五年级(上)数学思维美之小数的巧算(A版)

五年级奥数第二讲———小数的巧算小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律,使题目中的数尽可能转化为整数。

在某种意义上讲,“化整”是小数运算技巧的灵魂。

当然,根据小数的特点,在乘除运算中灵活运用小数点的移位:两数相乘,两数中的小数点反向移动相同的位数,其积不变(如0.8×1.25=8×0.125);两数相除,两数中的小数点同向移动相同的位数,其商不变(如0.16÷0.04=16÷4),也是常见的简化运算方法。

另外,某些特殊小数相乘化整,应熟记于心,如上面的8×0.125=1;0.5×2=0.25×4=1;0.75×4=3;0.625×16=10等等。

同学们在平时做题时留心积累这些“窍门”会大大提高自己的运算能力。

一、例题讲解例1:计算2005×18-200.5×80+20050×0.1例2:计算75×4.7+15.9×25练习(1)计算1.25×3.14+125×0.0257+1250×0.00229(2)计算22.8×98+45.6例3:计算0.27÷0.25- 1 -例4:计算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816练习(1)计算320÷1.25÷8(2)计算41.2×8.1+11×1.25+53.7×1.9例5:计算999.9×0.28-0.6666×370例6:计算(1+0.12+0.23)×(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)×(0.12+0.23)练习(1):计算5.2×1111+6666×0.8(2):计算(2+1.23+2.34)×(1.23+2.34+3.45)-(1.23+2.34)×(2+1.23+2.34+3.45)二、课堂练习1、计算37.5-1.53-0.25-1.222、计算2.5×1.25×3.23、计算3.74×2.85+8.15×3.74-3.744、计算3.6×31.4+43.9×6.4(提示:43.9=31.4+12.5)5、计算2.4×7.6+7.6×6.5+7.6×0.766、计算8÷(31.25×0.4)+99.367、计算20.05×39+200.5×4.1+40×10.025(提示:40×10.025=2×20×10.025=20×20.05)8、计算18.3×0.25+5.3÷0.4-3.13×2.59、计算2005×0.375-0.375×1949+3.75×2.410、已知9.4×【○-(1.54-0.31)】=0.47,求○=()11、计算2006+200.6+20.06+2.00612、比较下面两个乘积A、B的大小A=9.8732×7.2345B=9.8733×7.234413、计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19小数的巧算作业(一)填空题1、计算:2.89×6.37+3.63×2.89=____2、计算:2010×(2.3×47+2.4)÷(2.4×47-2.3)=____3、计算:15.48×35-154.8×1.9+15.48×84=____4、计算:(8.4×2.5+9.7)÷(1.05÷1.5+8.4÷0.28)=____5、计算:8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62+2.38)=____6、计算:0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9=____7、计算:(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)=____8、一个小数,如果把它的小数部分扩大到4倍,就得到5.4;如果把它的小数部分扩大到9倍,就得到8.4,那么这个小数是____9、小明在计算某数除以3.75时,把除号看成了乘号,得结果是225。

第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列（人教版）（含解析）第1讲小数乘法巧算中运算规律与类型梳理-五年级数学上册数学思想方法系列（人教版）第1讲小数乘巧算中的运算律及方法总结小数乘法的简便计算和整数乘法一脉相承，主要的借助是运用乘法的运算定律和积的变化规律，通过对算式进行适当变形，将其中的数化成整数、整十数、整百数……或者使这道题中的一些数变得容易口算，从而使计算简便，以下是小数乘法巧算的一些常见类型梳理：乘法交换律例：25×8.5×4 12.5×0.9876×0.8乘法结合律例：4.36×12.5×8 0.95×0.25×4乘法分配律例：（1.25－0.125）×8 （2＋0.4）×5乘法分配律逆应用例：3.72×3.5＋6.28×3.5 7.09×10.8－0.8×7.09把其中一个因数分成两个数的和或差，再按乘法分配律例：0.8×100.1 89.89×99.9例：1.25×2.5×32 3.2×0.25×12.5添加因数“1”例：9.7×99＋9.74.2×99＋4.2 56.5×99＋56.5更改因数的小数点位置，创造提取公因数的条件例：6.66×3.3＋66.6×67 4.8×7.8＋78×0.52【例题1】1．计算：3.56×34.5＋0.7×356＋9.15×35.6－1.96×256＝( )。

