专题14 解直角三角形一．选择题1．（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45︒，在点B 处测得树顶C 的仰角为60︒，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若16m AB =，则这棵树CD 的高度是（ ）A ．8(3B ．8(3C ．6(3D ．6(3+2．（2022·广西贵港）如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则cos BAC ∠的值是（ ）A B C D ．453．（2022·福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C ''' ，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A ．96B ．C ．192D ．4．（2022·广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC 是（）A．12sinα米B．12cosα米C．12sinα米D．12cosα米5．（2022·贵州毕节）如图，某地修建一座高5mBC=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为AB的长度为（ ）A．10m B．C．5m D．6．（2022·黑龙江牡丹江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )A．(600－米B．250)米C．(350＋米D．7．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）A ．()cos sin m αα-B ．()sin cos m αα-C ．()cos tan m αα-D ．sin cos m m αα-8．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（ ）A B C ．13D ．39．（2022·广西玉林）如图，从热气球A 看一栋楼底部C 的俯角是( )A ．BAD ∠B ．ACB ∠C ．BAC ∠D ．DAC∠10．（2022·辽宁）如图，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 分别交,AD BC 于点E ，F ，则AE 的长为（ ）A ．74B ．94C ．154D ．25411．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，27ABC ∠=︒，BC ＝44cm ，则高AD 约为（ ）（参考数据：sin 270.45︒≈，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．9.90cmB ．11.22cmC ．19.58cmD ．22.44cm12．（2022·湖北武汉）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O =60°，则tan ∠ABC =（ ）A ．13B ．12C D 二．填空题13．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=12=sin15︒的值为_______．14．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD 的面积是100，小正方形EFGH 的面积是4，那么tan ADF ∠=__．15．（2022·辽宁）如图，1A 为射线ON 上一点，1B 为射线OM 上一点，1111160,3,1B AO OA B A ∠=︒==．以11B A 为边在其右侧作菱形1111D C B A ，且1111160,B A D C D ∠=︒与射线OM 交于点2B ，得112C B B ；延长21B D 交射线ON 于点2A ，以22B A 为边在其右侧作菱形2222A B C D ，且2222260,B A D C D ∠=︒与射线OM 交于点3B ，得223C B B ；延长32B D 交射线ON 于点3A ，以33B A 为边在其右侧作菱形3333A B C D ，且3333360,B A D C D ∠=︒与射线OM 交于点4B ，得334C B B △；…，按此规律进行下去，则202220222023C B B △的面积___________．16.（2022·山东青岛）如图，已知,,16,,ABC AB AC BC AD BC ABC ==⊥∠△的平分线交AD 于点E ，且4DE =．将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）①8BD = ②点E 到AC 的距离为3 ③103=EM ④EM AC ∥17．（2022·广西桂林）如图，某雕塑MN 位于河段OA 上，游客P 在步道上由点O 出发沿OB 方向行走．已知∠AOB ＝30°，MN ＝2OM ＝40m ，当观景视角∠MPN 最大时，游客P 行走的距离OP 是_____米．18．（2022·贵州黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树AB ，距树12米处有一栋教学楼CD ，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D 处，测得点B 的仰角为45°，点A 的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①18.8AB ≈米；②8.4CD ≈米；③若直接从点A 处砍伐，树干倒向教学楼CD 方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD 造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，1.7≈ 1.4≈）三．解答题19．（2022·辽宁锦州）某数学小组要测量学校路灯P M N --的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从A 处测得路灯顶部P 的仰角α58α=︒从D 处测得路灯顶部P 的仰角β31β=︒测角仪到地面的距离1.6m AB DC ==两次测量时测角仪之间的水平距离2mBC =计算路灯顶部到地面的距离PE 约为多少米（结果精确到0.1米．参考数据；cos310.86,tan 310.60,cos580.53,tan58 1.60︒≈︒≈︒≈︒≈）20．（2022·山东临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计，某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：××× 组员：××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A 、C ，D ，B在同一条直线上，EF AB ⊥，点A ，C 分别与点B ，D关于直线EF 对称A ∠的大小28°AC 的长度84m 测量数据CD 的长度12m 请利用表中提供的信息，求主塔顶端E 到AB 的距离（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53︒≈）．21．（2022·山东聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B 点与古槐底D 点之间的地面H 点，竖直起飞到正上方45米E 点处时，测得塔AB 的顶端A 和古槐CD 的顶端C 的俯角分别为26.6°和76°（点B ，H ，D 三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B 与树底D 的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50︒≈，sin 760.97︒≈，cos 760.24︒≈，tan 76 4.01︒≈）22．（2022·内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长度（结果保留小数点1.7≈）.23．（2022·湖南）计算：0112cos 45( 3.14)1(2π-︒+-+-．24．（2022·湖南）阅读下列材料：在ABC 中，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，求证：sin sin a b A B=．证明：如图1，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则：在Rt BCD ∆中， CD =a sin B在Rt ACD ∆中，sin CD b A =sin sin a B b A ∴=∴sin sin a b A B=根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，求证：sin sin b c B C=；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知67A ∠=︒，53B ∠=︒，80AC =米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin530.8︒≈，sin670.9)︒≈25．（2022·黑龙江大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB ．飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45︒和30︒．若飞机离地面的高度CD 为1000m ，且点D ，A ，B 在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB （结果精确到1m 1.7321≈≈）26．（2022·湖南郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m ）27．（2022·海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P 处，测得楼CD 楼顶D 处的俯角为45︒，测得楼AB 楼顶A 处的俯角为60︒．已知楼AB 和楼CD 之间的距离BC 为100米，楼AB 的高度为10米，从楼AB 的A 处测得楼CD 的D 处的仰角为30︒（点A 、B 、C 、D 、P 在同一平面内）．(1)填空：APD ∠=___________度，ADC ∠=___________度；(2)求楼CD 的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面BC 的高度．28．（2022·辽宁）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C ，货轮航行到A 处时，测得码头C 在北偏东60°方向上．为了躲避A ，C 之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C ．