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河北省唐山市区县2020届高三数学上学期第一次段考试题文(含解析)

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河北省唐山市区县2020届高三数学上学期第一次段考试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =I （） A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 4,0x R x x ∀∈+< B. 4,0x R x x ∀∈+≤ C. 4000,0x R x x ∃∈+≥ D. 4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.【详解】命题的否定为：x R ∃∈，40x x +<，故选D.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.3.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A. a b c << B. c b a << C. b c a << D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质得1a >，由对数函数的性质得()0,1b ∈，根据正切函数的性质得0c <，即可求解，得到答案．【详解】由指数函数的性质，可得0.521a =>，由对数函数的性质可得()0.5log 0.60,1b =∈， 根据正切函数的性质，可得4tan05c π=<，所以c b a <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.若cos （πθ4-）=12，则sin2θ=（ ）A. 12-B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，化简得2sin 2cos[2()]2cos ()144ππθθθ=-=--，即可求解.【详解】因为1cos()42πθ-=， 又由2211sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()12()124422πππθθθθ=-=-=--=⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.设,m n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可.【详解】如果m α⊂， //a β，那么由n β⊥则可得到n α⊥ 即可得到m n ⊥；反之 由m n ⊥，m α⊂， //a β，不能得到n β⊥，故，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的 充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题.6.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是 A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再求()1f ，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭利用排除法可得解.【详解】由题意得，()211cos cos 1e 1e x x xe f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以()()1cos 1exxe f x x ----=⋅-+ ()1cos 1ex x e x f x -=⋅=-+，所以函数()f x 奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令1x =，则()12111cos1cos101e 1e e f -⎛⎫⎛⎫=-=<⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象，属于基础题.．7.已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A. -B.C.D.2【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tan α的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．【详解】由题11sin 3sin 22a a a a -=-+桫，则tan α=故tan2α=22tan =1tan aa--故选：A【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31xf x =-，则13(log 12)f 的值为（）A. 13-B.13C. 53-D.53【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：1334(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。

【详解】由于133(log 12)(log 12)f f =-；因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期； 所以33334(log 12)=(log 12)(log 122)(log )3f f f f --=--=-又因为340log 13<<，所以34log 3133441(log 12)(log )=(31)(1)333f f =---=--=-；故答案选A【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。

9.已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，60ACB ∠=︒，AB =DC =O 的表面积为（ ）A. 24πB. 30πC. 36πD. 42π【答案】C 【解析】 【分析】设底面ABC 外接圆的半径为r ，且圆心为1O，则可根据条件得到R =用正弦定理可求r ，从而求出R 后可求球的表面积.【详解】如图，设底面ABC 外接圆的半径为r ，且圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ， 因为DC ⊥平面ABC ，所以1OO DC P ，所以1,,,D C O O 四点共面. 取CD 的中点为E ，连接OE ，则OE DC ⊥，因为DC ⊥平面ABC ，1CO ⊂平面ABC ，所以1DC CO ⊥，所以1OE CO P ，故四边形1ECO O 为平行四边形，故1132OO CD ==， 2221113R CO OO CO =+=+，在ABC ∆中，132322263CO ===即16CO =， 所以3R =，所以球的表面积为24336S ππ=⨯=，选C.【点睛】本题考查三棱锥外接球半径的求法，注意利用球心的性质确定球心的位置.另外，在计算线段的长度时，注意利用解三角形的相关知识来帮助求解.10.若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为( ) A. 4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】先利用复合函数同增异减法得出函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，于此得出()()32,22,5m m -+⊆，然后列不等式组可解出实数m 的取值范围. 【详解】由2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<. 二次函数245y x x =-++的对称轴为2x =.由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5． 要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则()()32,22,5m m -+⊆，即32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得423m ≤<，故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性与参数，解本题的关键在于将区间转化为函数单调区间的子集，利用集合的包含关系求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数． 【详解】∵f （x +1）＝﹣f （x ）， ∴f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， ∴f （x ）的周期为2．∴f （1﹣x ）＝f （x ﹣1）＝f （x +1）， 故f （x ）的图象关于直线x ＝1对称． 又g （x ）＝（12）|x ﹣1|（﹣1＜x ＜3）的图象关于直线x ＝1对称， 作出f （x ）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点， 故选：B ．【点睛】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题．12.若存在两个正实数,x y 使得等式(1ln )ln x x x y ay +=-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D.21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】可把(1ln )ln x x x y ay +=-化简为1ln x y a y x +=-，令yt x=可得1ln t at -=-，参变分离后可求a 的取值范围.【详解】方程(1ln )ln x x x y ay +=-可化为1lnx y a y x +=-，令yt x=， 则1ln t at -=-即ln 1t a t-=，在（0，+∞）有解， 令()ln 1t g t t -=，则()()221ln 12ln t t g t t t ---'==， 当()20,t e∈时，()0g t '>，()g t 在()20,e 为增函数；当()2,t e ∈+∞时，()0g t '<，()g t 在()2,e +∞为减函数；又当t 趋近于0时，()g t 趋近于∞-， 所以()g t 的值域为21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故21,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，选D. 【点睛】对于多变量的方程，可以利用代数变形的方法将变量的个数降低，再利用参变分离的方法把参数的取值范围问题转化为一元函数的值域问题，后者可利用导数的方法来处理.二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.