四川省成都市第七中学2019-2020学年高一上学期期末热身考试数学试题 Word版含解析

2019-2020学年四川省成都市第七中学高一上学期期末热身考试数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，向量()()2,1,1,3a b =-=r r ，则2a b +=r r（ ）A ．()3,2B ．()5,1C ．()4,5D ．()3,5-【答案】B【解析】利用向量的坐标运算计算即可． 【详解】解：()()2,1,1,3a b =-=r rQ ， ()()()222,115,1,3a b +∴+-==r r，故选：B ． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，是基础题．2．英国浪漫主义诗人Shelley (雪莱)在《西风颂》结尾写道“ , ?If Winter comes can Spring be far behind ”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（ ）A ．4π B ．3π C ．3π-D ．4π-【答案】A【解析】找到每一等份的度数，进而可得答案． 【详解】解：由题可得每一等份为22412ππ=， 从冬至到次年立春经历了3等份，即3124ππ⨯=.故答案为：A. 【点睛】本题考查角的运算，是基础题.3．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,U =集合{}{}3,4,5,6,5,6,7,8A B ==，则()U A B =I ð（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}5,6D ．{}7,8【答案】D【解析】利用补集的定义求出U A ð，再利用两个集合的交集的定义求出()U A B I ð． 【详解】解：{}1,2,7,8U A =ð， {}{}{}()1,2,7,85,6,7,8,87U A B ==I I ð． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出U A ð是解题的关键．4．设e 为自然对数的底数，函数()ln 3f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,eD ．(),3e【答案】C【解析】由()f x 在0x >递增，计算各区间端点的符号，结合零点存在定理，即可得到所求区间． 【详解】解：函数()ln 3f x x x =+-在0x >递增，且()()()1ln133,2ln 23l 0,12n 210f f f =+-=-=+-=→--<∞， ()() ln 320,3ln3303f e e e f e =+-=->=+->可得()f x 在()2,e 存在零点． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的零点所在区间，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题． 5．已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】将条件分子分母同除以cos α，可得关于tan α的式子，代入计算即可． 【详解】 解：由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是基础题．6．已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】先令4315x +=，求出x ，再代入原函数，可求得实数a 的值. 【详解】解：令4315x +=，得3x =， 则212315a x =-=⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查根据函数解析式球函数自变量，是基础题．7．已知[],,αππ∈-若点()sin cos ,tan P ααα+在第四象限，则α的取值范围是（ ）A ．3,0,424πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3,,2424ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．3,,244ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】根据条件可得sin cos 0,tan 0ααα+><，解出α的取值范围． 【详解】解：由已知得tan 0α<，得,0,22ππαπ⎛⎫∈-⎪⎛⎫⎪⎝⎝⎭⎭U 又sin cos 0αα+>，即sin cos αα>- 当,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，cos 0,tan 1αα>>-，解得,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0,tan 1αα<<-，解得3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 综合得3,0,424πππα⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由三角不等式求角的范围，是基础题．8．设0a >且1,a ≠则函数x y a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据两个图像得,a b 的范围，看能否统一即可. 【详解】解：对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误；对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，xy a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；对D ，y b ax =-中的1b <-，xy a b =+中的10b -<<，不能统一，错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数图像的识别，考查一次函数和指数函数的性质，是基础题. 9．下列关于函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，其中正确的有（ ） ①若()()f f αβ=，则k βαπ=+(其中k Z ∈)； ②函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1；③函数()y f x =的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称； ④将cos 2y x =的图象向右平移512π个单位后得到()y f x =的图象. A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】①由已知得sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11222,33k k Z ππβαπ-=-+∈或22222,33k k Z ππαβππ-+-=+∈，化简计算即可；②求出23x π-的范围，进而可得()f x 的最值； ③代入12x π=验证计算即可；④将cos 2y x =的图象向右平移512π个单位后化简整理. 【详解】解：①若()()f f αβ=，则sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则11222,33k k Z ππβαπ-=-+∈或22222,33k k Z ππαβππ-+-=+∈，即11,k k Z βαπ=+∈或225,6k k Z παβπ+=+∈，故①错误； ②当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()1f x ≤，故②正确； ③当12x π=时，1sin 20121232f πππ⎛⎫=⨯-=-≠ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，故③错误； ④将cos 2y x =的图象向右平移512π个单位后 得555sin sin 12662cos 2cos 2232y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-⎣-⎦-⎭-，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查函数图像的平移，是基础题.10．已知()f x 是奇函数，且当0x ≥时()2f x x x =-，则不等式()()10x f x +>的解集是（ ） A ．()0,1B ．()()1,00,1 -⋃C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01, -⋃+∞【答案】A【解析】由题意求出()f x 的解析式，然后分类讨论()100x f x +>⎧⎨>⎩或()100x f x +<⎧⎨<⎩，解不等式组即可． 【详解】解：当0x <时，()()()22f x f x x xx x=--=---=+，则()22,0,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩()()2101000x x f x x x x +>⎧⎪∴+>⇔->⎨⎪≥⎩或21000x x x x +<⎧⎪+<⎨⎪<⎩或2100x x x -<<⎧⎨+>⎩， 解得01x <<. 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，考查分类讨论解不等式，属于基础题．11．设0.30.20.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】B【解析】利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性，通过中间量来比较大小. 【详解】解：0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，0.300.20.21b =<=，0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>.b c a ∴<<.故选：B. 【点睛】本题考查对数式，指数式的大小比较，找中间量是关键，是基础题.12．已知0,ABC ω>∆的三个顶点是函数()4sin y x ωϕ=+和() 4cos y x ωϕ=+图象的交点，如果ABC ∆的周长最小值为16,则ω等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】将函数()4sin y x ωϕ=+和() 4cos y x ωϕ=+图象的交点问题转化为函数() 4sin y x ω=和() 4cos y x ω=的问题，要交点的周长最小，则必为相邻的交点，求出交点的横坐标和纵坐标，根据周长列方程求解即可。

