2017-2018学年福建省厦门六中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2017-2018学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知数列{a n}满足：a1＜0，=，则数列{a n}是（）A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定2．不等式（x+5）（3﹣2x）≤6的解集是（）A．{x|x≤﹣1或x}B．{x|﹣1≤x}C．{x|x或x≥﹣1}D．{x|x≤﹣1}3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定4．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则＞C．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b，＞，则ab＜05．在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=29，则a3+a6+a9=（）A．22 B．20 C．18 D．136．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．7．在2015年年底，某家庭打算把10万元定期存入银行后，既不加进存款也不取钱，每年到期利息连同本金自动转存，定期存款期限为10年．如果不考虑利息税，且中国银行人民币定期存款的年利率为5%，则到期时的存款本息和是（）A．10×1.0510B．10×1.059 C．200×（1.059﹣1） D．200×（1.0510﹣1）8．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．a=7，b=14，A=30°B．b=4，c=5，B=30°C．b=25，c=3，C=150°D．a=，b=，B=60°9．函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（）A．12 B．13 C．24 D．2510．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．2011．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣312．已知t=（u＞1），且关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为．14．已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．15．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测的水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B．在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是．16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．18．各项均为正数的等差数列{a n}前n项和为S n，首项a1=3，数列{b n}为等比数列，首项b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的取值范围．已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？21．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．22．已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和为S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3，n ∈N*）（Ⅰ）试求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）令b n =，T n 是数列{b n }的前n 项和．证明：对任意给定的m ∈（0，），均存在n 0∈N*，使得当n ≥n 0时，T n ＞m 恒成立．2016-2017学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知数列{a n}满足：a1＜0，=，则数列{a n}是（）A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定【考点】数列的函数特性．【分析】由=，可判断数列{a n}是公比为的等比数列，再根据a1＜0可判断数列{a n}的单调性．【解答】解：由=，数列{a n}是公比为的等比数列，又a1＜0，∴数列{a n}是递增数列，故选A．2．不等式（x+5）（3﹣2x）≤6的解集是（）A．{x|x≤﹣1或x}B．{x|﹣1≤x}C．{x|x或x≥﹣1}D．{x|x≤﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为一般形式，根据解题步骤写出解集即可．【解答】解：不等式（x+5）（3﹣2x）≤6可化为2x2+7x﹣9≥0，即（x﹣1）（2x+9）≥0，解得x≤﹣或x≥1；∴原不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥1}．故选：C．3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．4．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则＞C．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b，＞，则ab＜0【考点】不等式的基本性质．【分析】分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：c=0时，不成立，A错误；对于B：若a＞b＞0，则＜，B错误；对于C：令a=﹣2，b=﹣1，代入不成立，C错误；对于D：若a＞b，＞，则a＞0，b＜0，则ab＜0，D正确；故选：D．5．在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=29，则a3+a6+a9=（）A．22 B．20 C．18 D．13【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质可得a4=15，a5=，进而可得a6=，而所求=3a6，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=45，a2+a5+a8=3a5=29，解之可得a4=15，a5=，故a6=a5+（a5﹣a4）=故a3+a6+a9=3a6=13故选D6．