函数()22xf x =-的定义域为__________． 【答案】()0,1(1,]e U 【解析】 【分析】利用偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意得010220x x lnx >⎧⎪-≥⎨⎪-≠⎩，得001x x e x >⎧⎪<≤⎨⎪≠⎩，即函数的定义为()(]0,11,e ⋃.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.属于基础题.14.已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ--=，则αβ+=_____． 【答案】23π【解析】 【分析】将题目所给方程展开后，化简为()tan αβ+的形式，由此求得αβ+的大小.【详解】将()()114αβ=展开得)()tan tan 31tan tan αβαβ+=-⋅，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+=-⋅，由于α，β为锐角，0παβ<+<，故2π3αβ+=. 【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.15.设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞-【解析】 【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾；当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意.故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ①//BN 平面1A DM ，且BN 的长度为定值5； ②三棱锥N DMC -的最大体积为223； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】取AD 的中点E ，连接EM 、EN ，证明四边形BMEN 为平行四边形，得出//BN EM ，可判断出命题①的正误；由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，并由平面1A BM ⊥平面BCDM ，得出三棱锥1A DMC -体积的最大值，可判断出命题②的正误；取DM 的中点F ，连接AF ，由1A E DM ⊥，结合1AC DM ⊥得出DM ⊥平面1A CF ，推出DM CF ⊥得出矛盾，可判断出命题③的正误. 【详解】如下图所示：对于命题①，取1A D 的中点E ，连接EM 、EN ，则112A D A M ==，11A E =，190MA E ∠=o ，由勾股定理得EM ==易知//BM CD ，且12BM CD =，E Q 、N 分别为1A D 、1A C 的中点，所以，1//2EN CD ，∴四边形BMEN 为平行四边形，BN EM ==//BN EM ，BN ⊄Q 平面1A DM ，EM ⊂平面1A DM ，//BN ∴平面1A DM ，命题①正确；对于命题②，由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，当平面1A BM ⊥平面BCDM 时，三棱锥1A DMC -体积取最大值，取DM 的中点F ，则1A F DM ⊥，且11122A F DM ==⨯= Q 平面1A DM ⊥平面BCDM ，平面1A DM ⋂平面BCDM DM =，1A F DM ⊥，1A F ⊂平面1A DM ，1A F ∴⊥平面BCDM ，DMC ∆的面积为1142422DMC S CD BC ∆=⋅=⨯⨯=，所以，三棱锥1A DMC -的体积的最大值为111433DMC S A F ∆⋅=⨯=，则三棱锥N DMC -，命题②正确； 对于命题③，11A D A M =Q ，F 为DM 的中点，所以，1A F DM ⊥，若1AC DM ⊥，且111A C A F A ⋂=，DM ∴⊥平面1A CF ，由于CF ⊂平面1A CF ，CF DM ∴⊥，事实上，易得CM DM ==4CD =， 222CM DM CD ∴+=，由勾股定理可得CM DM ⊥，这与CF DM ⊥矛盾，命题③错误. 故答案为：①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题（共6小题，共70分）17.设命题p ：函数21()2ln 2f x x x ax =--在区间[]2,3单调递增，命题0,q x R ∃∈：使得2002860x ax a +--≤.如果命题“p 或q”是真命题，命题“p 且q”是假命题，求实数a的取值范围.【答案】42a --＜＜或1a > 【解析】 【分析】对于命题p ，利用求得函数()f x 的导数，利用分离常数法求得a 的取值范围.对于命题q ，利用判别式为非负数，求得a 的取值范围.由于p 或q 真，p 且q 假，故,p q 一真一假，分别求得p 真q 假和p 假q 真时，a 的取值范围，然后取并集求得题目所求a 的取值范围. 【详解】解：当P 为真命题：()2f x x a x =--'，()'0f x ≥在[2,3]恒成立，即2a x x≤-，∵2x x -为单调增函数，∴min 2()1a x x≤-=，即1a ≤； 当q 为真命题时，即()244860a a ∆=++≥，∴4a ≤-或2a ≥-； 由题意p ，q 一真一假，即当p 真q 假：42a --＜＜；当q 真p 假：1a >， 综上所述，42a --＜＜或1a >.【点睛】本小题主要考查还有逻辑连接词真假性求参数的取值范围，考查利用导数求解单调性的问题，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭． (1)求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．【答案】（1）sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=.【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义，求得sin ,cos αα的值,再利用两角和的正弦公式，即可求解． （2）利用三角函数的基本关系式，求得12cos()13αβ+=±,又根据()βαβα=+-，得到cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，代入即可求解，得到答案．【详解】（1）由题意，角α的终边经过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则1OP == 由三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα=-=-,所以1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）因为5sin()13αβ+=，所以 12cos()13αβ+===±, 又因为()βαβα=+-，所以cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++当12cos()13αβ+=时，56cos 65β=-； 当12cos()13αβ+=-时，16cos 65β=.综上所述：56cos 65β=-或16cos 65β=.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的定义，以及三角函数恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.已知 f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣ax 2．()()211e 2x f x x ax =--． (1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间(),ln 2-∞，增区间()ln 2,+∞；（2）()1,+∞ 【解析】 【分析】(1)求出()f x '，通过讨论其符号可得函数的单调区间.（2）因为()f x 在0x =处有极大值，从而可知在0x =的左侧附近有()0f x '>，在0x =的右侧附近有()0f x '<，从而得到xy e a =-在0x =的两侧附近总有0y <，据此可求出a 的取值范围.【详解】(1) 当2a =时，()(2)xf x x e '=-，令()0f x '=，则ln 2x =，当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 的增区间为()ln 2,+∞，减区间为(),ln 2-∞.（2）由(1)得()e (e )x xf x x ax x a '=-=-.因为()f x 在0x =处有极大值， 故可知在0x =的左侧附近有()0f x '>， 在0x =的右侧附近有()0f x '<，所以xy e a =-在0x =的两侧附近有0y <，所以10a -<即1a >，此时当1a >，ln 0a >，则当x ∈（﹣∞，0）时，x ＜0，e x ＜1，e x ﹣a ＜0，所以f '（x ）＞0；当x ∈（0，lna ）时，x ＞0，e x ﹣a ＜e lna ﹣a ＝0，所以f '（x ）＜0． 故0x =为()f x 的极大值点，若a ≤1，则当x ∈（0，1）时，x ＞0，e x ﹣a ≥e x ﹣1＞0， 所以f '（x ）＞0．所以0不是f （x ）的极大值点． 综上可知，a 的取值范围是（1，+∞）．【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在0x 的附近的任意x ，有()()0f x f x >（()()0f x f x <）” ．另外如果()f x 在0x 附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点，极大值、极小值的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()0f x '>，在0x 的右侧附近，有()0f x '<，则0x x =为函数的极大值点；（1）在0x 的左侧附近，有()0f x '<，在0x 的右侧附近()0f x '>，有，则0x x =为函数的极小值点．20.如图，在三棱柱ABM DCN -中，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，E 、F 分别为棱MA 、DC 的中点.（1）求证：//EF 平面MNCB ；（2）若2AB AM ==，120ABC ∠=︒，且平面MADN ⊥平面ABCD ，求四棱锥E BCNM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（223【解析】 【分析】（1）取NC 的中点G ，连接FG ，MG ，证明//EF MG ，再证明//EF 平面MNCB ；（2） 取AD中点K ，证明BK ⊥平面MADN ，再利用2E BCNM E BMN A BMN B AMNV V V V ----===求四棱锥E BCNM -的体积.