(精选3份合集)2020届贵州省高考数学模拟试卷

2020年贵州省高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （ ） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]2．（5分）在复平面内，复数5i 1+2i对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，且|a →−b →|=√3，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 24−y 23=1 B ．x 29−y 216=1C ．x 23−y 24=1D ．x 216−y 29=15．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．43C ．23D ．137．（5分）函数f （x ）＝xlnx ﹣mx 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．（﹣∞，0）C ．（0，1）D ．（0，+∞）8．（5分）如果将函数y =√5sinx +√5cos x 的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y ＝3sin x +a cos x （a ＜0）的图象，则tan θ的值为（ ） A ．2B ．12C ．13D ．39．（5分）从集合{x |﹣x 2+12x ﹣11≥0}中任取一个元素a ，则a ，a +2，a +4可以构成钝角三角形三边长的概率为（ ） A ．15B ．25C ．12D ．71010．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M ．R ．Pogson ）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1﹣m 2＝2.5（lgE 2﹣lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（当|x |较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2）（ ） A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.2711．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A =√2，PB =√14，AB ＝4，CA ＝CB =√10，面P AB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．10π3B ．25π6C ．40π9D ．50π312．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f （x ）满足x 2f ′（x ）+1＞0（f ′（x ）为函数f （x ）的导函数），f （3）=43，则关于x 的不等式f （log 2x ）﹣1＞log x 2的解集为（ ） A ．（1，8）B ．（2，+∞）C ．（4，+∞）D ．（8，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）＝sin （πx +φ）﹣2cos （πx +φ），若f （1+x ）＝f （1﹣x ），则sin2φ＝ ．14．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 202032020= ．15．（5分）已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，﹣1），则PF PA的最小值为 ．16．（5分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．18．（12分）甲，乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲，乙两个班学生的成绩分成如下四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并分别绘制了如下的频率分布直方图：规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀．（1）根据这次抽查的数据，填写下面的2×2列联表：优秀 不优秀 合计 甲班 乙班 合计（2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？ 附：临界值参考表与参考公式 P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形． （Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）以D 为顶点，DD 1，DA ，DC 为相邻的三条棱，作 平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，已知点E 在AA 1上移动 （1）当E 点为AA 1的中点时，证明BE ⊥平面B 1C 1E ．（2）在CC 1上求一点P ，使得平面BC 1E ∥平面P AD 1，指出P 点的位置 （Ⅲ）AE 为何值时，二面角C ﹣ED 1﹣D 的大小为45°．20．（12分）已知A 1、A 2分别是离心率e =√22的椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且PA 1→⋅PA 2→=−1．（1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点（0，﹣4），且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x （x 2+8x ﹣4）． （1）求函数f （x ）的单调区间； （2）若关于x 的不等式e x (x 2+8x−4)4+m ≥msinx 在[0，+∞）上恒成立，且m ≠0，求实数m 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1．证明： （1）1a +1b +1c≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc ≤827．2020年贵州省高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （ ） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]【解答】解：∵A ＝{x |x ＞4，或x ＜﹣1}， ∴∁R A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵B ＝{x |x ≥2，或x ＜1}，∴（∁R A ）∩B ＝[﹣1，1）∪[2，4]． 故选：D ．2．（5分）在复平面内，复数5i 1+2i对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵5i 1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i ，∴在复平面内，复数5i1+2i对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A ．3．