2018-2019学年广东省广州市番禺区六校联考高一(上)期末数学试卷

一、单选题1．设全集，集合M 满足，，则（ ） {}1,2,3,5,8U ={}1,8U M =ðA ． B ．C ．D ．1M ∈2M ∉3M ∈5M ∉【答案】C【分析】根据补集的定义求出，即可得到结果. {}235M =，，【详解】因为，所以， {}1,8U M =ð{}235M =，，则，所以C 正确. 3M ∈故选：C.2．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式的解集是（ ） 26190x x --<A ． B ．∅R C ．D ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式可化为，即，解得，26190x x --<29610x x -+>2(31)0x ->13x ≠故原不等式的解集为.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为（其中，k 是正常数）．已知0e ktW M -=0M 经过1h ，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到50%90%0.1h ，参考数据：）（ ） lg 20.3010≈A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【答案】B【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用e 0.5k -=()0.10.5t=0.5log 0.1t =换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，()00150%e kM M --=e 0.5k -=设过滤的污染物需要的时间为，则，90%t ()00190%e ktM M --=所以，()()0.1e e 0.5ttkt k--===所以. 0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈故选：B.5．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④A ．B ． a c b a +<+a d b c +<+C ．D ．b c a d +<+b d a c +<+【答案】A【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A 正1y =log 1a a =01c d a b <<<<<确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线，则由， 1y =log 1a a =可得，01c d a b <<<<<则由不等式性质可得，所以A 正确.a cb a +<+由不等式可加性可得，故D 错误， a c b d +<+不能推出B 、C ，故B 、C 错误. 故选：A.6．方程的实数解所在的一个区间是（ ）e 410x x -+=A ．B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设，()e 41xf x x =-+，，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭()00e 40120f =-⨯+=>，，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+=<=< ⎪⎝⎭所以，所以存在，使，()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以方程的实数解所在的一个区间是.e 410x x -+=1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ． D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误； π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-D 正确. 故选：D.8．设，，，则 3log 2a =5log 3b =8log 5c =A ． B ．C ．D ．b ac <<a b c <<b<c<a c<a<b 【答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】由对数性质，可得：，(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即；5851log 3log 5log 8∴<=b c <而，，3332log 2log log 3a ==<=5552log 3log log 3b ==>=综上所述，. a bc <<故选：B.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题，则（ ） 2:R,10p x x x ∀∈-+>A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的否定是“” 2R,10x x x ∀∈-+=C ．命题p 是假命题 D ．命题p 的否定是“”2R,10x x x ∃∈-+≤【答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】，则命题p 是真命题；2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭命题p 的否定是“”，故A 、D 正确． 2R,10x x x ∃∈-+≤故选：AD ．10．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()y f x =(A ． B ．的值域是 ()12f x x =()f x [0,)+∞C ．是偶函数 D ．在上是减函数()f x ()f x (0,)+∞【答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可. 【详解】设，()f x x α=∵的图象过点，∴，∴，()y f x =(1233α==12α=∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函12()f x x =()f x [0,)+∞[0,)+∞()f x 数，在上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误. [0,)+∞故选：AB.11．已知，且，则（ ）5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ32x <<A ． B ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12cos 132π3x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ． D ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭5cos 135π6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得，．由cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断A ；由结sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦合诱导公式计算求解可判断B ；由结合诱导公式计算求解可判断C ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断D. πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】由得，则，.ππ32x <<ππ063x -<-<12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故A 错误； 12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故D 正确. 5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BCD.12．已知，则（ ） 01a b <<<A ．B ． b a a b <log log a b b a >C ．D ．log log 2a b b a +>sin(sin )sin a b <【答案】ACD【分析】由的单调性可得，由的单调性可得，从而可判断A ；由x y a =b a a a <a y x =a a a b <的单调性可得，从而可判断B ；由基本不等式可log ,log a b y x y x ==log log ,log log a a b b a b a b ∴>>判断C ；利用结论：当时，，可判断D.π(0,)2x ∈sin x x <【详解】在上单调递减，又，在上0< 1,x a y a <∴=(0,)+∞,b a a b a a <∴<0,a a y x >∴= (0,)+∞单调递增，由得，，故A 正确；a b <a a a b <b a a b ∴<由可知在上均单调递减，，01a b <<<log ,log a b y x y x ==(0,)+∞log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，故B 错误； log 1log a b b a ∴<<由，可知，因此01a b <<<lg lg log 0,log 0lg lg a b b ab a a b=>=>，当且仅当取等号，但已知，故等号不lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=a b =01a b <<<成立，从而得，故C 正确；log log 2a b b a +>当时，．，，又在单调递π(0,2x ∈sin x x <π012a b <<<< π0sin 2a a b ∴<<<<sin y x =π(0,2增，所以，故D 正确． sin(sin )sin sin a a b <<故选：ACD ．三、填空题13．若函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则A ∩B =______. ()f x =()()lg 2g x x =-【答案】()1,2-【分析】先求得集合，再利用交集定义即可求得. AB 、A B ⋂【详解】的定义域为； ()f x =()1,-+∞函数的定义域为， ()()lg 2g x x =-(),2-∞则. A B = ()1,2-故答案为：()1,2-14．已知，则__________.tan 2a =()2sin cos αα-=【答案】##0.215【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可． 【详解】．()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++故答案为：.15四、双空题15．函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线1101x y a a a -=+>≠(，)上，则的最小值为______. 100)mx ny m n +=>>(，21m n+【答案】 ； 8(1,2)【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得的最小值. 21m n+【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 1x =1112a -+=1101x y a a a -=+>≠(，)(1,2)P 点P 在直线上，可得， 100)mx ny m n +=>>(，2100)m n m n +=>>(，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当时等号成立）122m n ==故答案为：；8(1,2)五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. π2【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， π2AA A 6πA BCB AC ===则等边三角形的边长，π16π23AB BC AC ====分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，,,AB BC AC 1π1π26224⨯⨯=等边的面积ABC A 1122S =⨯=所以莱洛三角形的面积是π3224⨯-=六、解答题17．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα+(2)求的值.sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++【答案】(1)；15-(2) 14【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； sin cos αα、sin cos αα+（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. tan α【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 它的终边过点，则，34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭43sin ,cos 55αα=-=则；431sin cos 555αα+=-+=-（2）由（1）得，则，43sin ,cos 55αα=-=4tan 3α=-则 sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数.()a f x x x=+(1)若，判断的奇偶性，并说明理由；()15f =()f x (2)若，判断在上的单调性，并加以证明. ()43f =()f x (0,)+∞【答案】(1)是奇函数，理由见解析 ()f x (2)在上的单调递增，证明见解析 ()f x (0,)+∞【分析】（1）由求出，从而得，由函数奇偶性的定义求解即可； (1)5f =a ()f x （2）由求出，从而得，由函数单调性的定义进行判断证明即可. ()43f =a ()f x 【详解】（1）是奇函数，理由如下： ()f x ∵，且，∴，解得 ()af x x x=+()15f =15a +=4a =∴，定义域为 4()f x x x=+(,0)(0,)-∞+∞ 又 44()()(()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以为奇函数.()f x（2）在上的单调递增，理由如下：()f x (0,)+∞∵，且，∴，解得，∴ ()a f x x x=+()43f =434a +=4a =-4()f x x x=-设，则 120x x <<2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵，∴， 120x x <<21x x -0>12410x x +>故，即 21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上的单调递增.