【详解】证明：（1）取NC 的中点G ，连接FG ，MG ， 因为//ME ND 且12ME ND =， 又因为F ，G 分别为DC ，NC 的中点，//FG ND 且12FG ND =， 所以FG 与ME 平行且相等，所以四边形MEFG 是平行四边形， 所以//EF MG ，又MG ⊂平面MNCB ，EF ⊄平面MNCB ，所以//EF 平面MNCB .（2）取AD 的中点K ，在ABK ∆中，2AB =，1AK =，60BAK ∠=︒， ∴2222cos603BK AB AK AB AK =+-⨯⨯︒=， ∴222AB AK BK =+，∴90AKB ∠=︒，即AK BK ⊥∵平面MADN ⊥平面ABCD ，平面MADN I 平面ABCD AD =， 又BK ⊂平面ABCD ， ∴BK ⊥平面MADN .2E BCNM E BMN A BMN B AMN V V V V ----===1123||2333AMN S BK ∆=⋅⋅=⋅⋅=，∴即四棱锥E BCNM -的体积为233. 【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解张窝 水平和分析推理能力.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，AB CD ∥，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（1）若13PE PA =，求证：PC P 平面EBD ； （2）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（3）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？ 若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，32PF =,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设AC BD G ⋂=，连结EG ，可证EG PC P ，从而可得PC P 平面EBD . （2）可证BC ⊥平面PAC ，从而可得平面EBC ⊥平面PAC .（3）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，可证AF ⊥平面PCD .再利用解直角三角形的方法可求32PF =. 【详解】（1）设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知AB CD ∥，1DC =，2AB =,得2AG AB GC DC ==.由13PE PA =,得2AEEP =. 在PAC ∆中，由AE AGEP GC=，得EG PC P . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC P 平面EBD .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC PA ⊥.在直角梯形ABCD 中，因1,AD DC AD DC ==⊥， 故2AC =，2BC =，因2AB =，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A =I ，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC .（3）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，则F 即为所求的点， 由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=， 得DC ⊥平面PAD .因AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 由3PA =，1AD =，PA AD ⊥，得32PF =.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.立体几何中的与动点有关的探索性问题，通常先指出动点的位置，再证明结论成立.22.设()()ln ,f x ax bx x f x =+ 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中 2.718...e =为自然对数的底数. （1）求,a b 的值 （2）证明：()21x f x x e≤+ 【答案】(1) 1,1a b ==- (2)见证明 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据题意列出方程组，求解即可得出结果； （2）先由（1）得()ln f x x x x =-，令()21ln (0)x h x x x x x x e=--->，用导数方法判断函数()h x 的单调性，只需其最大值小于等于0即可. 【详解】（1）()ln f x a b b x '=++ 由题意，可得 ()1()0f e a b b f e ae be =++=-⎧⎨=+='⎩解得1,1a b ==-（2）由（1）知()ln f x x x x =- 令()21ln (0)x h x x x x x x e =--->，则()1ln 2xh x x x e '=-+- ()1120x h x x e''=---<,(1)0h '<，当()0,0x h x '→>()()01g x g ''≤=，又()10g '<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x '=即00012ln x x x e =-+所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 所以()()0200000max 1ln x h x h x x x x x e ==--- ()0000022000000000111121x xx x x x x x x x x x x x e e e e e ⎛⎫⎛⎫=+---=+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0001x m x x e =-，()0110x m x e '=+> 又()()00,10m m <>所以()10,1x ∃∈，使得()10m x =此时 111x x e=，()11ln x x =- ()10h x '=01x x ∴=，()00m x ∴≤，()()00h x h x ∴≤≤；故()21x f x x e≤+ 【点睛】本题主要考查根据切线方程求参数的问题、以及导数方法证明不等式，熟记导数的几何意义、以及导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.。

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河北省唐山市2020届高三第一次模拟考试数学(文)试题 含答案

河北省唐山市2020届高三第一次模拟考试数学(文)试题 含答案

（1）证明：平面 BEF ⊥ 平面 BDF ； （2）求点 D 到平面 BEF 的距离．
20．（12 分）
已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 O：x2 + y2 = 4 上，且|PQ|=2．设线段 PQ 的中点为
M. （1）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限，求直线 OM 的斜率: （2）当点 P 移动时，求点 M 的轨迹方程．
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）
某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人．某电视台综艺节 目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿者．
O 的表面积为 36 ，则 PA=
A．2
B． 6
C． 31
C． 33
12．已知
F
是双曲线
C：x a
2 2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点，M
是
C
的渐近线上一点，且
MF⊥x
轴，过
F
作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN⊥ON，则双曲线 C 的离心率是
A．2
B． 3
C． 6 2
D． 2 3 3
2
二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x − y +1 0 13．若 x, y 满足约束条件 x + y − 3 0 ，则 z = 2x − y 的最小值为
河北省唐山市2020届高三上学期第一次摸底考试数学(文)试卷Word版含解析

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河北省唐山市2020届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得集合，再根据交集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，集合，又由，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.设A. 5B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简求得，再由复数模的计算，即可求解.【详解】由题意，复数，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数模的求解，其中根据复数的运算法则，正确求解复数，再由模的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.命题“”的否定是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由全称命题与存在性命题的关系——全称命题与存在性命题互为否定关系，即可得到答案.【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，故选C.【点睛】本题主要考查了命题的否定，其中熟记全称命题与特称命题的互为否定关系是求解的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.双曲线的渐近线方程为，则的离心率为A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程的渐近线方程，求得，再由离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，即，所以双曲线的离心率为，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.=A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式化简，即可求解.