思路分析：乘法分配律和积不变规律的运用。

规范解答：【例题2】2．算式20.19×95＋2.019×50的计算结果是( )。

思路分析：可以将写成，然后运用乘法分配律逆运算提取20.19，最后进行简便计算即可。

小数的巧算（1）教学内容：小数的巧算教学目标：培养学生快速做出小数计算题的方法与技巧。

教学重难点:小数巧算的计算方法。

教学方法：凑整法；交置法；去括号发。

例1.计算 ++++=_____.例2. 计算 ++=_____.例3. 计算 ++++=_____.例4. 计算 ++++++++=_____.例5. 计算 +++++++++=_____.例6. 计算⨯⨯例7. 计算⨯⨯⨯例8. 计算⨯⨯=_____.例9. 计算⨯+⨯=_____.例10. 计算⨯+⨯+⨯例11． ++++=_____.例12. ++=_____.例13. 6.11++++++++=_____.例14. 1.1+++++++++=_____例15. ×+× +=_____.例16. 17.48××19+×82=_____.例17. 1.25 ××=_____.例18. 75×+×25=_____.例19. ×67+32×+ ×=_____.例20. ×+2724×例21.? ．．．0181×．．．011例++++++++例23.?a= ．．．0105 b=．．．019 计算a+b a-b a ×b a ÷b例25. 例24.? ? ×8×例28.? ?×+264×+×+×20例26. ×935++3×+×61×例27. ××+1998×例28. ×++×例29. ×××64例例例34.? ?×125×73+999×3例35.? ?1998+++二、解答题1. 计算⨯⨯计算...⨯ (011)964个0 1029个03. 计算 ++++++++4. 下面有两个小数:a =…0105 b= (019)1994个0 1996个0求a+b , a -b , a ⨯b , a ÷b .5.?a= ．．．0125 b=．．．08求a +b , a -b , a ⨯b , a ÷b .1.2.原式=++=222-++=3. 111109提示:仿上题.4. 49.555.原式=⨯(1+3+…+9)+⨯(11+13+…+19)=⨯+⨯=6. 46.87. 1748原式=××19+×82=×(37-19+82)=×100=17488. 1原式=⨯⨯⨯⨯ 750原式=⨯+⨯(3⨯25)=75⨯+=75⨯10=75010. 2867原式=⨯+⨯+⨯⨯=⨯(67+32+1)=⨯=286711. 原式=⨯⨯⨯⨯⨯ =⨯⨯⨯ =⨯+380=1724+380=210412. 181是三位,11是两位,相乘后181⨯11=1991是四位,三位加两位是五位,因此1991前面还要添一个0,又963+1028=1991,所以0. 00...⨯...011= (01991)964个0 1029个0 1993个013. 9个加数中,十位、个位、十分位、百分位的数都是1~9，所以原式=⨯(1+2+…+9)=⨯=14. a 是小数点后有(1994+3-1=)1996位的小数,b 是小数点后(1996+2-1=)1997位小数.a +b =...01069 a -b = (01031)1994个0 1994个0a ⨯b =…01995 a ÷b =1050÷19=19555 个0。