()f x (0,)+∞19．已知函数的最小正周期为.1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈π(1)求的单调递减区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值.π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可得，则， 2πT==πω2ω=则，1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1π()sin(2)23f x x =-因为，则，π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以，π1sin(232x ⎡-∈-⎢⎣则，1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-20．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． ||1()()2x f x a b =+()0,21y =(1)求函数的解析式：()y f x =(2)解关于x 的不等式． 3(ln )2f x <【答案】(1) ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点得的关系，根据图象无限接近直线但又不与该直线相交()0,2,a b 1y =求出，从而得解；b （2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点，得，()0,2()02f a b =+=∵函数无限接近直线，但又不与该直线相交， ||1()()2x f x a b =+1y =∴，从而，1b =1a =∴． ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由得，即，则， 3(ln )2f x <|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ln 1x >所以或，解得或． ln 1x <-ln 1x >10ex <<e x >所以不等式的解集为． 3(ln )2f x <()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司25%80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈8x ≥恒成立）8log 10.25x x +≤【答案】奖励模型符合公司的要求，理由见解析8log 1y x =+【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③，根据函数的性质一一验证即可．25%y x ≤⋅【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③．25%y x ≤⋅对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求；0.2y x =25x >>5y 对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求； 1.02x y =82x ≥ 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=对于，函数在上单调递增，而且函数的最大值，因而满足8log 1y x =+[10,1000]8log 1000 3.3225≈<①②，因为当时，恒成立，所以当时，，满足8x ≥8log 10.25x x +≤[10,1000]x ∈8log 125%x x +<⋅③，故符合公司的要求．综上，奖励模型符合公司的要求．8log 1y x =+22．对于定义在上的函数,若存在实数,使得,则称是函数的一个不动点,I ()f x 0x I ∈()00f x x =0x ()f x 已知有两个不动点,且2()2(0)f x ax x a =-+≠12,x x 122x x <<(1)求实数的取值范围；a (2)设，证明：在定义域内至少有两个不动点.[]()log ()a F x f x x =-()F x 【答案】(1) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到的两个实数根为，设，根据二次函数210ax x -+=12,x x 2()1p x ax x =-+的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把可化为，设的两个实数根为，根据()F x x =()2log 22a ax x x -+=2()220p x ax x =-+=,m n 是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可1x =()g x x =()2()220n n h n a an n a =--+=>()h x 求解．【详解】（1）因为函数有两个不动点，()f x 12,x x 所以方程，即的两个实数根为，()f x x =2220ax x -+=12,x x 记，则的零点为和，2()22p x ax x =-+()p x 1x 2x 因为，所以，即，解得， 122x x <<(2)0a p ⋅<(42)0a a -<102a <<所以实数的取值范围为． a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为 ()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程可化为，即 ()F x x =()2log 22a ax x x -+=2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设，因为，所以有两个不相等的实数根． 2()22p x ax x =-+10,4(12)02a a <<∆=->()0=p x 设的两个实数根为，不妨设．2()220p x ax x =-+=,m n m n <因为函数图象的对称轴为直线，且2()22p x ax x =-+1x a=， 1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以． 121m n a a<<<<记， ()2()22x h x a ax x =--+因为，且，所以是方程的实数根，(1)0h =(1)0p a =>1x =()F x x =所以1是的一个不动点，()F x ，()2()220n n h n a an n a =--+=>因为，所以，且的图象在上的图象是不间断曲102a <<24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭()h x 2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦线，所以，使得， 0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点， ()p x 2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0()0p x p n >=0x ()F x 综上，在上至少有两个不动点． ()F x (,)a +∞。

一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）A．1700B．1750C．1800D．18504．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣16．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A．B．4C．D．8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）A．﹣2B．C．D．29．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．1210．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）A．1B．2C．3D．412．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的定义域为．14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝．15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（A）＝，求sin2A的值．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（x）及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：U＝{x∈N|0＜x＜7}＝{1，2，3，4，5，6}，则∁U A＝{1，3，4，6}，则（∁U A）∩B＝{1，3}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性及单调性．【解答】解：结合选项可知，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意，y＝x2为偶函数，不符合题意，y＝为奇函数，但是在定义域内不是单调函数，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）A．1700B．1750C．1800D．1850【分析】由扇形统计图先求出高中生在校生男生数，再由扇形统计图求出初中生在校生男生数，由此能求出全校在校男生的人数．【解答】解：由题意得高中生在校生男生数为：＝600，∴初中生在校生男生数为：2（400+600）×55%＝1100，∴全校在校男生的人数是1100+600＝1700．故选：A．【点评】本题考查全校在校男生人数的求法，考查扇形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则＝，求出m＝，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣1【分析】由a﹣3＝0，解得a．经过验证即可得出．【解答】解：由a﹣3＝0，解得a＝3．经过验证两条直线平行．故选：C．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，则P＝＝．故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A．B．4C．D．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的表面积公式和侧面展开图，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，∴2πr＝•2πl，∴l＝4r，又圆锥的表面积为5π，∴πr2+πr•4r＝5π，解得r＝1，∴母线长为l＝4r＝4．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）A．﹣2B．C．D．2【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得的值．【解答】解∵：点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，∴tanα＝＝3，则＝＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．12【分析】先求f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，再由对数恒等式，求得f（log212）＝6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）＝，即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，f（log212）＝＝×＝12×＝6，则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．【解答】解：由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O2O1．则在Rt△O2AO1中，|O1A|＝|O2A|＝，斜边上的高为半弦，用等积法易得：⇒|AB|＝4．故选：D．【点评】此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x＝﹣1可得f（﹣1+2）＝f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）＝f（1），可得f（1）＝0 则有，f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）＝﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的定义域为[3，+∞）．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log3x﹣1≥0，解得：x≥3，故函数的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝5．【分析】由向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，解得x＝3，从而＝（3，4），由此能求出|﹣|的值．【解答】解：∵向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，∴＝x+1﹣4＝0，解得x＝3，∴＝（3，4），∴|﹣|＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．【分析】首先求出球心，进一步确定球的半径．【解答】解：已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，如图所示：则AD＝，OD＝，所以，解得：r＝故答案为：【点评】本题考查的知识要点：球的球心的确定，球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．【分析】由S＝（b2+c2﹣a2），得bc sin A＝（b2+c2﹣a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tan A＝1，由A的范围可求A．【解答】解：∵S＝（b2+c2﹣a2），即bc sin A＝（b2+c2﹣a2）＝×2bc cos A，∴tan A＝＝，由A为三角形的内角，∴A＝，故答案为：．