四川省成都市第七中学2019-2020学年高一上学期期末热身考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在平面直角坐标系中，向量()()2,1,1,3a b =-=，则2a b +=（ ） A ．()3,2 B ．()5,1 C ．()4,5 D ．()3,5- 2．英国浪漫主义诗人Shelley (雪莱)在《西风颂》结尾写道“ , ?If Winter comes can Spring be far behind ”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（ ）A ．4πB ．3πC ．3π-D ．4π- 3．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,U =集合{}{}3,4,5,6,5,6,7,8A B ==，则()U A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．5,6D ．{}7,8 4．设e 为自然对数的底数，函数()ln 3f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,e D ．(),3e 5．已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）6．已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．已知[],,αππ∈-若点()sin cos ,tan P ααα+在第四象限，则α的取值范围是（ ） A ．3,0,424πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．3,,2424ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,244ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．设0a >且1,a ≠则函数x y a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列关于函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的叙述中，其中正确的有（ ） ①若()()f f αβ=，则k βαπ=+(其中k Z ∈)；②函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1； ③函数()y f x =的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称； ④将cos 2y x =的图象向右平移512π个单位后得到()y f x =的图象. A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④ 10．已知()f x 是奇函数，且当0x ≥时()2f x x x =-，则不等式()()10x f x +>的解集是（ ）A ．()0,1B ．()()1,00,1 -⋃C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01, -⋃+∞11．设0.30.20.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<12．已知0,ABC ω>∆的三个顶点是函数()4sin y x ωϕ=+和() 4cos y x ωϕ=+图象的交点，如果ABC ∆的周长最小值为16,则ω等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 13．已知12,1,,1,2,3,2α⎧⎫⎨-⎩-⎬⎭∈若幂函数()a f x x =的图象关于 y 轴对称，且在区间()0,∞+内单调递减，则α=__________．14．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点(),4P x ，且3cos 5α=-，则tan __________．15．早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，就提出了宛田(扇形面积)的计算方法:“以径乘周，四而一.” (直径与弧长乘积的四分之一).已知扇形 AOB 的弧长为2,π面积为6,π设OA OB AB λ+=，则实数λ等于__________．16．已知a ∈R ，函数()22,1,1a ax x f x x ax x ⎧-<=⎨-≥⎩.①若()1f f a ⎡⎤⎣=⎦，则a 之值为___________；②若不等式()()1f x f ≥对任意x ∈R 都成立，则a 的取值范围是___________17．已知323,18.a b log ==（1）求()2a b -的值；（2）求214b a -+⨯的值.18．在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，2CN ND =.（1）设,,AB a AD b ==用,a b 表示AM 和AN ；（2）求实数λ的值，使得AM AN λ-与BD 共线.19．已知函数()()sin f x A x B ωϕ=++(其中0,0,A ωπϕ>><)的部分图象如图.（1）根据图象，求()f x 的解析式； （2）求函数()2log y f x =的单调递减区间. 20．提升城市道路通行能力，可为市民提供更多出行便利.我校某研究性学习小组对成都市一中心路段(限行速度为60千米/小时)的拥堵情况进行调查统计，通过数据分析发现：该路段的车流速度v (辆/千米)与车流密度 x (千米/小时)之间存在如下关系:如果车流密度不超过30,该路段畅通无阻(车流速度为限行速度)；当车流密度在[]30,180时，车流速度是车流密度的一次函数；车流密度一旦达到180,该路段交通完全瘫痪(车流速度为零).（1）求v 关于x 的函数();v x （2）已知车流量(单位时间内通过的车辆数)等于车流密度与车流速度的乘积，求此路段车流量的最大值.21．已知集合1122x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}230|B x x ax =-+<.（1）当 4a =时，求A B ；（2）若,A B A ⋃=求实数a 的取值范围. 22．设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数()()2xf xg x +=，且其中x ∈R . （1）求()f x 和()g x 的表达式，并求函数()()y f x g x =÷的值域（2）若关于x 的方程()()23f x g x λ+⎡⎤⎣⎦=⋅在区间()1,1-内恰有两个不等实根，求常数 λ的取值范围参考答案1．B【解析】【分析】利用向量的坐标运算计算即可．【详解】解：()()2,1,1,3a b =-=，()()()222,115,1,3a b +∴+-==，故选：B ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，是基础题．2．A【解析】【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．【详解】 解：由题可得每一等份为22412ππ=， 从冬至到次年立春经历了3等份，即3124ππ⨯=. 故答案为：A.【点睛】本题考查角的运算，是基础题.3．D【解析】【分析】利用补集的定义求出U A ，再利用两个集合的交集的定义求出()U A B ． 【详解】解：{}1,2,7,8U A =，{}{}{}()1,2,7,85,6,7,8,87U A B ==．故选：D ．【点睛】 本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出U A 是解题的关键．4．C【解析】【分析】 由()f x 在0x >递增，计算各区间端点的符号，结合零点存在定理，即可得到所求区间．【详解】解：函数()ln 3f x x x =+-在0x >递增， 且()()()1ln133,2ln 23l 0,12n 210f f f =+-=-=+-=→--<∞， ()() ln 320,3ln3303f e e e f e =+-=->=+->可得()f x 在()2,e 存在零点．故选：C ．【点睛】本题考查函数的零点所在区间，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题． 5．B【解析】【分析】将条件分子分母同除以cos α，可得关于tan α的式子，代入计算即可．【详解】 解：由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---． 故选：B ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是6．D【解析】【分析】先令4315x +=，求出x ，再代入原函数，可求得实数a 的值.【详解】解：令4315x +=，得3x =，则212315a x =-=⨯-=．故选：D ．【点睛】本题考查根据函数解析式球函数自变量，是基础题．7．A【解析】【分析】根据条件可得sin cos 0,tan 0ααα+><，解出α的取值范围．【详解】解：由已知得tan 0α<，得,0,22ππαπ⎛⎫∈- ⎪⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭又sin cos 0αα+>，即sin cos αα>-当,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos 0,tan 1αα>>-，解得,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,tan 1αα<<-，解得3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 综合得3,0,424πππα⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查由三角不等式求角的范围，是基础题．8．C【分析】根据两个图像得,a b 的范围，看能否统一即可.【详解】解：对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误； 对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，x y a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误； 对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确； 对D ，y b ax =-中的1b <-，x y a b =+中的10b -<<，不能统一，错误；故选：C.【点睛】本题考查函数图像的识别，考查一次函数和指数函数的性质，是基础题.9．C【解析】【分析】 ①由已知得sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11222,33k k Z ππβαπ-=-+∈或22222,33k k Z ππαβππ-+-=+∈，化简计算即可； ②求出23x π-的范围，进而可得()f x 的最值； ③代入12x π=验证计算即可； ④将cos 2y x =的图象向右平移512π个单位后化简整理. 【详解】 解：①若()()f f αβ=，则sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则11222,33k k Z ππβαπ-=-+∈或22222,33k k Z ππαβππ-+-=+∈，即11,k k Z βαπ=+∈或225,6k k Z παβπ+=+∈，故①错误； ②当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()1f x ≤，故②正确； ③当12x π=时，1sin 20121232f πππ⎛⎫=⨯-=-≠ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，故③错误； ④将cos 2y x =的图象向右平移512π个单位后 得555sin sin 12662cos 2cos 2232y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-⎣-⎦-⎭-，故④正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查函数图像的平移，是基础题. 10．A 【解析】 【分析】由题意求出()f x 的解析式，然后分类讨论()100x f x +>⎧⎨>⎩或()100x f x +<⎧⎨<⎩，解不等式组即可．【详解】解：当0x <时，()()()22f x f x x xx x=--=---=+，则()22,0,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ ()()2101000x x f x x x x +>⎧⎪∴+>⇔->⎨⎪≥⎩或21000x x x x +<⎧⎪+<⎨⎪<⎩或2100x x x -<<⎧⎨+>⎩， 解得01x <<. 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，考查分类讨论解不等式，属于基础题． 11．B【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性，通过中间量来比较大小. 【详解】解：0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，0.300.20.21b =<=，0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>.b c a ∴<<.故选：B. 【点睛】本题考查对数式，指数式的大小比较，找中间量是关键，是基础题. 12．D 【解析】 【分析】将函数()4sin y x ωϕ=+和() 4cos y x ωϕ=+图象的交点问题转化为函数() 4sin y x ω=和() 4cos y x ω=的问题，要交点的周长最小，则必为相邻的交点，求出交点的横坐标和纵坐标，根据周长列方程求解即可。

