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( B )式正确.
(A) zds 2 zds;
1
(B) zdxdy 2 zdxdy;
1
(C) z 2dxdy 2 z 2dxdy.
1
2、若 为 z 2 ( x 2 y 2 )在 xoy面上方部分的曲面 ,
则 ds等于( C ).
(A)
2
d
r
1 4r 2 rdr ;(B)
2
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
*
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
2
o1
*
y
3
x
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
dxdz 1 z2 x2 dy
Dxz
2 d
0
2 d
0
3
1 2 dy
2 0 2 (2 3 )d 2 ,
2(1 32 )dzdx 32 , 故I 2 (32 ) 34 .
R(i ,i , i )(Si )xy
联 (P cos Qcos Rcos )dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
系
计 f (x, y, z)ds
R( x, y, z)dxdy
算
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关)
一代,二投,三定向 (与侧有关)
积分概念的联系
n
f (M )d
lim
0
i 1
f
(
M
)
i
,
f (M )点函数
定积分
当 R1上区间[a,b]时,
f (M )d
b
a f ( x)dx.
二重积分 当 R2上区域D时, f (M )d f ( x, y)d . D
Dxy
(C) 0 .
4、曲面积分 z 2dxdy在数值上等于( C ).
(A) 向量 z 2 i 穿过曲面 的流量； (B) 面密度为 z 2的曲面 的质量； (C) 向量 z 2 k 穿过曲面 的流量 .
5、设 是球面 x 2 y 2 z 2 R2的外侧, Dxy是 xoy面
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z)
为连续函数, 为平面 x y z 1
1
oy
在第四卦限部分的上侧．
1
x
解 利用两类曲面积分之间的关系
的法向量为n {1,1,1},
cos 1 , cos 1 , cos 1 .
3
3
3
I
{
1[ 3
* *
思考题
1、 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2、 设曲面
问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
3、 设曲面 : x2 y2 z2 R2 外侧, 则
1) zdS ( 0 )
2) zdxdy ( 4R3 )
3
测验题
一、 选择题: 1、设 为球面 x 2 y 2 z 2 1,1为其上半球面,则
I
(8 y
1)xdydz
2(1
2
y )dzdx
4 yzdxdy
,其中
是由曲
线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量
x 0
与 y轴正向的夹角恒大于 .
2
解 z
y 1绕y轴旋转面方程为y 1 z2 x2 (如下图)
x 0
欲求
I
(8
y
1) xdydz
三重积分当 R3上区域时, f (M )d f ( x, y, z)dV
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f (M )d L f ( x, y)ds.
曲线积分当 R3上空间曲线时, f (M )d f ( x, y, z)ds. 曲面积分 当 R3上曲面S时, f (M )d f ( x, y, z)dS.
解 利用两类曲面积分之间的关系
f x
x, x2 y2
f y
y, x2 y2
D
I
y, x, z2
x, x2 y2
y x2
y2
,1dS
z2dS ( x2 y2 )dxdy
Dxy
2
0
d
2
1
r2
rdr
15
2
.
[Dxy : 1 x2 y2 4 ]
例 6 计算曲面积分
习题课（二）
第十章
曲面积分的计算
一、 曲面积分的计算法 二、高斯公式、通量与散度
一、曲面积分 曲面积分
对面积的
曲面积分
计
算
联系
对坐标的 曲面积分
曲面积分
对面积的曲面积分
定 义
n
f
(
x,
y,
z)ds
lim
0 i1
f
(i
,i
,
i
)si
对坐标的曲面积分
n
R( x,
y, z)dxdy
lim
0
i 1
S
二、典型例题
例1 计算 ( x2 2 y2 4z2 )ds,其中为球面 x2 y2 z2 1
解 设 1 : z 1 x2 y2 ; 2 : z 1 x2 y2
则 ( x2 2 y2 4z2 )ds 2 x2 2 y2 4(1 x2 y2 )
Dxy
1
1 1
o 1y x
I
1 1
用柱坐标
用极坐标
d x d ydz (1) Dx(y x2 )d x d y
2
0
d
1rdr
0
2
0
cos2
d
13
12
z 2
1 1
o 1y x
例3、 计算
z
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx 1
dxdy
1 x2 y22ຫໍສະໝຸດ 20d10(4
3r
2
r
2
sin2
)
r dr 28
1 r2
3
例2、设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I
(
x
3z
x)
d
y
d
z
x
2
yz
d
z
d
x
x
2z
2
dx
z
d
y.
解: 作取下侧的辅助面
2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
f
( x,
y,z)
x]
1 [2 f ( x, y, z) y] 1 [ f ( x, y, z) z]}dS
3
3
1 3
(x
y
z)dS
1 3
1
Dxy
3dxdy 1 . 2
例５ 计算 I ydydz xdzdx z2dxdy, 其中 为
锥面 z x2 y2 被平面z 1, z 2 所截部分的外侧．
d
2
1 4r 2 rdr;
0
0
0
0
(C)
2
d
2 1 4r 2 rdr.
0
0
3、若 为球面x 2 y 2 z 2 R2 的外侧,则 x 2 y 2 zdxdy 等于( A ).
(A) 2 x2 y2 R2 x2 y2dxd;y
Dxy
(B) x 2 y 2 R2 x 2 y 2 dxdy ;