【点评】该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（A）＝，求sin2A的值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x+sin（x+）＝sin x+cos x＝．所以函数的最小正周期为，（2）由于f（A）＝，所以sin A+cos A＝，所以，解得sin2A＝﹣1+．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，又sin C≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A﹣）＝，结合A的范围，即可得解A的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求bc＝1，利用余弦定理可求得b+c＝2，联立方程即可得解b，c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，…（2分）∵sin C≠0，∴1＝sin A﹣cos A＝2sin（A﹣），即sin（A﹣）＝，…（4分）又∵A∈（0，π），∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣＝，∴A＝，…（6分）（2）S＝bc sin A，即＝bc•，∴bc＝1，①…（7分）又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos，即1＝（b+c）2﹣3，且b，c为正数，∴b+c＝2，②…（10分）由①②两式解得b＝c＝1．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）连结BD交AC于点F，连结EF，由中位线定理可得EF∥PD，故而PD∥平面ACE；（2）证明BC⊥平面PCD可得PD⊥BC，利用勾股定理可得PD⊥PC，故而PD⊥平面PBC；（3）作PM⊥CD，可证PM⊥平面ABCD，于是V E﹣ABC＝V P﹣ABC，则三棱锥E﹣ABC 的体积可求．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点F，连结EF．∵底面ABCD是矩形，∴F为BD中点．又∵E为PB中点，∴EF∥PD．∵PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴PD∥平面ACE；（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD．又∵平面PCD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PCD．∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．∵PC＝PD＝，∴PC2+PD2＝CD2，即PD⊥PC．∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴PD⊥平面PBC；（3）解：取CD的中点M，连接PM．∵PC＝PD＝，CD＝AB＝2，M是CD的中点，∴PM⊥CD，且PM＝1，∵平面PCD⊥平面ABCD，PM⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PM⊥平面ABCD，∵E是PB的中点，∴V E﹣ABC＝V P﹣ABC＝×．故三棱锥E﹣ABC的体积为．【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（x）及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元，f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2，即可得出．（2）令t＝，则t∈[2，4]．y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元．∴f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2＝﹣x+3+26，依题意得，解得40≤x≤80．故f（x）＝﹣＝﹣x+3+26，（40≤x≤80）．（2）令t＝，则t∈[2，4]．∴y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．当t＝6，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【点评】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．【分析】（1）设出直线的方程后，利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；（2）设直线方程与圆的方程联立消去y并整理得关于x的一元二次方程，由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x＝3与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3＝m（x﹣3），圆心到直线的距离等于半径＝2，解得m＝﹣，切线方程为：5x+12y+21＝0，综上，过点M（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为：x＝3或5x+12y+21＝0．（2）圆C：（x﹣1）2+y2＝4与x轴正半轴的交点为P（3，0），依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3＝k（x﹣3），代入圆C：（x﹣1）2+y2＝4＝整理得：（1+k2）x2﹣2（3k2+3k+1）x+9（k+1）2﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），∴x1+x2＝，x1x2＝，∴直线P A和PB的斜率之和为：k P A+k PB＝+＝+＝k﹣+k﹣＝2k﹣3（+）＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣＝2k﹣2k+＝．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．【解答】解（1）∵函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）＝log4（4﹣x+1）﹣kx）＝log4（）﹣kx＝log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）＝k，则k＝．（2）g（x）＝log4（b•2x﹣b），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）＝g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x＝log4（b•2x﹣b），∴log4（）＝log4（b•2x﹣b），方程等价于，设2x＝t，t＞0，则（b﹣1）t2﹣﹣1＝0有一解若b﹣1＞0，设h（t）＝（b﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）＝﹣1＜0，∴恰好有一正解∴b＞1满足题意若b﹣1＝0，即a＝1时，h（t）＝﹣﹣1，由h（t）＝0，得t＝﹣＜0，不满足题意若b﹣1＜0，即b＜1时，由，得b＝﹣3或b＝，当b＝﹣3时，t＝满足题意当b＝时，t＝﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{b|b＞1或a＝﹣3}．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。

2018-2019学年广东省广州市番禺区六校联合体七年级（下）期中数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2分）下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（）A．B．C．D．2．（2分）下面计算正确的是（）A．＝±6B．±＝6C．﹣＝﹣6D．＝﹣363．（2分）点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC ＝2cm，则点P到直线m的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm 4．（2分）若，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤35．（2分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝32°，则∠BED的度数是（）A．32°B．16°C．49°D．64°6．（2分）点P（m，﹣2）与点P1（﹣4，n）关于x轴对称，则m，n的值分别为（）A．m＝4，n＝﹣2B．m＝﹣4，n＝2C．m＝﹣4，n＝﹣2D．m＝4，n＝2 7．（2分）如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值是（）A．3B．5C．7D．99．（2分）在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（1，﹣2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）10．（2分）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是（）A．（51，100）B．（50，100）C．（﹣50，100）D．（﹣51，100）二、填空题（每题2分，共12分）11．（2分）在，，3.1415926，2π中，其中无理数个．12．（2分）命题“同位角相等”是命题（填“真”或“假”）．13．（2分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2＝度．14．（2分）已知AB平行于y轴，A点的坐标为（﹣3，﹣2），并且AB＝3，则B点的坐标为．15．（2分）已知点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，则a＝．16．（2分）如图，将△ABC向左平移3cm得到△DEF，AB、DF交于点G，如果△ABC的周长是12cm，那么△ADG与△BGF的周长之和是．三、解答题（共68分）17．（6分）计算：（1）++|﹣2|（2）﹣+18．（16分）解方程（1）（x﹣1）2＝9（2）8（x+2）3＝﹣27（3）（4）19．（6分）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出下列各点的坐标：A′；B′；C′（2）若点P（m，n）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为．（3）求△ABC的面积．20．（6分）某村为了尽早摆脱贫穷落后的现状，积极响应国家号召，15位村民集资8万元，承包了一些地产土地种植有机蔬菜和水果，种这两种作物每公顷需要人数和投入资金如表：作物种类每公顷所需人数/人每公顷投入资金/万元蔬菜42水果53在现有条件下，这15位村民应承包多少公顷土地，怎样安排能使每人都有事可做，并且资金正好够用？21．（6分）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；（2）求证：BE∥CD．22．（5分）已知＝1，且+（z﹣3）2＝0，求x+y3+z3的平方根．23．（5分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，求﹣+x 的值．24．（6分）若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．25．（12分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．2018-2019学年广东省广州市番禺区六校联合体七年级（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．故选：B．2．【解答】解：A、＝6，故选项错误；B、±＝±6，故选项B错误；C、﹣＝﹣6，故选项C正确；D、＝36，故选项D错误．故选：C．3．【解答】解：当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，故选：D．4．【解答】解：，即a﹣3≥0，解得a≥3；故选：B．5．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCE，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠EBC，∴∠BCE＝∠EBC＝32°，∴∠BED＝∠C+∠EBC＝64°，故选：D．6．【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（﹣4，n）关于x轴对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴m＝﹣4，n＝2，故选：B．7．【解答】解：∵＜＜，即3＜＜4又∵＞7，即2＞3+4可转化为＞由此可说明与3的距离大于与4的距离即：距离4更近．故选：D．8．【解答】解：，①+②得：3（x+y）＝15，则x+y＝5．故选：B．9．【解答】解：∵点A（﹣2，1）的对应点为A′（1，﹣2），∴﹣2+3＝1，1﹣3＝﹣2，∴平移规律是横坐标向右平移3个单位，纵坐标向下平移3个单位，设点B的坐标为（x，y），则x+3＝2，y﹣3＝0，解得x＝﹣1，y＝3，所以点B的坐标为（﹣1，3）．故选：C．10．【解答】解：由题中规律可得出如下结论：设点P m的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n﹣1）和4n﹣3，在y轴左侧的点的下标是：4n﹣2和4n﹣1；判断P200的坐标，就是看200＝4（n﹣1）和200＝4n﹣3和200＝4n﹣2和200＝4n﹣1这四个式子中哪一个有整数解，从而判断出点的横坐标，点P第200次跳动至点P200的坐标是（50，100）．故选：B．二、填空题（每题2分，共12分）11．【解答】解：，2π是无理数，故答案为：2．12．【解答】解：两直线平行，同位角相等，命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．故答案为：假．13．【解答】解：如图，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，而∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90．14．【解答】解：∵AB∥y轴，点A的坐标为（﹣3，﹣2），∴点B的横坐标为﹣3，∵AB＝3，∴点B在点A的上边时，点B的纵坐标为﹣2+3＝1，点B在点A的下边时，点B的纵坐标为﹣2﹣3＝﹣5，∴点B的坐标为：（﹣3，1）或（﹣3，﹣5）．故答案为：（﹣3，1）或（﹣3，﹣5）．15．【解答】解：∵点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，∴2a+3+a﹣4＝0，解得a＝．