红球与白球问题的几种解法

华师大新版数学九年级上学期?25.1在重复试验中观察不确定现象?同步练习一．选择题〔共10小题〕1．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都一样，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2021次球，发现有505次摸到白球，那么口袋中白球的个数是〔〕A．5B．10C．15D．202．在学习了“25.1.2〞概率后，平平和安安两位同学做掷质地均匀的正方体骰子试验，它们共做了120次试验，试验的结果如下表：向上一面的点数123456出现的次数141812164020综合上表，平平说：“假如投掷600次，那么向上一面点数是6的次数正好是100次．〞安安说：“一次实验中向上一面点数是5的概率最大〞．你认为平平和安安的说法中正确的选项是〔〕A．平平B．安安C．都正确D．都错误3．假如身边没有质地均匀的硬币，以下方法可以模拟掷硬币实验的是〔〕A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面C．掷一枚质地均匀的骰子，奇数点朝上代表正面，偶数点朝上代表反面D．转动如下图的转盘，指针指向“红〞代表正面，指针指向“蓝〞代表反面4．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币〞试验时，以下说法正确的选项是〔〕A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为C．不同次数的试验，正面向上的频率可能会不一样D．连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于5．实验的总次数、频数及频率三者的关系是〔〕A．频数越大，频率越大B．频数与总次数成正比C．总次数一定时，频数越大，频率可到达很大D．频数一定时，频率与总次数成反比6．假如事件A发生的概率是，那么在一样条件下重复试验，以下陈述中，正确的选项是〔〕A．说明做100次这种试验，事件A必发生1次B．说明事件A发生的频率是C．说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生D．说明做100次这种试验，事件A可能发生1次7．为调查6个人中2个人生肖一样的概率，进展有放回地摸球试验，那么〔〕A．用12个球每摸6次为一次试验，看是否有2次一样B．用12个球每摸12次为一次试验，看是否有2次一样C．用6个球每摸12次为一次试验，看是否有2次一样D．用6个球每摸6次为一次试验，看是否有2次一样8．下面关于投针实验的说法正确的选项是〔〕A．针与平行线相交和不相交的可能性是一样的B．针与平行线相交的概率与针的长度没有关系C．实验次数越多，估算针与平行线相交的概率越准确D．针与平行线相交的概率不受两平行线间间隔的影响9．在学习掷硬币的概率时，教师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是〞，小明做了以下三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进展抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值．②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值．③将一个圆形纸板放在程度的桌面上，纸板正中间放一个圆锥〔如图〕，从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，合理的有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个10．在布袋中装有两个大小一样，质地一样的球，其中一个为红色，一个为白色、模拟“摸出一个球是白球〞的时机，可以用以下哪种替代物进展实验〔〕A．“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上〞的时机B．“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上〞的时机C．“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上〞的时机D．“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地〞的时机二．填空题〔共6小题〕11．某农科所在一样条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有千克种子能发芽．12．新品种玉米在一样条件下进展发芽试验，结果如表所示：试验的玉米粒数〔粒〕100200500100020215000发芽的粒数〔粒〕9419147495119024748任取一粒玉米粒，估计它能发芽的概率是．〔结果准确到0.01〕13．同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面〞、“1个正面〞和“没有正面〞这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：结果第一组第一组第三组第四组第五组第六组两个正面335142一个正面655557没有正面120411由上表结果，计算得出现“2个正面〞、“1个正面〞和“没有正面〞这3种结果的频率分别是．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：．14．用计算器进展模拟实验，估计6人中有两人同一个月过生日的概率，在选定随机数范围后，每次实验要产生个随机数．15．在投针试验中，当平行线空隙a为定值时，针的长度L越大那么针与平行线相交的概率越；当L为定值时，a越大那么针与平行线相交的概率越．16．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均一样的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100100050001000050000100000摸出黑球次数46487250650082499650007根据列表，可以估计出n的值是．三．解答题〔共4小题〕17．某校每学期都要对优秀的学生进展表扬，而每班采取民主投票的方式进展选举，然后把名单报到学校．假设每个班级平均分到3位三好生、4位模范生、5位成绩进步奖的名额，且各项均不能兼得、如今学校有30个班级，平均每班50人．〔1〕作为一名学生，你恰好能得到荣誉的时机有多大？〔2〕作为一名学生，你恰好能中选三好生、模范生的时机有多大？〔3〕在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩进步奖人数中，哪些是解决上面两个问题所需要的？〔4〕你可以用哪些方法来模拟实验？18．某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每买一台该型号电视机，可获得一次抽奖时机，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都一样，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．〔1〕厂家请教了一位数学教师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都一样，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；〔2〕以下图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．〔友谊提醒：1．转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，2、结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．〕19．某校〔1〕班40个同学每10人一组，每人做10次抛掷两枚硬币的实验，想看看“出现两个正面〞的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面40个实验结果．第一组学生学号101102103104105106107108109110两个正面成功次数1233333633第二组学生学号111112113114115116117118119120两个正面成功次数1132342333第三组学生学号121122123124125126127128129130两个正面成功次数1031333222第四组学生学号131132133134135136137138139140两个正面成功次数2214243233〔1〕学号为113的同学在他10次实验中，成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？〔2〕学号为116和136的两位同学在10次实验中成功率一样吗？假如他们两人再做10次实验，成功率仍然会一样吗？〔3〕怎么计算每一组学生的集体成功率？哪一组成功率最高？20．王强与李刚两位同学在学习“概率〞时，做抛骰子〔均匀正方体形状〕实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：向上点数123456出现次数69581610王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．〞李刚说：“假如抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．〞请判断王强和李刚说法的对错．参考答案一．选择题1．A．2．D．3．C．4．C．5．D．6．D．7．A．8．C．9．D．10．C．二．填空题11．8.8．12．0.95．13．；．14．6．15．在投针试验中，当a为定值时，L越大那么针与平行线相交的概率越大；当L为定值时，a越大那么针与平行线相交的概率越小．16．10．三．解答题17．解：〔1〕全班共有50名学生，共有12名学生获奖，所以恰好能得到荣誉的时机为=；〔2〕恰好能中选三好生的时机为，能中选模范生的时机为=；〔3〕班级人数、三好生数、模范生数、成绩进步奖人数；〔4〕用50个小球，其中3个红球、4个白球、5个黑球，其余均为黄球，把它们装进不透明的口袋中搅均，闭着眼从中摸出一个球，那么摸到非黄球的时机就是得到荣誉的时机，摸到红球或白球的时机就是中选为三好生和模范生的时机．18．解：〔1〕该抽奖方案符合厂家的设奖要求：分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球，从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：〔黄1，黄2〕、〔黄1，白1〕、〔黄1，白2〕、〔黄1，白3〕、〔黄2，黄1〕、〔黄2，白1〕、〔黄2，白2〕、〔黄2，白3〕、〔白1，黄1〕、〔白1，黄2〕、〔白1．白2〕、〔白1，白3〕、〔白2，黄1〕、〔白2，黄2〕、〔白2，白1〕、〔白2，白3〕、〔白3，黄1〕、〔白3，黄2〕、〔白3，白1〕、〔白3，白2〕共有20种，它们出现的可能性一样．所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球〔记为事件A〕的结果有2种，即〔黄1，黄2〕或〔黄2，黄1〕，所以P〔两黄球〕==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；〔2〕此题答案不唯一，以下解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购置一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的时机，任意转动这个转盘，当转盘停顿时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．19．解：〔1〕由表格可得出：学号为113的同学在他10次实验中，成功了3次，成功率是：×100%=30%．根据该组中116号成功了4次，故他不是他所在小组同学中成功率最高的人．〔2〕根据学号为116和136的两位同学在10次实验中的成功次数一样，故学号为116和136的两位同学在10次实验中的成功率是一样的．假如他们两人再做10次实验，成功率不一定会一样．〔3〕根据集体成功率=成功的次数÷实验的总次数×100%．第一组成功率：〔1+2+3+3+3+3+3+3+6+3〕÷〔10×10〕×100%=30%；第二组成功率：〔1+1+3+2+3+4+2+3+3+3〕÷〔10×10〕×100%=25%；第三组成功率：〔1+0+3+1+3+3+3+2+2+2〕÷〔10×10〕×100%=20%；第四组成功率：〔2+2+1+4+2+4+3+2+3+3〕÷〔10×10〕×100%=26%；故第一组成功率最高．20．解：每个点数出现的时机是相等的，因此一次试验中出现向上点数为5的概率是，故王强的说法是错误的；出现的概率只是反映时机的大小，因此李刚的说法也是错误的．。

