...选择5名队员组成出场阵容参加比赛。8名队员的身高及擅长的位置...

第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。

整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。

用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。

用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。

分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。

分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。

分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。

隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。

试述隐枚举法的步骤。

试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。

计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。

lingo入门教程之一--- 初识lingo lingo对于一些线性或者非线性的规划，优化问题非常有效首先介绍一下，在lingo中运行程序时出现的页面（在工具栏点击类似靶子一样的图标便可运行）Solver status:求解器(求解程序)状态框Model Class:当前模型的类型:LP，QP，ILP，IQP，PILP，PIQP，NLP，INLP，PINLP（以I开头表示IP，以PI开头表示PIP）State:当前解的状态: "Global Optimum", "LocalOptimum", "Feasible", "Infeasible“(不可行), "Unbounded“(无界), "Interrupted“(中断), "Undetermined“(未确定)Object:解的目标函数值Infeasibility:当前约束不满足的总量(不是不满足的约束的个数):实数（即使该值=0，当前解也可能不可行，因为这个量中没有考虑用上下界命令形式给出的约束）Iteration:目前为止的迭代次数Extend solverstatus:扩展的求解器(求解程序)状态框Solver type:使用的特殊求解程序:Bestobj :目前为止找到的可行解的最佳目标函数值Objbound:目标函数值的界Steps:特殊求解程序当前运行步数：Active:有效步数Variables（变量数量）：变量总数（Total）、非线性变量数（Nonlinear）、整数变量数（Integer）。

Constraints（约束数量）：约束总数（Total）、非线性约束个数(Nonlinear)。

Nonzeros（非零系数数量）：总数（Total）、非线性项系数个数(Nonlinear)。

GeneratorMemory Used (K) (内存使用量)ElapsedRuntime (hh:mm:ss)（求解花费的时间）运行之后页面介绍（这里的运行界面并不是与上面的运行过程中出现界面一致，即并非来自于同一个程序运行出现）第一行表示在经过457次迭代后得到局部最优解第二行给出该局部最优解的具体值下面给出取局部最优值时，x1 x2的具体取值这里求解的是局部最优解，如果想求出全局最优解，可以进行页面设置：lingo --> option --> global solver --> 勾选use global solver对于运行结果也可以另存为，格式一般为ldt，因为有时候对于求解一个问题，或许需要运行很久才可以得出结果，所以没必要每次为了看结果都运行，而是运行成功一次后便把结果保存下来注意事项LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数；程序语句的顺序一般不重要，既可以随意调换；程序运用函数时都是以@开头；程序中的变量默认为非负数，想要改变变量类型必须有相应函数调整程序中变量不区分大小写；语句必须以分号结尾；注释以!开始，且注释语句后面必须也有分号，注释默认注释到第一个分号处，意思是分号前面会全部被注释掉。

中学男子5人制足球比赛规程一、赛事类型中学男子5人制足球比赛是一种团体性的足球比赛，以中学男生为参赛对象，每队由5名球员组成。

二、赛场与装备1. 赛场规格：标准足球场的三分之一，即长宽为40米×20米。

2. 进球：足球大小为5号足球，进球器材为可移动的帽型球门。

3. 球队必备装备：足球鞋、运动服装，必须穿上合适的球衣，上场球员需穿球鞋，不得穿任何有损人体健康的装备。

三、比赛队伍1. 每队球员人数：每队报名人数不少于7人，但只允许最多12人在场边观战。

2. 首发球员：每队上场比赛需要选出5名首发球员，必须包括一名门将，剩余球员为替补。

替补球员可以在比赛过程中替换上场，但一旦替换出场，不得再次进入比赛。

3. 更换球员：每队在比赛过程中可任意更换正式队员，但更换时必须在指定换人区域内进行。

四、比赛时间1. 正式比赛时间：比赛分为两个半场，每个半场10分钟，中间休息时间为5分钟。

2. 加时赛：如在正常比赛时间结束时，比分相同，则进行5分钟的加时赛，若仍然平局，则进行点球决战。

五、比赛规则1. 出界判定：当足球完全越过界线时，判为出界，并由出界对方队员进行界外球；2. 界外球：当足球出界时，由出界方进行界外球，无需等待对方进行操作；3. 越位判定：越位判定规则与传统11人制足球一致；4. 犯规规则：针对打人、踢人、超标犯规的情况，将会给予红牌并做相应处罚；5. 界外球、角球、门球的进行：界外球和角球由门将进行，门球则由对方球员执行，无需等待对方进行操作；6. 对方控球转移：对方队员控球的期间，可以有1名球员防守，其他队员必须保持与挡球者相同的最短距离，且无法干扰挡球者的行动。