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，∴cosC=，∴sinC=，==，∴S△ABC故选D．7．在2015年年底，某家庭打算把10万元定期存入银行后，既不加进存款也不取钱，每年到期利息连同本金自动转存，定期存款期限为10年．如果不考虑利息税，且中国银行人民币定期存款的年利率为5%，则到期时的存款本息和是（）A．10×1.0510B．10×1.059 C．200×（1.059﹣1） D．200×（1.0510﹣1）【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由题意知，每年的钱数成等比数列，逐年递推即可求得到期时的存款本息和．【解答】解：由题意这10万元1年后连本带利变为10（1+5%）=10×1.05，2年后连本带利变为10×1.052，…故到第10年连本带利变为10×1.0510，故选：A．8．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．a=7，b=14，A=30°B．b=4，c=5，B=30°C．b=25，c=3，C=150°D．a=，b=，B=60°【考点】正弦定理．【分析】对于A，由a，b及sinA的值，利用正弦定理分别求出各选项中sinB的值，由B 为三角形的内角，可得B=90°，只有一解，本选项不合题意；对于B，由正弦定理可求sinC的值，结合范围C∈（30°，180°），可求C有2解，本选项符合题意；对于C，利用大边对大角及三角形内角和定理即可得解B+C＞300°，矛盾，这样的三角形不存在．对于D，可求sinA=＞1，这样的A不存在，这样的三角形不存在．【解答】解：A、∵a=7，b=14，A=30°，∴由正弦定理得：sinB===1，又B为三角形的内角，∴B=90°，故只有一解，本选项不合题意；B、∵b=4，c=5，B=30°，∴由正弦定理得：sinC===，又C为三角形的内角，∴C∈（30°，180°），可得C有2解，本选项符合题意；C、∵b=25＞c=3，∴B＞C=150°，∴B+C＞300°，矛盾，这样的三角形不存在．D、∵a=，b=，B=60°，∴sinA===＞1，这样的A不存在，这样的三角形不存在．故选：B．9．函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（）A．12 B．13 C．24 D．25【考点】基本不等式．【分析】函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），可得m+4n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），∵点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，∴m+4n=1．则+=（m+4n）=17+≥17+4×2=25，当且仅当m=n=时取等号．故选：D．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．20【考点】等差数列的性质．【分析】﹣=﹣=1000d，即可得出．【解答】解：∵100=﹣=﹣=1000d，解得d=．故选：B．11．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B12．已知t=（u＞1），且关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【考点】基本不等式．【分析】u＞1，可得u﹣1＞0．t==﹣[（u﹣1）+]+5，利用基本不等式的性质可得t∈（﹣∞，3]．不等式t2﹣8t+m+18＜0，化为m＜﹣t2+8t﹣18，因此关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解⇔m＜（﹣t2+8t﹣18）max．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵u＞1，∴u﹣1＞0．∴t===﹣[（u﹣1）+]+5≤+5=3，当且仅当u=2时取等号．∴t∈（﹣∞，3]．∵不等式t2﹣8t+m+18＜0，化为m＜﹣t2+8t﹣18，∴关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解⇔m＜（﹣t2+8t﹣18）max．令f（t）=﹣t2+8t﹣18=﹣（t﹣4）2﹣2≤f（3）=﹣3．因此m＜﹣3．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先由成等差数列求出公比，再对化简后求值即可．【解答】解；因为成等差数列，所以a3=a2+a1⇒a1•q2=a1•q+a1⇒q=或q=（舍去）又因为=q=．故答案为：．14．已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围[﹣2，] ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，利用二次函数的性质得到二次项系数大于0，根的判别式小于等于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，当a2﹣4=0，即a=﹣2（a=2不是空集）时，不等式解集为空集；当a2﹣4≠0时，根据题意得：a2﹣4＞0，△≤0，∴（a+2）2+4（a2﹣4）≤0，即（a+2）（5a﹣6）≤0，解得：﹣2≤x≤，综上a的范围为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]15．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测的水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B．在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是50m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出．【解答】解：如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．∴=h2+1002﹣，化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故答案为：50m．16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）先由cosC求得sinC，进而根据sinA=sin求得sinA，再由正弦定理知求得BC．（2）先由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=18．