(2) P( A1 A2
An )
1 P(A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An )
A1 A2 An独立
A1 A2 An独立
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ).
9
例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的 概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将 密码译出的概率是多少？
2
2
P( AB) 0，P( A)P(B) 1 ,
4
由此可见两事件互斥但不独立.
二者之间没 有必然联系
B
AB
AS
B AS
若P( A) 0 , P(B) 0 , A，B相互独立与互不相容
不能同时成立.
20 返回
为p , p 1 2 . 问对甲而言, 采取三局二胜制有利,
还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜 ,
胜局情况可能是 :
“甲甲”,“甲乙甲”;“乙甲甲”,
设Ai :“甲第i局胜”(i 1, 2, 3), 设A :“甲最终胜”,
则 A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
p pp
纯 纯纯
H1： 不纯 纯 纯
q pp
纯 纯纯
p 1 0.01 0.99,
q 1 0.95
H2：不纯 不纯 纯
q qp
纯 纯纯
H3： 不纯 不纯 不纯
q qq
纯 纯纯
0.05.
P(H0)
C936 , C3
100
P(H3 )
C43 C3
100
,
P( H1 )
C926C41 C3
100
,
P( H2 )

第6讲盈亏问题(一)知识要点：1、通过比较把若干个东西平均分配的两种分配方案和分配后的余数，反过来求分配的份数和被分配的总量的应用题，叫做盈亏问题。

一般来说，题意中给出一些东西进行分配，按一种方法分配，东西有剩余（称作“盈”），而按另一种方法分配，东西又不足（称作“亏”），要同学们去求被分配的总量以及参加分配的份数，这样的问题就是盈亏问题。