高一上期期末考试 数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{0,1,2}A =,{2,3}B =，则A B ⋃=（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1}D ．{2} 2. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．2log y x =B ．12y x = C ． 2x y -= D ．2y x -=3. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 124. 已知点A (0,1) , B (-2,1)，向量(1,0)e =，则AB 在e 方向上的投影为（ ） A ． 2 B ． 1 C. -1 D ．-25. 设α是第三象限角，化简:cos α= （ ） A ． 1 B ． 0 C. -1 D ． 26. 已知α为常数，幂函数()f x x α=满足1()23f =，则(3)f =（ ）A ． 2B ． 12 C. 12- D ． -2 7. 已知(sin )cos 4f x x =，则1()=2f （ ）A ．2 B ． 12 C. 12- D. -28. 要得到函数2log (21)y x =+的图象，只需将21log y x =+的图象（ ） A ．向左移动12个单位 B ．向右移动12个单位 C. 向左移动1个单位 D ．向右移动1个单位9. 向高为H 的水瓶(形状如图)中注水，注满为止，则水深h 与注水量v 的函数关系的大致图象是（ ）10. 已知函数12log ,1()13,1x x f x x x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若0[()]2f f x =-，则0x 的值为（ ） A ． -1 B ． 0 C. 1 D ．2 11. 已知函数21tan ()log 1tan x f x x -=+，若()12f a π+=，则()2f a π-= （ ）A ．1B ． 0 C. -1 D ．-212. 已知平面向量a ，b ，c 满足3a b ⋅=，2a b -=，且()()0a c b c -⋅-=，则c 的取值范围是（ ）A ．[0,2]B ．[1,3] C. [2,4] D ．[3,5]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上） 13. 设向量1e ,2e 不共线，若1212(2)//(4)e e e e λ-+，则实数λ的值为 ． 14. 函数2tan 2y x x x π=-的定义域是 ．15. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象(如图所示)，则()f x 的解析式为 ．16. 设e 为自然对数的底数，若函数2()(2)(2)1x x x f x e e a e a =-++⋅--存在三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设向量(,4)a x =, (7,1)b =-，已知a b a +=. (I)求实数x 的值;(II)求a 与b 的夹角的大小.已知sin 4cos 22sin cos αααα-=+.(I)求tan α的值;(II)若0πα-<<，求sin cos αα+的值.19. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 为BC 的中点，3AN NB =.(I)以CA ，CB 为基底表示AM 和CN ;(II)若1204ABC CB ∠=︒=，，且AM CN ⊥，求CA 的长20. （本小题满分12分）某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不超过10m )的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为8003m .已知底面造价为160元/2m ，侧面造价为100元/2m .(I)将蓄水池总造价()f x (单位:元)表示为底面边长x (单位: m )的函数; (II)运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价()f x 的最小值.已知函数()2sin()13f x x πω=-+，其中0ω>.(I)若对任意x R ∈都有5()()12f x f π≤，求ω的最小值; (II)若函数lg ()y f x =在区间[,]42ππ上单调递增，求ω的取值范围·22. （本小题满分10分）定义函数()4(1)2x xa f x a a =-+⋅+，其中x 为自变量，a 为常数.(I)若当[0,2]x ∈时，函数()a f x 的最小值为一1，求a 之值；(II)设全集U R =，集{}{}32|()(0),|()(2)(2)a a a A x f x f B x f x f x f =≥=+-=，且()U A B φ≠中，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ;;;;;A D B D C 6-10: ;;;;;B C A D A 11、12：;.C B 二、填空题13. -2 14. 0,;2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭15.2sin(2);6y x π=+ 16.()1,2 三、解答题 17.解：（Ⅰ）,(,+=∴22a b a a +b)=a 即0=22a b +b .······2分 代坐标入，得2(74)500,x -+=解得 3.x =- ······5分(Ⅱ)设,a b 夹角为,(3,4),(7,1),θ=-=-a b,∴⋅=a b -21-4=-25······6分且5,===a b .······8分cos2θ⋅∴===-a b a b······9分[]30,,,4πθπθ∈∴=即,a b 夹角为3.4π······10分18.解:(I)原式可化3sin 6cos ,αα=-(或化为tan α的分式齐次式) ······3分sin tan 2.cos ααα∴==- ······6分(Ⅱ)(,0),απ∈-且tan 2,sin 5αα=-∴=-·····9分sin cos tan 5ααα∴== ·····11分sin cos 5αα∴+=-·····12分19.解：（Ⅰ）1;2AM AC CM CA CB =+=+·····3分 3313()4444CN CA AN CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+.·····6分（Ⅱ）由已知,AM CN ⊥得0,AM CN ⋅=即113()()0,248CA CB CA CB -+⋅+=展开得 221530488CA CA CB CB --⋅+=.·····8分 又120,4,ACB CB ∠=︒=25240,CA CA ∴--=·····10分即(8)(3)0,CA CA -+= 解得8,CA =即8CA =为所求. ·····12分 20.解：（Ⅰ）设蓄水池高为h ，则2800,h x=·····2分 222800()16010041601004f x x x h x x x ∴=+⋅⋅=+⋅⋅ ·····4分 22000160(),(010)x x x=+<≤.·····6分（注：没有写定义域，扣1分） （Ⅱ）任取(]12,0,10,x x ∈且12,x x <则2212121220002000()()160[()()]f x f x x x x x -=+-+ 121212121212122000160()()160()[()2000].x x x x x x x x x x x x x x =-+----= ·····8分1212121212010,0,0,()2000,x x x x x x x x x x <<≤∴>-<+< 12()(),y f x f x ∴=-即12()(),f x f x >()y f x ∴=在(]0,10x ∈上单调递减.·····10分 故10x =当时，min ()(10)48000f x f ==·····11分 答：当底面边长为10m 时，蓄水池最低造价为48000元 ·····12分21.解：（Ⅰ）由已知()f x 在512x π=处取得最大值，52,.1232k k Z πππωπ∴-=+∈·····2分解得242,,5k k Z ω=+∈·····4分 又0,ω>∴当0k =时，ω的最小值为2.·····5分（Ⅱ）[,],0,,4243323x x πππππππωωωω∈>∴-≤-≤-·····6分又lg ()y f x =在[,]42x ππ∈内单增，且()0,f x >2436,.2232k k Z k πππωππππωπ⎧->-+⎪⎪∴∈⎨⎪-≤+⎪⎩·····8分解得：2584,.33k k k Z ω+<≤+∈ ·····10分 25184,334k k k +<+∴<且k Z ∈，·····11分又0,0,k ω>∴=故ω的取值范围是25,33⎛⎤⎥⎝⎦·····12分（另解，2,,04,2242T T ππππωω≥-∴=≥∴<≤ 结合2584,33k k k Z ω+<≤+∈可得，0,k ω=的取值范围是25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦） 22.解：（Ⅰ）令2,[0,2],[1,4],xt x t =∈∴∈设2()(1),[1,4].t t a t a t ϕ=-++∈·····1分 1°当11,2a +≤即1a ≤时，min ()(1)0,f x ϕ==与已知矛盾；·····2分2°当114,2a +<<即22min 11(1)17,()()()1,222a a a a f x a ϕ+++<<==-+=- 解得3a =或1,17,3;a a a =-<<∴=·····3分3°当14,2a +≥即min 7,()(4)16441,a f x a a ϕ≥==--+= 解得133a =，但与7a ≥矛盾，故舍去.·····4分综上所述，a 之值为3。