各项均为正数的等差数列{a n}前n项和为S n，首项a1=3，数列{b n}为等比数列，首项b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差和等比数列的公比，由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，则a n和b n可求；（Ⅱ）把等差数列{a n}的通项和前n项和为S n代入f（n）=，整理后利用基本不等式求得f（n）最大值及相应的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则d＞0，∴，依题意：，解得或（舍）．∴a n=2n+1，；（Ⅱ）∵S n=n（n+2），∴f（n）==≤．当且仅当n=，即n=10时取等号．∴当n=10时，所求最小值为．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边即可得解△ABC周长的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）将（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，由B∈（0，180°），得到sinB≠0，所以cosA=，又A∈（0，180°），则A的度数为60°…6分（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16，…7分bc≤（）2，当且仅当b=c=4时等号成立，…8分∴16=（b+c）2﹣3bc≥=（b+c）2﹣3（）2=（b+c）2，∴b+c≤8，…10分∵b+c＞4，…11分∴△ABC的周长取值范围为：（8，12]…12分该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【考点】简单线性规划．【分析】根据已知条件列出约束条件，与目标函数利用线性规划求出最大利润．【解答】解：设生产A、B两种产品分别为x，y吨，利润为z万元，依题意可得：，目标函数为z=7x+12y，画出可行域如图：6﹣2阴影部分所示，当直线7x+12y=0向上平移，经过M（20，24）时z取得最大值，所以该企业生产A，B两种产品分别为20吨与24吨时，获利最大．21．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和． 【分析】（Ⅰ）利用2S n =3n +3，可求得a 1=3；当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，两式相减2a n =2S n ﹣2S n ﹣1，可求得a n =3n ﹣1，从而可得{a n }的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n =log 3a n ，可得b 1=，当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ，于是可求得T 1=b 1=；当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3n +3，所以2a 1=31+3=6，故a 1=3， 当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，此时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2×3n ﹣1，即a n =3n ﹣1， 所以a n =．（Ⅱ）因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=，当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ， 所以T 1=b 1=；当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ）， 所以3T n =1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n ﹣1）×32﹣n ），两式相减得：2T n =+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n ﹣（n ﹣1）×31﹣n ）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n =﹣，所以T n =﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n =﹣．22．已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和为S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3，n ∈N*）（Ⅰ）试求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）令b n =，T n 是数列{b n }的前n 项和．证明：对任意给定的m ∈（0，），均存在n 0∈N*，使得当n ≥n 0时，T n ＞m 恒成立．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意可知S n ﹣S n ﹣1=S n ﹣1﹣S n ﹣2+2n ﹣1，即a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，n ≥3，采用“累加法”即可求得数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b n ===（﹣），采用“裂项法”即可求得数列{b n }的前n 项和T n ，由函数的单调性可知，T n 随着n 的增大而增大，分离参数n ＞log 2（﹣1）﹣1，分类log 2（﹣1）﹣1＜1及log 2（﹣1）﹣1≥1时，求得m 的取值范围，求得n 0的值，即可证明存在n 0∈N*，使得当n ≥n 0时，T n＞m 恒成立． 【解答】解：（Ⅰ）由S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3，n ∈N*），整理得：S n ﹣S n ﹣1=S n ﹣1﹣S n ﹣2+2n ﹣1， ∴a n =a n ﹣1=2n ﹣1，即a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，n ≥3， ∵a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=4， a 4﹣a 3=23， …a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，将上式累加整理得：a n ﹣a 1=2+4+23+…+2n ﹣1， ∴a n =+3=2n +1，数列{a n }的通项公式a n =2n +1；证明：（Ⅱ）b n ===（﹣），∴数列{b n }的前n 项和T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），T n +1﹣T n =＞0，∴T n 随着n 的增大而增大，若T n ＞m ，则（﹣）＞m ，化简整理得：＞，∵m ∈（0，）， ∴1﹣6m ＞0， ∴2n +1＞﹣1，n ＞log 2（﹣1）﹣1，当log2（﹣1）﹣1＜1时，即0＜m＜，取n0=1，当log2（﹣1）﹣1≥1时，解得：≤m＜，记log2（﹣1）﹣1的整数部分为p，取n0=p+1即可，综上可知，对任意m∈（0，），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，T n＞m恒成立．2016年11月18日。