求货轮从A 到B 航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．29．（2022·四川遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A 处测得塔楼顶端点E 的仰角50.2GAE ∠=︒，台阶AB 长26米，台阶坡面AB 的坡度5:12i =，然后在点B 处测得塔楼顶端点E 的仰角63.4EBF ∠=︒，则塔顶到地面的高度EF 约为多少米．（参考数据：tan 50.2 1.20︒≈，tan 63.4 2.00︒≈，sin 50.20.77︒≈，sin 63.40.89︒≈）30．（2022·四川广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7531．（2022·内蒙古呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB 的高度，某数学兴趣小组在D 处用测角仪测得雕像顶部A 的仰角为30︒，测得底部B 的俯角为10︒．已知测角仪CD 与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB 的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）32．（2022·贵州铜仁）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C 、D 两处实地测量，如图所示．在C 处测得桥墩顶部A 处的仰角为60︒和桥墩底部B 处的俯角为40︒，在D 处测得桥墩顶部A 处的仰角为30︒，测得C 、D 两点之间的距离为80m ，直线AB 、CD 在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB 的高度．（结果保留整数，参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 40 1.73︒≈︒≈︒≈≈）33．（2022·贵州遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60°，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30°，测得3AE =m ，8EF =m （A ，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：1.73≈）．34．（2022·山东烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB ＝0.75m ，斜坡AC 的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED ＝2.55m ．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.00535．（2022·湖北恩施）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A 处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m 到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB 1.41≈，≈，结果精确到1m）．1.7336．（2022·吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）37．（2022·山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin700.94cos700.34tan70 2.75 1.73,,）．︒≈︒≈︒≈≈38．（2022·河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC 方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与︒≈，拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin340.56︒≈，tan340.67︒≈）．cos340.8339．（2022·四川宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A 处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1 1.7≈ 1.4≈）40．（2022·湖南岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30 方向上，终点B位于点P AB=米，则点P到赛道AB的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：的北偏东60︒方向上，200≈）．1.73241．（2022·湖北荆州）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°，已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：︒≈，tan320.625︒≈）︒≈，cos320.848sin320.53042．（2022·广西贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B 处，测量人员用高为1.2m 的测角器在与烟囱底部B 成一直线的C ，D 两处地面上，分别测得烟囱顶部A 的仰角60,30B C A B D A ''''∠=︒∠=︒，同时量得CD 为60m ．问烟囱AB 的高度为多少米？（精确到0.1m 1.732≈≈）43．（2022·内蒙古包头）如图，AB 是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高1.5DH CG ==米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB 的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角ADE ∠为α，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角ACE ∠为45︒，已知7tan ,9AB BH α=⊥，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．44．（2022·湖北武汉）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，己知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测杆顶E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位） 1.732）45．（2022·江苏泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）46．（2022·山东威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A ，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M ．测得AB ＝50m ，∠MAB ＝22°，∠MBA ＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m ）．参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125．47．（2022·黑龙江绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）48．（2022·湖南长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB 表示该小区一段长为20m 的斜坡，坡角30BAD BD AD ∠=︒⊥，于点D ．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15︒．(1)求该斜坡的高度BD ；(2)求斜坡新起点C 与原起点A 之间的距离．（假设图中C ，A ，D 三点共线）49．（2022·广西梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB ．如图，在平面内，点B ，C ，D 在同一直线上，AB CB ⊥垂足为点B ，52ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，200m CD = ，求AB 的高度．（精确到1m ）（参考数据：sin520.79︒≈﹐cos520.62︒≈﹐tan 52 1.28︒≈ 1.73≈）50．（2022·湖北鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG =30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD ；(2)此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）51．（2022·四川广元）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．52．（2022·四川眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30 ，沿AD方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45︒，求此建筑物的高． 1.41≈）≈ 1.73。
第五讲解直角三角形一、【知识梳理】知识点 1、 解直角三角形定义： 由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。
知识点 2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=a b a bsinB=cosA=ctanA=cotB=cotA=tanB=cba2、直角三角形三边之间的关系 ： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系：AB 90 。
（两锐角互为余角）知识点3、解直角三角形的种类：能够概括为以下2 种，（1）、已知一边和一锐角解直角三角形；知识点 4、解直角三角形应用题的几个名词和素语1、方向角：（ 2）、已知两边解直角三角形。