（5分）若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，且|a →−b →|=√3，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解答】解：∵向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，且|a →−b →|=√3， ∴a →2−2a →⋅b →+b →2=1﹣2a →⋅b →+4＝3， ∴a →⋅b →=1．设向量a →，b →的夹角为θ，则θ∈[0，2π]，由cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=11⋅2=12，∴θ＝60°，故选：B ．4．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 24−y 23=1 B ．x 29−y 216=1C ．x 23−y 24=1D ．x 216−y 29=1【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，由{e =ca =532b =8c 2=a 2+b 2，得{a =3b =4c =5．可得x 29−y 216=1．故选：B ．5．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【解答】解：A 选项中高于200的只有三天，错误； B 选项中重度污染及以上的天数占320，错误；C 选项4号到15号空气污染越来越严重，错误；对于D 选项，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确． 故选：D ．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．43C ．23D ．13【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为2的三棱锥体． 如图所示：所以V =13×12×2×1×2=23． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝xlnx ﹣mx 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．（﹣∞，0）C ．（0，1）D ．（0，+∞）【解答】解：因为函数f （x ）＝xlnx ﹣mx 2，所以f ′（x ）＝lnx +1﹣2mx 在（0，+∞）内有两个零点， 又f ′′（x ）=1x −2m ，由f ′′（x ）＞0，得0＜x ＜12m ； 由f ″（x ）＜0，得x ＞12m ，所以f ′（x ）在（0，12m）上是增函数，在（12m，+∞）上是减函数．所以x =12m 时，f ′（x ）取得最大值f ′（12m）＝ln12m．因为f ′（x ）＝lnx +1﹣2mx 在（0，+∞）内有两个零点， 所以ln12m＞0，解得0＜m ＜12．故选：A ．8．（5分）如果将函数y =√5sinx +√5cos x 的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y ＝3sin x +a cos x （a ＜0）的图象，则tan θ的值为（ ） A ．2B ．12C ．13D ．3【解答】解：函数y =√5sinx +√5cosx =√10（sin x •√22+√22cos x ）=√10sin （x +π4），将其图象向右平移θ个单位后，得到函数y =√10sin(x +π4−θ)的图象． 将函数y ＝3sin x +a cos x ，化为y =√9+a 2sin （x +φ），其中tanφ=a 3， ∵y =√10sin(x +π4−θ)与y =√9+a 2sin （x +φ） 表示同一函数， ∴√a 2+9=√10，又a ＜0，∴a ＝﹣1，此时tanφ=−13，且π4−θ+2kπ=φ，k ∈Z ，∴θ=π4−φ+2kπ，k ∈Z ，∴tanθ=tan(π4−φ)=1−tanφ1+tanφ=2， 故选：A ．9．（5分）从集合{x |﹣x 2+12x ﹣11≥0}中任取一个元素a ，则a ，a +2，a +4可以构成钝角三角形三边长的概率为（ ） A ．15B ．25C ．12D ．710【解答】解：∵{x |﹣x 2+12x ﹣11≥0}＝{x |x 2﹣12x +11≤0}＝[1，11]； 而a ，a +2，a +4可以构成钝角三角形； 即a +4所对的角为钝角；∴cos θ=a 2+(a+2)2−(a+4)22×a×(a+2)＜0⇒a 2﹣4a ﹣12＜0⇒﹣2＜a ＜6； 所以：所求概率为6−111−1=12；故选：C ．10．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M ．R ．Pogson ）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1﹣m 2＝2.5（lgE 2﹣lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（当|x |较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2）（ ） A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27【解答】解：设“心宿二”的星等是m 1，“天津四”的星等是m 2，“心宿二”的亮度是E 1，“天津四”的亮度是E 2， 则m 1＝1.00，m 2＝1.25，E 1＝rE 2，∵两颗星的星等与亮度满足m 1﹣m 2＝2.5（lgE 2﹣lgE 1）， ∴1﹣1.25＝2.5（lgE 2﹣lgrE 2）， 即：lgr ＝0.1，∴r ＝100.1≈1+2.3×0.1+2.7×（0.1）2＝1+0.23+0.027＝1.257， ∴与r 最接近的是1.26， 故选：C ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A =√2，PB =√14，AB ＝4，CA ＝CB =√10，面P AB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．10π3B ．25π6C ．40π9D ．50π3【解答】解：如图；设AB 的中点为D ； ∵P A =√2，PB =√14，AB ＝4，∴△P AB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r =12AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB =√10，面P AB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面P AB ；且DC =√CA 2−AD 2=√6． ∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（√6−R ）2+r 2⇒R =5√6；∴球O的表面积为：4πR2＝4π×(56)2=50π3．故选：D．12．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3）=43，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞log x2的解集为（）A．（1，8）B．（2，+∞）C．（4，+∞）D．