故答案为：．16．【解答】解：∵将△ABC向左平移3cm得到△DEF，∴AD＝EB，∴△ADG与△CEG的周长之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF＝BC+AB+AC＝12cm，故答案为：12cm三、解答题（共68分）17．【解答】解：（1）原式＝+4+2﹣＝6；（2）原式＝﹣1﹣6+7＝0．18．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9x﹣1＝±3∴x1＝4，x2＝﹣2（2）8（x+2）3＝﹣27（x+2）3＝﹣x+2＝﹣x＝﹣（3）②﹣①得：3y＝﹣3∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得：x+1＝3∴x＝2∴原方程组的解为（4）整理化简②得：3x+2y＝7 ③①×2得：2x+2y＝8④③﹣④得：x＝﹣1把x＝﹣1代入①得：﹣1+y＝4∴y＝5∴原方程组的解为19．【解答】解：（1）如图所示：A′（﹣3，﹣4），B′（0，﹣1）、C′（2，﹣3）；（2）A（1，0）变换到点A′的坐标是（﹣3，﹣4），横坐标减4，纵坐标减4，∴点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣4）；（3）△ABC的面积为：3×5﹣×2×5﹣×2×2﹣×3×3＝3.5．故答案为：（﹣3，﹣4），（0，﹣1）、（2，﹣3）；（m﹣4，n﹣4）．20．【解答】解：设种植有机蔬菜x公顷，种植水果y公顷，依题意，得：，解得：，∴x+y＝3.5．答：这15位村民应承包3.5公顷土地，种植有机蔬菜2.5公顷，种植水果1公顷．21．【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C＝180°，又∵∠EDC＝3∠C，∴4∠C＝180°，即∠C＝45°；（2）∵AC∥DE，∴∠E＝∠ABE，又∵∠C＝∠E，∴∠C＝∠ABE，∴BE∥CD．22．【解答】解：∵＝1，∴x＝1，∵+（z﹣3）2＝0，∴y﹣2x＝0，z﹣3＝0，解得y＝2，z＝3，∴x+y3+z3的平方根是：±＝±6．23．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±，∴﹣+x＝0﹣±＝﹣2或0．24．【解答】解：解方程组解得：把x＝﹣1，y＝﹣10代入另外两方程得：解得：25．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．。

2019-2020学年广东省广州市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）=x -1，()211x g x x -=+B ．f （x ）=|x +1|，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<⎩C ．f （x ）=x +1，x ∈R ，g （x ）=x +1，x ∈ZD ．f （x ）=x，()2g x =【答案】B【解析】A 中的2个函数()1f x x =-与()211x g x x -=+的定义域不同，故不是同一个函数；B 中的2个函数()1f x x =+与()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数；C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数；D 中的2个函数()f x x =，()2g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数；综上，A C D 、、中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选 B ． 3．函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积。

广东省广州市番禺区六校联合体2018-2019学年八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知二次根式的值为3，那么x的值是（）A．3B．9C．﹣3D．3或﹣32．下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．如果，那么（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数4．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞56．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3B．三边之比为1：：C．三边长为41，40，9D．三边长为，2，87．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2，0）B．（）C．（）D．（）9．如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2，则树高为（）米．A．1+B．1+C．2﹣1D．310．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11．计算（2+）（2﹣）＝．12．若y＝，则x+y＝．13．直角三角形的两边长分别是3cm、5cm，则第三边长cm．14．如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm．15．若的整数部分是a，小数部分是b，则＝．16．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答卷上.）17．（6分）计算（1）×（2）（）0+﹣（﹣）﹣218．（6分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝19．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝；（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．20．（6分）如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．21．（7分）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2＝a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：22．（7分）一个三角形三边的长分别为a，b，c，设p＝（a+b+c），根据海伦公式S＝可以求出这个三角形的面积．若a＝4，b＝5，c＝6，求：（1）三角形的面积S；（2）长为c的边上的高h．23．（8分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．24．（10分）如图，点O为等边三角形ABC内一点，连结OA、OB、OC，以OB为一边作∠OBM ＝60°，且BO＝BM，连结CM、OM．（1）判断AO与CM的大小关系并证明．（2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．25．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据二次根式的定义和性质可直接解答．【解答】解：∵＝3，＝3，∴x＝±3．故选：D．【点评】概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B符合题意；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C符不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3．【分析】根据二次根式的性质＝×（a≥0，b≥0）得出x≥0且x﹣6≥0，求出组成的不等式组的解集即可．【解答】解：∵，∴x≥0且x﹣6≥0，∴x≥6，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，注意：要使＝×成立，必须a≥0，b ≥0．4．【分析】首先根据题意可得满足，进而得到a2+b2＝c2，a＝b，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：∵，∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，解得：a2+b2＝c2，a＝b，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．5．【分析】因为＝﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．【解答】解：∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C．【点评】此题考查二次根式的运算方法：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．6．【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵三内角之比为1：2：3，∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴3x＝90°，故不选项正确；B、∵12+（）2＝3＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；C、∵92+（40）2＝1681＝（41）2，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；D、∵（）2+（2）2＝81≠（8）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．8．【分析】在RT△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M 的坐标．【解答】解：由题意得，AC＝＝＝，故可得AM＝，BM＝AM﹣AB＝﹣3，又∵点B的坐标为（2，0），∴点M的坐标为（﹣1，0）．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．9．【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意得：在直角△ABC中，AC2+AB2＝BC2，则12+22＝BC2，∴BC＝，∴则树高为：（1+）m．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．10．【分析】由题意，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判断．【解答】解：由题意，①﹣②得2xy＝45 ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴①②③正确，④错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11．【分析】根据平方差公式计算即可求解．【解答】解：（2+）（2﹣）＝（2）2﹣（）2＝12﹣6＝6．故答案为：6．【点评】考查了二次根式的混合运算中平方差公式的运用．12．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x、y的值，再代入x+y进行计算即可．【解答】解：∵原二次根式有意义，∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，∴x＝3，y＝4，∴x+y＝7．故答案为：7．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．13．【分析】分为两种情况，①当3cm和5cm都是直角边时；②当3cm为直角边和5cm为斜边时；根据勾股定理求出即可．【解答】解：①当3cm和5cm都是直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：第三边为＝（cm）；②当3cm为直角边和5cm为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：第三边为＝4（cm）．故答案为：4或．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理求出符合的所以情况是解此题的关键，注意：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用了分类讨论思想．14．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面⊙O的周长为10cm，∴AC＝5cm，∵高BC＝4cm，∴AB＝＝cm．故答案为：．【点评】此题考查了圆柱的平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径．15．【分析】因为，由此得到的整数部分a，再进一步表示出其小数部分b．【解答】解：因为，所以a＝1，b＝．故＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力之一，本题要求我们能够正确估算出一个无理数的大小．16．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，满分68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答卷上.）17．【分析】（1）首先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可；（2）首先计算零次幂、二次根式的化简、负整数指数幂，然后再计算加减即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝×＝×＝；（2）原式＝1+2﹣4＝2﹣3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算和零次幂、负整数指数幂，关键是熟练掌握各计算公式和计算法则．18．【分析】首先计算括号里面的加减，然后再计算除法，化简后再代入x的值即可．【解答】解：原式＝×，＝•＝．当x ＝﹣3时，原式＝＝＝1﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式加减和除法的计算法则．19．【分析】（1）以3和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；（2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示．【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．20．