六、违例和纪律处分1. 黄红牌：对于严重违反比赛规则的行为，主裁判有权出示黄牌或红牌，红牌直接罚下；2. 罚款：对于球队或球员在赛事中的不当行为，组委会有权对其进行罚款或取消比赛成绩；3. 失格：若球队或球员在比赛中有违反赛事规程的行为，组委会有权取消其比赛资格。

1.某钢筋车间制作一批钢筋（直径相同）：长度为3米的90根，长度为4米的60根。

已知所用的下料钢筋长度为10米，问：怎样下料最省？并建立此问题的线性规划模型。

解：设321,,x x x 分别为按各种下料所得的钢筋根数，21,y y 分别满足90,60根后多余的根数，Z 为残料总长度。

此问题的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=-+=-++++⋅+=0,,0,,6029023..43302132123212121321y y x x x y x x y x x t s y y x x x MinZc=[1;0;3;3;4]; A=[];b=[];aeq=[3 2 0 -1 0;0 1 2 0 -1]; beq=[90;60]; vlb=[0;0;0;0;0];[x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb) Optimization terminated. x =0.0000 45.0000 7.5000 0.0000 0.0000fval =22.50002.篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。

8名队员的身高及擅长位置见下表。

队员 身高（m) 擅长位置 1 1.92 中锋 2 1.90 中锋 3 1.88 前锋 4 1.86 前锋 5 1.85 前锋 6 1.83 后卫 7 1.80 后卫 81.78后卫出场阵容应满足一下条件： （1）中锋只能有一个上场；（2）至少有一名后卫；（3）如1号和4号上场，则6号不上场； （4）2号和4号至少保留一个不出场。

应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高？解：设⎩⎨⎧=,1,0j x 0=j x 队员j 不出场，1=j x 队员j 出场，.8,2,1 =j数学模型为：()8765432178.180.186.185.186.188.190.192.181x x x x x x x x MaxZ +++++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++++++≤+≤++≥++=+8,2,1,1051211..876543216264187621 j or x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s j 最优解为：;0,186275431========x x x x x x x x 目标函数最优值为1.1638. c=-[1.92/8;1.90/8;1.88/8;1.86/8;1.85/8;1.86/8;1.80/8;1.78/8]; A=[0 0 0 0 0 -1 -1 -1;1 0 0 1 0 1 0 0;0 1 0 0 0 1 0 0]; b=[-1;2;1];aeq=[1 1 0 0 0 0 0 0;1 1 1 1 1 1 1 1]; beq=[1;5];[x,fval]=bintprog(c,A,b,aeq,beq) Optimization terminated. x =1 0 1 1 1 0 1 0fval =-1.16383.某企业生产两种混合配料A 和B ，每100千克的成本分别为100元和80元。