（8，+∞）【解答】解：构造函数F（x）＝f（x）−1x，x∈（1，+∞），∴F'（x）＝f'（x）+1x2=f′(x)x2+1x2，∵函数f（x）在（1，+∞）上满足x2f′（x）+1＞0，∴F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，∵不等式f（log2x）﹣1＞log x2，∴f（log2x）﹣log x2＞1，即f（log2x）−1log2x＞1，又∵F（3）＝f（3）−13=43−13=1，∴不等式可转化为F（log2x）＞F（3），又∵函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴log2x＞3，解得：x＞8，故选：D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ），若f（1+x）＝f（1﹣x），则sin2φ＝−45．【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（x）的对称轴方程为x＝1，由f（x）＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=√5sin(πx+φ−θ)（tanθ＝2），得π+φ﹣θ=π2+kπ，k∈Z．∴φ＝k π−π2+θ，则sin2φ＝sin （2k π﹣π+2θ）＝﹣sin2θ=−2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=−2tanθtan 2θ+1=−45．故答案为：−45．14．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 20203=（43）2020﹣1 ．【解答】解：∵x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020， 令x ＝1得：a 0＝1； 令x =43得： （43）2020＝a 0+a 13+a 232+⋯+a202032020； ∴a 13+a 23+⋯+a 20203=(43)2020−1；故答案为：(43)2020−115．（5分）已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，﹣1），则PF PA的最小值为√22． 【解答】解：由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F （0，1）， 准线方程为y ＝﹣1．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则PF PA=PM PA=sin ∠P AM ，∠P AM 为锐角．故当∠P AM 最小时，PF PA最小，故当P A 和抛物线相切时，PF PA 最小．设切点P （2√a ，a ），由y =14x 2的导数为y ′=12x ， 则P A 的斜率为12•2√a =√a =a+12√a ，求得a ＝1，可得P （2，1）， ∴|PM |＝2，|P A |＝2√2，∴sin ∠P AM =PM PA =√22． 故答案为：√22．16．（5分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为 15 ．【解答】解：如图，由角平分线可得：AB BD=AC DC，即AB 3=AC 2，设AB ＝3x ，AC ＝2x ，则cosA =9x 2+4x 2−2512x 2=13x 2−2512x 2，则有sinA =√1−(13x 2−2512x2)2=512x2√−x 4+26x 2−25， ∴S △ABC =12AB •AC •sin A =12⋅3x ⋅2x ⋅512x 2•√−x 4+26x 2−25 =54√−x 4+26x 2−25 =54√−(x 2−13)2+144 ≤15，当x ＝13时，取得最大值15． 故答案为：15．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5．（1）求a n ；（2）求数列{a n 2n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）设公差为d ，由S 4＝a 4+a 5，得4a 1+4×32d =a 1+3d +a 1+4d ，即4+6d ＝2+7d ，解得d ＝2，所以，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）a n 2n=2n−12n ，可得T n =12+322+523+⋯+2n−12n ，两边同乘以12，有12T n =122+323+524+⋯+2n−12n+1，两式相减，得T n −12T n =12+222+223+224+⋯+2n −2n−12n+1 =12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1．所以，T n =3−2n+32n ． 18．（12分）甲，乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲，乙两个班学生的成绩分成如下四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并分别绘制了如下的频率分布直方图：规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀． （1）根据这次抽查的数据，填写下面的2×2列联表：优秀 不优秀 合计 甲班 10 30 40 乙班 6 34 40 合计166480（2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？ 附：临界值参考表与参考公式 P （K 2≥k 0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）甲班优秀的人数是0.025×10×40＝10人，乙班优秀的人数是0.015×10×40＝6人，故可得2×2列联表如下表：优秀不优秀合计甲班103040乙班63440合计166480（2）K2=80×(10×34−30×6)240×40×16×64=1.25＜2.072，所以没有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关．19．（12分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）以D为顶点，DD1，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，已知点E在AA1上移动（1）当E点为AA1的中点时，证明BE⊥平面B1C1E．（2）在CC1上求一点P，使得平面BC1E∥平面P AD1，指出P点的位置（Ⅲ）AE为何值时，二面角C﹣ED1﹣D的大小为45°．【解答】解：（Ⅰ）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如图所示的三棱锥D1﹣ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD1＝2，故所求的体积是V =13×12×2×12=13； （Ⅱ）（1）当E 点为AA 1的中点时，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系如图，则B （1，1，0），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2），E （1，0，1）BE →=(0，−1，1)，B 1E →=(0，−1，−1)，C 1E →=(−1，1，1)BE →⋅B 1E →=0，BE →⋅C 1E →=0所以BE ⊥B 1E 且BE ⊥C 1E ，所以BE ⊥平面B 1C 1E ．