2019—2019—2020成都市高一数学期末考试卷含答案解析一、选择题：1. 集合{1；2；3}的真子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2. 已知角α的终边过点P (－4；3) ；则2sin cos αα+ 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．52-D ． 253. 已知扇形OAB 的圆心角为rad 4；其面积是2cm 2则该扇形的周长是( )cm.A ．8B ．6C ．4D ．2 4. 已知集合{}2,0x M y y x ==>；{})2lg(2x x y x N -==；则M N I 为( )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[)+∞,2D ．[)+∞,16. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 7. 右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象；此函数的解析式为可为( )A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y ) D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2；+∞)上是增函数； 则a 的取值范围是( )A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称；则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．010. 已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根；则实数a 的取 值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二、填空题:11.sin 600︒= __________.12. 函数()lg 21y x =+的定义域是__________. 13. 若2510a b ==；则=+ba 11__________. 14. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.15. 函数()f x 的定义域为D ；若存在闭区间[,]a b D ⊆；使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ；则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________①)0()(2≥=x x x f ;②()()xf x e x =∈R ; ③)0(14)(2≥+=x x xx f ; ④()sin 2()f x x x R =∈三、解答题16. 已知31tan =α； （1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值3讨论关于x 的方程m x f =)(解的个数。

成都七中 2019-2020 学年度高一上期 期末热身考试数 学 试 题本试卷共22题,满分150分;考试时间:120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,只需将答题卡交回,本试卷由考生自行保管.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,向量a =(2,-1),b =(1,3),则2a +b =A.(3,2)B.(5,1)C.(4,5)D.(3,-5)2.英国浪漫主义诗人Shelley(雪莱)在《西风颂》结尾写道:“If Winter comes,can Spring be far behind?”春秋战国时期,为指导农耕,我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道,可近似地看作圆)分为24等份,每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至,经过小寒和大寒后,便是立春.则从冬至到次年立春,地球公转的弧度数约为 A.4π B.3π C.3π- D.4π-3.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ={3,4,5,6},B ={5,6,7,8},则(∁U A )∩B =A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6}D.{7,8} 4.设e 为自然对数的底数,函数f (x )=x +ln x -3的零点所在区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e )D.(e ,3)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.直接将最后结果写在答题卡相应位置.13.已知α∈{-2,-1,21,1,2,3},若幂函数f (x )=x α的图象关于y 轴对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,则α=_________.14.已知角α的顶点在坐标原点,始边在x 轴非负半轴,终边经过点P (x ,4),且cos α=53-,则tan(π-α)=_________.15.早在两千多年前,我国首部数学专著《九章算术》中,就提出了宛田(扇形面积)的计算方法:“以径乘周,四而一.”(直径与弧长乘积的四分之一).已知扇形AOB 的弧长为2π,面积为6π,=则实数λ等于_________.16.已知a ∈R ,函数()⎩⎨≥-<-=112x ,ax x x ,ax x f .①若f [f (a )]=1,则a 之值为_________;(2分) ②若不等式f (x )≥f (1)对任意x ∈R 都成立,则a 的取值范围是_________.(3分)三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知2a =3,b =log 318.（1）求a (2-b )的值;（2）求()b a -+⨯2134的值.18.(12分)在平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,2=.（1）设AB =a ,AD =b ,用a ,b 表示和;（2）求实数λ的值,使得AM λ-与共线.19.(12分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B (其中A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如右.（1）根据图象,求f (x )的解析式;（2）求函数y =log 2 f (x )的单调递减区间.20.(12分)提升城市道路通行能力,可为市民提供更多出行便利.我校某研究性学习小组对成都市一中心路段(限行速度为60千米/小时)的拥堵情况进行调查统计,通过数据分析发现:该路段的车流速度v (辆/千米)与车流密度x (千米/小时)之间存在如下关系:如果车流密度不超过30,该路段畅通无阻(车流速度为限行速度);当车流密度在[30,180]时,车流速度是车流密度的一次函数;车流密度一旦达到180,该路段交通完全瘫痪(车流速度为零).（1）求v 关于x 的函数v (x );（2）已知车流量(单位时间内通过的车辆数)等于车流密度与车流速度的乘积,求此路段车流量的最大值.21.(12分)已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=2121x x x A ,集合B ={x |x 2-ax +3<0}. （1）当a =4时,求A ∩B ;（2）若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.22.(12分)设f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,且f (x )+g (x )=2x ,其中x ∈R .（1）求f (x )和g (x )的表达式,并求函数y =f (x )÷g (x )的值域;（2）若关于x 的方程|f (x )|•[g (2x )+λ]=3在区间(-1,1)内恰有两个不等实根,求常数λ的取值范围.(请务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效)。

2019-2020学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）设集合{2A =-，1-，0，1}，{1B =-，0，1，2}，则(AB = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{1-，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P -，则sin α的值是( )A ．45-B ．35-C ．35D ．453．（5分）已知向量(3,1)a =-，(,4)b m =．若a b ⊥，则实数m 的值为( )A ．12-B ．43-C ．43D ．124．（5分）半径为3，弧长为π的扇形的面积为( )A ．2πB ．32πC ．3πD ．9π5．（5分）函数()x f x e x =+的零点所在一个区间是( )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．（5分）552log 10log 0.25(+= )A ．0B ．1C ．2D ．47．（5分）下列关于函数()sin 21f x x =+的表述正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．当2x π=时，函数()f x 取得最大值2C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 的值域为[0，2]8．（5分）已知函数32(0,1)3x y a a a -=->≠的图象恒过定点P ．若点P 在幂函数()f x 的图象上，则幂函数()f x 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）设0.53a =，0.3log 0.5b =，cos3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>10．（5分）已知(,)2παπ∈，若2cos()6πα-=，则5sin()6πα+的值为( ) A ．2 B 2 C ．14 D 14 11．（5分）已知关于x 的方程9340x x a -+=有一个大于32log 2的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,5)B ．(4,5)C ．(4,)+∞D ．(5,)+∞12．（5分）已知函数()sin ()f x x R ωω=∈是7(,)212ππ上的增函数，且满足3|()()|244f f ππ-=，则()12f π的值组成的集合为( ) A ．11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ B ．31,⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭ C ．131,2⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭ D ．311,2⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）设函数31,0()2,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，则(f f （2）)的值为 ．14．（5分）汽车从A 地出发直达B 地，途中经过C 地．假设汽车匀速行驶，5h 后到达B 地．汽车与C 地的距离s （单位：)km 关于时间t （单位：)h 的函数关系如图所示，则汽车从A 地到B 地行驶的路程为 km ．15．（5分）在矩形ABCD 中，已知E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =．若(,)AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为 ．16．（5分）已知A ，B 是函数()|21|x f x =-图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()2x g x =的图象上，则点C 的横坐标的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(0,)2πα∈，且sin cos 1sin cos 3αααα-=+． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos sin αα-的值．18．（12分）已知函数()1(0,1)x f x a a a =->≠满足1(1)(2)4f f -=． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）解不等式()0f x >．19．（12分）已知向量a 与b 的夹角23πθ=，且||3a =，||2b =． （Ⅰ）求a b ，||a b +；（Ⅱ）求a 与a b +的夹角的余弦值．20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0M v v ln m=计算火箭的最大速度/vm s ，其中0/v m s 是喷流相对速度，mkg 是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，M m称为“总质比”．已知A 型火箭的喷流相对速度为2000/m s ． （Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度至少增加800/m s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：330 5.8ln ≈，0.82.225 2.226e <<．21．（12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）当113[,]33x ∈-时，试由实数m 的取值讨论函数()()g x f x m =-的零点个数．22．（12分）设a ，b R ∈，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=．已知函数53()1x g x x +=+． （Ⅰ）证明：函数()g x 的图象关于点(1,5)-对称； （Ⅱ）已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当[0x ∈，1]时，2()1h x x mx m =-++．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()h x g x =成立，求实数m 的取值范围．。