【分析】连接BD ，先根据勾股定理求出BD 的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD 为直角三角形，则四边形ABCD 的面积＝直角△BCD 的面积+直角△ABD 的面积．【解答】解：连接BD ．如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝15米，CD ＝20米，∴BD ＝＝＝25（米）；在△ABD 中，∵BD ＝25米，AB ＝24米，DA ＝7米，242+72＝252，即AB 2+BD 2＝AD 2，∴△ABD 是直角三角形．∴S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD＝AB •AD +BC •CD＝×24×7+×15×20＝84+150＝234（平方米）；即绿地ABCD 的面积为234平方米．【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出BD的长．21．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2＝0或c2＝a2+b2，当a2﹣b2＝0时，a＝b；当c2＝a2+b2时，∠C＝90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．22．【分析】（1）先根据a、b、c的值求出p，再代入公式计算可得；（2）由题意得出ch＝，解之可得．【解答】解：（1）p＝（4+5+6）＝．p﹣a＝﹣4＝，p﹣b＝﹣5＝，p﹣c＝﹣6＝．S＝＝＝；（2）∵S＝ch，∴h＝＝2×÷6＝．【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．23．【分析】由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC＝AE＝6cm，∠DEB＝90°，由勾股定理可求DE的长，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm∴AB＝＝10cm∵将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，∴AC＝AE＝6cm，∠DEB＝90°∴BE＝10﹣6＝4cm设CD＝DE＝x，则在Rt△DEB中，42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3，即DE等于3cm∴△BDE的面积＝×4×3＝6答：△BDE的面积为6cm2【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．24．【分析】（1）证明∴△OBM是等边三角形，得出OM＝OB，∠ABC＝∠OBC，由SAS证明△AOB≌△CMB，即可得出结论；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）AO＝CM；理由如下：∵∠OBM＝60°，OB＝BM，∴△OBM是等边三角形∴OM＝OB＝10，∠ABC＝∠OBC＝60°∴∠ABO＝∠CBM，在△AOB和△CMB中，∴△AOB≌△CMB（SAS），∴OA＝MC；（2）△OMC是直角三角形；理由如下：在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100，∴OM2＝OC2+CM2，∴△OMC是直角三角形【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理；证明三角形全等是解决问题的关键．25．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．。

高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{1}{1,5}{3}{1,3}【答案】D【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，， {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =所以，则. {}1,2,3U B =ð(){}1,3U A B = ð故选：D.2．“”是“”的（ ） 0x =20x x +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当时，，充分性成立；0x =20x x +=必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件 20x x +=0x ==1x -故选：A3．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式一定成立的是（ ） 0a b c >>>A ． B ．C ．D ． 22a c b c >c c b a >b a c c<11a b b a+>+【答案】D【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a ，b ，c 满足，所以，，，0a b c >>>0a b ->0ab >0a b +>对于A ，，所以，故A 错误；()()220a c b c c a b a b -=+-<22a c b c <对于B ，，所以，故B 错误；()0--=<c a b c c b a abc c b a <对于C ，，所以，故C 错误； 0b a b ac c c --=>b a c c>对于D ，，所以，故D 正确；()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab 11a b b a +>+故选：D.4．已知，则下列结论正确的是（ ）3sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ． B ．4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． D ． 4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭24sin 35πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，，所以A 不正确；4cos 35πθ⎛⎫-==± ⎪⎝⎭对于B ，，3cos =cos =cos =sin 6232335ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以B 不正确；对于C ，由B 知，，所以，3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 65πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭则，所以C 正确；4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭对于D ，. 23sin sin sin sin 33335ππππθπθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以D 不正确. 故选：C. 5．函数，的值域是（ ） ()222x xf x -=[]1,2x ∈-A ． B ．C ．D ．(]8-∞，1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]0,8【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.()[]222,1,g t x x x ∈-=-()g t ()f x 【详解】令，()[]222,1,g t x x x ∈-=-则， ()()min max (1)1,(1)3,g t g g t g ==-=-=所以()[1,3]g t ∈-又在上单调递增，2x y =R 所以()1322f x -≤≤即()182f x ≤≤故选：B.6．设函数，若关于x 的方程有4个不等实根，则a 的取值范围是()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =（ ） A ． B ．C ．D ．(0,2][0,2)(0,2)[0,2]【答案】A【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. ()f x 【详解】函数的图象如图所示，()fx关于x 的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交()f x a =()y f x =y a =点，所以. 02a <≤故选：A.7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为x y ､1110x y +-=0xy >490x y t +-≥t （ ） A ．9 B ．25C ．16D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实x y ､数的最大值.t 【详解】由得，1110x y +-=111x y +=又因为，所以实数均是正数，0xy >x y ､若不等式恒成立，即；490x y t +-≥min (49)t x y≤+， 114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）当且仅当时，等号成立；55,23x y ==所以，，即实数的最大值为25. min (49)25t x y ≤+=t 故选：B.8．函数是定义在R 上的偶函数，且当时，的解()f x 0x ≥()f x =()()1f x x -≥集为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即()()2,R f x x x =∈可.【详解】因为是定义在R 上的偶函数，故当时，()f x 0x <()()f x f x =-=又当时，； 0x ≥()()2f x x ===当时，， 0x <()()2f x x ===故.()()2,R f x x x =∈故即，()()1f x x -≥()()12f x f x -≥结合偶函数性质与的单调性可得，()f x =12x x -≥即，，解得.()()2212x x -≥()()3110x x -+≤11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知函数的图象关于点对称，则（ ）()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π,06⎛⎫⎪⎝⎭A ．π6ϕ=B ．直线是曲线的一条对称轴 5π12x =()y f x =C ．()()πf x f x +=D ．在区间上单调递增()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【详解】依题意，ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，A 选项错误.ππ4π0π,333ϕϕ<<<+<π2ππ,33ϕϕ+==则，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以直线是曲线的一条对称轴，B 选项正确.5π5π2π3πsin sin 112632f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12x =()y f x =的最小正周期，所以，C 选项正确. ()f x 2ππ2T ==()()πf x f x +=由得，所以不是的递增区间，D 选项错误.π02x <<2π2π5π2333x <+<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故选：BC10．下列说法正确的是（ ） A ．任取，都有 x ∈R 43x x >B ．函数的最大值为113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数（且）的图象经过定点()1xf x a =+0a >1a ≠()0,2D ．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称3xy =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A 不成立；B 选项：根据函数0x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求最大值即可；C 选项：将代入到的解析式中验证即可；D 选项：求出函数()0,2()f x 图象关于轴对称后的解析式即可判断D 选项.3x y =x 【详解】A 选项：当时，，故A 错；0x =00431==B 选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩(),0∞-()0,∞+，故B 正确； 0max113y ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：令，则，所以的图象恒过，故C 正确； 0x =()02f =()f x ()0,2D 选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D 错.3xy =x 133xxy ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“，”的否定为“，” x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++>B ．“或”是“”的必要不充分条件 2x ≠3y ≠5x y +≠C ．已知，，则,,a b c ∈R 22ac bc <a b <D ．当时，的最小值是π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +【答案】BC【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，命题“，”的否定为“，”， A 选项错误. x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++≤B 选项，若“或”，如，，则，即“”不成立； 2x ≠3y ≠1x =4y =5x y +=5x y +≠若“”，则“或”，5x y +≠2x ≠3y ≠所以“或”是“”的必要不充分条件，B 选项正确、 2x ≠3y ≠5x y +≠C 选项，由于，，则，所以，C 选项正确. ,,a b c ∈R 22ac bc <20c >a b <D 选项，，，()π0,,sin 0,12x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +≥=但D 选项错误. 2sin ,sin sin x x x==故选：BC12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其()31xf x =-()()()()()22R g x f x m f x m m ⎡⎤=-++∈⎣⎦中正确的有（ ）A ．任意，函数都恰有3个不同的零点 0m >()g xB ．