2、解盈亏问题，要先比较“盈”与“亏”的具体情况。

（1）“一盈一亏”题：（盈+亏）÷两次分配中每份个数的差=份数每份个数×份数+盈数=物品总数每份个数×份数-亏数=物品总数（2）“两次盈”题：两次盈数差÷两次分配中每份个数的差=份数每份个数×份数+盈数=物品总数（3）“两次亏”题：两次亏数差÷两次分配中每份个数的差=份数每份个数×份数-亏数=物品总数例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。

比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。

相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。

每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。

解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。

答：有15个小朋友，分69粒糖。

例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。

问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。

例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。

概率与统计【题集】1. 条件概率与相互独立事件1.盒子中有个白球和个红球，现从盒子中依次不放回地抽取个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是 ．【答案】【解析】设事件为第一次抽取的为白球；设事件为第二次抽到红球，∴；∴第一次抽到白球条件下，第二次抽到红球的概率为．故答案为：．【标注】【知识点】超几何分布；条件概率A.B.C.D.2.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．则甲在局以内（含局）赢得比赛的概率为（ ）．【答案】A【解析】用表示“甲在局以内（含局）赢得比赛”，表示“第局甲胜”，表示“第局乙胜”，则，，，，，，，∴．故选项．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差A.B.C.D.3.设是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：则的值为（）．【答案】A 【解析】，∴，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列A.B.C.D.4.已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于（ ）．【答案】C【解析】由概率之和等于可知，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；概率的基本性质5.若随机变量的概率分布如表，则表中的值为 ．【答案】【解析】由随机变量的概率分布表得：，解得．故答案为：．【标注】【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式A. B.C.D.6.设离散型随机变量的分布列为（）．若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）．【答案】AC【解析】由离散型随机变量的分布列的性质得︰，则，，即，离散型随机变量满足，∴，故结果正确的有．故选．【标注】【知识点】期望与方差的性质3. 两点分布7.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么．【答案】【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，设，则．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；两点分布A. B. C. D.8.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则（）．【答案】C【解析】设失败率为，则成功率为．∴的分布列为：则“”表示试验失败，“”表示试验成功，∴由，得，即．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列9.若的分布列为：其中，则，．【答案】 ;【解析】，，故答案为：，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列A.和 B.和 C.和 D.和10.若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）．【答案】D【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，，∴，．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差A. B. C. D.11.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）．【答案】D【解析】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：．故选：．【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式4. 次独立重复实验与二项分布A.，B.，C.，D.，12.已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（）．【答案】D【解析】由二项分布的期望和方差公式，，则，∴，，∴，∴．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.13.已知服从二项分布的随机变量满足，则（）的值为（）．【答案】B【解析】．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布14.一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，则．【答案】【解析】∵一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，∴，∴，故答案为：．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布15.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第，，层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则．【答案】【解析】服从二项分布，即，∴．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.16.新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知，，三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于，，三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，记，，三人中被感染的人数为，则的数学期望（）．【答案】B【解析】，，，，故．故选．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望（1）（2）17.在天猫进行大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：人数消费金额元将当日的消费金额超过元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取人，求至少有位消费者，当日的消费金额超过元的概率．该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案：按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为元、元和元．方案：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有张笑脸、张哭脸，将张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得元奖励金．如果消费金额不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；超过元且不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；元以上的消费者均可参加轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）（2）．方案投资较少；证明见解析．【解析】（1）记“在抽取的人中至少有位消费者消费超过元”为事件，由图可知，去年消费金额在内的有人，在内的有人，消费金额超过元的“消费达人”共有（人），从这人中抽取人，共有种不同方法，其中抽取的人中没有位消费者消费超过元，（2）共有种不同方法，所以．方案按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为：，，，按照方案奖励的总金额为：（元），方案设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，，，，由题意，每翻牌次，翻到笑脸的概率为：，所以，，，，所以的分布列为：数学期望为：（元），按照方案奖励的总金额为：（元），因为由，所以施行方案投资较少．【标注】【知识点】组合；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；古典概型18.（1）（2）（3）年月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了学校中的名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的概率估计值为．频率组距评分求直方图中的，值，若评分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由．若采用分层抽样的方法，从评分在和内的学生中共抽取人，再从这人中随机抽取人检验他们的网课学习效果，求抽取到的人中至少一人评分在内的概率．若从该校学生中随机抽取人，记评分标准在的人数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）（3）满意，证明见解析．．的分布列为：．【解析】（1）（2）由已知得，解得，又，∴，评分的平均值为：，因此该校学生对线上课程满意．由题知评分在和内的频率分别为和，则抽取的人中，评分在内的为人，评分在的有人，记评分在的位学生为 , , ，（3）评分在内的位学生为，，则从人中任选人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共种，其中，评分在内的可能结果为，，，共种，∴这人中至少一人评分在的概率为．学生在分的频率为，用频率估计概率，则每个学生评分在分的概率为，据题意知，的可能取值为，，，，所以，，，，，那么的分布列为：则数学期望，或知．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图；分层随机抽样19.改革开放年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国年至年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）．（1）（2）（3）体育产业增加值体育产业年增长率从年至年随机选择年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率．从年至年随机选择年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过的年数，求的分布列与数学期望．由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）．分布列为：期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【解析】（1）（2）设表示事件“从年至年随机选出年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”．由题意可知，年，年，年，年满足要求，故．由题意可知，的所有可能取值为，，，，且；；；．（3）所以的分布列为：故的期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）20.