（2）可知当A 1E ＝PC 时，有AD 1∥BC 1，BE ∥PD 1所以平面BC 1E ∥平面P AD 1 注：也可以求两个平面的法向量，说明两个法向量共线即可．（Ⅲ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系如图 设E （1，0，m ）则D （0，0，0），C （0，1，0）D 1（0，0，2） C →E =（1，﹣1，m ），CD 1→=（0，﹣1，2） 设向量n →=（x ，y ，z ）满足n →⊥CE →，n →⊥CD 1→于是{x −y +mz =0−y +2z =0解得{x =(2−m)zy =2z取z ＝1得n →=（2﹣m ，2，1） 又D →C =（0，1，0） 即√(2−m)2+22+12⋅√02+12+02=√22解得m =2±√3因为m ＜2所以m ＝2−√3即AE =2−√3时，二面角C ﹣ED 1﹣D 的大小为45°．20．（12分）已知A 1、A 2分别是离心率e =√22的椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且PA 1→⋅PA 2→=−1． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点（0，﹣4），且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点．【解答】解：（1）由题意得A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），P （0，b ）， 则PA 1→⋅PA 2→=(−a ，−b)⋅(a ，−b)=−a 2+b 2=−c 2=−1，所以c ＝1，又{e =c a =√22a 2=b 2+c 2，所以a =√2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x22+y 2=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ﹣4，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则M （﹣x 2，y 2），由{x 22+y 2=1y =kx −4，消去y 得（1+2k 2）x 2﹣16kx +30＝0．由△＝（﹣16k ）2﹣120（1+2k 2）＞0， 得k 2＞152，所以x 1+x 2=16k 1+2k 2，x 1x 2=301+2k2． k AM =y 1−y2x 1+x 2=kx 1−4−kx 2+4x 1+x 2=k(x 1−x 2)x 1+x 2， 直线AM 的方程为y −y 1=k(x 1−x 2)x 1+x 2(x −x 1)，即y =y 1+k(x 1−x 2)x 1+x 2(x −x 1)=kx 1−4+k(x 1−x 2)x 1+x 2(x −x 1)=(kx 1−4)(x 1+x 2)+k(x 1−x 2)(x−x 1)x 1+x 2=2kx 1x 2−4(x 1+x 2)+kx(x 1−x 2)x 1+x 2=k(x 1−x 2)x 1+x 2x +2kx 1x 2x 1+x 2−4，因为x 1+x 2=16k 1+2k2，x 1x 2=301+2k2，所以2kx 1x 2x 1+x 2−4=2k301+2k 216k 1+2k 2−4=−14，直线AM 的方程为可化为y =k(x 1−x 2)x 1+x 2x −14，则直线AM 恒过定点(0，14)．当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点(0，14)，综上知直线AM 恒过定点(0，14)． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x （x 2+8x ﹣4）． （1）求函数f （x ）的单调区间； （2）若关于x 的不等式e x (x 2+8x−4)4+m ≥msinx 在[0，+∞）上恒成立，且m ≠0，求实数m 的取值范围．【解答】解（1）依题意，x ∈R ，f '（x ）＝e x （x 2+8x ﹣4+2x +8）＝e x （x 2+10x +4）， 令f '（x ）＝0，即x 2+10x +4＝0，解得x =−10±√842=−5±√21， 故当x ∈(−∞，−5−√21)时，f '（x ）＞0， 当x ∈(−5−√21，−5+√21)时，f '（x ）＜0， 当x ∈(−5+√21，+∞)时，f '（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为(−∞，−5−√21)和(−5+√21，+∞)，单调递减区间为(−5−√21，−5+√21)．注：−5−√21，−5+√21处写成闭区间也给分．（2）令g(x)=e x (x 2+8x−4)4+m −msinx ，由题意得，当x ＝0时，g （0）＝m ﹣1≥0，则有m ≥1． 下面证当m ≥1时，对任意x ≥0，都有g （x ）≥0．由于x ∈R 时，1﹣sin x ≥0，当m ≥1时，则有g(x)≥e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ． 故只需证明对任意x ≥0，都有e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ≥0． 易知h （x ）＝x ﹣sin x 在[0，+∞）上单调递增， 所以当x ≥0时，h （x ）≥h （0）＝0，即x ≥sin x ，所以1﹣x ≤1﹣sin x ，则e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ≥e x (14x 2+2x −1)+1−x ， 设F(x)=e x (14x 2+2x −1)+1−x ，x ≥0，则F ′(x)=e x (14x 2+52x +1)−1． 当x ≥0时，e x ≥1，14x 2+52x +1≥1，所以F '（x ）≥0，所以F （x ）在[0，+∞）上单调递增， 所以当x ≥0时，F （x ）≥F （0）＝0，所以对任意x ≥0，都有e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ≥0． 所以当m ≥1时，对任意x ≥0，都有e x (x 2+8x−4)4+m ≥msinx ，故实数m 的取值范围为[1，+∞）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1．证明： （1）1a +1b+1c≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc ≤827． 【解答】证明：（1）1a+1b+1c=(a +b +c)(1a+1b+1c)=3+a b+b a+c a+a c+b c+c b≥3+2√a b ⋅b a+2√ca ⋅ac+2√b c ⋅c b=9，当且仅当a =b =c =13时，等号成立； （2）∵a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1， ∴c ＝1﹣a ﹣b ，1﹣a ＞0，1﹣b ＞0，1﹣c ＞0，∴ac +bc +ab ﹣abc ＝（a +b ﹣ab ）c +ab ＝（a +b ﹣ab ）（1﹣a ﹣b ）+ab ＝（b ﹣1）（a ﹣1）（a +b ）＝（1﹣a ）（1﹣b ）（1﹣c ）≤[(1−a)+(1−b)+(1−c)3]3=827， ∴ac +bc +ab ﹣abc ≤827，当且仅当a =b =c =13时，等号成立．。

贵州省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。