存在，使得函数没有零点 R m ∈()g xC ．任意，函数都恰有1个零点 0m <()g xD ．存在，使得函数有4个不同的零点 R m ∈()g x 【答案】AC【分析】画出函数的图像，利用函数的零点()31xf x =-转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像：()31xf x =-令()()0f x t t =≥所以化为：()()()()()2[]2R g x f x m f x m m =-++∈，()()22h t t m t m =-++令，()0h t =由()222440m m m ∆+-=+>=所以有两个不同的实数根，()220t m t m -++=设为：，12,t t 所以，12122,t t m t t m +=+=由 ()()()12121211110t t t t t t --=-++=-<所以121t t <<选项A ：任意， 则如图所示：0m >有两个交点，即此时原函数有两个零点， 1()y t f x ==有一个交点，即此时原函数有一个零点， 2()y t f x ==所以共3个不同的零点，故A 选项正确； ()g x 当时，，此时， 0m =120t t =122t t +=10t =22t =故此时函数有2个零点当时，由选项A 知有3个不同的零点； 0m >当时，，0m <120t t m =<有，此时函数有1个零点， 120,1t t <>所以函数至少有1个零点，故B 不正确； 由选项B ，可知C 正确；若存在，使得函数有4个不同的零点， R m ∈()g x 如图：则即：1201,01t t <<<<有两个交点，即原函数有两个零点， 1()t f x =有两个交点，即原函数有两个零点， 2()t f x =共4个零点；此时，121202,0t t t t <+<>当时，矛盾； 0m =12122,0t t t t +==当时，矛盾； 0m >122t t +>当时，矛盾， 0m <120t t <故D 选项错误. 故选：AC.三、填空题 13．____________. 5π19πcostan 225sin 36+︒+=【答案】1【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式. π7π11cos tan 45sin113622⎛⎫⎛⎫=-++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：114．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为()nf x x =()2,8()()210f x f x +-<x __________. 【答案】}{1x x <-【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上()n f x x =(2,8)3n =3()f x x =3()f x x =R 是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得()()210f x f x +-<()()21f x f x <-21x x <-，故取值范围为.1x <-}{1x x <-故答案为： }{1x x <-15．下列命题中：①与互为反函数，其图象关于对称; 2x y =2log y x =y x =②函数的单调递减区间是；1y x=(,0)(0,)-∞+∞ ③当，且时，函数必过定点；0a >1a ≠()23x f x a -=-()2,2-④已知，且，则实数.()231a bk k ==≠121a b +=8k =上述命题中的所有正确命题的序号是______. 【答案】①③【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图象关于对称；x y a =log a y x =y x =所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题①正确； 2a =2x y =2log y x =y x =对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；；1y x=(,0),(0,)-∞+∞对于③，因为，所以令，即，则，()23x f x a -=-20x -=2x =()22232f a -=-=-故过定点，故命题③正确；()f x ()2,2-对于④，因为，所以，()231a bk k ==≠23log ,log a k b k ==所以， 231111log 2,log 3log log k k a k b k====故由得，即，即，121a b+=log 22log 31k k +=()2log 231k ⨯=log 181k =所以，故命题④错误. 18k =故答案为：①③16．若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-x的取值范围是__________．【答案】()4,2-【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-设,则()13t y y y =-+-()()2min 36x m x t y +--<又因为,所以.()()()13132t y y y y y =-+-≥---=()min 2t y =所以即()2362x m x +--<()2380x m x +--<设,()()223838g m x m x mx x x =+--=-++-对于任意,,应用一次函数性质可知[]1,1m ∈-()2380g m mx x x =-++-< ()()2213801380g x x x g x x x ⎧=-++-<⎪⎨-=++-<⎪⎩即得,解得 22280480x x x x ⎧+-<⎨+-<⎩2242x x ⎧--<<⎪⎨-<<⎪⎩则实数的取值范围是. x ()4,2-故答案为: .()4,2-四、解答题17．若集合，． {}24A x x =-<<{}0B x x m =-<(1)若，求．3m =A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围． A B A = 【答案】(1) {}23x x -<<(2){}4m m ≥【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【详解】（1）解：当时，，3m ={}3B x x =<因为，所以；{}24A x x =-<<{}23A B x x ⋂=-<<（2）解：由得,A B A = A B ⊆所以m 的取值范围是.{}4m m ≥18．已知. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)化简；()f α(2)若角为第二象限角，且，求的值. α1sin 3α=()f α【答案】(1) 1tan α-(2)()f α=【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．cos αtan α【详解】（1）. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1cos sin (tan )tan αααααα-==---（2）∵，，角为第二象限角， 1sin 3α=22sin cos 1αα+=α∴，∴cos α=tanα=∴()f α=19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102n n -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额） =总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为， ()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11020．已知函数的最小正周期． ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间和对称中心；()f x (2)求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；ωsin y x =（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域． sin y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为的最小正周期， ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π所以，得，故， 2ππω=2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则由得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈由得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以单调递增区间为，对称中心为. ()f x ()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x +≤≤所以，故，即， 1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x -≤≤所以在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦[]1,2-21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()13x f x =-(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，方程有解，求实数的取值范围. []2,8x ∈()()222log 4log 0f x f a x +-=a 【答案】(1)； 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩(2).[]4,5【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和0x <()0,13x x f x -->-=-()f x ()()f x f x =--，即可求出答案.(0)0f =（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用()()222log 4log 0f x f a x +-=()()222log log 4f x f a x =-是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则()f x R 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈2log t x =在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.240t at -+=[]1,3t ∈【详解】（1）当时，则，0x <()0,13x x f x -->∴-=-是奇函数，.()f x ()()13x f x f x -∴=--=-+又当时，0x =(0)0f =. 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-+<⎩（2）由， ()()222log 4log 0f x f a x +-=可得. ()()222log 4log f x f a x =--是奇函数，()f x .()()222log log 4f x f a x ∴=-又是上的单调减函数，()f x R 所以在有解. 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈令，则在有解.[]2log ,2,8t x x =∈[]21,3,40t t at ∈∴-+=[]1,3t ∈即在有解， 4a t t=+[]1,3t ∈设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为 ∴()4,g t t t=+[]4,5.实数的取值范围为∴a []4,522．已知函数与，其中是偶函数． ()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()f x (1)求实数的值及的值域；k ()f x (2)求函数的定义域；()g x (3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)，函数的值域为 12k =-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得k 函数的值域；()f x （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得4203x a a ⋅->a 函数的定义域；()g x（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数20x t =>()()f x g x =t ()241103a t a ---=的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综a a 合可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，()f x ()()f x f x -=所以，，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-所以，， ()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++则，故，所以， 21k =-12k =-()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+-， ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 0x =()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：对于函数，则有. ()g x 4203x a a ⋅->当时，，不合乎题意； 0a =4203x a a ⋅-=当时，，得； 0a >423x >24log 3x >当时，，得. a<0423x <24log 3x <综上所述，当时，函数的定义域为； 0a >()g x 24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的定义域为. a<0()g x 24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 即方程有且只有一个实根， ()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭即方程有且只有一个实根， 142223x x x a a +=⋅-令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意; 1a =34t =-②当时，由得或， 1a ≠()216Δ4109a a =+-=34a =3-若，则不合题意；若，则满足要求. 34a =2t =-3a =-12t =若，可得或. ()2164109a a ∆=+->3a <-34a >则此时方程应有一个正根与一个负根， ()241103a t a ---=所以，，解得，因为或，故. 101a -<-1a >3a <-34a >1a >综上，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