已知某同学每次投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮次．求至少有次投篮命中的概率．设投篮命中的次数为，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）．的分布列为：．【解析】（1）（2）设次投篮至少有次投篮命中为事件，则，∴至少有次投篮命中的概率为．由题意知的可能取值为，，，，，，，，，，，，∴的分布列为：∵，∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望5. 超几何分布A. B. C. D.21.某小组有名男生，名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（）．【答案】C【解析】名男生，名女生中任选名参加活动，则女生人数为人时，女生人数为人时，，∴，∴故答案选．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【知识点】超几何分布（1）（2）22.已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球得分，取出一个黑球得分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出球所得分数之和．求的分布列；求的数学期望．【答案】（1）（2）分布列为．【解析】（1）（2）的可能取值有：45．，故所求的分布列为所求的数学期望为．【标注】【知识点】超几何分布，，，（1）（2）23.某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从道题目中随机抽取道回答，至少答对道可以晋级．已知甲同学能答对其中的道题．设甲同学答对题目的数量为，求的分布列及数学期望．求甲同学能晋级的概率．【答案】（1）（2）的分布列为数学期望．．【解析】（1）（2）可取，，，，则，，，，的分布列为．甲同学能晋级的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）24.在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出个球，表示摸出红球的个数．求的分布列．（用数字作答）至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）的取值为，，，，设摸出个红球的概率为，，，，．中奖的概率为．【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列25.年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例（1）（2）（3）总计从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率．从应聘岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望．表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【答案】（1）（2）（3）．的分布列为：．，，，【解析】（1）（2）（3）由表可得：应聘人员总数为：，被录用的人数为：，所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率为：．可能的取值为，，，∵岗位的人中，被录用的有人，未被录用的有人，∴，，，∴的分布列为：∴．取掉岗位，男性录用比例为：，女性录用比例为：，∴去掉岗位后，男女比例接近，∴这四种岗位是：，，，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型；分层随机抽样频率组距重量克（1）（2）（3）26.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．求的值．在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列．用这件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．【答案】（1）（2）（3）．．【解析】（1）（2）频率分布直方图中每个矩形面积之和为，可得，解得．件产品中任取件重量超过克的产品数量为：，的所有取值为，，；，（3），，从流水线上任取件产品，重量超过克的概率为，重量不超过克的概率为，恰有件产品的重量超过克的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n 次独立重复试验与二项分布；频率分布直方图（1）（2）27.从名演员中选人参加表演．求甲在乙前表演的概率．若甲参加表演，门票收入会增长万元，若乙参加表演，门票收入会增长万元，若甲乙都参加演出，门票收入会增加万元，记门票增长为（万元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）记“甲在乙前表演”为事件，∴，∴甲在乙前表演的概率是．可能取值有，，，，∴，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）（2）（3）28.新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的倍．下表是通过抽样调查得到的某地区年到年的年新生婴儿性别比．年份新生婴儿性别比根据样本数据，估计从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴的概率（精确到）．从年到年这五年中，随机选取两年，用表示该地区的新生婴儿性别比高于的年数，求的分布列和数学期望．根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．【答案】（1）（2）（3）．的分布列为的数学期望.可以否定，证明见解析；不能否定，证明见解析；无法判断，证明见解析．【解析】（1）（2）设“从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴”为事件，则．的可能取值为，，，，，，所以的分布列为（3）所以的数学期望.答案一：可以否定；从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案二：不能否定；尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案三：无法判断；由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能“否定生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望；超几何分布；离散型随机变量的分布列（1）（2）（3）29.年月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．求甲、乙两人共答对个问题的概率．试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．求乙答对题目数的分布列和期望．【答案】（1）（2）（3）．乙胜出的可能性更大，证明见解析．分布列为：期望．【解析】（1）（2）（3）推出两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个．然后求解甲、乙两名学生共答对个问题的概率．甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个，所以甲、乙两名学生共答对个问题的概率﹔．故答案为：．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件，则，为对立事件，求出的概率，得到结论．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲胜的概率，设乙获胜为事件，则，为对立事件，所以，，所以乙胜出的可能性更大．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以期望．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算（涉及计数原理）6. 正态分布A. B. C. D.30.已知随机变量，若，，则=（）．【答案】D【解析】根据题意，，∵随机变量，∴，故选：．【标注】【知识点】正态分布31.已知随机变量服从正态分布，若，则．【答案】【解析】因为，所以．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.32.下列有关说法正确的是（ ）．的展开式中含项的二项式系数为的展开式中含项的系数为已知随机变量 服从正态分布，，则已知随机变量 服从正态分布，，则【答案】ACD【解析】、选项：对于二项式的展开式中项为，∴系数为，二次项系数为，故正确，错误；、选项：对于随机变量服从正态分布，∵，∴，∴，又∵对于随机变量服从正态分布且正态分布为∴，故正确、正确．故选．【标注】【知识点】求二项式展开式的特定项；求项的系数或二项式系数；正态分布33.在某市年月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为 ．（附：若，则，．)【答案】【解析】∵学生的数学成绩服从正态分布，∴，．故答案为．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.34.在一次数学测验中，学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线．下面说法正确的是（ ）．附：；；．学生数学成绩的期望为学生数学成绩的标准差为学生数学成绩及格率超过学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC 【解析】，，∴，显然正确，错误；．，故正确；．，故错误．故选．【标注】【知识点】正态分布35.已知随机变量，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）．A.B.C.D.的取值比的取值更集中于平均值左右两支密度曲线与轴之间的面积均为【答案】B【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：因为，，故正确；由图可知，故错误；因为正态分布曲线越瘦高，数据越集中，故正确；根据正态分布曲线的性质可知，故正确．故选 B .【标注】【知识点】正态分布（1）（2）（3）36.某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成下表：车速频数经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于需矫正速度．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，求该车辆需矫正速度的概率．从样本中任取辆车，求这辆车均需矫正速度的概率．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，记其中需矫正速度的车辆数为．求的分布列和数学期望．【答案】（1）．（2）（3）．分布列：，．【解析】（1）（2）（3），，∴小于有辆，大于有辆，∴所求概率．．，，，∴，，，∴分布列：，∴．【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）1（2）37.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：分数频率组距根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩．精确到个位）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．2估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）从该市高三理科学生中随机抽取人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望．（说明：表示的概率．参考数据（，）【答案】（1）12（2）．．分布列为：∴．【解析】（1）12（2）．设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为，则，∴，∴，解得．由题意可知，∴，，，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望38.《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、，，，、、、共个等级，参照正态分布原则，确定各等级人。