小数的巧算（1）教学内容：小数的巧算教学目标：培养学生快速做出小数计算题的方法与技巧。

教学重难点:小数巧算的计算方法。

教学方法：凑整法；交置法；去括号发。

例1•计算+444-= _____ ・例2.计算++= ________ •例3.计算++++=例4.计算 +++++卄+=_例 5.计算44444-++++= _______ .例6.计算x x例7.计算x x x例&计算x x = _________________ .例9・计算x+x= ________ .例10.计算x+x+x 例11 ・++++= _____ .例12. ++= ______ .例13. & 11++++++++= _______ .例14. 1.1+++++++++=例15. X + X += _____ .例16. 17. 48 XX19+X 82二___ .例17. 1.25 XX= _______ ・例18. 75X + X25= _____ .例19. X 67+32 X+ X= _____ .例20. X+2724X例21.? . • • 0181X. . • 011s----- V ----- " S----- V—963 个0 1028 个0 例++++++++例23. ?a= • • . 0105I JV1991 个0例25. 例24.? ? X8・・019计算a+b a-b aXb a4-b 19% 个0X例28・？7X+264X + X + X20例26. X935++3X + X61X例27. XX+1998 X例28. X++X例29. XXX64例例例34. ? ?X 125X73+999X3例35. ? 71998+++二、解答题1.计算x x计算…*…。

!！964 个0 1029 个0 3.计算 ++++++++4.下面有两个小数:1994 个0 1994 个0a=—010 5 Q・・0191994 个0 1996 个0求a+b zr-j&, ax b, b・5.?a= • • • 0125b=. • • 08S ----- V ---- ' ' ---- V -- '1996 个0 2000 个0求寸5 arb, ax b, b.1.2.原式二++二222-++二3.111109提示:仿上题.4.49.555.原式二 x (1+3+—+9) + x (11+13+•••+19)=x+x =5.46.86.1748原式=X X19+X82二X (37-19+82) = X 100=17487. 1原式二x XXX 750原式二x + x (3 x 25) =75 x+=75x10=75010.2867原式二x + x+x x = x (67+32+1)二x=286711.原式=xxxxx =xxx 二x+380二1724+380二210412.181是三位，11是两位，相乘后181x11=1991是四位，三位加两位是五位，因此1991前面还要添一个0,又963+1028二1991,所以0. 00--X—011=—01991< ____ __ __ / < ______ __ / k ____ _ __ )V Y V964 个0 1029 个0 1993 个013.9个加数中，十位、个位、十分位、百分位的数都是广9,所以原式二x (1+2+… +9)=x =14.a是小数点后有(1994+3-1二)1996位的小数，&是小数点后(1996+2-1二)1997 位小数.s+戻...01069 戻 (01031)\ ___________ /___________________________________ /a^l050，19=55±ax Z F—01995V---- Y --- '3990 个01994 个0 1994 个0。

小数的巧算（B版）第二大课时自主学习一例3：7.816 1.45 3.14 2.184 1.697.816⨯+⨯+⨯思路导航：逆用乘法分配律。

变式练习⨯-⨯⨯+1、41.28.1111.2553.7 1.9⨯+⨯+⨯2、8(3.1 2.85)12.5(1.62 2.38)沟通感悟1.自主学习的主要问题与困惑点？这组材料有什么联系和区别？2.通过这组材料的学习，你获得的主要思想方法是什么?你有什么感悟？自主学习二⨯+⨯例4：999.977.78333.366.66思路导航：运用积不变的规律调整因数，再运用乘法分配律。

变式练习1、999.90.250.6666370⨯-⨯2、5.2111166660.8⨯+⨯沟通感悟1. 自主学习的主要问题与困惑点？这组材料有什么联系和区别？2. 通过这组材料的学习，你获得的主要思想方法是什么?你有什么感悟？达标检测1、1250.3712.5 4.3⨯+⨯ 0.615.8 1.2 2.9⨯-⨯2、22.89845.6⨯+ 0.270.25÷3、7.816 1.45 3.14 2.184 1.697.816⨯+⨯+⨯ 5.2111166660.8⨯+⨯17.09 3.63 6.370.91--+ (4.87.58.1)(2.4 2.5 2.7)⨯⨯÷⨯⨯4、41.28.1111.2553.7 1.9⨯+⨯+⨯随机应变5、比较下面两个乘积A 、B 的大小9.87327.2345A =⨯ 9.87337.2344B =⨯阅读理解：观察A 、B 数据特点，通过拆分运用乘法分配律基本方法：2、要认真分析题目中的数据特点，灵活选择运算定律或性质。