2019-2020学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）设集合{2A =-，1-，0，1}，{1B =-，0，1，2}，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1}B ．{1-，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P -，则sin α的值是( )A ．45-B ．35-C ．35D ．453．（5分）已知向量(3,1)a =-，(,4)b m =．若a b ⊥，则实数m 的值为( ) A ．12-B ．43-C ．43D ．124．（5分）半径为3，弧长为π的扇形的面积为( ) A ．2πB ．32π C ．3π D ．9π5．（5分）函数()x f x e x =+的零点所在一个区间是( ) A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．（5分）552log 10log 0.25(+= ) A ．0B ．1C ．2D ．47．（5分）下列关于函数()sin 21f x x =+的表述正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．当2x π=时，函数()f x 取得最大值2C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 的值域为[0，2]8．（5分）已知函数32(0,1)3x y a a a -=->≠的图象恒过定点P ．若点P 在幂函数()f x 的图象上，则幂函数()f x 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）设0.53a =，0.3log 0.5b =，cos3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>10．（5分）已知(,)2παπ∈，若2cos()6πα-=，则5sin()6πα+的值为( )A ．2B 2C ．14D 14 11．（5分）已知关于x 的方程9340x x a -+=有一个大于32log 2的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,5)B ．(4,5)C ．(4,)+∞D ．(5,)+∞12．（5分）已知函数()sin ()f x x R ωω=∈是7(,)212ππ上的增函数，且满足3|()()|244f f ππ-=，则()12f π的值组成的集合为( )A ．11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．31,⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭C ．131,2⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭D ．311,2⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．（5分）设函数31,0()2,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，则(f f （2）)的值为 ．14．（5分）汽车从A 地出发直达B 地，途中经过C 地．假设汽车匀速行驶，5h 后到达B 地．汽车与C 地的距离s （单位：)km 关于时间t （单位：)h 的函数关系如图所示，则汽车从A 地到B 地行驶的路程为 km ．15．（5分）在矩形ABCD 中，已知E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =．若(,)AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为 ．16．（5分）已知A ，B 是函数()|21|x f x =-图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()2x g x =的图象上，则点C 的横坐标的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(0,)2πα∈，且sin cos 1sin cos 3αααα-=+．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos sin αα-的值．18．（12分）已知函数()1(0,1)x f x a a a =->≠满足1(1)(2)4f f -=． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）解不等式()0f x >．19．（12分）已知向量a 与b 的夹角23πθ=，且||3a =，||2b =． （Ⅰ）求a b ，||a b +；（Ⅱ）求a 与a b +的夹角的余弦值．20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0Mv v lnm=计算火箭的最大速度/vm s ，其中0/v m s 是喷流相对速度，mkg 是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．已知A 型火箭的喷流相对速度为2000/m s ． （Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度至少增加800/m s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：330 5.8ln ≈，0.82.225 2.226e <<．21．（12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当113[,]33x ∈-时，试由实数m 的取值讨论函数()()g x f x m =-的零点个数．22．（12分）设a ，b R ∈，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=．已知函数53()1x g x x +=+． （Ⅰ）证明：函数()g x 的图象关于点(1,5)-对称；（Ⅱ）已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当[0x ∈，1]时，2()1h x x mx m =-++．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()h x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）设集合{2A =-，1-，0，1}，{1B =-，0，1，2}，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1}B ．{1-，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1}【解答】解：集合{2A =-，1-，0，1}，{1B =-，0，1，2}， 则{1AB =-，0，1}，故选：D ．2．（5分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P -，则sin α的值是( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解答】解：角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P -， 则4sin 5α==-，故选：A ．3．（5分）已知向量(3,1)a =-，(,4)b m =．若a b ⊥，则实数m 的值为( ) A ．12-B ．43-C ．43D ．12【解答】解：向量(3,1)a =-，(,4)b m =， 若a b ⊥，则0a b =， 即3140m -+⨯=，解得43m =． 故选：C ．4．（5分）半径为3，弧长为π的扇形的面积为( ) A ．2π B ．32π C ．3π D ．9π【解答】解：由已知可得扇形的弧长为l π=，半径为3r =，则扇形的面积为1133222S lr ππ==⨯⨯=．故选：B ．5．（5分）函数()x f x e x =+的零点所在一个区间是( ) A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【解答】解：函数()x f x e x =+是R 上的连续函数，1(1)10f e-=-<，(0)10f =>， (1)(0)0f f ∴-<，故函数()x f x e x =+的零点所在一个区间是(1,0)-， 故选：B ．6．（5分）552log 10log 0.25(+= ) A ．0B ．1C ．2D ．4【解答】解：552log 10log 0.25+ 55log 100log 0.25=+ 5log 25=2=故选：C ．7．（5分）下列关于函数()sin 21f x x =+的表述正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．当2x π=时，函数()f x 取得最大值2C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 的值域为[0，2]【解答】解：根据题意，函数()sin 21f x x =+，依次分析选项： 对于A ，()sin 21f x x =+，其最小正周期22T ππ==，A 错误； 对于B ，当4x π=时，sin 2x 取得最大值1，函数()f x 取得最大值2，B 错误；对于C ，()sin 21f x x =+，()sin(2)11sin 2f x x x -=-+=-，不是奇函数，C 错误； 对于D ，()sin 21f x x =+，有1sin21x -，则02y ，即函数()f x 的值域为[0，2]，D 正确；故选：D ．8．（5分）已知函数32(0,1)3x y a a a -=->≠的图象恒过定点P ．若点P 在幂函数()f x 的图象上，则幂函数()f x 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数32(0,1)3x y a a a -=->≠的图象恒过定点1(3,)3P ．设幂函数()f x x α=，代入133α=，解得1α=-．1()f x x∴=． 则幂函数()f x 的图象大致是A ． 故选：A ．9．（5分）设0.53a =，0.3log 0.5b =，cos3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【解答】解：0.50331>=，1a ∴>，0.30.30.30log 1log 0.5log 0.31=<<=，01b ∴<<，32ππ<<，cos30∴<，0c ∴<，a b c ∴>>， 故选：A ．10．（5分）已知(,)2παπ∈，若2cos()6πα-=，则5sin()6πα+的值为( )A ．2B 2C ．