五人制足球比赛策划书五人制足球比赛策划书精选2篇（一）一、比赛背景1.1比赛目的：组织足球爱好者进行五人制足球比赛，提供一个展示技术、增进友谊的平台。

1.2比赛时间：选定一天作为比赛日，时间为下午2点至5点。

1.3比赛地点：选择一处合适的室内或室外足球场地作为比赛场地。

二、比赛规则2.1比赛形式：采用五人制足球规则，每队由五名球员组成（四名场上球员和一名守门员）。

2.2比赛时间：每场比赛两个半场，每个半场20分钟，半场休息5分钟。

2.3裁判：每场比赛由一名裁判负责，确保比赛公平进行。

2.4换人规则：每支队伍有3次替补机会，替补球员可随时进出场，但必须事先通知裁判。

2.5犯规规则：采用传统足球规则，比如犯规、越位等。

2.6比赛结果：胜方得3分，平局得1分，负方得0分，积分最高的队伍获得冠军。

三、参赛队伍3.1参赛资格：比赛对所有年龄段的足球爱好者开放，欢迎个人或团队报名参赛。

3.2队伍数量：本次比赛最多接受8支队伍报名参赛。

3.3报名费用：每支队伍需支付一定的报名费用，用于组织比赛和奖品支出。

四、赛前准备4.1宣传推广：通过社交媒体、海报等方式，宣传比赛信息和报名渠道。

4.2球员注册：参赛队伍需要在规定时间内提交球员注册信息，包括姓名、年龄、联系方式等。

4.3队服准备：每支参赛队伍需自行准备队服，用于比赛中的区分。

五、比赛当天流程5.1签到：所有参赛队员需在指定时间和地点进行签到。

5.2抽签：抽签确定各支队伍的比赛对阵顺序。

5.3开幕式：进行简单的开幕式，宣布比赛正式开始。

5.4比赛进行：按照抽签确定的对阵顺序，进行比赛。

5.5颁奖仪式：比赛结束后，组织颁发奖品给各个名次的队伍，并进行简单的颁奖仪式。

六、奖项设置6.1冠军奖：为冠军队伍颁发奖杯和奖金。

6.2亚军奖：为亚军队伍颁发奖牌和奖金。

6.3季军奖：为季军队伍颁发奖牌和奖金。

6.4最佳球员奖：评选出比赛中表现出色的球员，并颁发奖杯和奖品。

以上为五人制足球比赛的策划书大纲，根据实际情况可进行适当修改和增减。

例1. 设b a 、是两个实数，集合},,|),{(是整数n b na y n x y x A +===，集合},153,|),{(2是整数m m y m x y x B +===，集合}144|),{(22≤+=y x y x C 是平面内点的集合,讨论是否存在b a 、使得（1）∅≠B A ，（2）C b a ∈),(两个条件同时成立.【解】 A 为直线b ax y +=在）（为整数n n x =时点的集合，B 为抛物线1532+=m y 在）（为整数m m x =时点的集合。