交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法 都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（种）
1、分类计数原理
（加法原理）
定义：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没
有公共元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类 的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。
例2（全国高考题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后
每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方 式有（ ） 限制条件较多时用列举法 A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
√
例3．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，
其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人， 有多少种不同的选法？ 多面手问题 解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会 小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号 的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类： 第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个， 故这类选法共有8种． 第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的 人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类 选法共有6×2＝12种， 故共有20种不同的选法．
因此取法种数共有
40+60=100（种）
60 个
问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C
村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同 的走法? 北 A村 中 南 北
B村
南
C村
解： 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。

假设法解应用题运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。

（一）把题中出现的两个量假设成一个量例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。

问鸡、兔各有多少只？分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。

假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。

减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。

所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。

练习：1、笼里有鸡和兔共30只，总共有70条腿，问鸡和兔各有多少只？2、鸡兔同笼，头共46只，脚共128，鸡兔各几只？3、一队猎手一队狗，两队并着一起走。

数头一共一百六，数脚一共三百九。

则猎手和狗各有多少？例2：面值是2元、5元的人民币共27X，全计99元。

面值是2元、5元的人民币各有多少X？分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。

假设全是面值2元的人民币，那么27X人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一X面值2元的人民币当作一X面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15X，面值2元的人民币有27－15=12X。

练习：1、某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人，已知这些宿舍中共住了l68人，且所有的宿舍都住满了人。

那么有多少间大宿舍?2、希望小学六年级师生100人外出郊游，共乘坐大客车和小客车10辆，每辆大客车可以乘坐8人，每辆小客车可乘坐6人，且所有的大客车和小客车都坐满了。

有多少辆大客车？例题3：一次数学竞赛有20道题，每答对一道题得5分，每答错一道题（包括不答）倒扣1分，一位同学在这次数学竞赛中得了88分，他答对了多少题？分析：题中有答对和答错（不答）的题两个量，且也知道总数量20道题。

摸球问题题型及解法一、摸球问题的基本题型及解法1. 简单的概率计算题型- 题目：一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，从袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

- 解析：- 首先明确概率的计算公式P(A)=(m)/(n)，其中P(A)是事件A发生的概率，m是事件A发生的结果数，n是所有可能的结果数。

- 在这个问题中，所有可能的结果数n = 3+2 = 5（即袋子里球的总数），摸到红球这个事件发生的结果数m = 3（红球的个数）。

- 所以摸到红球的概率P=(3)/(5)=0.6。

2. 有放回摸球题型- 题目：一个盒子里有4个黑球和6个白球，每次摸出一个球后放回，连续摸3次，求摸到至少2个白球的概率。

- 解析：- 有放回摸球每次摸球的概率不变。

- 先计算摸到2个白球的概率：从3次摸球中选2次摸到白球的组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=3。

每次摸到白球的概率p_1=(6)/(4 + 6)=(6)/(10)=0.6，摸到黑球的概率p_2 = 1 - 0.6=0.4。

所以摸到2个白球的概率P_1 = C_3^2×0.6^2×0.4^3 -2=3×0.36×0.4 = 0.432。

- 再计算摸到3个白球的概率：P_2=0.6^3=0.216。

- 摸到至少2个白球的概率P = P_1+P_2=0.432 + 0.216 = 0.648。

3. 无放回摸球题型- 题目：口袋里有5个红球和3个蓝球，无放回地连续摸2个球，求摸到一红一蓝的概率。

- 解析：- 无放回摸球时，第一次摸球有8种可能，第二次摸球有7种可能。

- 分两种情况：先红后蓝和先蓝后红。

- 先红后蓝的概率：第一次摸到红球的概率p_1=(5)/(8)，此时剩下7个球，其中蓝球有3个，第二次摸到蓝球的概率p_2=(3)/(7)，这种情况的概率P_1=(5)/(8)×(3)/(7)=(15)/(56)。

