2012高考数学二轮复习函数导数专题练习题选

实用文档2012届高考数学考前回归基础训练题——导数一、解答题1、已知函数()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+(其中0a >) ,点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+. (Ⅰ) 证明: 函数()f x 在R 上是减函数；(Ⅱ) 求证：⊿ABC 是钝角三角形;(Ⅲ) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由．2、设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<<（1）求函数)(x f 的极大值；（2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．实用文档3、设21,x x 是函数)0(23)(223>-+=a x a x b x a x f 的两个极值点，且2||21=-x x . （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）求b 的最大值.4、设函数()ln 1f x x px（Ⅰ）求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n nn5、设函数()2ln q f x px x x =--，且()2p f e qe e=--，其中e 是自然对数的底数.实用文档（1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（3）设2()e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.6、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．实用文档7、已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

高考数学二轮复习导数及其应用多选题练习题及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x -+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.3．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．4．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.5．某同学对函数()sin e ex xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1xxx f x e e-=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e ex xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1xxx f x e e-=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.6．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a b b e e-<恒成立 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确 D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a b ab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.。

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《导数及其应用》专题训练一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2等于( ) A ．9 B ．－9 C ．1D ．－1解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则x 1·x 2＝1. 答案：C2．(2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.答案：C3．(2011·湖南高考)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x ，把x ＝π4代入得导数值为12. 答案：B4．(2011·浙江高考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )解析：若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x ，∴x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b2a＞0，且开口向下，∴a ＜0，b ＞0.∴f (－1)＝2a －b ＜0.也满足条件；选项D 中，对称轴x ＝－b2a＜－1，且开口向上，∴a ＞0，b ＞2a .∴f (－1)＝2a －b ＜0.与图矛盾，故答案选D. 答案：D5．(2011·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是( )A ．[94，＋∞)B ．(0，94]C ．[95，＋∞)D ．(0，95]解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1,0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1,0)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3≥0，b ≤0.∴a ，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离d ＝35.∴a 2＋b 2≥d 2＝95.∴a 2＋b 2的取值范围为[95，＋∞)．答案：C6．(2011·临沂模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )>0恒成立，若a ＝20.3f (20.3)，b ＝(log π2)f (log π2)，c ＝(log 214)f (log 214)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a >c >b解析：设g (x )＝xf (x )，由y ＝f (x )为R 上的奇函数，可知g (x )为R 上的偶函数． 而g ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )>0，故函数g (x )在(－∞，0)上单调递增，由偶函数的性质可知，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为a ＝g (20.3)，b ＝g (log π2)，c ＝g (log 214)＝g (－2)＝g (2)，且2>20.3>log π2>0，故c <a <b .答案：C 二、填空题7．(2011·陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1.答案：18．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有________个根．解析：设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )．当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数．又f (0)·f (2)＝1×(83－4a ＋1)＝113－4a <0，∴f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根． 答案：19．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值． 解析：从图像上可以看到：当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：① 三、解答题10．(2011·新课标全国卷)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1＋kx，求k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a (x ＋1x －ln x )(x ＋1)2－b x 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－(ln x x －1＋k x )＝11－x 2(2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x )．考虑函数h (x )＝2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x(x >0)，则h ′(x )＝(k －1)(x 2＋1)＋2x x2. (i)设k ≤0，由h ′(x )＝k (x 2＋1)－(x －1)2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，可得11－x2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－(ln x x －1＋kx)＞0， 即f (x )＞ln x x －1＋kx. (ii)设0＜k ＜1.由于当x ∈(1，11－k)时，(k －1)(x 2＋1)＋2x >0，故h ′(x )>0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，11－k )时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设矛盾．(iii)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．11．(2011·北京高考)已知函数f (x )＝(x －k )2e x k. (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1k(x 2－k 2)e xk .令f ′(x )＝0，得x ＝±k .当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：↘↗所以 ，f (x )的单调递增区间是(－∞，－k )和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k )． 当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：↘↗↘所以 ，f (x )的单调递减区间是(－∞，k )和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ，－k )． (2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝e1k k>1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e. 当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是 f (－k )＝4k2e.所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0)．12．(2011·陕西高考)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)是否存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈ (0,1)时，g ′(x )＜0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0， 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－(x －1)2x2. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )＜0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0，即g (x )＞g (1x)．当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，即g (x )＜g (1x)．(3)满足条件的x 0不存在． 证明如下：法一：假设存在x 0＞0，使|g (x )－g (x 0)|＜1x对任意x ＞0成立，即对任意x ＞0，有ln x ＜g (x 0)＜ln x ＋2x，(*)但对上述x 0，取x 1＝e0()g x 时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x 0＞0，使|g (x )－g (x 0)|＜1x对任意x ＞0成立．法二：假设存在x 0＞0，使|g (x )－g (x 0)|＜1x对任意的x ＞0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，又g (x )＝ln x ＋1x＞ln x ，而x ＞1时，ln x 的值域为(0，＋∞)，∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)． 从而可取一个x 1＞1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1.即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1＞1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0＞0，使|g (x )－g (x 0)|＜1x对任意x ＞0成立．。