【详解】由题意，可知，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于1的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，所以所求概率为，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意得到基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7.在长方体中，，则异面直线所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在长方体中，连接，可得,得即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体中，连接，可得,所以异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，即为异面直线与所成的角，在长方体中，设，则，在中，由余弦定理得，故选B.【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.8.已知程序框图如右图所示则该程序框图的功能是A. 求的值B. 求的值C. 求的值D. 求的值【答案】C【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，进行循环计算，即可得到计算的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图可知：开始第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时终止循环，输出结果，所以该程序框图是计算输出的值，故选C.【点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.9.已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四二分之一圆弧），则该几何体的表面积为A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可得到答案. 【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为，底面周长为，柱体的高为1，所以该柱体的表面积为.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解.10.设函数，则A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上有极小值C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上有极大值【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性的定义，可得函数为奇函数，再由导数，得到，判定函数在上的增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以函数为奇函数，又由，当时，，所以且，即，所以函数在为单调递增函数，又由函数为奇函数，所以函数为上的增函数，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11.已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为，若,，则椭圆的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，可知，求得,代入椭圆的方程，再由和，即可求解的值，得到椭圆的方程. 【详解】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，且，且，则可知，设，则，即,代入椭圆的方程可得又由，则，解答，且，解得，所以椭圆的方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据题设条件，设出点A的坐标，代入椭圆的方程，以合理运用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12.已知函数，则的所有零点之和等于A. 8πB. 7πC. 6πD. 5π【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点的定义，令，得，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.【详解】由已知函数，令，即，即，即，解得或，当时，或或；当时，即，解得，又由，解得或或或，所以函数的所有零点之和为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，则___________.【答案】【解析】【分析】由函数的解析式，代入求解，即可求得答案.【详解】由题意，函数，所以，则.【点睛】本题主要考查了函数值的求解问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的对应关系计算求值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.已知满足，则的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数，化为，结合图象可知，直线过点A时，目标函数取得最大值，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数，化为，结合图象可知，直线过点A时，目标函数取得最大值，由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.15.已知的两个单位向量，且，则__________.【答案】1【解析】【分析】由题意，向量的两个单位向量，且，求得两向量的夹角满足，再由模的计算公式和向量的数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，向量的两个单位向量，且，则，所以，所以.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．16.的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.【答案】【分析】在中，设，且，得处，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】在为锐角三角形，设，且，所以，所以，又由，则，所以，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中设，得到，利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列是公差不为0的等差数列，，成等比数列.（1）求；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设数列的首项为，公差为，由成等比数列，列出方程，求得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．（2）b n＝n·2n－1，T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，＝－n·2n＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，利用乘公比错位相减法，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，增大了难度，导致错解，试题能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223,228]内（单位：mm）的零件为一等品，其余为二等品.在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：（1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；（2）已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个.视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据表中的数据，利用平均数的公式，即可求解甲乙的平均数；（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，即可求解甲工艺生产的利润，应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，即可求解乙工艺生产该零件每天取得的利润，比较即可得到结论.【详解】（1）甲＝ (217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；＝ (218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；乙（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300××30＋300××20＝7200元；应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280××30＋280××20＝7000元．因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．【点睛】本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中，认真审题，同时熟记数据平均数的计算公式和概率的应用求解甲乙两种公式一生产的利润是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 19.在直角三角形中，的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）在直角三角形中，求得，再由题意得，利用线面垂直判定定理，即可求解；（2）利用等价法，把点到平面转化为三棱锥的高，即可求解.【详解】（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，又因为PD&#xF0CC;平面PBD，∴PD⊥CD．（2）∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又∵PD⊥CD，BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，所以PD＝AD＝，PB＝PC＝BC＝2．S△ABC＝2，S△PBC＝，设A点到平面PBC的距离为d，由V P-ABC＝V A-PBC得，S△ABC×PD＝S△PBC×d，∴d＝＝．即A点到平面PBC的距离为．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及利用等积法求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.20.斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.