2014-2015学年度厦门六中高一年级上学期期中考试数 学 试 题一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设集合{M m =∈Z |32},m -<<{N n =∈N |13}n -≤≤，则M N =（ ）A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{012}，，D ．{1012}-，，， 2．已知集合{04}P x x =≤≤，集合{02}N y y =≤≤，下列从P 到Q 的各对应关系f不是函数的是 ( )A ．1:2f x y x →=B ． 1:3f x y x →=C ．2:3f x y x →= D ．:f x y →=3．已知点M 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的表达式为 （ ）A ．12()f x x =B ．12()f x x -= C ．2()f x x = D ．2()f x x -=4．设0.3777,log 0.3,0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ． a b c <<5. 函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(2,1)-- B ． (1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)6．函数()34log 21-=x y 的定义域为 （ ）A.3()4+∞，B.[1)+∞， C. )1,43( D. ]1,43( 7．函数()()2212f x x a x =+-+在(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≥D ．3a ≥8．函数()131x f x =+的值域是 （ ）A. (,1)-∞B. (0,1) C ．(1,)+∞ D. (,1)(1,)-∞⋃+∞9.若函数()logaf x x=在区间[,3]a a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）B.10．已知函数223y x x=-+在区间[]0,m上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是（）A．[]0,2B．[]1,2C．(],2-∞D．[)1,+∞11．函数2()1logf x x=+与1()2xg x-+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）12.已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且在[0,)+∞上为增函数，若2(log)(1)f x f>,则x的取值范围是（）A．(2,)+∞ B．1(,2)2 C.1(0,)(2,)2⋃+∞D．(0,1)(2,)⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

2018-2019学年福建省厦门六中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={0,1}，则满足条件M ∪N =M 的集合N 的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列函数在定义域上是单调函数，又是奇函数的为( )A. f(x)=x −1B. f(x)=2xC. f(x)=log 2xD. f(x)=log 23x3. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. y =x −1与y =√(x −1)2B. y =√(x +1)33与y =√(x+1)3√x+1C. y =4lgx 与y =2lgx 2D. y =lgx −2与y =lg x1004. 设函数f(x)=x 3−(12)x−2，则其零点所在区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是()A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型6. 在同一坐标系中，函数y =2−x 与y =−log 2x 的图象都正确的是( )7. 已知函数f(x)，g(x)分别由如表给出则不等式f[g(x)]>g[f(x)]的解集为( )A. {3}B. {2}C. {2,3}D. {1,2}8. 已知a =20180.2，b =0.22018，c =log 20180.2，则( )A. c >b >aB. b >a >cC. a >b >cD. a >c >b9. 设α是第三象限角，化简：cosα⋅√1+tan 2α=( )A. 1B. 0C. −1D. 210. 若实数x ，y 满足|x −1|−ln 1y =0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )11. 若函数y =f(x)图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A,B]是函数y =f(x)的一对“和谐点对”(注：点对[A,B]与[B,A]可看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)={−x 2+4x,x ≥0e x ,x<0，则此函数的“和谐点对”有( )A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对12. 若函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值为( ) A. [43,3]B. [43,2]C. [43,2)D. [43,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点P(m,12)，则tanα=______．14. 已知函数f(x)=(2m 2+m)x m 是定义在[0,+∞)上的幂函数，则f(4x +5)≥f(x)的解集为______． 15. 已知y =f(x)是奇函数，y =g(x)是偶函数，它们的定义域均为[−3,3]，且它们在x ∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)<0的解集是______．16.