14D 14 【解答】解：设6πθα=-，则2cos θ=，6παθ=-，则55sin()sin()sin()sin 666πππαθπθθ+=-+=-=， (,)2παπ∈，5(6πθ∴∈-，)3π-，则2214sin 1()44θ=---=-， 故选：C ．11．（5分）已知关于x 的方程9340x x a -+=有一个大于32log 2的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,5)B ．(4,5)C ．(4,)+∞D ．(5,)+∞【解答】解：令3x t =；因为34332log 2log 434log x t >=⇒>=； 即2()4f t t at =-+有一个大于4的零点； 故f （4）244405a a =-⨯+<⇒>； 故选：D ．12．（5分）已知函数()sin ()f x x R ωω=∈是7(,)212ππ上的增函数，且满足3|()()|244f f ππ-=，则()12f π的值组成的集合为( )A ．11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．31,⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭C ．131,2⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭D ．311,2⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭【解答】解：满足3|()()|244f f ππ-=，3|sin sin |244ππωω∴-=，可得：sin 14πω=，3sin 14πω=-，或sin 14πω=-，3sin 14πω=，①由sin 14πω=，3sin 14πω=-，可得：1242k ππωπ=+，232342k ππωπ=+，1k ，2k Z ∈，182k ω∴=+，2823k ω=+，1k ，2k Z ∈，取11k =-，23k =-，可得6ω=-，则函数()sin(6)f x x =-，在7(,)212ππ上是增函数，此时可得：()112f π=-．②由sin 14πω=-，3sin 14πω=，可得：1242k ππωπ=-，23242k ππωπ=+，1k ，2k Z ∈，182k ω∴=-，28233k ω=+，1k ，2k Z ∈，取10k =，21k =-，可得2ω=-，则函数()sin(2)f x x =-在7(,)212ππ上是增函数，此时可得：1()122f π=-． 综上可得：()12f π的值组成的集合为{1-，1}2-．故选：A ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．（5分）设函数31,0()2,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩，则(f f （2）)的值为 1 ．【解答】解：由f （2）220=-=，(0)011f =+=， 故答案为：114．（5分）汽车从A 地出发直达B 地，途中经过C 地．假设汽车匀速行驶，5h 后到达B 地．汽车与C 地的距离s （单位：)km 关于时间t （单位：)h 的函数关系如图所示，则汽车从A 地到B 地行驶的路程为 500 km ．【解答】解：由图象可知，从A 地到C 地，用时2h ，路程为200km ，所以速度200100/2v km h ==， 因为汽车匀速行驶，所以从C 地到B 地的路程为：100(52)300km ⨯-=， 所以从A 地到B 地的路程为：200300500()km +=， 故答案为：500km ．15．（5分）在矩形ABCD 中，已知E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =．若(,)AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为75． 【解答】解：如图；因为矩形ABCD 中，已知E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =．若(,)AC AE AF R λμλμ=+∈， ∴AC AB AD =+；1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+；1133AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+；1111()()()()2332AE AF AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ∴+=+++=+++； ∴113112λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；λμ∴+的值为75； 故答案为：7516．（5分）已知A ，B 是函数()|21|x f x =-图象上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()2x g x =的图象上，则点C 的横坐标的值为 12- ．【解答】解：21,0()|21|12,0x xxx f x x ⎧-=-=⎨-<⎩， 设A ，B 的坐标分别为1(x ，121)x -，2(x ，212)x -．则122112x x -=-，线段AB 的中点12(2x x C +，1222)2x x -，线段AB 的中点C 在函数()2xg x =的图象上，∴121222222x xx x +-=， ∴12222x x =-，代入121222222x xx x +-=， 化为：2222(12)(22)2x x x -=-，化为：22x =，12x = ∴12122x x +=， 解得121x x +=-．则点C 的横坐标的值为12-．故答案为：12-．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(0,)2πα∈，且sin cos 1sin cos 3αααα-=+．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos sin αα-的值． 【解答】解：（Ⅰ）由sin cos 1sin cos 3αααα-=+，得sin 2cos αα=．tan 2α∴=．（Ⅱ）22sin cos 1αα+=，又sin 2cos αα=， ∴21cos 5α=．(0,)2πα∈，∴cos α=∴sin 2cos αα==∴cos sin αα-=． 18．（12分）已知函数()1(0,1)x f x a a a =->≠满足1(1)(2)4f f -=．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）解不等式()0f x >． 【解答】解：（Ⅰ）()1(0,1)x f x a a a =->≠，f ∴（1）f -（2）22(1)(1)a a a a =---=-． 由214a a -=，解得12a =．a ∴的值为12． （Ⅱ）不等式()0f x >即1()102x ->，∴1()12x >．即011()()22x >．1()2x y =在(,)-∞+∞上单调递减，0x ∴<．∴不等式()0f x >的解集为(,0)-∞．19．（12分）已知向量a 与b 的夹角23πθ=，且||3a =，||2b =． （Ⅰ）求a b ，||a b +；（Ⅱ）求a 与a b +的夹角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，得222221||||cos 32() 3.||()232(3)272a b a b a b a b a a b b θ==⨯⨯-=-+=+=++=+⨯-+=．（Ⅱ）设a 与a b +的夹角为α． 则2()cos ||||||||a a b a a ba ab a a b α++==++．∴cosα=∴a 与a b +． 20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0Mv v lnm=计算火箭的最大速度/vm s ，其中0/v m s 是喷流相对速度，mkg 是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．已知A 型火箭的喷流相对速度为2000/m s ． （Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度至少增加800/m s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：330 5.8ln ≈，0.82.225 2.226e <<．【解答】解：（Ⅰ）当总质比为330时，2000330v ln =， 由参考数据得2000 5.811600/v m s ≈⨯=，∴当总质比为330时，A 型火箭的最大速度约为11600/m s ；（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为3000/m s ，总质比变为5Mm， 要使火箭的最大速度至少增加800/m s ，则需300020008005M M ln ln m m-， 化简，得320.85M Mln ln m m-， ∴32()()0.85M M ln ln m m -，整理得0.8125M ln m， ∴0.8125M e m ，则0.8125Me m⨯，由参考数据，知0.82.225 2.226e <<，0.8278.125125278.25e ∴<⨯<，∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279．21．（12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当113[,]33x ∈-时，试由实数m 的取值讨论函数()()g x f x m =-的零点个数．【解答】解：（Ⅰ）由函数()f x 的部分图象知，2A =；函数()f x 最小正周期为1374()833T =⨯-=，即28πω=，解得4πω=；又77()2sin()2312f πϕ=+=，则72122k ππϕπ+=+，k Z ∈； 解得212k πϕπ=-+，k Z ∈；又||2πϕ<，所以12πϕ=-；所以函数()f x 的解析式为()2sin()412f x x ππ=-．（Ⅱ）由题意，()()g x f x m =-在113[,]33-内的零点个数，即为函数()y f x =与y m =的图象在113[,]33x ∈-时公共点的个数；由（Ⅰ）知，()2sin()412f x x ππ=-，113[,]33x ∈-；又1()13f -=-，7()23f =，13()03f =，画出图象如图所示；由图象知，函数()f x 在区间17(,)33-上单调递增，在区间717(,)33上单调递减；()i 当1m <-或2m >时，()y f x =与y m =的图象在113[,]33x ∈-时没有公共点，()ii 当10m -<或2m =时，()y f x =与y m =的图象在113[,]33x ∈-时恰有一个公共点；()iii 当02m <时，()y f x =与y m =的图象在113[,]33x ∈-时恰有两个公共点．综上可知，当1m <-或2m >时，函数()g x 的零点个数为0； 当10m -<或2m =时，函数()g x 的零点个数为1； 当02m <时，函数()g x 的零点个数为2．22．（12分）设a ，b R ∈，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=．已知函数53()1x g x x +=+． （Ⅰ）证明：函数()g x 的图象关于点(1,5)-对称；（Ⅱ）已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当[0x ∈，1]时，2()1h x x mx m =-++．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()h x g x =成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）53()1x g x x +=+，(x ∈-∞，1)(1--⋃，)+∞， ∴57(2)1x g x x +--=+． ∴5357()(2)1011x x g x g x x x +++--=+=++． 