新课讲解
解：(1)∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色
外其余都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，
1个白球，∴P(摸出一个白球)＝
1; 6
(2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意
可知P(乐乐获胜)＝ 3 1 , 62
＝
P1(亮2亮 获1 ,胜)
62
∴他们获胜的概率相等，即游戏是公平的．
方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在
当堂小练
1.袋子里有1个红球，3个白球和5个黄球，每一个球
除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则
1
P(摸到红球)= 9 ;
1
P(摸到白球)= 3 ;
5
P(摸到黄球)= 9 .
当堂小练
2.规定：在一副去掉大、小王的扑克牌中，牌面 从小到大的顺序为：2、3、4、5、6、7、8、9、 10、J、Q、K、A,且牌面的大小与花色无关.小
现小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌， 16
P(小明获胜）= 17 . P(小颖获胜）= 0 .
拓展与延伸
3.用10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
1
（1）使得摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率
也是 1
；
2
2
1
（2）使得摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球
的概率也是 2
5
.
5
新课讲解
解：这个游戏不公平. 1 2 3 4 5
理由是：如果将每一个球都编上号码，
从盒中任
共有5种等可能的结果：1号球，
意2号摸球出，一3个号球球，，4号球，5号球.
摸出红球可能出现两种等可能的结果：摸出1号球
或2号球.P(摸到红球）= 2 . 5

摸球问题10个例题解析一、简单古典概型摸球问题。

例1：题目：一个盒子里装有3个红球和2个白球，从盒子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

（人教版）解析：首先确定基本事件总数，盒子里一共有球3 + 2=5个。

然后确定事件“摸到红球”包含的基本事件数为3个。

根据古典概型概率公式P(A)=(m)/(n)，其中n是基本事件总数，m是事件A 包含的基本事件数。

所以摸到红球的概率P = (3)/(5)。

例2：题目：在一个不透明的袋子里有4个黄球和6个蓝球，从中任意摸出一个球，求摸到蓝球的概率。

（人教版）解析：基本事件总数为球的总数4+6 = 10个。

事件“摸到蓝球”包含的基本事件数是6个。

由古典概型概率公式可得，摸到蓝球的概率P=(6)/(10)=(3)/(5)。

二、有放回摸球问题。

例3：题目：一个盒子中有2个黑球和3个白球，每次摸出一个球后放回，连续摸两次，求两次都摸到白球的概率。

（人教版）解析：每次摸球时，基本事件总数都是2 + 3=5个。

第一次摸到白球的概率为(3)/(5)，因为是有放回摸球，第二次摸球时情况不变，摸到白球的概率仍然是(3)/(5)。

根据分步乘法计数原理，两次都摸到白球的概率P=(3)/(5)×(3)/(5)=(9)/(25)。

例4：题目：袋中有5个红球，3个绿球，有放回地摸球3次，求恰好摸到2次红球的概率。

（人教版）解析：每次摸球基本事件总数为5+3 = 8个。

每次摸到红球的概率为(5)/(8)，摸到绿球的概率为(3)/(8)。

恰好摸到2次红球的情况有C_3^2=(3!)/(2!(3 2)!)=3种（即三次摸球中哪两次摸到红球的组合数）。

所以恰好摸到2次红球的概率P =C_3^2×((5)/(8))^2×(3)/(8)=3×(25)/(64)×(3)/(8)=(225)/(512)。

三、无放回摸球问题。

例5：题目：盒子里有5个不同颜色的球，其中3个红球，2个蓝球，无放回地先后摸出两个球，求第一次摸到红球，第二次摸到蓝球的概率。

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——概率1. 两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车．而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？2有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢．（１）这个游戏是否公平？请说明理由；（２）如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏．3. 一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．求其中白球的个数。

4. 在右图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．将它作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗？为什么？5. 在口袋里有4颗糖，其中2颗是草莓口味的，1颗是苹果口味的，1颗是薄荷口味的．（1）从中同时取出两颗，共有多少种等可能的结果？（2）从中取出一颗，放回搅匀后再取一颗，共有多少种等可能的结果？（3）比较在（1）（2）两种不同的取法中，“取出的两颗糖口味一样”的概率．6．一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着cm5，4和cm3，cm2，cm盒子外有两张卡片，分别写着cm3和cm5．现随机从盒内取出一张卡片，与盒子外的两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，解答下列问题：（1）求这三条线段能构成三角形的概率；（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．7．（构造概率模型解题）设1+zxyz+zx.y-xy-0≤,,≤zy≤x，求证：1-8. 证明范德蒙（Vandermonde ）恒等式：k m n m k n k m n k m n C C C C C C C +-=+++0110 .9. 某农科所培育出两种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种种植10亩。