给出以下四个结论：①若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则函数f(x2)的定义域是[4,8]；②函数f(x)=log a(2x−1)−1(其中a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)；③当α=0时，幂函数y=xα的图象是一条直线；④若log a12>1，则a的取值范围是(12,1)；⑤若函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a2)在区间(−∞,1]上单调递减，则a的取值范围是[1,+∞)．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={a,a−1}，B={2,y}，C={x|1<x−1<4}．(1)若A=B，求y的值；(2)若A⊆C，求a的取值范围．18.(1)(0.25)−0.5+(127)−13−6250.25．(2)设2x=3y=5z=30，求1x +1y+1z的值．19.设函数f(x)={log4x,x≥12−x,x<1．(1)求f(0)，f(2)，f(f(3))的值；(2)求不等式f(x)≤2的解集．20.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v=klog3Q100+b，其中k，b为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5m/s时，其耗氧量为2700个单位．(Ⅰ)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；(Ⅱ)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位？21.已知函数f(x)=a−2x2x+1是定义域为R的奇函数．(1)求实数a的值并判断函数f(x)的单调性；(2)当x∈[3,9]时，不等式f(log32x)+f(2−mlog3x)≥0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知A，B，C是函数f(x)=e x图象上的三点，它们的横坐标依次为t，t+2，t+4，其中e=2.71828…为自然对数的底数．(1)求△ABC面积S关于t的函数关系式S=g(t)；(2)用单调性的定义证明函数F(t)=g(t)+g(−t)在[0,+∞)上是增函数．(3)若F(2a)<F(a+1)，求a的取值范围．2018-2019学年福建省厦门六中高一（上）期中数学试卷解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23. 已知集合M ={0,1}，则满足条件M ∪N =M 的集合N 的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：∵集合M ={0,1}，满足条件M ∪N =M ， ∴N ⊆M ．∴满足条件M ∪N =M 的集合N 的个数为22=4． 故选：D ．由集合M ={0,1}，满足条件M ∪N =M ，得N ⊆M.由此能求出满足条件M ∪N =M 的集合N 的个数． 本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24. 下列函数在定义域上是单调函数，又是奇函数的为( )A. f(x)=x −1B. f(x)=2xC. f(x)=log 2xD. f(x)=log 23x【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、f(x)=x −1=1x ，为反比例函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意； 对于B 、f(x)=2x ，为指数函数，在其定义域上单调递增，但不是奇函数，不符合题意； 对于C 、f(x)=log 2x ，为对数函数，在其定义域上单调递增，但不是奇函数，不符合题意；对于D 、f(x)=log 23x =(log 23)x ，为正比例函数，在其定义域上单调递增，且为奇函数，符合题意； 故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．25. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. y =x −1与y =√(x −1)2B. y =√(x +1)33与y =√(x+1)3√x+1C. y =4lgx 与y =2lgx 2D. y =lgx −2与y =lg x100【答案】D【解析】解：对于A ，y =x −1(x ∈R)，与y =√(x −1)2=|x −1|(x ∈R)的对应关系不同，不是同一函数； 对于B ，y =√(x +1)33=x +1(x ∈R)，与y =√(x+1)3√x+1=x +1(x >−1)的定义域不同，不是同一函数；对于C ，y =4lgx(x >0)，与y =2lgx 2=4lg|x|(x ≠0)的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于D ，y =lgx −2(x >0)，与y =lg x100=lgx −2(x >0)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D ．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．26. 设函数f(x)=x 3−(12)x−2，则其零点所在区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B【解析】解：∵f(1)f(2)=(1−2)×(8−1)=−7<0， ∴其零点所在区间为(1,2)． 故选：B ．分别求出所给区间两个端点的函数值的乘积，由零点的性质知，零点在乘积小于0的区间内． 本题考查函数的零点，解题时要熟练掌握零点存在区间的判断方法．27. 下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是()A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型【答案】D【解析】解：观察图表中函数值y 随自变量x 变化规律，得到： ∵随着自变量x 增加，函数值也在增加，但是增加的幅度越来越小， ∴它最可能的函数模型为对数函数． 故选：D ．随着自变量x 增加，函数值也在增加，但是增加的幅度越来越小，由此可以确定该函数模型是对数函数模型．本题考查函数模型的确定，观察给出函数关系的表格，寻找函数值随着自变量的变化而变化的规律.从而确定出该函数的类型．28. 在同一坐标系中，函数y =2−x 与y =−log 2x 的图象都正确的是( )【答案】C)x，所以函数单调递减，排除B，D．【解析】解：因为y=2−x=(12y=−log2x与y=log2x的图象关于x轴对称.排除A．故选：C．)x，函数为减函数，y=−log2x与y=log2x的图象关于x轴对称．