（1）求的值；（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，代入抛物线的方程，利用韦达定理得到，由的中点在上，即可求解；（2）根据圆的弦长公式，分别求解，利用求得实数的值，进而得到答案. 【详解】（1）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，x2－2kx－2m＝0，4k2＋8m，x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m，因为AB的中点在x＝1上，所以x1＋x2＝2．即2k＝2，所以k＝1．（2）O到直线l的距离d＝，|CD|＝2，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2·，因为|AB|＝|CD|,所以2·＝2，化简得m2＋8m－20＝0，所以m＝－10或m＝2．由得－＜m＜2．所以m＝2，直线l的方程为y＝x＋2．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.设（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，求得，利用导数得到函数的单调性，进而求解函数的最小值；（2）由，令，利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可得到证明.【详解】（1）f&#xF0A2;(x)＝2(lnx＋1)．所以当x∈(0，)时，f&#xF0A2;(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f&#xF0A2;(x)＞0，f(x)单调递增．所以x＝时，f(x)取得最小值f()＝1－．（2）x2－x＋＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－－2(x－1)lnx＝(x－1)(x－－2lnx)，令g(x)＝x－－2lnx，则g&#xF0A2;(x)＝1＋－＝≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为g(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g(x)＜0；当x＞1时，g(x)＞0，所以(x－1)(x－－2lnx)≥0，即f(x)≤x2－x＋＋2lnx．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.在极坐标系中，曲线方程为.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线：，（t为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据公式，代入即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由ρ2－2ρsin(θ＋)－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2sin(α＋)|因为0≤α≤α＋＜，从而有－2＜2sin(α＋)≤2．所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2]．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.已知.（1）求不等式解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式，得，平方即可求解不等式的解集；（2）由已知可得，恒成立，设，利用函数的单调性，求得函数的最大值，即可求解.【详解】（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,所以|x＋1|2＞|2x－1|2,整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，设g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

A10联盟2020届高三上学期11月段考理科数学

A10联盟2020届高三上学期11月段考理科数学

绝密★启用前A10联盟2020届高三上学期11月段考理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 设集合A={x|9x2−3<1},B={y|y<2},则(C R A)∩B=( )A. [23,2)B. ∅C. (−∞,−23]∪[23,2)D. (−23,23)2. 已知向量a⃗与b⃗⃗方向相反,a⃗=(1,−√3),|b⃗⃗|=2,则|a⃗−b⃗⃗|=( )A. 2B. 4C. 8D. 163. 若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是( )A. a+c>b−cB. a∙lg(c2+1)>b∙lg(c2+1)C. c 2a−b>0 D. (a−b)∙5c>04. 下列命题中正确的是( )A. ∃x0∈R,e x0⩽0B. ∀x∈R,2x>x2C. 若(¬p)∧q是真命题,则p∨(¬q)是假命题D. 1⩾0是假命题5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲,1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2019这2019个数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成--列,构成数列{a n},则此数列的项数为( )A. 167B. 168C. 169D. 1706. 已知函数f(x)=axtanx+xcosx(a∈R)为奇函数,则f(−π6)=( )A. −π12B. −√3π12C. π12D. √3π127. 曲线f(x)=2x2,g(x)=2x2−x以及直线x=14所围成封闭图形的面积为( )A. 132B.116C. 18D.148. 在ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C=2π3,sinB=3sinA,若ΔABC的面积为6√3,则c装订线=( )A. 2√2B. 2√26C. 2√14D. 4√79. (A10联盟2020高三上11月段考文数)已知函数f(x)=|x|−1,g(x)=log a |x|,当1<a <e 时,f(x)与g(x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(−1)n−1∙2n+1n 2+n(n ∈N ∗),则数列{a n }的前2020项和为( )A.20222021 B.20212020 C.20202021D.2019202011. 已知函数f(x)=3|sin(2x −π6)|+3|cos2x|,现有如下命题: ①函数f(x)的最小正周期为π2; ②函数f(x)的最大值为3√3; ③x =5π12是函数f(x)图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ,若存在m ,n ,使得f′(m)=f′(n)=0,且m ∈(0,1e ],则f(m)−f(n)的最小值为( )班级： 姓名： 线订装A. 4e B. 2e C.4e 2D.2e 2二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知实数x ,y 满足,则目标函数z =5x +2y 的最大值是__________.14. (A10联盟2020高三上11月段考文数)平行四边形ABCD 中,点E 是线段BC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则λ−μ=__________.15. 设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1=2,对任意p ,q ∈N ∗,都有a p+q =a p ∙a q ,则S n−1∙(S n−1+4)+260a n (n >1,n ∈N ∗)的最小值为__________.16. 若直线y =kx +b 既是曲线y =lnx 的切线,又是曲线y =e x−2的切线,则b =__________.三、解答题（每小题10分,共60分）17. (A10联盟2020高三上11月段考文数)已知p:m −1⩽t ⩽m 2+1,q :函数f(x)=log 3x −t 在区间(19,9)上没有零点. (1)若m =0,且命题p ∧(¬q)为真命题,求实数t 的取值范围; (2)若p 是q 成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.18. 把正弦函数y =sinx 的函数图象向左平移π6个单位长度,向上平移12个单位长度,然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω(ω>1)倍,所得曲线是f(x),点P ,Q ,R 分别是直线y =m (m>0)与函数f(x)的图象自左至右的某三个相邻交点,且|PQ|=12|QR|=π3. (1)求f(x)的解析式; (2)求实数m 的值.19. 已知函数f(x)=x2−(2a+2)x+2alnx(a>0). (1)当a=1时,证明:f(x)有且只有一个零点; (2)求函数f(x)的极值.20. 已知S n为数列{a n}的前n项和,√S n=n−a1+1(n∈N∗). (1)求数列{a n}的通项公式; (2)若b n=a n+1∙3n,求数列{b n}的前n项和T n.21. 在ΔABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=acosC+√33csinA,点M是BC的中点. (1)求A的值; (2)若a=√3,求中线AM的最大值.22. 已知函数f(x)=x(1−acosx),x∈[0,π2]. (1)若a=12,判断函数f(x)的单调性; (2)若对于∀x∈[0,π2],f(x)+sinx⩾0恒成立,求实数a的取值范围.第1题：【答案】C【解析】由题意得,,则或,∴.第2题：【答案】B【解析】∵,∴,又向量与方向相反,且,∴,∴.第3题：【答案】D【解析】取,,,排除A;取,排除B,C,故选D.第4题：【答案】C【解析】,,故A错误;当时,,故B错误;∵是真命题,∴是假命题,是真命题,∴是假命题,故C正确;选项D 显然错误.第5题：【答案】C【解析】由题意得,被除余且被除余的数就是能被除余的数,∴,,由,得,∵,∴此数列的项数为.第6题：【答案】B【解析】∵函数为奇函数,易得,∴,则.第7题：【答案】A【解析】由题意得,.第8题：【答案】B【解析】由题意得,,,又,解得,∴,即.第9题：【答案】D【解析】由题意得,函数,均为偶函数,故排除A选项;当时,,,当时,,∴与的图象在上有一个交点.第10题：【答案】C【解析】∵,∴当为偶数时,,∴数列的前项和为.第11题：【答案】D【解析】由题意得,函数的最小正周期为,故①正确; 当时,; 当时,;当时,,作出函数的图象如图所示,可知②③正确,故选D.