Ch1-115
例8 八门炮同时独立地向一目标各射击一 发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目 标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率.
解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=2~8, 设目 标被击毁为事件B, 各炮命中概率 p = 0.6, 则
8
8
8
1
P(B) P( Ai ) P(Ai ) P8(i) 1 P8(i)
P(B)
P(AB) P(B)P(A B) [1 P(B)]P(A B)
P(A B) P(B)P(A B)
P(A B) P(AB)
P(A B) P(AB) P(AB) P(A)
P(AB) P(B)P(A) A, B独立.
Ch1-111
伯努利试验概型
n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型：
试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果：A, A 且 P(A) p, 0 p 1
每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的
n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为
Pn (k)
Ch1-112
例7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.
伯努利
Jacob Bernoulli 1654-1705
瑞士数学家
概率论的奠基人
伯努利 (Jacob Bernoulli )简介
伯努利家属祖孙三代出过十多位 数学家. 这在世界数学史上绝无仅有.
伯努利幼年遵从父亲意见学神学,
P(A2 A1) 3/ 8,
P( A2 A1) P( A2 ) P( A2 A1)
Ch1-84

数学运算——揭开神秘面纱，原来就这么简单！（共40题）【考点梳理模块：共19题】一、计算问题（2016上·统考）袋子里有红球和白球若干，若每次拿出6个红球，4个白球，则最终剩5个红球；若每次拿出7个红球，3个白球，则最终剩25个白球。

问袋子里红球有几个？（）A.75个B.77个C.119个D.120个【答案】C。

解析：每次拿出7个红球，3个白球，则最终剩25个白球，因此红球的个数为7的倍数，先排除A、D项；同理可知，白球的个数为4的倍数。

若红球为77个，根据第二种拿法可知，红球11次拿完，则白球的个数为3×11+25=58个，不是4的倍数，排除B项；若红球为119个，根据第二种拿法可知，红球17次拿完，则白球的个数为3×17+25=76个，是4的倍数，符合条件，C项当选。

故本题选C。

二、行程问题（2016上·统考）A、B、C、D四个人在圆形跑道上跑步，A每跑一圈，B跑两圈，C跑三圈，D跑四圈。

四个人同时从起点同向出发后，A和C首次相遇的时间比A和D首次相遇的时间晚了一分钟。

问A 和B首次相遇是出发了多少分钟后？（）A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.10分钟【答案】C。

解析：根据题意可知，A、B、C、D四个人的速度比为1:2:3:4，设四人的速度分别为x、2x、3x、4x，跑道长为12x（最小公倍数）。

四人同起点同向出发，因此其中两个人第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑了一圈。

A和C首次相遇经过的时间为12x÷（3x-x）=6，A和D首次相遇经过的时间为12x÷（4x-x）=4，而两次相遇相差的实际时间为1分钟，则相遇时间的1个单位实际上为0.5分钟。

因此A和B首次相遇的时间为12x÷（2x-x）×0.5=6分钟。

故本题选C。

三、工程问题（2016上·统考）某单位组织员工进行植树活动。

如果把树苗分给男女职工去栽，则每人栽6棵；如果单独让女职工栽，则平均每人栽8棵。

苏教版六年级数学上册课后思考题2012.121.甲、乙两人沿着400米的环形报道跑步，他们同时性同一地点出发，同向而行。

甲每分跑280米，乙每分跑240米。

经过多少分甲比乙多跑1圈？2.盒子里装有同样数量的红球和白球。

每次取出6个红球和4个白球，取了若干次以后，红球正好取完，白球还有10个。

一共取了几次？盒子里原来有红球多少个？3.下面五种形状的硬纸各有若干张。

选择哪几种，每种选几张，正好可以围城一个长方体或正方体？4.下图表示用棱长1厘米的正方体摆成的物体。

（1）从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状？试着画一画。

（2）这个物体的表面积是多少平方厘米？（3）在这个物体上添加同样大的正方体，补成一个大正方体。

这个大正方体的表面积至少是多少平方厘米？5.你能根据正方体的体积来估计右边物体的体积吗？1cm36. 一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。

这时表面积比原来增加56平方厘米。

原来长方体的体积是多少立方厘米？7.把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相同的小正方体（如右图）。

（1）三面涂色的小正方体有多少块？（2）两面涂色的小正方体有多少块？（3）一面涂色的小正方体有多少块？8.两根同样长的钢管，第一根用去25米，第二根用去25。

哪一根用去的长一些？9.先找规律，再填数。

（1）45，25,15, ( ) ,120, ( ) , ( ) 。

（2）23, 1 ,32,94,( ) , ( ) 。

10.先计算，在观察每组算式的得数，能发现什么规律？（1）12－13＝( )( )12×13＝( )( )（2）14－15＝( )( )14×15＝( )( )你能根据发现的规律再写几组这样的算式吗？11.一辆小汽车行32千米用汽油325升。