函数y=2−x=(12本题主要考查指数函数和对数函数的图象，利用函数图象之间的对称关系去判断即可．29.已知函数f(x)，g(x)分别由如表给出则不等式f[g(x)]>g[f(x)]的解集为()A. {3}B. {2}C. {2,3}D. {1,2}【答案】B【解析】解：由题意知，当x=1时，f(x)=1，g(x)=3，f[g(x)]=f(3)=1，g[f(x)]=g(1)=3，不满足f[g(x)]>g[f(x)]．当x=2时，f(x)=3，g(x)=2，f[g(x)]=f(2)=3，g[f(x)]=g(3)=1，满足f[g(x)]>g[f(x)]．当x=3时，f(x)=1，g(x)=1，f[g(x)]=f(1)=1，g[f(x)]=g(1)=3，不满足f[g(x)]>g[f(x)]．综上，当x=2时，满足f[g(x)]>g[f(x)]．故选：B．根据题意，分别分析当x=1，2，3时，求出f(x)、g(x)的值，进而得到f[g(x)]和g[f(x)]的值，检验是否满足f[g(x)]>g[f(x)]，综合即可得答案．本题考查其他不等式的解法，涉及函数的定义，属于基础题．30.已知a=20180.2，b=0.22018，c=log20180.2，则()A. c>b>aB. b>a>cC. a>b>cD. a>c>b【答案】C【解析】解：∵a =20180.2>20180=1，0<b =0.22018<0.20=1，c =log 20180.2<log 20181=0， ∴a >b >c ． 故选：C ．由基本初等函数的性质判断可知a >1，0<b <1，c <0，则答案可求． 本题考查对数值的大小比较，考查了基本初等函数的性质，是基础题．31. 设α是第三象限角，化简：cosα⋅√1+tan 2α=( )A. 1B. 0C. −1D. 2【答案】C【解析】解：∵α是第三象限角，可得：cosα<0， ∴cosα⋅√1+tan 2α=−√cos 2α+cos 2αtan 2α， ∵cos 2α+cos 2αtan 2α=cos 2α+cos 2α⋅sin 2αcos 2α=cos 2α+sin 2α=1．∴cosα⋅√1+tan 2α=−1． 故选：C ．原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用同角三角函数间基本关系化简，结合角的范围即可得到结果． 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．32. 若实数x ，y 满足|x −1|−ln 1y =0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )【答案】B【解析】解：∵|x −1|−ln 1y =0，∴f(x)=(1e)|x−1|其定义域为R ，当x ≥1时，f(x)=(1e )x−1，因为0<1e−1<1，故为减函数， 又因为f(x)的图象关于x =1轴对称， 对照选项，只有B 正确． 故选：B ．先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．33. 若函数y =f(x)图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A,B]是函数y =f(x)的一对“和谐点对”(注：点对[A,B]与[B,A]可看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)={−x 2+4x,x ≥0e x ,x<0，则此函数的“和谐点对”有( )A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】B【解析】解：由题意知函数f(x)=x 2−4x ，x >0关于y 轴对称的函数为y =x 2+4x ，x <0， 作出y =e x ，x <0，和y =x 2+4x ，x <0的图象，可知，两个图象只有一个交点． 所以函数f(x)的“和谐点对”只有一对． 故选：B ．等价于求y =e x ，x <0与y =x 2+4x ，x <0的图象的交点个数． 本题考查了函数与方程的综合运用.属中档题．34. 若函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值为( ) A. [43,3]B. [43,2]C. [43,2)D. [43,+∞)【答案】C【解析】解：先保证对数有意义−x 2+4x +5>0，解得−1<x <5， 又可得二次函数y =−x 2+4x +5的对称轴为x =−42×(−1)=2，由复合函数单调性可得函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)的单调递增区间为(2,5)， 要使函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增， 只需{3m −2≥2m +2≤53m −2<m +2，解关于m 的不等式组得43≤m <2，故选：C ．由对数函数和二次函数的性质易得函数的单调递增区间，只需让(3m −2,m +2)是其子区间即可，由此可得m 的不等式组，解不等式组可得．本题考查对数函数的性质，涉及复合函数的单调性和不等式组的解法，属基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35. 已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点P(m,12)，则tanα=______． 【答案】−√33【解析】解：∵第二象限的角α的终边与单位圆的交点P(m,12)，则{m <0m 2+(12)2=1，∴m =−√32，∴tanα=12m=12m=−√33， 故答案为：−√33．由题意利用单位圆的定义求得m 的值，再利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值． 本题主要考查单位圆的定义，任意角的三角函数的定义，属于基础题．36. 已知函数f(x)=(2m 2+m)x m 是定义在[0,+∞)上的幂函数，则f(4x +5)≥f(x)的解集为______． 【答案】{x|x ≥0}【解析】解：∵函数f(x)=(2m 2+m)x m 是定义在[0,+∞)上的幂函数，∴{m >02m2+m=1，解得m =12， ∴f(x)=x 12， ∵f(4x +5)≥f(x)， ∴√4x +5≥√x ， 解得x ≥0．∴f(4x +5)≥f(x)的解集为{x|x ≥0}． 故答案为：{x|x ≥0}．由函数f(x)=(2m 2+m)x m 是定义在[0,+∞)上的幂函数，求出f(x)=x 12，由此能求出f(4x +5)≥f(x)的解集． 本题考查不等式的解集的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．37. 已知y =f(x)是奇函数，y =g(x)是偶函数，它们的定义域均为[−3,3]，且它们在x ∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)<0的解集是______．