∅≠B A ，即存在b a 、及整数p 使1532+=+p b pa 成立，其几何意义是点),(b a P 在直线0)153(:2=+-+p y px L 上，又C b a ∈),(的几何意义是点),(b a P 在圆144:22=+y x O 内或边界上，因此要使(1),(2)同时成立，即要求点),(b a P 既在直线L 上又在圆O 的内部或边界上，所以，圆心)0,0(O 到直线L 的距离12115322≤++=p p d ，即0)322≤-p （，∴032=-p ，∴3±=p ，这与p 为整数矛盾，因此这样的实数b a 、不存在.例2. 设]2,4[ππ∈x ，求证：12cot csc -≥-x x .【解】 不妨构造一个等腰直角三角形ABC Rt ∆，190===∠︒BC AC C ，，在AC 上取一点D ，记x CDB =∠，则x AD x CD x BD cot 1cot csc -===，，，利用2=≥+AB DB AD ，可得12cot csc -≥-x ，在4π=x 时等号成立.例3. 在ABC ∆中，已知c a b +=2，且︒=-<<90,A C c b a ，求C B A sin :sin sin ：.【解】 在ABC ∆中，在AB 上取一点D 使︒=∠90ACD ，则CBD ABC A DCB ∆≈∆∠=∠，，设y BD x CD ==，，则有c ab x c a y ==，2，在ACD Rt ∆中，可得、、消去，又b y x c a b b x y c ,2)(222+=+=-c b c a c ac a 67737-4038322-===+-，，求得所以，)17(:7:)17(::sin :sin sin +-==c b a C B A ：例4. 已知0cos cos cos 0sin sin sin =++=++C B A C B A ，，求证：C B A 222cos cos cos ++为定值. 【解】 构造三点)sin (cos )sin (cos )sin (cos C C R B B Q A A P ，，，，，，则由重心坐标公式可得PQR ∆的重心坐标为0)sin sin (sin 310)cos cos (cos 31=++==++=C B A G y C B A G x ，，即PQR ∆的重心坐标为)0,0(G .又R Q P ,,在圆心为原点的单位圆上，所以PQR ∆的重心与外心重合，故PQR ∆是正三角形.不妨设R Q P ,,的顺序是逆时针方向，则32,32,32πππ=-=-=-A C B C A B ，于是23)2sin(]3432sin[23)2sin()2sin(23)]cos(2[cos 2123)]cos()cos(2[cos 2123)2cos 2cos 2cos 21232cos 2cos 2cos =++++=++-++=--+=-+++=+++=++C B A C B A A C B B C A B C C B A C B A C B A ππ（例5. 已知1sin sin cos cos 2424=+BA BA ，求证：1sin sin cos cos 2424=+AB AB【解】 设椭圆1sin cos :2222=+By Bx C ，则)sin ,(cos 22A A M 在椭圆C 上，又)sin ,(cos 22B B N 也满足椭圆C 的方程，可知N 也在椭圆上，过点N 的切线方程为1sin sin cos cos 2222=+BB y BB x ，即1=+y x ，又)sin ,(cos 22A A M 满足1=+y x ，所以点M 也在切线上，由过椭圆上一点的切线唯一知，N M 、重合，于是B A B A 2222sin sin ,cos cos ==，所以1sin sin cos cos sin sin cos cos 24242424=+=+BA BA AB AB .（设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，切点为),n m P （，则12222=+b n a m ……（1），对椭圆求导得y a xb y 22-='，即切线斜率na mb k 22-=，故切线方程为)(22m x na mb n y --=-,以(1)代入并化简得切线方程为122=+b nya m x ）例6. 若关于x 的方程0-)1lg(lg 2=--m x x 有两个不等的实根，求m 的取值范围.【解】 原方程可化为1lg )1lg(lg 22-=--=x x x x m ，故要使方程有解，m 在1lg 2-x x 的值域范围内即可.∵ 2lg 24lg )2111lg(1lg 2=≥+-+-=-x x x x ∴ 2lg 2≥m .当11=-x 时取等号,故原方程有唯一解；而当2lg 2≥m 时，每一个m 值对应两个x 值（若x 满足，则111-+x 必满足）。

一、填空题1.运筹学是应用（系统的）、（科学的）、（数学分析）的方法，通过建立、分析、检验和求解数学模型，而获得最优决策的科学。

2.对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足（线性约束条件），又使具有线性表达式的目标函数取得（极大值或极小值）的一类最优化问题称为（线性规划）问题。

3.用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为（决策变量）。

4.可行解是满足约束条件和非负条件的（决策变量）的一组取值。

5.最优解是使目标函数达到（最优值）的可行解。

6.线性规划的图解法就是用（几何作图）的方法分析并求出其（最优解）的过程。

7.每一个线性规划都有一个“影像”（一个伴生的线性规划），称之为线性规划的（对偶规则）。

8.根据线性规划问题的可行域是凸多边形或凸多面体，一个线性规划问题有（最优解），就一定可以在可行域的（顶点）找到。

9.用非基变量表示目标函数的表达式中，非基变量的系数（检验数）全部非正时，当前的基本可行解就是（最优解）。

10.最优表中，基变量中仍含有人工变量，表明原线性规划的约束条件被破坏，线性规划（没有可行解），也就没有最优解11.排队（queue）现象是由两个方面构成：要求得到服务的对象统称为（顾客），为顾客提供服务的统称为（服务台）。

12.排队论（queuing theory）是通过研究排队系统中等待现象的（概率特性），解决系统（最优设计）与（最优控制）的一种理论。

13.等待制排队规则包括:先到先服务、后到先服务、优先权服务、随机服务14.排队系统的重要概率分布包括: 定长分布、泊松分布、负指数分布、K阶爱尔朗分布15.排队系统的主要数量指标包括: 队长、等待队长、逗留时间、等待时间、忙期、闲期二、判断题1.对偶问题的对偶是原问题。

（对）2.若X*为原问题（最大化）的可行解，Y为对偶问题（最小化）的可行解，则CX*≤Yb。

（对）3.当X* 是原问题（Max）的可行解，Y* 是其对偶问题（Min）的可行解时，若CX*=Y*b，则X*与Y* 是各自问题的最优解。