2012年高考数学二轮复习专题卷：专题5 导数及其应用一、选择题1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(1)＝4a ＋2b ＝2， ∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2 要善于观察，故选B.2．(2011·江西文，4)曲线y ＝e x在点A (0,1)处得切线斜率为( ) A ．1 B. 2 C ．e D.1e[答案] A[解析] y ′＝(e x )′＝e x ，所以k ＝e 0＝1.3．(2011·重庆文，3)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x[答案] A[解析] y ′＝－3x 2＋6x 在(1,2)处的切线的斜率k ＝－3＋6＝3， ∴切线方程为y －2＝3(x －1)．即y ＝3x －1.4．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0得x ＝9，x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(0，＋∞)时，y ′<0，y 先增后减，∴x ＝9时函数取最大值，选C ，属导数法求最值问题．5．(文)(2011·湖南文，7)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22[答案] B[解析] ∵y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x＝1x ＋cos x2，∴y ′|x ＝π4＝12.(理)(2011·湖南理，6)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3[答案] D[解析] S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.6．(2011·山东淄博)若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )>bf (b )B ．af (a )<bf (b )C ．af (b )<bf (a )D ．af (b )>bf (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )， 由xf ′(x )>－f (x )，得：xf ′(x )＋f (x )>0，即F ′(x )>0， 所以F (x )在R 上为递增函数． 因为a >b ，所以af (a )>bf (b )．故选A.7．(2011·江苏盐城)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－1<a <1C ．0<a <12D ．0<a <1[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a.则a∈(0,1)，∴0<a<1，故选D.8．(文)(2011·浙江文，10)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是( )[答案] D[解析]由F(x)＝f(x)·e x得，F′(x)＝f′(x)e x＋f(x)·(e x)′＝e x[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]∵x＝－1是F(x)的极值点，∴F′(－1)＝0，得c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a∴f′(x)＝2ax＋b∴f′(－1)＝－2a＋b，f(－1)＝2a－b由f′(－1)＝0，则b＝2a，f(－1)＝0，b＝2a，故A，B选项可能成立；由f′(－1)>0，∴－2a＋b>0，∴f(－1)<0，故C选项也成立；所以，答案选D.(理)(2011·湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克[答案] D[解析]M′(t)＝－M030ln2·2－t30，∴M′(30)＝－M060ln2＝－10l n2，∴M0＝600，∴M(t)＝600·2－t30，∴M(60)＝600·2－2＝150.二、填空题9．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.[答案] ln2－1[解析] (ln x )′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，∴切点(2，ln2)代入切线方程，得b ＝ln2－1.10．(2011·山东烟台)曲线y ＝2x 4上的点到直线y ＝－x －1的距离的最小值为________．[答案]5162 [解析] 设直线l 平行于直线y ＝－x －1，且与曲线y ＝2x 4相切于点P (x 0，y 0)，则所求最小值d 即为点P 到直线y ＝－x －1的距离，对于y ＝2x 4，y ′＝8x 3，则y ′|x ＝x 0＝8x 30＝－1. ∴x 0＝－12，y 0＝18，∴d ＝|－12＋18＋1|2＝516 2.11．(苏北四市联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，xfx －f x x2>0(x >0)，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) [解析] 设F (x )＝f xx，则当x >0时， F ′(x )＝xfx －f xx >0，∴F (x )在(0，＋∞)上为增函数，且F (1)＝f (1)＝0. ∴当x >1时，F (x )>0，则有f (x )>0， 当0<x <1时，F (x )<0，则有f (x )<0. 又∵f (x )是R 上的奇函数， ∴当－1<x <0时有f (x )>0， 当x <－1时有f (x )<0.∴x 2f (x )>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．12．(文)(2011·银川二模)已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. [答案] 3[解析] 由题可知f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝k ＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝3.(理)(2011·浙江五校联考)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝2x －9，且f (0)的值为整数，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )所有可能取的整数值有且只有1个，则n ＝________.[答案] 4[解析] 由题可设f (x )＝x 2－9x ＋c (c ∈R )，又f (0)的值为整数即c 为整数，∴f (n )＝n 2－9n ＋c 为整数，f (n ＋1)＝(n ＋1)2－9(n ＋1)＋c ＝n 2－7n ＋c －8为整数，又x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )所有可能取的整数值有且只有1个，∴n 2－7n ＋c －8＝n 2－9n ＋c ，即n ＝4.三、解答题 13．已知曲线y ＝x 3.(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程； (3)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程．[解析] (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝f ′(x )＝3x 2，且点(1,1)在曲线上， ∴f ′(1)＝3×12＝3，即所求切线的斜率k ＝3. ∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. (2)∵曲线y ＝x 3，∴y ′＝f ′(x )＝3x 2. 显然点(1,0)不在曲线y ＝x 3上 ， 设切点坐标为(x 0，x 30)，∴所求直线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20故所求直线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 又因为该直线过点(1,0)，代入得， 0－x 30＝3x 20(1－x 0)，∴x 20(2x 0－3)＝0，∴x 0＝0，或x 0＝32.当x 0＝0时，k ＝3x 20＝0， 此时所求直线方程为y ＝0； 当x 0＝32时，k ＝3x 20＝274，此时所求直线方程为y ＝274(x －1)，即27x －4y －27＝0.∴所求直线方程为y ＝0，或27x －4y －27＝0. (3)由(2)知，所求直线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 又直线过点(1,1)，∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)，整理得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1，或x 0＝－12.当x 0＝1时，k ＝3，此时所求直线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0； 当x 0＝－12时，k ＝34，此时所求直线方程为y －1＝34(x －1)，即3x －4y ＋1＝0.∴所求直线的方程为3x －y －2＝0，或3x －4y ＋1＝0.14．(文)(2011·重庆文，19)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图像关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．[解析] (1)∵f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1 ∴f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b 由题意知－2a 2×6＝－12，∴a ＝3.又f ′(1)＝0，∴6×12＋2a ＋b ＝0， ∴6＋6＋b ＝0，∴b ＝－12. ∴a ＝3，b ＝－12.(2)由(1)知a ＝3，b ＝－12.∴f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x 2＋x －2)＝6(x ＋2)(x －1) 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝1.f ′(x )、f (x )随x 变化如下表(x )取得极大值，在x (理)(2011·重庆理，18)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．[解析] (1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 15．(2011·江苏，17)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 2＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。