装订线第12题： 【答案】A【解析】,由题意得,方程的两根分别为,,且,,∴,,则;令,则;当时,恒成立,∴在上单调递减,∴,即的最小值为.第13题：【答案】 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,其中,,,作直线,平移直线,当其经过点时,取得最大值,即.第14题：【答案】【解析】∵,∴.第15题：【答案】【解析】当时,,∴数列是首项为,公比为的等比数列, ∴,∴,∴, ∴, ∴,当且仅当,即时,等号成立.第16题： 【答案】或【解析】令,,则,,设切点分别,,则切线方程为;,即, ∴,即, ∴,∴或, 当时,切线方程为,∴;当时,切线方程为,∴, 综上所述,或.第17题：【答案】见解析.【解析】(1)当时,, 由函数在区间上没有零点,得或, 解得或, ∵为真命题,∴为真命题,为假命题, 当取值范围是.第18题：【答案】见解析.【解析】(1)由题意得,(),,∵,∴, ∴. (2)设,, 则, 即, 解得(),则, ∵,∴.第19题：【答案】见解析.【解析】(1)当时,,定义域为, ∴, ∴在上单调递增,∴至多有一个零点, 又,, 则, ∴在上有且只有一个零点. (2)由题意得,,, 当时,当时,, 当时,,当时,, ∴函数在和上单调递增,在上单调递减, ∴极大值为, 极小值为; 当时,,∴函数在上单调递增,无极值; 当时,当时,, 当时,,当时,, ∴函数在和上单调递增,在上单调递减, ∴极大值为,极小值为.第20题：【答案】见解析.【解析】(1)令,得,∴,解得, ∴,即; 当时,,当时,适合上式, ∴. (2)方法一:由题意得,, ∴, ∴, 两式相减得,, 整理得,. 方法二:由题意得,, ∴.第21题：【答案】见解析.【解析】(1)由已知及正弦定理得, 又,且, ∴,即. (2)方法一:在中,由余弦定理得, ∵,当且仅当时取等号,∴, ∵是边上的中线,∴在和中, 由余弦定理得,①,②, 由①②,得,当且仅当时,取最大值. 方法二:在中,由余弦定理得, ∵,当且仅当时取等号,∴, ∵是边上的中线,∴,两边平方得, ∴,当且仅当时,取最大值.第22题：【答案】见解析.【解析】(1)由题意得,,则, 当时,,,∴, ∴函数在上单调递增. (2)由题意得,在上恒成立; ∵,∴,, 当时,在上恒成立; 当时,设, 则, ①当时,,则,又, ∴,∴在上单调递增,∴,符合题意; ②当时,令, 则,在区间上恒成立, ∴在区间上单调递增, ∴,, ∴存在,使得,当时,,单调递减, ∴,不符合题意, 综上所述,实数的取值范围是.。

2020年河北省唐山市高考(文科)数学一模试卷 (解析版)

2020年河北省唐山市高考(文科)数学一模试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x≤0}，则A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．设i是虚数单位，复数z=2+i3−i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．已知向量a→，b→满足|a→+b→|＝|b→|，且|a→|＝2，则a→⋅b→=（）A．2B．1C．﹣1D．﹣25．设sin（π4+θ）=13，则sin2θ＝（）A．−19B．−79C．19D．796．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（ ） A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛7．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 2＝b 2＝m ，a 3＝b 3＝n ，若m ，n 为正数，且m ≠n ，则（ ） A ．a 1＜b 1 B ．a 1＞b 1 C ．a 1＝b 1D ．a 1，b 1的大小关系不确定8．抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3，则p ＝（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．函数f （x ）＝tan x ﹣x 2在(−π2，π2)上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数f(x)=sin(x +2π3)，则下列结论中错误的是（ ）A ．f （x ）的图象关于点（π3，0）对称B ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称 C ．f （x ）在[0，π3]上单调递减D ．f （x ）在[−π3，0]上的最大值为111．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，且AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，若球O 的表面积为36π，则PA ＝（ ） A ．2B ．√6C ．√31D ．√3312．已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2√33B ．√3C ．√62D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x −3y +1≤0，则z ＝2x ﹣y 的最小值为 ．14．曲线f （x ）＝e x +2sin x ﹣1在点（0，f （0））处的切线方程为 ．15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n +1＝a n +tn （n ∈N *，t 为非零常数），且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝ ．16．已知f(x)=a(1x−2x)+lnx ，f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2），则a 的取值范围是 ；f （x 1）+f （x 2）＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c =√3asinC −ccosA ． （1）求角A ；（2）设D是BC边上一点，若∠ADB=2π3，且AD＝1，a＝3，求b，c．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，且AA1⊥底面ABC，AB＝2√2，A1A ＝3，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱CC1上，且FC＝1．（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；（2）求点D到平面BEF的距离．20．已知P是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：x2+y2＝4上，且|PQ|＝2．设线段PQ的中点为M．（1）当直线PQ与圆O相切于点Q，且点Q在第一象限，求直线OM的斜率；（2）当点P移动时，求点M的轨迹方程．21．已知a＞0，函数f（x）＝2ax3﹣3（a2+1）x2+6ax﹣2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上仅有一个零点，求a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C：ρ＝4sinθ，直线l：ρcosθ＝2．以极点O为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）点A在圆C上，AB⊥l于B，记△OAB的面积为S，求S的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣1|﹣1．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）是否存在实数a，使得f（x）的图象与x轴有唯一的交点？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x≤0}，则A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B的元素个数．解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}，∴A∩B中元素的个数是2．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，集合元素的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．设i是虚数单位，复数z=2+i3−i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简z，从而求出其在复平面内对应的点所在的象限．解：∵i是虚数单位，复数z=2+i3−i=(2+i)(3+i)(3−i)(3+i)=5+5i10=12+12i；则z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性【分析】根据柱状统计图即可判断．解：由柱状统计图可知无论男女的平均预期寿命都在逐渐延长，且很明显女性平均预期寿命延长幅度略高于男性，故A、B、D正确，C错误，故选：C．【点评】本题考查了柱状统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．4．已知向量a→，b→满足|a→+b→|＝|b→|，且|a→|＝2，则a→⋅b→=（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据条件可表示出2a→⋅b→=−a→2，代入即可得到所求值．解：因为|a→+b→|＝|b→|，即有|a→+b→|2＝|b→|2，所以a→2+2a→⋅b→+b→2=b→2，则2a→⋅b→=−a→2＝﹣4，所以a→⋅b→=−2，故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于基础题．5．设sin （π4+θ）=13，则sin2θ＝（ ）A ．−19B ．−79C ．19D ．79【分析】将已知由两角和的正弦公式展开可得√22（sin θ+cos θ）=13，两边平方可得12（1+sin2θ）=19，即可得解． 解：∵sin （π4+θ）=13，∴√22（sin θ+cos θ）=13，∴两边平方，可得：12（1+sin2θ）=19，解得：sin2θ=−79， 故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦公式及两角和的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（ ） A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛【分析】由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的体积，除以1.62得答案．