在航海的某些问题中，描绘船的航向，或目标对观察点的地点，常用方向角.画方向角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观察点.2、仰角和俯角在利用测角仪察看目标时，视野在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视野在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在丈量距离、高度时，仰角和俯角常是不行缺乏的数据.3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（ 1）），则有 ih, 坡面和水平面的夹角叫作坡角.明显有： ih tan，l. l这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大二、【典型题例】考点 1、解直角三角形例 1．、 1、在 ABC 中，C 为直角， A 、B 、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ．（ 1）已知 b3 ， A30 ，求 a 和 c ．（ 2）已知 a20 ， b 20 ，求A ．2、如图，已知△ ABC 中∠ B=45 °，∠ C=30°， BC=10 ， AD 是 BC 边上的高，求 AD 的长3、已知，如图，△ABC 中，∠ A=30 °， AB=6 ， CD ⊥ AB 交C AAB 延伸线于 D ，∠ CBD=60 °。
贵州省遵义县第六中学九年级数学上学期基础知识专题四解直角三角形《基础知识专题四：解直角三角形》一、选择题1.（2012•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A． B． C． D．2．（2012•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（）A．4 B． C． D．3．（2012•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A． B． C．D． 14．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（ ）A ．24米B ．20米C ．16米D ．12米5．（2012•泰安）如右上图，为测量某物体AB的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ． 10米B ． 10米C ． 20米D ． 米6．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）A ．（6+）米 B ． 12米C ． （4﹣2）米D ．10米 二、填空题 7．（2012•武汉）tan60°= ．8．（2012•常州）若∠a=60°，则∠a 的余角为 30°，cosa 的值为 ．9．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．10．（2012•南京）如下图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ．若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm ．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin37°≈0.60，co s37°≈0.80，tan37°≈0.75）三、解答题11．（2012•巴中）如右上图一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CD,∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长CF．12．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，ta n54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）13．（2012•六盘水）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．14.（2011山东省潍坊市，题号20，分值10）20、(本题满分10分)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD =60°(1)求AB的长（精确到0.1米，参考数据：73.12=）；3=，41.1(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由.15.（2012四川内江，18，9分）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．16．（2012广东）如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tanα=，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，c os26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．17．（2012安顺）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE 、CD 的长度（精确到个位，≈1.7）．A BC D图9 E18．(2012•南通)（本小题满分8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．【备考真题过关】1．（2012•青海）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（） A． B． C． D．2．（2012•天津）2cos60°的值等于（）A．1 B． C．D．23．（2012•杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为si n36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54°4．（2012•广安）如下图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m5．（2012•福州）如右上图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ．200米 C ． 220米 D ． 100（）米填空题6．（2012•宁夏）在△ABC 中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．7.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是_______________ m.8.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.9．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．10．（2012•广西）如下图，为测量旗杆AB 的高度，在与B 距离为8米的C 处测得旗杆顶端A 的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）解答题11．（2012•铜仁地区）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= =，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．12．（2012•新疆）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）若跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（不写画法，保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）13．（2012•资阳）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P 到AD的距离（用含根号的式子表示）．14.（2012湖南娄底，20，7分）如图9，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30︒，在E处测得∠AFG=60︒，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果A保留两位有效数字，3≈1.732）.15．（2012•郴州）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）16.（2012湖南益阳，17，8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米／小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米／小时≈16.7米／秒）3 1.73217、(2012•常德)如图5，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。
中考复习之——解直角三角形1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角； 2。
探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3。
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A 、cos A 、tan A )；知道30、45、60角的三角函数值；4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角; 5。
能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题．三．知识回顾1．知识脉络2．基础知识(1)勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． （2）锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义如图7—1,在Rt △ABC 中，∠C =90，则sin A =A ∠的对边斜边=ac ,cos A =A ∠的邻边斜边=b c ，tan A =A A ∠∠的对边的邻边=ab．sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数． ②锐角三角函数的取值范围0<sin A 〈1，0〈cos A <1，tan A >0． ③各锐角三角函数间的关系斜边c∠A 的对边a∠A 的邻边图7-1 直角三角形边的关系：勾股定理边角关系：锐角三角函数解直角三角形角的关系：两个锐角互余锐角三角函数的应用sin A =cos (90−A)，cos A =sin (90−A）．④特殊角的三角函数值sin cos tan3012323345222216032123（3)解直角三角形①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边）,求所有未知的边和角。