高一数学期中六校联考一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．1. 已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，所以，故选C．考点：集合的运算．2. 下图分别为集合到集合的对应，其中，是从到的映射的是（）．A. （）（）B. （）（）（）C. （）（）（）D. （）（）（）（）【答案】A【解析】（）（）中的每一元素满足在中有唯一确定的元素和它们相对应，故（）是映射，（）中元素在中有两个元素和它对应，不满意映射定义，故（）不是映射，（）中元素在中有两个元素和它对应，且元素无元素和它对应，故（）不是映射．故选．3. 函数的零点所在的区间是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：解：∵函数f（x）=2x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f（-1）=2-1+3×（-1）=-＜0，f（0）=20+0=1＞0，∴f（-1）f（0）＜0．∴f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间为（-1，0），故答案为（-1，0）．选B.考点：函数零点点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

4. 下列所示的图形中，可以作为函数的图像是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】作直线与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴是的函数，那么直线移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除，，，．只有符合．故选．5. 已知，，，则，，的大小关系是（）．A. B. C. D.【答案】A故选A.6. 已知函数的值域为，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，由题意，得，，，，∴，．故选．7. 已知函数，若，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以．故选．8. 若集合，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，解得，即，所以为．故选．9. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递增，所以，解得，．故选．点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.10. 对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；；即函数叫做“取整部分”，它在数学本身和生产实践中有广泛应用，那么的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，有个，，有个，，有个，∴．故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 函数的定义域是__________．【答案】【解析】，解得．故答案为：.点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．12. 已知幂函数的图像经过点，则函数的解析式为__________．【答案】【解析】幂函数的图象经过点，所以，解得：，所以函数．故答案为：．13. 若，，那么__________．【答案】15【解析】令，解得，当时，，所以．故答案为：15.14. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意恒有，已知当，，则下列命题：①是函数的周期；②函数在上递减，在上递增；③函数的最大值是，最小值时是；④当，．其中，正确的命题的序号是__________．【答案】①②④【解析】∵对任意的恒有，∴则的周期为，故①正确；∵函数是定义在上的偶函数，当时，，∴函数在上是增函数，函数在上是减函数，所以在上递减，在上是增函数，故②正确；∴函数的最大值是，最小值为，故③不正确；设，则，，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6个小题，15题10分，其余每题12分，满分70分．解答须写出说明．证明过程和演算步骤．15. 计算下列各式的值：（）．（）．【答案】（1）；（2）3.【解析】试题分析：（1）由已知利用指数性质、运算法则求解．（2）由已知利用对数性质、运算法则求解．试题解析：（）原式（或写成）．（）原式．16. 已知集合，．（）当时，求．（）若，求实数的取值集合．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据两个集合的交集的定义求出A∩B．（2）根据B⊆A，分B=∅时和B≠∅时两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．试题解析：（），当时，，．（）当时，，所以满足题意；当时，由题意，解得．综上知：实数的取集合．17. 已知函数为奇函数，当，．（）求当时，函数的解析式．（）设，作出的图像，并由图指出的单调区间和值域．【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间，值域为. 【解析】试题分析：（1）由奇函数可得当时，，则，即可得解；（2）根据分段函数的解析式得到图象，由图像可得单调区间和值域.试题解析：（）当时，，则，∴，∴，∴当时，函数的解析式为．（）由图得单调增区间为，单调减区间，值域为．18. 已知函数．（）判断并证明函数的奇偶性．（）判断并用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集．【答案】（1）奇函数；（2）.【解析】试题分析：（1）的定义域为，关于原点对称，进而验证可得函数为奇函数；（2）任取，，且，判断的正负可得单调性，从而根据函数单调性解不等式即可.试题解析：（）是奇函数，证明如下：的定义域为，关于原点对称，，∴，（）在上为增函数．证明：任取，，且，则，∵，，且，∴，，，∴即，∴在上为增函数，∵在上为增函数且，∴，∴，即的解集为．点睛：本题主要考查函数函数单调性的证明与应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.19. 某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得万元到万元的投资利益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．（）请分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．（）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．【答案】（1）；（2）328.【解析】试题分析：（1）题意要求且，当时，验证此式，发现不合要求；故不符合要求.（2）对函数，通过单调性得出的最大值，由最大值得一个范围，又由恒成立，又得一个范围，两者的交集就是我们所求的答案.试题解析：(1)对于函数模型当时,为增函数,, 所以恒成立,但当时,, 即不恒成立,故函数模型不符合公司要求(2)对于函数模型, 即当,即时递增,为使对于恒成立, 即要,即,为使对于恒成立, 即要,即恒成立, 即恒成立,又, 故只需即可,所以综上,, 故最小的正整数的值为.20. 已知函数，．（）当时，求在区间上的最大值和最小值．（）解关于的不等式．（）当时，若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）最大值为4，最小值为-5；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）时，函数在上是减函数，在上是增函数，从而得最值；（2）不等式，即，进而讨论解不等式即可；（3）时，为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，只需即可.试题解析：（）时，函数在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有最大值，且，当时，有最小值，且．（）不等式，即，当时，解得，当时，的两根为和，当时，，不等式的解集为：或，当时，，所以当时，，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，当时，，不等式的解集为：，综上所述：当时，，不等式的解集为：或；当时，不等式的解集为：；当时，，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：．（）时，为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，若存在，使得，则，即，解得或，综上所述：的取值范围是．点睛：函数的存在性问题可转化为函数的最值问题处理，存“在，使得成立，等价于”，“在，使得成立，等价于”，当的最值不存在时，可用函数值域的端点值代替，但要注意等号能否取得。

广东省广州市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题一、选择题 1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的面积公式为S πab =，某同学需通过下面的随机模拟实验估计π的值。

过椭圆E:22195x y +=的左右焦点12,F F 分别作与x 轴垂直的直线与椭圆E 交于A,B,C,D 四点，随机在椭圆E 内撒m 粒豆子，设落入矩形ABCD 内的豆子数为n ，则圆周率π的值约为（ ）A ．9nB ．20mC ．9nD ．40m3．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．存在0x R ∈，都有200x ≥B ．对任意x R ∈，使得20x <C ．存在0x R ∈，使得200x <D ．不存在x R ∈，使得20x <4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5．若函数32()37f x x x x a =--+的图象与直线21y x =+相切，则a =()A.284或B.284-或C.284-或D.284--或6．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A.16B.18C.20D.227．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.8．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A.(),1-∞-B.(),2-∞C.()0,1D.()1,29．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（ ） A.63125B.62125C.63250D.3112510．已知点（x,y）满足曲线方程4{6x y θθ=+=+ （θ为参数），则yx的最小值是（ ）A.2B.32D.111．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

第 1 页 共 23 页 广东广州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学卷考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球的表面积公式: 24S R π=，其中R 为球半径．锥体体积公式:Sh V 31=，柱体体积公式:V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2.已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a3.设α、β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βB. 若m ∥n ，n ∥α，α∥β，则m ∥βC. 若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥αD. 若α∩β=n ，m ∥α，m ∥β，则m ∥n4.已知函数f （x ）=3x ﹣（）x ，则f （x ）（ ）A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数。