行1千米用汽油多少升？1升汽油可行多少千米？12.两个长方形重叠部分的面积相当于小长方形面积的14，相当于大长方形面积的16。

r 、 ，
这 是一 个 伯 努剩 概 型 ， 设事件 C= 丈 5次中 恰有 一 次抽 到 自球 }. 98 动 。0. 02 1= 0 . 092 : . P ( C) = 以 。 ， 砚 98魂 2 1 注 : 也 可 以这 样 解 P ( C ) 100 岛
0. 0 92.
例 2: 将 1 0 个 球J 日0 一9 这 1 0 个
验 彼此独 立 每次试 验
p(‘ )，同为壳， 求 ‘发
2 ) 设事 件 B = 弋 ( 4 个球放人 3 个盒子恰有 一 个 空 盒 }，
生 2 次 的概 率 ， 这是 n “5 ， k = 2 的伯 努力 概 型
解: 设事件 A= {球放人 1 号盒 内} 尸(A )
事 件 B = {1 号 盒 中 恰有 两 个 球}. .’ . P ( B ) = 以 0 . 12 0 . 93 二0 0 72 9注 : 不 同 伯努 力 概 型 ， 此题 还 可 以这 样解 2. n 个 不 同的 球放 入 m 个 相 同盒 子 中
放一球， 且任 何 球 的 编 号为 盒 子 的 编 号 都 不 相 同， 共有 放 法数 为
此类问题， 基本 事件 的全集个 数可这样 分
析 : 山于 盒子 相 同 ， 可 看 成将 n 个 不 同 的 球 分 成
、堆 ， 其不同的分法数可以根据各个盒子 里的
不 同球 数分 类 讨论 所 得 . 例 4: 将 a ， b， ‘ ， d 四个不 同的球 放 人 3 个 相 同 的盒 子 中 ， 其中 。 ， d 恰 好 在 同 一盒 中 的概 率 是多 少 ? 分析 : 4 个 不 同 的 球 放 人 3 个 相 同 的 盒 子 _， _ _ 人二。 于 、 ， 、‘ ，、二 、 J 卜c 寻 醚 」~

6-1-5.和倍问题教学目标1.学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2.掌握寻找和倍的方法解决问题．知识点拨知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题精讲【例1】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金是308元．如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?【考点】和倍问题【难度】5星【题型】解答【解析】我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则是4份．当一、二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(3082)元，2个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(3082)元．所以奖金总额是：308230830821078元．当评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金看做4份，2个二等奖奖金224（份），3个三等奖奖金的份数是133（份），总份数就是：44311（份）．这样，可以求出1份数为10781198元，一等奖奖金为：984392（元）．【答案】392元【例2】有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？【考点】和倍问题【难度】5星【题型】解答【解析】方法二：作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有22244（个）；较大的2堆，苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个，说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：445746（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：444690（个），较大的3堆苹果之和：26378（个），较小的3堆苹果之和：18354（个），较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和．所以，中间堆的数量是：785490221（）（个），最大堆与次大堆的和是：782157（个），最大堆有苹果：575231（（）（个），次大堆有：573126（个），同理最小堆有苹果：5421）（个），次小堆有苹果：13720（个）．7213方法一：最大堆与最小堆共22244个苹果．较大的2堆与较小的2堆共4427590个苹果．所以中间的一堆有：(18326390)221个苹果；较大的2堆有：2632157个苹果；最大的一堆有：(575)231个苹果；次大的一堆有：573126个苹果；较小的2堆有：1832133个苹果；次小的一堆有：(337)220个苹果；最小的一堆有：20713个苹果．【答案】最小的有13个，次小的有20个，中间的有21个，次大的有26，最大的有31【例3】食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？【考点】和倍问题【难度】5星【题型】解答【解析】可以设定羊的重量从轻到重分别为A，B，C，D，E．则47D E．同时不难整A B，59A B C D E千克．则体分析得到475051525354555758594134C千克．134475928不难有50B千克，29D千克．E千克，25A C，58E C．则22A千克，30【答案】这五只羊重为：22，25，28，29，30【例4】某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有人．【考点】和倍问题【难度】4星【题型】填空【关键词】2008年，湖北省，第六届，创新杯【解析】因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人，而六年级学生至多有7人；因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男生多”，所以六年级男生至少有6人，而六年级男生不能多于6人，否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人，这不可能．因此，六年级的男生恰好有有6人．【关键词】6人【例 5】某校师生共为地震灾区捐款462000元，经统计发现，他们各自所捐的钱数，共有10种不同档次．最低档次共有10人，而每上升一个档次，捐款人数就减少1人；且从第二档次开始，以后各档次的捐款钱数，分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍，那么捐款最多的人捐款___ ____元．【考点】和倍问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初试，9题【解析】本题是一道和倍问题,最高档次是1个人,恰好是最低档次10人合捐的10倍,则把最低档次10人看作份,462000÷220=2100元,则最高档次即捐"1"份,则共10×1+9×2+8×3+7×4+5×6+……++2×9+1×10=220款最多的人捐款为2100×10=21000元【答案】21000元【例 6】（）、、、、A B C D E 五人坐在一起聊天．小明想知道这五个人的年龄和．可五人都没有直接回答．E说：“、、、A B C D 四个人的年龄和101岁”．D 说：“、、B C E 三个人的年龄和105岁”．C 说：“、、、A B D E 四个人的年龄和115岁”．B 说：“、、A D E 三个人的年龄和80岁”．A 说：“、、A C D 三个人的年龄和66岁”．请问：五人的年龄和是岁。