22定积分的基本公式

1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。

定积分的计算公式例题讲解在微积分中，定积分是一个重要的概念，它可以用来计算曲线下面积、求解体积和质量等问题。

定积分的计算公式是一种基本的工具，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。

本文将通过例题讲解的方式，详细介绍定积分的计算公式及其应用。

首先，我们来回顾一下定积分的定义。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x) dx。

其中，f(x)是被积函数，dx表示自变量x的微元。

定积分的计算公式可以帮助我们求解这个积分，从而得到曲线在区间[a, b]上的面积。

下面，我们通过几个例题来讲解定积分的计算公式。

例题1，计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。

解：根据定积分的计算公式，我们可以将被积函数展开成一个无穷小区间上的和：∫[0, 2] x^2 dx = lim(n→∞) Σ(i=1→n) f(xi)Δx。

其中，Δx = (b-a)/n，xi是区间[a, b]上的任意一点，f(xi)是函数在xi处的取值。

在这个例题中，我们可以将区间[0, 2]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

然后，在每个小区间上取一个点xi，计算出f(xi)的值，最后将这些值相加并取极限即可得到定积分的值。

具体来说，我们可以取n=4，将区间[0, 2]等分成4个小区间，每个小区间的长度为Δx=2/4=0.5。

然后，在每个小区间上取一个点xi，分别计算出f(xi)的值：x1 = 0.25, f(x1) = (0.25)^2 = 0.0625。

x2 = 0.75, f(x2) = (0.75)^2 = 0.5625。

x3 = 1.25, f(x3) = (1.25)^2 = 1.5625。

x4 = 1.75, f(x4) = (1.75)^2 = 3.0625。

将这些值相加并乘以Δx，得到定积分的近似值：Σ(i=1→4) f(xi)Δx = 0.06250.5 + 0.56250.5 + 1.56250.5 + 3.06250.5 = 2.25。

定积分特殊结论公式1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（基本公式）- 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。

- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。

2. 定积分的线性性质。

- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

- 例如：计算∫_0^π(2sin x + 3cos x)dx，根据线性性质可得2∫_0^πsinxdx+3∫_0^πcos xdx。

因为∫_0^πsin xdx=-cos x_0^π=-( - 1 - 1)=2，∫_0^πcos xdx=sinx_0^π=0，所以原式=2×2 + 3×0 = 4。

3. 定积分对区间的可加性。

- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^b f(x)dx，其中a < c < b。

- 例如：计算∫_1^3f(x)dx，若已知∫_1^2f(x)dx = 5，∫_2^3f(x)dx=3，则根据区间可加性∫_1^3f(x)dx=∫_1^2f(x)dx+∫_2^3f(x)dx = 5+3 = 8。

4. 对称区间上定积分的性质。

- 若函数y = f(x)在[ - a,a]上连续：- 当f(x)为偶函数（即f(-x)=f(x)）时，∫_-a^af(x)dx = 2∫_0^af(x)dx。

- 例如：计算∫_-2^2x^2dx，因为y = x^2是偶函数，所以∫_-2^2x^2dx =2∫_0^2x^2dx=2×(1)/(3)x^3_0^2=(16)/(3)。

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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定积分计算的基本公式
哎呀，我是小学生呀，定积分计算的基本公式对我来说简直就像天上的星星一样遥远和神秘！
老师在课堂上讲定积分的时候，我就感觉自己像是掉进了一个数字的迷宫，晕头转向的。

什么是定积分呀？难道是把一堆数字定在那里积分吗？哈哈，我当时就是这么想的。

我记得有一次，我鼓起勇气问老师：“老师，定积分到底是啥呀？为啥要学这个呀？”老师笑着说：“孩子，定积分就像是一把神奇的尺子，可以帮我们测量那些弯弯曲曲、奇奇怪怪的图形的面积呢！”我瞪大眼睛，心里想：“这也太神奇了吧？”
老师接着给我们讲基本公式，我看着黑板上那些密密麻麻的符号和算式，脑袋都大了！这都啥呀？比如说那个“∫f(x)dx”，我就奇怪了，这是在画画吗？还有什么上限下限的，我就想问，为啥要有上限下限呀？难道是给积分画个框框，不让它乱跑？
后来，老师又举了个例子，说计算一个抛物线下面的面积就可以用定积分。

我就想，这抛物线我倒是能画出来，可怎么用定积分算呀？这不是为难我嘛！
再后来，我和同桌一起讨论，我问他：“你能明白定积分吗？”他摇摇头说：“我也迷糊着呢！”我俩相视一笑，都觉得这定积分可真难搞。

不过，虽然现在我还是觉得定积分很难，但是我可不会轻易放弃！我就不信了，我搞不定这小小的定积分！我一定要努力学习，把它弄明白，就像我学会骑自行车一样，一开始摔了好多跤，最后不也骑得稳稳当当的嘛！我相信，只要我坚持，定积分也会被我拿下的！
我的观点就是：定积分虽然现在让我头疼，但我绝对不会怕它，我一定要战胜它！。