b ，用b =AX +XS 代替后，得到 w =Y (AX +XS )=YAX +YXSˆˆˆˆˆˆˆˆ;,4,4ˆˆ2152160,0S SSSY X 0,YX 0Yb YAX CX X Y CX YAX YbYXY X ======--==若则由性质（），可知是最优解。

又若分别是原问题和对偶问题的最优解，根据性质（），则有由（），（）式可知，必有三、1）（5分）写出下列线性规划问题的对偶问题123123123123123Min z x x 2x 2x 3x 5x 23x x 7x 3s.t x 4x 6x 5x ,x ,x 0=++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩解：123123123123123Max w 2y 3y 5y 2y 3y y 13y y 4y 1s.t 5y 7y 6y 2y 0,y ,y 0=++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥≤⎩ 2）（5分）试写出下述非线性规划的Kuhn-Tucker 条件并求解2()(4)15Minf x x x =-≤≤解：先将该非线性规划问题写成以下形式212min ()(4)()10()50f x x g x x g x x ⎧=-⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩写出其目标函数和约束函数的梯度：12()2(4),()1, ()1f x xg x g x ∇=-∇=∇=-对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，设K-T 点为X*，则可以得到该问题的K-T 条件。

运筹学考研真题与答案运筹学是一门研究如何通过数学模型和优化方法来解决实际问题的学科。

它在现代管理、工程、经济等领域中扮演着重要的角色。

对于想要深入研究运筹学的学生来说，考研是一个很好的机会。

在这篇文章中，我将介绍一些运筹学考研的真题和答案，希望能够对考生有所帮助。

首先，我们来看一道经典的线性规划问题。

题目如下：某公司有两种产品A和B，每种产品的生产时间分别为2小时和3小时。

产品A的利润为200元，产品B的利润为300元。

公司每天有16小时的生产时间可用，最多能生产产品A 4个单位，产品B 6个单位。

问如何安排生产，使得利润最大化？这是一个典型的线性规划问题，可以通过建立数学模型来解决。

我们可以设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y。

根据题目中的限制条件，我们可以列出以下不等式：2x + 3y ≤ 16x ≤ 4y ≤ 6同时，我们还需要考虑到生产量不能为负数的限制条件：x ≥ 0y ≥ 0最终，我们的目标是最大化利润，即最大化200x + 300y。

综合以上条件，我们可以得到以下线性规划模型：Maximize 200x + 300ySubject to2x + 3y ≤ 16x ≤ 4y ≤ 6x ≥ 0y ≥ 0接下来，我们需要通过运筹学的方法来求解这个线性规划模型。

常见的方法有单纯形法、对偶理论、内点法等。

在考研中，单纯形法是最常用的方法。

通过单纯形法，我们可以得到最优解为x=4，y=4，利润最大化为200*4 + 300*4 = 2000元。

除了线性规划，运筹学考研中还会涉及到其他的优化问题，比如整数规划、非线性规划等。

这些问题的求解方法有时会更加复杂。

但是，通过建立适当的数学模型和运用适当的方法，我们仍然可以得到满意的解。

总结一下，运筹学考研真题与答案是帮助考生更好地了解运筹学的方法和应用的重要资源。

通过学习和掌握这些真题和答案，考生可以更好地应对考试，并在实际问题中灵活运用所学知识。