【答案】{x|−2<x <−1或0<x <1或2<x <3}【解析】解：∵f(x)是奇函数，∴由图象知，当0<x <2或−3≤x <−2时，f(x)>0， 当−2<x <0或2<x ≤3时，f(x)<0， ∵g(x)是偶函数，∴由图象知，当1<x <3或−3<x <−1时，g(x)>0， 当−1<x <0或0<x <1时，g(x)<0， 则不等式f(x)g(x)<0等价为{g(x)<0f(x)>0或{g(x)>0f(x)<0，即{−1<x <0或0<x <10<x<2或−3≤x<−2或{1<x <3或−3<x <−1−2<x<0或2<x≤3， 得0<x <1或2<x <3或−2<x <−1，即不等式的解集为{x|0<x <1或2<x <3或−2<x <−1}， 故答案为：{x|0<x <1或2<x <3或−2<x <−1} 根据函数奇偶性性质，结合对称性进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性与对称性之间的关系，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键．38. 给出以下四个结论：①若函数f(2x )的定义域为[1,2]，则函数f(x2)的定义域是[4,8]；②函数f(x)=log a (2x −1)−1(其中a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)； ③当α=0时，幂函数y =x α的图象是一条直线； ④若log a 12>1，则a 的取值范围是(12,1)；⑤若函数f(x)=lg(x 2−2ax +1+a 2)在区间(−∞,1]上单调递减，则a 的取值范围是[1,+∞)． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④⑤【解析】解：对于①，函数f(2x )的定义域为[1,2]， 则x ∈[1,2]时，2≤2x ≤4， ∴f(x)的定义域为[2,4]； 令2≤x2≤4，解得4≤x ≤8， ∴函数f(x 2)的定义域是[4,8]，①正确； 对于②，令2x −1=1，得x =1， ∴f(1)=log a 1−1=−1，∴函数f(x)的图象过定点(1,−1)，②错误； 对于③，当α=0时，函数y =x α=1(x ≠0)， 其图象是一条直线，去掉(0,0)点，③错误； 对于④，log a 12>1=log a a ，若a>1，则12>a，不满足题意；若0<a<1，则12<a，应满足12<a<1，∴a的取值范围是(12,1)，④正确；对于⑤，函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a2)在区间(−∞,1]上单调递减，则{12−2a+1+a2>0a≥1，解得a≥1，∴a的取值范围是[1,+∞)，⑤正确．综上，其中正确结论的序号是①④⑤．故答案为：①④⑤．①先求出函数f(x)的定义域，再求函数f(x2)的定义域；②根据对数函数恒过定点(1,0)，求得f(x)的图象所过的定点；③α=0时，函数y=xα的图象是一条直线，去掉(0,0)点；④求出log a12>1时a的取值范围；⑤根据复合函数的图象与性质，判断即可．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.已知集合A={a,a−1}，B={2,y}，C={x|1<x−1<4}．(1)若A=B，求y的值；(2)若A⊆C，求a的取值范围．【答案】解：(1)若a=2，则A={1,2}，∴y=1．若a−1=2，则a=3，A={2,3}，∴y=3．综上，y的值为1或3．(2)∵C={x|1<x−1<4}={x|2<x<5}，集合A={a,a−1}，A⊆C，∴{2<a−1<52<a<5 , 解得3<a<5．∴a的取值范围是(3,5)．【解析】(1)若a=2，则A={1,2}，若a−1=2，则a=3，A={2,3}，由此能求出y的值．(2)由C={x|1<x−1<4}={x|2<x<5}，集合A={a,a−1}，A⊆C，列出不等式组能求出a的取值范围．本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查集合相等、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．40.(1)(0.25)−0.5+(127)−13−6250.25．(2)设2x=3y=5z=30，求1x +1y+1z的值．【答案】解：(1)(0.25)−0.5+(127)−13−6250.25=412+2713−62514=2+3−5=0；(2)∵2x=3y=5z=30，∴x=log230，y=log330，z=log530，1 x +1y+1z=log302+log303+log305=log3030=1．【解析】(1)直接利用指数的运算性质即可求解；(2)利用指数与对数的互化公式及对数的换底公式可求．本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用是，属于基础试题．41.设函数f(x)={log4x,x≥12−x,x<1．(1)求f(0)，f(2)，f(f(3))的值；(2)求不等式f(x)≤2的解集．【答案】解：(1)f(0)=2−0=1，f(2)=log42=12，f(3)=log43=log2√3f(log2√3)=√33，∴f(f(3))=√3 3(2)当x<1时，f(x)≤2⇔2−x≤2，{−x≤1x<1，解得：−1≤x<1；当x≥1时，f(x)≤2⇔log4x≤2，{0≤x≤16x≥1，解得：1≤x≤16；综上，不等式的解集为[−1,16]．【解析】(1)代值计算即可，(2)根据分段函数的解析式解不等式即可．本题考查了分段函数，以及不等式的解法，属于基础题．42.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v=klog3Q100+b，其中k，b为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5m/s时，其耗氧量为2700个单位．(Ⅰ)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；(Ⅱ)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位？【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{0=k ⋅log 3100100+b1.5=k ⋅log 32700100+b， 解得k =12，b =0，∴游速v 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式v =12log 3Q100，(Ⅱ)由题意，有12log 3Q100≤2.5，即log 3Q100≤5， ∴log 3Q 100≤log 335，由对数函数的单调性，有0<Q100≤35，解得0<Q ≤24300， 故当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s 时，其耗氧量至多需要24300个单位 【解析】(Ⅰ)根据待定系数法代值计算即可， (Ⅱ)由题意，有12log 3Q100≤2.5，解得即可．