解：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝54，得r ＝9， 故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺， ∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴该圆柱形容器能放米4374÷1.62≈2700斛， 故选：B ．【点评】本题考查圆柱体积的求法，考查圆的周长公式的应用，是基础题．7．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 2＝b 2＝m ，a 3＝b 3＝n ，若m ，n 为正数，且m ≠n ，则（ ） A ．a 1＜b 1B ．a 1＞b 1C ．a 1＝b 1D ．a 1，b 1的大小关系不确定【分析】本题先根据等差中项和等比中项的性质可列式并计算出a 1、b 1关于m 、n 的表达式，然后应用作差法比较a 1、b 1的大小，进行不等式的计算即可得到正确选项． 解：由题意，可知∵数列{a n }是等差数列，且a 2＝m ，a 3＝n ， ∴2a 2＝a 1+a 3，即2m ＝a 1+n ， 解得a 1＝2m ﹣n ，又∵数列{b n }是等比数列，且b 2＝m ，b 3＝n ， ∴b 22＝b 1b 3，即m 2＝nb 1， 解得b 1=m 2n，∴a 1﹣b 1＝2m ﹣n −m 2n=−(m−n)2n，∵m ，n 为正数，且m ≠n ， ∴（m ﹣n ）2＞0， ∴a 1﹣b 1=−(m−n)2n＜0，即a 1＜b 1． 故选：A ．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列与不等式的综合问题．考查转化与化归思想，方程思想，不等式的运算能力，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 8．抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3，则p ＝（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】先根据抛物线的方程写出其准线方程，从而得到点A 的纵坐标，将其代入抛物线方程求得A 的横坐标，再利用两点间距离公式建立关于p 的方程，解之即可得解． 解：由抛物线x 2＝2py 可知，其准线方程为y =−p2，∵点A 到其准线的距离为3，∴y A =3−p 2，∴x A 2=2p ⋅(3−p2)，又点A 到原点的距离为3，∴|OA|2=x A 2+y A 2=2p(3−p 2)+(3−p2)2=32，解得p ＝4． 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的准线方程，两点间距离公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．9．函数f （x ）＝tan x ﹣x 2在(−π2，π2)上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合选项直接得解． 解：函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，故排除选项B 、D ； 又f(π4)=1−π216＞0，故排除选项C ．故选：A ．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题． 10．设函数f(x)=sin(x +2π3)，则下列结论中错误的是（ ） A ．f （x ）的图象关于点（π3，0）对称B ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称 C ．f （x ）在[0，π3]上单调递减D ．f （x ）在[−π3，0]上的最大值为1【分析】根据三角函数的图象与性质间的关系判断A ，B 选项；结合换元思想研究f （x ）的单调性，进一步判断C ，D 选项．解：对于A ，因为f(π3)=sin(π3+2π3)=0，故A 对；对于B ，f(π6)=sin(π6+2π3)=sin 5π6=12≠±1，故B 错； 对于C ，x ∈[0，π3]时，x +2π3∈[2π3，π]，这是y ＝sin x 的减区间，结合复合函数“同增异减”可知，C 对；对于D ，x ∈[−π3，0]时，x +2π3∈[π3，2π3]，可知当x +2π3=π2，即x =−π6时，f （x ）max ＝1，故D 对．故选：B ．【点评】本题考查正弦（型）函数的对称性、单调性及最值的判断方法，注意转化思想的应用，同时考查学生的运算能力和推理能力．属于中档题．11．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，且AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，若球O 的表面积为36π，则PA ＝（ ） A ．2B ．√6C ．√31D ．√33【分析】先分析底面四边形ABCD 的外接圆，利用三角形全等得到底面四边形ABCD 的外接圆的圆心M 为AC 的中点，从而面四边形ABCD 的外接圆的半径r =√52，易知球O的球心O 在过点M 的底面ABCD 的垂线上，由球O 的表面积求出球O 的半径，再利用勾股定理即可求出PA 的值．解：设底面四边形ABCD 的外接圆为圆M ，如图所示：，∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC ， ∴∠ADC ＝∠ABC ，又因为圆内接四边形对角互补，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°， ∴底面四边形ABCD 的外接圆的圆心M 为AC 的中点，∵AD ＝1，CD ＝2，∠ADC ＝90°，∴AC =√5，即面四边形ABCD 的外接圆的半径r =√52，过点M 作底面ABCD 的垂线，则球O 的球心O 在垂线上，如图所示：，过球心O 作ON ⊥PA 于点N ，故四边形AMON 为矩形， ∵球O 的表面积为36π，∴4πR 2＝36π，∴R ＝3，在Rt △OAM 中：AM ＝r =√52，OA ＝R ＝3，∴OM =32−(52)2=√312，在Rt △PON 中：ON ＝AM ＝r =√52，OP ＝R ＝3，∴PN =32−(52)2=√312，∴PA ＝PN +AN ＝PN +OM =√31， 故选：C ．【点评】本题主要考查了四棱锥的外接球，是中档题． 12．已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2√33B ．√3C ．√62D ．2【分析】把x ＝c 代入渐近线y =bax ，可求得点M 的坐标，由于OM ∥NF ，利用点斜式写出直线NF 的方程，将其与渐近线y =−b ax 联立，可求得点N 的坐标，然后结合MN ⊥ON ，直线的斜率之积为﹣1，可得到关于a 、b 、c 的等量关系式，最后结合c 2＝a 2+b 2和e =ca 即可求得离心率．解：根据题意，作出如图所示的图形，由题意可知，点F （c ，0），渐近线方程为y =±bax ， ∵MF ⊥x 轴，∴把x ＝c 代入y =b ax ，得y =bc a ，∴点M （c ，bca）， ∵OM ∥NF ，∴直线NF 的方程为y =b a(x −c)，联立{y =ba (x −c)y =−b a x，解得{x =c2y =−bc 2a ，∴点N (c 2，−bc2a )， ∵MN ⊥ON ，∴bc a −(−bc2a )c−c 2⋅(−ba)=−1，化简得，a 2＝3b 2，∴离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a2=√1+13=2√33．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线、离心率等几何性质，还涉及到了两条直线的平行与垂直关系、交点坐标等知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x −3y +1≤0，则z ＝2x ﹣y 的最小值为 ﹣2 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x −3y +1≤0，作出可行域如图所示，化目标函数z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ，{x −y +1=0x −3y +1=0解得C （﹣1，0），由图可知，当直线y ＝2x ﹣z 过C （﹣1，0）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．曲线f （x ）＝e x +2sin x ﹣1在点（0，f （0））处的切线方程为 y ＝3x ．【分析】先求出函数f （x ）的导数，然后分别求出x ＝0处的导数值、函数值，最后代入点斜式求解．解：由已知得f ′（x ）＝e x +2cos x ， ∴f ′（0）＝3，f （0）＝0， 故切线方程为：y ＝3x ． 故答案为：y ＝3x ．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意抓住切点满足的条件列方程．属于基础题．15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n +1＝a n +tn （n ∈N *，t 为非零常数），且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝22．【分析】由a 1，a 2，a 3成等比数列可得t 的方程，可得a n +1＝a n +n ，运用累加法可求a n ． 解：a 2＝a 1+t ＝1+t ，a 3＝a 2+2t ＝1+3t ，依题意a 1，a 2，a 3成等比数列，即（1+t ）2＝1（1+3t ）， 解得 t ＝0（舍去），t ＝1；n ≥2时，a 2﹣a 1＝1，a 3﹣a 2＝2，…a n ﹣a n ﹣1＝n ﹣1，以上各式相加得a n ﹣a 1＝1+2+…+（n ﹣1）=12n （n ﹣1），即有a n =n 2−n+22．n ＝l 时，表达式也成立，所以∀n ∈N*，a n =n 2−n+22；故答案为：n 2−n+22．【点评】本题考查等比数列的定义、利用递推式求数列通项，以及累加法的应用，属中档题．16．已知f(x)=a(1x −2x)+lnx ，f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2），则a 的取值范围是 （0，√24） ；f （x 1）+f （x 2）＝ ﹣ln 2 ． 【分析】先求导，根据函数有f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2），即可求出2ax 2﹣x +a ＝0有两个正根，可得a 的取值范围，由f （x 1）+f （x 2）＝a （1x 1−2x 1）+lnx 1+a（1x 2−2x 2）+lnx 2，即可求出．