3、不能直接运用运算定律时，要考虑能否通过变式构建条件。

第一讲：计算问题(十八)——小数的巧算1一、训练目标知识传递：掌握凑整的方法、数字间相互转换的方法、乘法分配律的公式及其逆形式、商不变的性质以及积不变的性质等。

能力强化：培养分析、观察、转化、巧算、速算能力。

思想方法：公式思想、凑整思想、对应、恒等思想。

二、知识与方法归纳1、基本运算定律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=ab+acab+ac+ad+…+an=a(b+c+d+…+n)2、运算顺序：先算乘除,后算加减,有括号先算括号.3、积不变性质：若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，则积不变。

4、商不变性质：若被除数和除数同时乘以或除以相同的非零数，则商不变。

三、经典例题例1、计算： 207.2+389.7-157.6-109.3解:例2、 5795.5795÷5.795×579.5解:体验训练1、计算12.5×0.76×0.4×8×2.5解:例3、计算①0.25×12.5×32-8.88×1.25解:②6.25⨯0.16+264⨯0.0625+5.2⨯6.25+0.625⨯20解:例4、计算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.96+3.67+2.78+1.89解：② 12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23解：体验训练2、计算1998+199.8+19.98+1.998解：*例5、（3.15+2.17+5.61）×（2.17+5.61+6.6）-（3.15+2.17+5.61+6.6）×（2.17+5.61）解：*例6、下面有两个小数:a=0.00...0125 b=0.00 (08)1997个0 1999个0试求a+b, a-b, a×b, a b.解：四、内化训练1. 9.81×0.1+0.5×98.1+0.049×981解：2.计算：①（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）解：名师课堂——关键教方法——方老教你学数学 ②（0.123+0.234+0.345）×（0.234+0.345+0.456）-（0.123+0.234+0.345+0.456）×（0.234+0.345）解：3. 计算：（1+1.2）+（2+1.2×2）+（3+1.2×3）+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100).解:4. 下面有两个小数:a =0.00...0105 b =0.00 (019)1995个0 1996个0求a +b ,a -b ,a ⨯b ,a ÷b .解：。

速算与巧算巧算也是简便运算，在数的运算中根据数的特点及数与数之间的特殊关系，恰当地利用四则运算中的定律、性质或利用和、差、积、商的变化规律，通过数的分解、合并改变原来的运算顺序，不但可以提高运算速度，还能使计算又准又快，锻炼思维，提高运算的技能技巧，达到事半功倍的效果。

小数的速算与巧算一小数的简便计算除了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以运用小数本身的特点，小数的意义、小数的数位顺序、小数的性质、小数点位置移动引起小数大小的变化等。

很多计算题，如果我们根据运算法则按部就班地计算，将会觉得很繁，也很耗费时间，有的甚至算不出结果，如果我们能够发现其中数据的特点、正确运用数的组成、运算规律，把复杂的计算转化为简便的计算将会节约很多时间。

1、凑整法简算就是要求计算的小数通过移位，拆减等，把这类数化成2×5=10，4×25=100,8×25=200，8×125=1000等相加或者相乘的数。

例1计算:0.125×0.25×0.5×64练习：(1)1.31×12.5×8×2 (2)1.25×32×0.25 (3)1.25×882、拆拼法简算就是把某个数进行拆分，然后分别与乘数相乘，达到简便运算的效果。

例2（1）计算：1.25×1.08 （2）计算：7.5×9.9练习：(1)2.5×10.4 (2) 3.8×0.99 (3)1991+199.1+19.91+1.9913、转化法简算就是把相同的因数提取出来，再把剩下的乘数相加或相减，以达到简便运算的目的。