本题考查函数的解析式的求法和应用，考查运算能力，属于基础题．43. 已知函数f(x)=a −2x 2x +1是定义域为R 的奇函数．(1)求实数a 的值并判断函数f(x)的单调性；(2)当x ∈[3,9]时，不等式f(log 32x)+f(2−mlog 3x)≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)解法一：∵函数是定义域为R 的奇函数， ∴f(0)=a −2020+1=0，解得a =12．经检验，当a =12时，函数f(x)为奇函数，即所求实数a 的值为12． ∵f′(x)=0−2x ln2⋅(2x +1)−2x ⋅2x ln2(2x +1)2=−2x ln2(2x +1)2，在R 上恒成立，所以f(x)是R 上的减函数．解法二：∵函数是定义域为R 的奇函数， ∴f(0)=a −2020+1=0，解得a =12．经检验，当a =12时，函数f(x)为奇函数，即所求实数a 的值为12． 设∀x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=12−2x 12x 1+1−(12−2x 22x 2+1)=2x 2(2x 1+1)−2x 1(2x 2+1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)(2x 2+1)>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x)是R 上的减函数．(2)由f(log 32x)+f(2−mlog 3x)≥0，可得f(log 32x)≥−f(2−mlog 3x)．∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(log 32x)≥f(mlog 3x −2)， 又f(x)是R 上的减函数，所以log 32x −mlog 3x +2≤0对x ∈[3,9]恒成立， 令t =log 3x ，∵x ∈[3,9]，∴t ∈[1,2]， ∴t 2−mt +2≤0对t ∈[1,2]恒成立， 令g(t)=t 2−mt +2，t ∈[1,2]， ∴{g(2)=6−2m ≤0g(1)=3−m≤0，解得m ≥3， 所以实数m 的取值范围为[3,+∞)．【解析】(1)法一，根据函数的奇偶性求出a 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；法二：根据函数的单调性的定义证明即可；(2)根据函数的单调性得到log 32x −mlog 3x +2≤0对x ∈[3,9]恒成立，令t =log 3x ，问题转化为t 2−mt +2≤0对t ∈[1,2]恒成立，令g(t)=t 2−mt +2，t ∈[1,2]，根据函数的单调性求出m 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及解不等式问题，考查转化思想，是一道综合题．44. 已知A ，B ，C 是函数f(x)=e x 图象上的三点，它们的横坐标依次为t ，t +2，t +4，其中e =2.71828…为自然对数的底数．(1)求△ABC 面积S 关于t 的函数关系式S =g(t)；(2)用单调性的定义证明函数F(t)=g(t)+g(−t)在[0,+∞)上是增函数． (3)若F(2a)<F(a +1)，求a 的取值范围．【答案】解：(1)根据题意，A ，B ，C 是函数f(x)=e x 图象上的三点，它们的横坐标依次为t ，t +2，t +4， 则A(t,e t )，B(t +2,e t+2)，C(t +4,e t+4). 直线AC 的方程为：y −e t =e t+4−e t4(x −t)，令x =t +2，则y =e t+4+e t2．则S △ABC =12×e t+4+e t −2e t+22×4=(e 2−1)2e t ，则g(t)=(e 2−1)2e t ，(2)由(1)的结论，g(t)=(e 2−1)2e t ，则F(t)=g(t)+g(−t)=(e 2−1)2(e t +e −t )， 设t 1>t 2>0，F(t 1)−F(t 2)=(e 2−1)2[(e t 1+e−t 1)−(e t 2+e−t 2)]=(e 2−1)2(e t 1−e t 2)(e t 1+t 2−1e t 1+t 2)；又由t 1>t 2>0，则t 1+t 2>0， 则e t 1−e t 2>0，e t 1+t 2>1， 则F(t 1)−F(t 2)>0，则函数F(t)=g(t)+g(−t)在[0,+∞)上是增函数；(3)由(2)的结论，F(t)=g(t)+g(−t)在[0,+∞)上是增函数， 若F(2a)<F(a +1)， 则有0<2a <a +1，解可得：0<a<1；即a的取值范围为(0,1)．【解析】(1)根据题意，求出A、B、C的坐标，求出直线AC的方程，令x=t+2，求出直线上点的纵坐标，由三角形面积公式计算可得答案；(2)根据题意，由作差法分析可得答案；(3)由(2)的结论，分析可得若F(2a)<F(a+1)，则有0<2a<a+1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．。

2.
A. ������(������) = ������
【答案】D
−1
B. ������(������) = 2
������
C. ������(������) = ������������������2������
D. ������(������) = ������������������23
������
������ 对于 D、������(������) = ������������������23 = (������������������23)������，为正比例函数，在其定义域上单调递增，且为奇函数，符合题意；
故选：D． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性． 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
【答案】D
2
D. ������ = ������������������−2与
������ = ������������100
2 【解析】解：对于 A，������ = ������−1(������ ∈ ������)，与������ = (������−1) = |������−1|(������ ∈ ������)的对应关系不同，不是同一函数；
由基本初等函数的性质判断可知������ > 1，0 < ������ < 1，������ < 0，则答案可求． 本题考查对数值的大小比较，考查了基本初等函数的性质，是基础题．
9.
2 设������是第三象限角，化简：������������������������ ⋅ 1 + ������������������ ������ = ( )