22定积分的基本公式

six n 22xsix n2 (1 )2
二牛 、顿 莱布尼茨公式的 （基 微本 积公 分式）
定2理 如果f(函 x)在数 区 [a,b]上 间连F(续 x)是 ，
f(x)的任一 ， 原 则 函数
b
a f(x)dx F(b)F(a)
证 因F(x)是f (x)的一个原函由数定，理 1可知
在其上限处. 的值
证 设 x (a,b) ,x是增x 量 x (， a,b)则 ,且
于是
xx
(xx)a f(t)dt
y
(x x ) (x )
xx
x
a f(t)d ta f(t)dt
(x)
xf(t)d tx xf(t)d txf(t)d ota x xxb x
x 0 x
x
x 0
x
而 lim '(x)
x 0 x
所 以 '(x )f(x ) (a x b )
若 x a ,取 x 0 ,可 ( a ) 证 f( a );
若 x b ,取 x 0 ,可 ( b ) 证 f( b );
2x 2x
(4)、d x sint2dt d xx21
解：d
dx
x sint2dt
x21
da
sitn 2d td
xsitn 2d
dxx21
dxa
t
d x21sit2 n d td xsit2 n dt
d x a
d x a
six 2 n 1 ( )2(x 2 1 ) six 2 n
x
(x)af(t)dt (axb)
称为积分上限的函数
定理 1 如果函 f(x)数 在区[a间 ,b]上连续，则 限的函数 x
(x)a f(t)dt
在[a,b]上具有导数，且
'(x) a xf(t)d 'tf(x) (axb )
即：积分上限函 上数 限对 的其 导数等于 数被
微积分的基本公式
引例 设物体以速度v v(t)作直线运动，要求计算
[T1,T2 ]时间内的路程 s.
从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1,T2 ]
所经过的路程为 T2 v(t)dt . T1 若从不定积分概念出发，则知道函数为
v(t)dt s(t) C,其中 s(t) v(t)，于是[T1,T2]时间内所走
1

x2 dx

0
(x)dx
1
xdx

x2
0 x2 1
1
1
1
0
2 1 2 0
例 5计算正 ys弦 ixn 在 [曲 0 π上 ,]与 线 x轴所围 成的 图 形 平的 面面积。
解
A

sinxdx
0
y y sinx
(cosx)

0
(co )s(co 0)s 0
b f(x)d， x 只须先 f(x求 )在[出 a,b]上的一个F 原 (x)， 函数 a
再计F算 (x)在[a,b]上的改F变 (b)量 F(a)即可．
注 牛顿莱布尼茨公式不了 仅计 给算 出定积分的统
简便的计算方法也 ，揭 而示 且了不定积积 分分 与定 在计算方法上的关系．
例2 求1x2dx 0
c
c
则
d dx
2(x) 1(x)
f
(t)dt
f [2 ( x ) 2 ] ( x ) f [1 ( x ) 1 ] ( x )
例1 计算下列各题
(1 )、 (x)0 xco t2d s,求 t'(x) 解：'(x) ( xcost2dt)' cosx2
b
af(x)dxF(b)F(a)
一、变上限定积分
设 f(x)在 [a,b]上连 x [a 续 ,b]考 ,， f(察 x)在 [a,x]上的定 x 积分
a f (t)dt
对于[a,b]上每一个 x，都得到定积分的一个
对应值，所以 x f (t)dt是定义在 [a,b]上的一 a
个函数，记作
3 4 12
例4、求定积分：
( ) (1) 2 x 1
1
2
dx
（2）
1
x 2 dx
x
1
解：（1）
12(x1x)2dx

12(x22x12)dx

(
x3 3

2x

1) x
2 1

4
5 6
（2）函数 x2 x 在 [1,1] 上写成分段函数的形式
f(x)xx,,0 1xx 1,0,
d d 1 2 ( x ( x x ) )f( t) d f t[2 ( x )] 2 ( x ) f[1 ( x )] 1 ( x )
证: 因
2 (x)
f
(t)dt
2(x)
c
f(t)d t
f(t)dt
1 ( x)
c
1(x)
2(x)f(t)d t 1(x)f(t)dt
d x a
证: 变上限 (x)f(t)d 函 可 t 数 看 Y (成 u)， u(x)复合 a
则
d
(x)
f (t)dt
dY
dY du
dx a
dx du dx
f(u)(x)
f[(x)](x)
推论2
若 f(x )在 [a ,b ]上连 1 (x )， 续 2 (x )在 ， [a ,b ]上可
故有 '(x)f(x) (ax b )
这个定理证明了连 数续 的函 原函数的存在性 任何连续函数都存在原。函 所数 以，定1也 理称为原 函数存在定理。
注 对于变上限的复合函数有以下两个推论
推论1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则
d (x)f(t)d tf[(x)](x)
路程就是s(T2 ) s(T1) .
综合上述两个方面，得到
这个等式表明速度函数 v
T2
(tT1)
v(t)dt 在[T1,
s(T2 ) s(T1). T2 ]上的定积分,等
于其原函数 s(t)在区间[T1,T2 ] 上的改变量.那么，这一结
论有没有普遍的意义呢？
猜想F： (x)是 f设 (x)在区 [a,b]间 上的原 ,则函数
A
x
2

例6、计2算1co2sxdx 2


解2 1co2xsd x2 2si2n xdxLeabharlann 22

2
2

| sinx|dx
2

0
2[(sixn)d x02sixnd]x
2

2cox0 s 2(cox)s0 222 2
0
(2)、d xe3tdt da a
解： d da
x e3t dt
a
d ( ae3tdt) e3a
da x
(3)、 (x) xsit2 n d， t 求 '(x) 0
解：'(x) ( xsint2dt)'( xsitn2d)t' ( x)'
0
0
x
sinx2 1 1 sin x2
解 因1x3是x2的一个原函, 所数以
3
1 x 2dx 0

1 3
x3
1 0
10 1
3
3
例3、求131dxx2
解 因arctax是 n 11x2的一个原,函 所以数
3 dx
1 1x2
arctxan13
arcta3narctan1)(
( ) 7
把积分变 t换量 成 x，得
b
af(x)dxF(b)F(a)
为了使用方 F(b便 )F， (a)记 把作 F(x)ba
这样定2理 变为
a bf(x)d xF (x)b aF (b )F (a )
上式叫做 莱牛 布顿 尼茨公积 式分 ，基 也.本 叫
由牛顿 莱部尼茨公式f(知 x)在 ： [a,b要 ]上求 的定积
(x)
x
a
f
(t)dt
也是
f
(x)的原函数，
所以
x
F(x) (x)C f (t)dtC
a
a
F (a ) (a )C af(t)d tC C
于 F ( b 是 ) bf( t) d C t bf( t) d F t( a )
a
a
即有 bf(t)d tF (b)F (a) a
a
x
a
xx
x f(t)dt f()[x ( x)x]（积分中值定理）
f ()x
（在x与xx之间）
所以 (x x) (x)f()
x
x
因f (x)在[a,b]上连续， 且在x与xx之,间
当 x 0时 , x,于是
li m (x x ) (x ) lifm ()limf()f(x)