即对任意的(x ∈-∞，1)(1--⋃，)+∞，都有()(2)10g x g x +--=成立． ∴函数()g x 的图象关于点(1,5)-对称．（Ⅱ）532()511x g x x x +==-++，易知()g x 在2(,1)3-上单调递增． ()g x ∴在2[,1]3x ∈-时的值域为[1-，4]．记函数()y h x =，[0x ∈，2]的值域为A ．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()h x g x =成立，则[1A ⊆-，4]．[0x ∈，1]时，2()1h x x mx m =-++，h ∴（1）2=，即函数()h x 的图象过对称中心(1,2)．()i 当02m，即0m 时，函数()h x 在(0,1)上单调递增．由对称性知，()h x 在(1,2)上单调递增．∴函数()h x 在(0,2)上单调递增．易知(0)1h m =+．又(0)h h +（2）4=，h ∴（2）3m =-，则[1A m =+，3]m -．由[1A ⊆-，4]，得11430m m m -+⎧⎪-⎨⎪⎩，解得10m -．()ii 当012m <<，即02m <<时，函数()h x 在(0,)2m上单调递减，在(,1)2m 上单调递增． 由对称性，知()h x 在(1,2)2m -上单调递增，在(2,2)2m-上单调递减． ∴函数()h x 在(0,)2m 上单调递减，在(,2)22m m-上单调递增，在(2,2)2m -上单调递减．∴结合对称性，知[A h =（2），(0)]h 或[(),(2)]22m mA h h =-．02m <<，(0)1(1h m ∴=+∈，3)．又(0)h h +（2）4=，h ∴（2）3(1,3)m =-∈．易知2()1(1,2)24m m h m =-++∈．又()(2)422m mh h +-=，∴(2)(2,3)2mh -∈．∴当02m <<时，[1A ⊆-，4]成立．()iii 当12m，即2m 时，函数()h x 在(0,1)上单调递减． 由对称性，知()h x 在(1,2)上单调递减． ∴函数()h x 在(0,2)上单调递减．易知(0)1h m =+．又(0)h h +（2）4=，h ∴（2）3m =-，则[3A m =-，1]m +． 由[1A ⊆-，4]，得13412m m m --⎧⎪+⎨⎪⎩．解得23m ．综上可知，实数m 的取值范围为[1-，3]．。

四川省成都市第七中学2020届高三数学热身考试试题 文（含解析）本试题卷共4页，24题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.本次考试结束后，不用将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->，则A B =（ ）A. 33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，化简集合A 、B ，再求并集，即可得出结果.【详解】∵{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭, 所以{}1A B x x ⋃=>. 故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的并集，熟记并集的概念，以及一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2. 已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-，B. (13)-，C. (1,)+∞D.(3)-∞-，【答案】A 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R）．复数z ＝a ＋bi （a ，b∈R）平面向量OZ .3. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.4. 设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m =（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】D【解析】 【分析】 先由222a ba b +=+得到0a b ⋅=，再由向量数量积的坐标表示列出方程，即可得出结果.【详解】因为222a ba b +=+，所以22222a b a b a b ++⋅=+，因此0a b ⋅=，又向量(),1a m =，()1,2b =， 所以20a b m ⋅=+=，解得2m =-. 故选：D.【点睛】本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.5. 若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k∈Z） B. x=26k ππ+（k∈Z） C. x=212k ππ-（k∈Z） D. x=212k ππ+（k∈Z） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C.【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 8. 已知432a =，254b =，1325c =，则 A. b a c << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =， 因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <， 即b <a <c . 故选：A.9. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.310B.10 C. 10-D. 310-【答案】C 【解析】 试题分析：设22,2,5sin cos ,sin ,cos cos 255AD a AB a CD a AC a A ααββ=⇒===⇒====⇒10cos()αβ=+=-,故选C.考点：解三角形.10. 已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：2214x y +=上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<，则x 0的取值范围是（ ）A. 266,33⎛- ⎝⎭B. 232333⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C. 3333⎛- ⎝⎭D. 66,33⎛- ⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据120PF PF ⋅<以及2214x y =-，解不等式可得结果. 【详解】由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则12PF PF ⋅＝0000(,),)x y x y -⋅-2000()x x y =+22003x y =-+0<. 因为点P 在椭圆上，所以22014x y =-，所以2200(1)304x x +--<，，解得033x -<<， 即x 0的取值范围是33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了椭圆的标准方程，属于基础题. 11. 点P 是棱长为2的正四面体ABCD 的面ABC内一动点，DP =，设异面直线DP 与BC所成的角α，则sin α的最大值为（ ） A. 1D.2【答案】A 【解析】 【分析】作DO ⊥平面BAC 于O ， O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，计算出下在四面体的高是3，OP =，从而平面ABC 内，P 在以OP 运动时，DP 是圆锥的母线，BC 平移到圆锥底面圆直径位置，利用圆锥的性质，这个角的最大值是直角，由此可得结论．【详解】如图1，作DO ⊥平面BAC 于O ，∵ABCD 是正四面体，∴O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，易知DO ===，∴OP ===，所以平面ABC 内，P 在以O 为圆心，3为半径的圆上，P 运动时，DP 是圆锥的母线， 如图2，把圆锥PO 平移到四面体外部，不妨设//BC MN ，MN 是圆锥底面圆的一条直径， 母线DP 与MN 所成角的最大值2π， 所以异面直线DP 与BC 所成的角的正弦的最大值是1． 故选：A ．图1 图2【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是找到在平面ABC 内P 点的轨迹．DP 所形成的空间图形，把BC 平移到圆直径位置，母线与底面直径所成角的最大值是2π，由此可得结论．12. 定义在R 上的函数()[]22f x x x =--有（ ）个零点？（其中[]x 表示不大于实数x的最大整数） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】令()[]220f x x x =--=，得[]22x x -=，令()212f x x =-，()[]1g x x =，在同一坐标系做出两函数的图像，由两函数图像的交点个数可得选项.【详解】令()[]220f x x x =--=，得[]22x x -=，令()212f x x =-，()[]1g x x =，在同一坐标系做出两函数的图像如下图所示， 两函数图像有3个交点，所以函数()[]22f x x x =--有3个零点，即221x -=-或221x -=或222x -=， 解得1x =-或3x =或2x = 故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，将函数的零点问题转化为两函数的交点问题是处理此类问题的常用方法，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）～（24）题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x ='为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】3 【解析】 试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f =∴'='【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．14. 若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥-≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y=+的最大值为_____________．【答案】3 2【解析】试题分析：由下图可得在1(1,)2A处取得最大值，即max13122z=+=.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为a zy xb b=-+；（3）作平行线：将直线0ax by+=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（小）值.15. 在ABC中，60A∠=︒，23BC=D BC中点，则AD最长为_________.【答案】3【解析】在ABD ∆和ADC ∆中，分别利用余弦定理，求得22262b c x +=+，再在ABC ∆中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设AD x =，ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-， 在ABD ∆中，由余弦定理，可得2222cos AB BD AD BD AD θ=+-⋅， 即22323cos c x x θ=+-，①ADC ∆中，由余弦定理，可得2222cos()AC CD AD CD AD πθ=+-⋅-，即22323cos b x x θ=++，② 由①+②，可得22262b c x +=+，在ABC ∆中，由余弦定理，可得2222cos60BC AB AC AB AC =+-⋅，即22222222221(23)()322b c c b bc c b b c x +=+-≥+-=+=+，解得29x ≤，所以3x ≤，即AC 的最大值为3. