《二圆的内接四边形的性质与判定定理》教案教学目标(一)知识目标(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．(二)能力目标(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．(三)情感目标(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．教学重、难点重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．教学过程(一)基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形A BCD的外接圆．(二)创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)1、边的性质：(1)矩形：对边相等，对边平行．(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．(三)证明猜想教师引导学生证明．(参看思路)思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？(四)性质及应用定理1圆的内接四边形的对角互补.定理2圆内接四边形的一个外角等于它的内角的对角．经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.显然，圆O与点D有且只有三种关系：(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上.只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.老师引导学生完成证明.可得：圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法.推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.请同学们自己写出推论的证明.(五)例题解析例1如图2-9(课本第29页)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．例2如图2-10(课本第29页)，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆.(六)课堂小结回顾总结本课学习了哪些知识？。
第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。
二圆内接四边形的性质与判定定理图2－2－11．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．如图2－2－1：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.图2－2－2(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图2－2－2：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定定理及其推论(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】正确．根据圆内接四边形的对角互补可证．2．圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】 性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．图2－2－3如图2－2－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，在AB 上截取PA ＝AC ，以PC 为直径的圆分别交AB 、BC 、AC 于D 、E 、F.求证：PA PB ＝DADP.【思路探究】 先利用PC 是圆的直径，得到PF ∥BC ，再利用圆内接四边形的性质，得到DF ∥PC ，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】 连接DF 、PF. ∵PC 是直径， ∴PF ⊥AC. ∵BC ⊥AC ， ∴PF ∥BC ，∴PA PB ＝FA FC. ∵四边形PCFD 内接于⊙O ， ∴∠ADF ＝∠ACP ， ∵AP ＝AC ， ∴∠APC ＝∠ACP.∴∠ADF ＝∠APC.∴DF ∥PC ， ∴DA DP ＝FA FC ，∴PA PB ＝DA DP .1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等． 2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．如图2－2－4所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠AED，且与BC、AD 分别交于F、G.图2－2－4求证：∠CFG＝∠DGF.【证明】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线，则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF.又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.图2－2－5如图2－2－5所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．【思路探究】(1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．【自主解答】(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．1．解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的，本题(2)利用了圆内接四边形判定定理的推论来证明的．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．图2－2－6如图2－2－6，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．【证明】∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF是Rt△APC斜边上的中线，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C，∵E、F、D分别为AB、AC、BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E、D、P、F四点共圆.如图2－2－7，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图2－2－7(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．【思路探究】(1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解．(2)外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r，用r表示BC边上的高．【自主解答】(1)证明：如图，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB ＝75°.∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高．2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立．如图2－2－8所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.图2－2－8【证明】如图，连接BD，∵AB ∥CD ，∴BD ＝AC. ∵A 、B 、D 、F 四点共圆， ∴∠EBD ＝∠F. 又∵∠DEB ＝∠FEA ， ∴△EBD ∽△EFA. ∴DE AE ＝BD AF .∴DE AE ＝AC AF ， 即AE·AC＝AF·DE.(教材第30页习题2.2第3题)如图2－2－9，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 相交于E ，EG 平分∠E ，且与BC 、AD 分别相交于F 、G ，求证：∠CFG ＝∠DGF.图2－2－9(2018·广州调研)四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AB ＝40°，则∠D ＝__________.【【解析】 如图连接AC.∵AB ＝40°.BC 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝20°，∠BAC ＝90° ∴∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝70° ∴∠D ＝180°－∠B ＝110°.【答案】 110°1．四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 到E ，∠ADC ＝32°，则∠CBE 等于( ) A ．32° B ．58° C ．122° D．148°【解析】 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，∠CBE ＝32°.【答案】 A2．下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】①是圆内接四边形的性质定理2，正确．由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②不正确．圆内接四边形可以是梯形，③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形．④不正确．【答案】 B3．如图2－2－10，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连CE，DF，若∠C＝115°，则∠D＝________.图2－2－10【解析】如图，连接AB，∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°，∴∠D＝∠ABE＝65°.【答案】65°4．四边形ABCD内接于圆O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，则∠D＝________.【解析】∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－60°＝120°.【答案】120°一、选择题1．如图2－2－11，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )图2－2－11A．120°B．136°C．144°D．150°【解析】设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°.∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】 C2．如图2－2－12，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( )图2－2－12A．30° B．45°C．50° D．60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝12∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】 C图2－2－133．如图2－2－13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为( )A．4 B．3C．2 D．1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．【答案】 A图2－2－144．如图2－2－14，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A ．25 cmB ．15 cmC ．5 cm D.52cm【解析】 连接OA ，OB ，OD ， ∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD. ∵C ，D ，O ，A 四点共圆， ∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ， ∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ， 即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ， ∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm. 【答案】 C 二、填空题图2－2－155．如图2－2－15，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，则EF ＝________. 【解析】 如图，连接AE. ∵AB 为圆的直径， ∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°. ∵∠ACB ＝60°，∴∠CAE ＝30°，∴CE ＝12AC.∵∠C ＝∠C ，∠CFE ＝∠B ， ∴△CFE ∽△CBA. ∴EF AB ＝CE AC， ∵AB ＝4，CE ＝12AC ，∴EF ＝2.【答案】 2图2－2－166．如图2－2－16，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．【解析】 由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，∴PC PA ＝PB PD ＝BCAD .又PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴PB PA ×PC PD ＝12×13. ∴PC PA ×PB PD ＝16，∴BC AD ×BC AD ＝16. ∴BC AD ＝66. 【答案】66三、解答题7．如图2－2－17，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作AE ∥BD 交CB 的延长线于点E.图2－2－17求证：AB·AD＝BE·CD. 【证明】 如图，连接AC. ∵AE ∥BD ，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠4是圆内接四边形ABCD 的一个外角，∴∠4＝∠ADC.∴△ABE ∽△CDA ，∴AB CD ＝BE AD， ∴AB·AD＝BE·CD.8．如图2－2－18，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．图2－2－18【解】 (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn ＝AE·AC，即AD AC ＝AE AB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB.因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC. 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.9．如图2－2－19，已知P 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，通过P 作正方形的边的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.你能判断出E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．图2－2－19【解】 猜想：E 、F 、G 、H 四个点在以O 为圆心的圆上．证明如下：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH.在△OBE 、△OBF 、△OCG 、△OAH 中，OB ＝OC ＝OA.∵PEBF 为正方形，∴BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∠OBE ＝∠OBF ＝∠OCG ＝∠OAH ＝45°.∴△OBE ≌△OBF ≌△OCG ≌△OAH.∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.由圆的定义可知：E 、F 、G 、H 在以O 为圆心的圆上．10.如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆；(2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．【解】 (1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，得，∠IEH ＝∠HAI ；在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠B ＋12∠A ＝12(∠B ＋∠A) ＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ； 所以∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.。