解：f （x ）＝a （1x−2x ）+lnx ，x ＞0，∴f ′（x ）＝a （−12−2）+1x =−2ax 2+x−ax 2，∵f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2）， ∴f ′（x ）=−2ax 2+x−ax2=0，即2ax 2﹣x +a ＝0有两个正根， ∴{△=1−8a 2＞0x 1+x 2=12a ＞0x 1x 2=12＞0， 解得0＜a ＜√24；∴0＜x 1＜12＜x 2，∴f （x 1）+f （x 2）＝a （1x 1−2x 1）+lnx 1+a （1x 2−2x 2）+lnx 2＝a （1x 1−2x 1+1x 2−2x 2）+lnx 1x 2＝a （x 1+x 2x 1x 2−2（x 1+x 2）﹣ln 2＝a （1a−1a）﹣ln 2＝﹣ln 2．故答案为：（0，√24），﹣ln 2．【点评】本题考查了导数和函数极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．【分析】（1）利用分层抽样的性质能求出表演专业、播音主持专业、影视编导专业选取的人数．（2）设表演专业的3位志愿者为A，B，C，播音主持专业的志愿者为D，影视编导的志愿者为E，F，将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，利用列举法能求出结果．解：（1）某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．表演专业选取：6×2727+9+18=3人，播音主持专业选取：6×927+9+18=1人，影视编导专业选取：6×1827+9+18=2人．（2）设表演专业的3位志愿者为A，B，C，播音主持专业的志愿者为D，影视编导的志愿者为E，F，将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，所有可能的结果有6种，分别为：①{A，D}，{B，E}，{C，F}；②{A，D}，{C，E}，{B，F}；③{B，D}，{A，E}，{C，F}；④{B，D}，{C，E}，{A，F}；⑤{C，D}，{A，E}，{B，F}；⑥{C，D}，{B，E}，{A，F}．其中A与D分在一组的情况有2种，∴表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概率p=26=13．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c=√3asinC−ccosA．（1）求角A；（2）设D是BC边上一点，若∠ADB=2π3，且AD＝1，a＝3，求b，c．【分析】（1）由正弦定理得：√3sin A﹣cos A＝2，再利用辅助角公式即可求出角A；（2）由三角形面积公式可得bc＝3，再在△ABC中，运用余弦定理即可求出b，c的值．解：（1）由正弦定理得：a sin C＝c sin A，所以2c=√3c sin A﹣c cos A，从而√3sin A﹣cos A＝2，所以2（sin A⋅√32−12⋅cosA）＝2，即sin（A−π6）＝1，又因为A∈（0，π），所以A=2π3；（2）因为S△ABC=12bcsinA=12a⋅AD⋅sin2π3，所以bc＝a＝3，在△ABC中，由余弦定理得：b2+c2+bc＝a2，所以（b﹣c）2＝9﹣3bc＝0，所以b＝c，故b＝c=√3．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，且AA1⊥底面ABC，AB＝2√2，A1A ＝3，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱CC1上，且FC＝1．（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；（2）求点D到平面BEF的距离．【分析】（1）由A1A⊥平面ABC，得A1A⊥BD，再由△ABC为等边三角形，D为AC 的中点，得BD⊥AC，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1A1，得BD⊥EF．求解三角形证明EF⊥DF，得到EF⊥平面BDF，进一步可得平面BEF⊥平面BDF；（2）作DM⊥BF，垂足为M，由（1）可知平面BEF⊥平面BDF，得到DM⊥平面BEF，即DM即为点D到平面BEF的距离，求解三角形得答案．【解答】（1）证明：∵A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴A1A⊥BD，∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，得BD⊥EF．在△DEF中，DE＝3，EF=√6，DF=√3，满足DE2＝DF2+EF2，∴EF⊥DF．又BD∩DF＝D，∴EF⊥平面BDF，又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDF；（2）解：作DM⊥BF，垂足为M，由（1）可知平面BEF⊥平面BDF，DM⊂平面BEF，平面BEF∩平面BDF＝BF，∴DM⊥平面BEF，∴DM即为点D到平面BEF的距离．在△BDF中，BD=√6，DF=√3，BF＝3．满足BF2+DF2＝BD2，∴BD⊥DF．故DM=BD⋅DFBF=√2．即点D到平面BEF的距离为√2．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了点到平面距离的求法，是中档题．20．已知P是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：x2+y2＝4上，且|PQ|＝2．设线段PQ的中点为M．（1）当直线PQ与圆O相切于点Q，且点Q在第一象限，求直线OM的斜率；（2）当点P移动时，求点M的轨迹方程．【分析】（1）根据条件求得P的坐标以及Q的坐标，进而求得M的坐标，进而求得结论；（2）设出M的坐标，结合中点坐标公式求出Q的坐标，代入圆的方程即可求出结论．解：（1）连接OQ，当直线PQ与圆O相切于点Q；则OQ⊥PQ，因为|OQ|＝|PQ|＝2；则|OP|＝2√2，点Q在第一象限，P（2√2，0），Q（√2，√2）；因为线段PQ的中点为M，得M（3√22，√22）；所以直线OM的斜率为1 3．（2）设M（x，y）（x≠0），由|OQ|＝|PQ|＝2，由M为PQ的中点，得P（4x3，0）则Q（2x3，2y）；把Q（2x3，2y）代入x2+y2＝4；整理得：x29+y2＝1；所以点M 的轨迹方程为：x 29+y 2＝1，（x ≠0）．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．21．已知a ＞0，函数f （x ）＝2ax 3﹣3（a 2+1）x 2+6ax ﹣2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）在一、选择题上仅有一个零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出导数后，发现导数可以因式分解，从而需要讨论两个根a 和1a 的大小，得到单调性．（2）在（1）的基础上，分类判定零点情况，最后综合得到答案．解：（1）由题可知：f ′（x ）＝6ax 2﹣6（a 2+1）x +6a ＝6（x ﹣a ）（ax ﹣1）， 令f′(x)=0，则，x =a 或x =1a．当1a ＞a ，即0＜a ＜1时，x ＜a 或x ＞1a时，f′(x)＞0，此时，f （x ）在（﹣∞，a ），(1a ，+∞)单调递增，f （x ）在(a ，1a)单调递减； 当a ＝1时，f ′（x ）≥0恒成立，所以f （x ）在R 上单调递增． 当1a ＜a ，即a ＞1时，x ＜1a或x ＞a 时，f′(x)＞0，此时，f （x ）在(−∞，1a )，(a ，+∞)上单调递增，f （x ）在(1a ，a)单调递减．综上，当0＜a ＜1时，f （x ）的增区间为(−∞，a)和(1a，+∞)，f （x ）的减区间为(a ，1a)； 当a ＝1时，f （x ）在R 上单调递增；当a ＞1时，f （x ）的增区间为(−∞，1a )和(a ，+∞)，f （x ）的减区间为(1a ，a)．（2）由题可得：f （a ）＝﹣a 4+3a 2﹣2＝（a 2﹣1）（2﹣a 2）；f(1a )=1−1a 2由（1）可得：当0＜a ＜1时，f(a)＜0，f(1a )＜0，所以f （x ）仅在(1a，+∞)有一个零点，满足要求； 当a ＝1时，f （x ）仅有一个零点x ＝1，满足要求；当a ＞1时，f(1a )＞0，又f （x ）在R 上仅有一个零点，则f （a ）＞0，即2−a 2＞0，解得1＜a ＜√2，综上，若f （x ）在R 上仅有一个零点，则a 的取值范围时(0，√2)．【点评】结合导数单调性考查了学生对于常见的含参一元二次讨论，考查了学生的计算能力，分类讨论思想及逻辑推理能力，属于中档题．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）圆C ：ρ＝4sin θ，转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4．转换为参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）． 直线l ：ρcos θ＝2．转换为直角坐标方程为x ＝2．（2）设A （2cos α，2+2sin α），（0＜α＜2π），则：B （2，2+2sin α），所以S △OAB ＝2（1﹣cos α）（1+sin α）=[√2sin(α−π4)+1]2，当α−π4=π2时，(S △OAB )max =3+2√2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |﹣2|x ﹣1|﹣1．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将a ＝1代入，分类讨论解不等式，再取并集即可；（2）分a ＞﹣1，a ＜﹣1及a ＝﹣1讨论即可得出结论．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＞0化为|x +1|﹣2|x ﹣1|﹣1＞0，当x ≤﹣1时，不等式化为x ﹣4＞0，无解；当﹣1＜x ＜1时，不等式化为3x ﹣2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为﹣x +2＞0，解得1≤x ＜2；综上，不等式的解集为(23，2)； （2）存在，当a ＞﹣1时，则f(x)={x −a −3，x ＜−a3x +a −3，−a ≤x ≤1−x +a +1，x ＞1，此时f （x ）的最大值为f （1）＝a ，所以a ＝0时满足题意；当a ＜﹣1时，则f(x)={x −a −3，x ＜1−3x −a +1，1≤x ≤−a −x +a +1，x ＞−a，此时f （x ）的最大值为f （1）＝﹣a ﹣2，所以a ＝﹣2满足题意；当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣|x ﹣1|﹣1＜0，不满足题意；综上，实数a 的值为a ＝0或a ＝﹣2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．。