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到22262b c x +=+，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 抛物线()220y px p =>上点A 与焦点F 距离为2，以AF 为直径的圆与y 轴交于点()0,1H ，则p =_________.【答案】2 【解析】法一：首先根据抛物线方程和焦半径公式表示点A 的坐标，再根据0HF HA ⋅=求解点A 的坐标和p 值；法二：利用以AF 为直径的圆与y 轴相切，利用切点为()0,1H ,求得点A 的坐标和p 值.【详解】法一：根据,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点A 与焦点F 距离为2， 所以A 点横坐标为22p -，所以A 点纵坐标222242p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①；即,12p HF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,12p HA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭根据0HF HA ⋅=，得到24104p p y --+=从而根据①解得2y =，从而带入①解得2p =.法二：设()00,A x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由焦半径公式可知022p x +=则线段AF 的中点到y 轴的距离022122px d +===， 所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，由题意可知切点为()0,1H ， 则点A 的纵坐标为2，横坐标22p -， 则2242p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：2p =. 故答案为：2【点睛】本题考查抛物线方程，几何性质，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键利用焦半径公式表示点A 的横坐标，以及点A 在抛物线上，建立方程求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()22224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）3，2，2（2）（i ）见解析（ii ）521【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．19. 如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中222AB AD==，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D AE B--.（1）求证：AD⊥平面BDE；（2）求四棱锥D ABCE-体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）先证AE BE ⊥，由面面垂直（直二面角）得BE ⊥平面ADE ，再得线线垂直BE AD ⊥，然后可得线面垂直；（2）由直二面角即面面垂直，可求得D 到平面ABCE 的距离，从而可求得体积． 【详解】（1）由题意22(2)(2)2AE BE ==+=，所以222AE BE AB +=，所以AE BE ⊥，又二面角D AE B --是直二面角，即平面DAE ⊥平面ABE ，平面DAE平面ABE AE =，BE ⊂平面ABE ，所以BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又因为AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE ；（2）以AE 中点M ，连接DM ，因为AD DE =，所以DM AE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABE ，平面DAE平面ABE AE =，DM ⊂平面ADE ，所以DM ⊥平面ABE ，直角三角形ADE 中，112DM AE ==， 11()(222)2322ABCE S AB CE BC =+⋅=+⨯=，所以1131133D ABCE ABCE V S DM -==⨯⨯=．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求棱锥的体积，掌握线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理是解题关键．20. 已知椭圆22221x y a b+=，O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =.（1）求椭圆方程；（2）若点A ，B ，C 都在椭圆上，D 为AB 中点，且 2CO OD =，求ABC 的面积？【答案】（1）22143x y +=；（2）92. 【解析】 【分析】（1）直接根据离心率和长轴长定义得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，根据向量运算和中点坐标公式得到CD 坐标，计算弦长和点到直线距离，代入面积公式得到答案. 【详解】（1）根据题意知：24a =，2a =，12c e a ==，故1c =，b =22143x y +=. （2）①若直线AB 垂直于x 轴，则AB 中点在x 轴上，不妨取点()2,0C ， 根据2CO OD =得()1,0D -，故31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，故3AB =， 11933222ABCSAB CD =⋅=⨯⨯=． ②若直线斜率存在，设直线:AB y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得到()()222438430k x kmx m +++-=，判别式()2204834k m ∆+->=，即22340k m +->，()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， AB 中点2243,4343km m D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，根据2CO OD =得到点2286,4343km m C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为点C 在椭圆上，代入椭圆2222864343143km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22344k m +=. 验证满足>0∆，则12x AB =-=3m==，又原点O到直线AB的距离d=所以1322ABOS d AB==△，所以932ABC ABOS S==△△．综上所述：ABC的面积为92.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆内的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知()()1xf x e ax a R=--∈.（1）若()0f x≥对x∈R恒成立，求实数a的范围；（2）求证：对*n N∀∈，都有111112311111n n n nnn n n n++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）{}1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()f x的导数，分0a≤和0a>两种情况讨论，利用导数分析函数()f x的单调性，求得函数()f x的最小值()minf x，由题意得出()min0f x≥，解该不等式即可得出实数a的取值范围；（2）由（1）知，当1a=时，1xx e+≤，可得出()()111n n xx e+++≤，令()11,2,3,,1kx k nn+==+，可推导出()111,2,3,,1n knk ek nn e++⎛⎫<=⎪+⎝⎭，进而可推导出() 111123112311111n n n nnnne e e en n n n e+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合等比数列求和公式可证得所证不等式成立.【详解】（1）()1xf x e ax=--，则()xf x e a'=-.①当0a≤时，()0f x'>对任意的x∈R恒成立，则()f x在(),-∞+∞上单调递增，由()1110f a e-=+-<，与题设矛盾； ②当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =. 由()0f x '<，得ln x a <；由()0f x '>，得ln x a >.∴函数()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，()()ln min ln ln 1ln 10a f x f a e a a a a a ∴==--=--≥，令()()ln 10g a a a a a =-->，()()1ln 1ln g a a a '∴=-+=-， 由()0g a '>，得01a <<；由()0g a '<，得1a >.()g a ∴在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10g a g ∴==，∴只有1a =适合题意，综上，实数a 的取值范围是{}1；（2）由（1）可知，当1a =时，()10xx e f x =--≥，则1x x e +≤，()()111n n x x e ++∴+≤，令()11,2,3,,1kx k n n +==+，则()()11n x k n +=-+，()()1111,2,3,,1n kk n n k e ek n n e+-++⎛⎫∴<== ⎪+⎝⎭，()111123112311111n n n n n n n e ee e n n n n e+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1111111111nn n n n e e e e e e e e e e +++---=⋅==---， 由12n e e +>，知111n e e-<-，则1111ne e -<-，因此，111112311111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式恒成立，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于难题.请考生在［22］、［23］题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. （二）选考题：共10分. 选修4－4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(22【解析】 【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈ ，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]2220,01x y x y +-=∈， ，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型. 选修4－5：不等式选讲23. 若0,0a b >>,且11a b+= （1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=， 并说明理由.【答案】（1）（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在．【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为；（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】基本不等式．。