例3 计算：5.7×9.9+0.1×5.7练习：(1)4.6×99+99×5.4 (2)7.5×101-7.54、扩大或缩减法就是将因式中相同数字的乘数通过扩大或者缩小，另一个乘数缩小或者扩大相同倍数，使其中某个乘数相同，达到简便运算的效果。

知识点、重点、难点一、用等差数列求和公式计算。

二、利用加减乘除法中运算的法则凑整，使运算简便。

三、用整体代换法计算。

例题精讲例1 计算0.10+0.11+0.12++0.980.99+例2 2.37+1.71+3.63 1.52 2.48--例3 2.89 6.37+3.63 2.89⨯⨯例4 6.413.20.1611⨯÷÷第1讲小数的巧算与速算（1+0.12+0.23）(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)(0.12+0.23)例5 ⨯⨯⨯-⨯例6 999.90.280.6666370⨯+⨯⨯例7 56.835.756.828.5+64.243.2⨯÷++++++++++++++++例8 999999999999(12345678987654321)课堂训练---------1 20.10.20.30.40.50.60.70.80.9-+-2 13.51 2.96 1.49 2.04⨯+⨯+⨯3 1.25 3.141250.025712500.002294 (4.57.29.1)(1.5 1.3 2.4)⨯⨯÷⨯⨯ 5 比较下面两个乘积A 、B 的大小9.87327.23A =⨯ 9.87337.23B =⨯6 41.28.111 1.2553.7 1.9⨯+⨯+⨯7 1.1 3.3 5.57.79.911.11+13.13+15.15+17.17+19.19+++++8 用1、0、7、9四个数字和小数点一共可以组成多少个小于10但末尾不是“0”的三位小数 请把他们按照从小到大的顺序写出来。

家庭作业 【练习1】_____10.98)(9.3110)5.666.777.88-10)10.98(9.315.66)6.77(7.88=+⨯+++++⨯++（【练习2】一个四位数，给它加上小数点后比原数小2003.4，这个四位数是________【练习3】=÷+÷÷6.33.897-6.35.12_______【练习4】计算:816.769.1184.214.345.17.816⨯+⨯+⨯＝_______【练习5】0.9949.9499.49942.00620.06200.62006+++++++=_________.【提高型】 已知÷=÷÷10.82.31.21.08□，其中□表示的数是______。

第3讲小数巧算1知识装备整数的加减混合运算技巧在小数中仍然适用，主要有：1、当算式中的两个数的和恰好能凑成整数时，可以运用加法交换律、结合律把两数相加，使计算简便。

2、当算式中的数接近整十、整百、整千……时，可以把它看出整十、整百、整千……的数，使计算简便。

3、可以“带符号搬家”，改变加减法运算顺序，使计算更简便。

4、运用减法的性质，同级运算还可以添、去括号。

5、运用等差数列求和公式进行巧算：和＝（首项＋末项）×项数÷2。

初级挑战1简算。

9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8思路引领：算式中的加数都接近整十、整百、整千……的数，可先看成整数计算，再把多加的减去。

答案：9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8＝10＋100＋1000＋10000＋100000－（0.2＋0.2＋0.2＋0.2＋0.2）＝111110－1＝111109能力探索1用简便方法计算。

0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9答案：0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9＝1＋10＋100＋1000＋10000＋100000－0.1×6＝111111－0.6＝111110.4初级挑战2简便计算：72.19＋6.48＋27.81－5.48思维点拨观察数据和符号的特点，能凑整的可以“带符号搬家”放一起计算。

答案： 72.19＋6.48＋ 27.81－5.48＝（72.19＋27.81）＋（6.48－5.48）＝100＋1＝101能力探索2简便计算下列各题。

（1）378.63＋5.72－78.63＋4.28 （2）7.32＋17.69－4.32答案：（1）378.63＋5.72－78.63＋4.28＝（378.63－78.63）＋（5.72＋4.28）＝300＋10＝310（2）7.32＋17.69－4.32＝（7.32－4.32）＋17.69＝3＋17.69＝20.69中级挑战1用简便方法计算下面各题。