广东省广州市番禺区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题一．选择题（共12小题，5分/小题，共60分）1．已知34tan =x ，且x 在第三象限，则x cos =（）A ．54B ．54-C ．53D ．53-2．已知312sin =a ，则)4(cos 2pa -=（）A ．31-B B．．31C ．32-D ．323．要得到函数)32cos()(p +=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(p+=x x g 的图象（）A ．向左平移2p 个单位长度B B．向右平移．向右平移2p 个单位长度C ．向左平移4p个单位长度 D D．向右平移．向右平移4p个单位长度4．若向量a ，b 满足满足||a |=，b =（﹣（﹣22，1），a •b =5=5，则，则a 与b 的夹角为（）A ．90°．90°B B B．60°．60°．60°C C C．45°．45°．45°D D D．30°．30°5．若31)3sin(=-a p，则=+)23cos(a p（）A ．97B B．．32C C．．32-D D．．97-6．△．△ABC ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知sinB+sinA sinB+sinA（（sinC sinC﹣﹣cosC cosC））=0=0，，a =2=2，，c =，则C=C=（（）A ．12p B B．．6pC ．4pD D．．3p7．等差数列．等差数列{{n a }的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则成等比数列，则{{n a }前6项的和为（）A ．﹣．﹣24B 24 B 24 B．﹣．﹣．﹣3C 3 C 3 C．．3D D．．88．在等比数列．在等比数列{{n a }中，若1a =2=2，，4a =16=16，则，则，则{{n a }的前5项和5S 等于（）A ．30B B．．31C C．．62D D．．649．变量y x ,满足条件ïîïíì->££+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（的最小值为（ ）A ．223 BB．．5 C ．5 D ．291010．锐角三角形．锐角三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且21222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（ ）A ．BB．．C C．．D D．．（6，7] 1111．已知．已知*,R y x Î，且满足xy y x 22=+，那么y x 4+的最小值为（的最小值为（ ） A ．3﹣B B．．3+2C C．．3+D D．．41212．如图，在△．如图，在△．如图，在△OMN OMN 中，中，A A ，B 分别是OM OM，，ON 的中点，若=x+y（R y x Î,），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则21+++y x y 的取值范围是（的取值范围是（）A ．[，] B B．．[，] C C．．[，] D ．[，]二．填空题（共4小题，5分/小题，共20分） 1313．函数．函数43cos 3sin )(2-+=x x x f ，（Îx [0[0，，]）的最大值是）的最大值是 ． 1414．在△．在△．在△ABC ABC 中，∠A=60°，中，∠A=60°，AB=3AB=3AB=3，，AC=2AC=2．若．若=2，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为的值为 ．1515．等比数列．等比数列．等比数列{{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，已知3S =，6S =，则8a = ．1616．若关于．若关于x 的不等式b x x a £+-£43432的解集恰好为的解集恰好为[[b a ,]，那么a b -= ．xy1O三．解答题（共14小题） 1717．．（10分）已知函数x xx f 2sin )42sin(22)(++=p ． （1）求函数)(x f 的最小正周期；的最小正周期；（2）若函数)(x g 对任意R x Î，有)6()(p +=x f x g ，求函数)(x g 在[﹣，]上的值域．上的值域．1818．．（12分）已知函数R x x A x f Î+=),sin()(f w （其中22,0,0p f pw <<->>A ），其部分图象如图所示．象如图所示．（I ）求)(x f 的解析式；的解析式；（II II）求函数）求函数)4()4()(p p -×+=x f x f x g 在区间上的最大值及相应的x 值．值．1919．．（12分）已知公差不为零的等差数列分）已知公差不为零的等差数列{{n a }的前n 项和为n S ，若10S =110，且421,,a a a 成等比数列（Ⅰ）求数列（Ⅰ）求数列{{n a }的通项公式；的通项公式； （Ⅱ）设数列（Ⅱ）设数列{{n b }满足)1)(1(1+-=n n n a a b ，若数列，若数列{{n b }前n 项和n T ．2020．．（12分）某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，元，20002000元．甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工一件甲所需工时分别为1h ，2h ，加工一件乙设备所需工时分别为2h ，1h ．A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h ，分别用y x ,表示计划每月生产甲，乙产品的件数．表示计划每月生产甲，乙产品的件数．（Ⅰ）用y x ,列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．2121．．（12分）已知在△已知在△ABC ABC 中，中，三条边三条边c b a ,,所对的角分别为A 、B ，C ，向量m =（A A cos ,sin ），n =（B B sin ,cos ），且满足m •n =C 2sin ． （1）求角C 的大小；的大小；（2）若sinA sinA，，sinC sinC，，sinB 成等比数列，且•（﹣）=﹣8，求边c的值并求△的值并求△ABC ABC 外接圆的面积．面积．2222．．（12分）若正项数列分）若正项数列{{n a }满足：)(,*11N n a a aa n n n n Î-=++，则称此数列为“比差等数列”．，则称此数列为“比差等数列”． （1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值；项的值； （2）设数列）设数列{{n a }是一个“比差等数列”是一个“比差等数列” （i ）求证：42³a ；（ii ii）记数列）记数列）记数列{{n a }的前n 项和为n S ，求证：对于任意*N n Î，都有2452-+>n n S n ．广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题） DDCCD BACCC BC 二．填空题（共4小题） 13． 1 ． 1414．．．1515．． 32 ． 1616．． 4 ．三．解答题（共14小题）1717．解：．解：（1）f （x ）=sin sin（（2x+）+sin 2x==sin2x+cos2x+sin 2x=sin2x+=sin 2x+1x+1﹣﹣=sin2x+， ∴f （x ）的最小正周期T=； ..........(5分)（2）∵函数g （x ）对任意x ∈R ，有g （x ）=f =f（（x+），∴g （x ）=sin2sin2（（x+）+=sin sin（（2x +）+， 当x ∈[﹣，]时，则2x+∈， 则≤sin sin（（2x+）≤）≤11，即×≤g （x ），解得≤g （x ）≤）≤11．综上所述，函数g （x ）在）在[[﹣，]上的值域为：上的值域为：[[，1]1]．． .........(10分)1818．解：．解：（I ）由图可知，）由图可知，A=1A=1A=1（（1分），所以T=2π（2分）分）所以ω=1=1（（3分）分） 又，且所以（5分）分）所以．（6分）分）（II II）由（）由（）由（I I ），所以==（8分）=cosx•sinx（=cosx•sinx（99分）分） =（10分）分）因为，所以2x 2x∈∈[0[0，，π]，sin2x sin2x∈∈[0[0，，1]故：，当时，时，g g （x ）取得最大值．（12分）分）1919．解析：．解析：（Ⅰ）由题意知：…..…（…..…（44分）分）解得a 1=d=2=d=2，，故数列a n =2n =2n；…（；…（；…（66分）分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，…..（，…..（88分）分）则…..（…..（1010分）分）=…（…（1212分）分）20．解：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x ，y 件，件，约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分 ......... ......... .........（（5分）分）（Ⅱ）设每月收入为z 千元，目标函数是z=3x+2y 由z=3x+2y 可得y=y=﹣﹣x+z ，截距最大时z 最大．最大． 结合图象可知，结合图象可知，z=3x+2y z=3x+2y 在A 处取得最大值处取得最大值 由可得A （200200，，100100）），此时z=800 故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200200，，100件可使月收入最大，最大为80万元．万元．.................(12分)2121．解：．解：（1）∵向量=（sinA sinA，，cosA cosA）），=（cosB cosB，，sinB sinB）），且满足•=sin2C =sin2C，， ∴sin sin（（A+B A+B））=2sinCcosC =2sinCcosC，， ∴cosC=， ∴C=； ...........(4分)（2）∵）∵sinA sinA sinA，，sinC sinC，，sinB 成等比数列成等比数列 ∴sin 2C=sinAsinB C=sinAsinB，，∴c 2=ab =ab，， ∵•（﹣）=﹣8，∴•=﹣8，∴ab=16ab=16，， ∴c=4c=4，，设外接圆的半径为R ，由正弦定理可知：，由正弦定理可知：2R=2R=∴R=，∴，∴S=S=． ........... ...........（（12分）分）2222．．（1）解：一个“比差等数列”的前3项可以是：项可以是：22，4，； ........... ...........（（2分）分）（2）（i ）证明：当n=1时，，∴===，∵a n ＞0，∴，则a 1﹣1＞0，即a 1＞1，∴≥2+2=4+2=4，，当且仅当时取等号，时取等号，则a 2≥4成立；成立； ........... ........... ...........（（7分）分） （ii ii）由）由a n ＞0得，得，a a n+1﹣a n =≥0，∴a n+1≥a n ＞0，则a n+1﹣a n =，由a 2≥4得，得，a a 3﹣a 2≥1，a 4﹣a 3≥1，…，，…，a a n ﹣a n ﹣1≥1， 以上以上 n n n﹣﹣1个不等式相加得，个不等式相加得，a a n ≥（≥（n n ﹣2）+4=n+2+4=n+2（（n ≥2）， 当n ≥2时，时，S S n =a 1+a 2+a 3+…+a n≥1+4+1+4+（（3+23+2））+…+（n+2n+2）≥（）≥（）≥（1+21+21+2））+（2+22+2））+…+（n+2n+2）﹣）﹣）﹣2 2 =﹣2=，当n=1时，由（时，由（i i ）知S 1=a 1＞1≥，综上可得，对于任意n ∈N*N*，都有，都有S n ＞． ........... ...........（（12分）分）。

2018-2019学年广州市番禺区六校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．sin 210︒的值为（ ）A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】由诱导公式可得1sin210302sin ︒=-︒=-，故选B. 2．已知向量(1,2), (,4)a b x ==-r r，且//a b r r，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】A【解析】根据平面向量的共线定理，列方程求出x 的值. 【详解】解：向量(1,2), (,4)a b x ==-r r，当//a b r r时，1(4)20⨯--=x ， 解得2x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题.3．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[)1,0-C ．()0,+?D ．[1,0)(0,)-+∞U【答案】D【解析】由10x +≥且0x ≠，解不等式即可得到所求定义域. 【详解】解：由10x +≥且0x ≠，可得1x ≥-且0x ≠， 即有定义域为[1,0)(0,)-+∞U ，【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式和分式的含义，属于基础题.4．已知向量2,a b ==r r a r 与b r的夹角为150°，则a b ⋅r r 的值为（ ）A． BC ．3-D ．3【答案】C【解析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可. 【详解】解：向量2,a b ==r r a r 与b r的夹角为150°，则||||cos15023a b a b ︒⎛⋅===- ⎝⎭r r r r . 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查. 5．函数()sin 2cos 21f x x x =+是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为2π的非奇非偶函数【答案】D【解析】利用二倍角的正弦变形，再由周期公式求周期，结合图象既不关于原点中心对称，也不关于y 轴轴对称说明函数为非奇非偶函数. 【详解】解：1()sin 2cos 21sin 412f x x x x =+=+. 周期242T ππ==， 函数()f x 的图象是把1sin 42y x =的图象向上平移1个单位得到的， 既不关于原点中心对称，也不关于y 轴轴对称.∴()f x 是非奇非偶的函数. ∴()f x 是最小正周期为2π的非奇非偶函数. 故选：D.本题考查二倍角公式的应用，考查函数奇偶性的判定，是基础题. 6．函数2()34f x x x =--的零点是（ ） A ．()1,0- B ．()4,0 C ．()1,0-或()4,0 D ．-1或4【答案】D【解析】根据题意，令()0f x =，可解得x 的值，即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数2()34f x x x =--，若()0f x =，即2340x x --=，可解得1x =-或4， 即函数的零点为1-和4； 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的计算，注意函数零点的定义，属于基础题.7．已知0.4 1.9.41.9,log 1.9,0.4a b c === 则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 a=1.90.4＞1.90=1， b=log 0.41.9＜log 0.41=0， 0＜c=0.41.9＜0.40=1， ∴a ＞c ＞b ． 故选：C ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．若函数122(1)()log (1)x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题中函数知，当x＝0时，y＝2，图象过点（0，2），又依据指数函数的性质知，此函数在（0，+∞）上的函数值为正，根据此两点可得答案．【详解】解：观察四个图的不同发现，B C、图中的图象过（0，2），而当x＝0时，y＝2，故排除A D、；又当1﹣x＜1，即x＞0时，f（x）＞0．由函数y＝f（1﹣x）的性质知，在（0，+∞）上的函数值为正，排除B．故选：C．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用函数的图象，掌握其的性质．9．已知1sin cos,(0,)3αααπ+=∈，则sin cosαα-的值为（）A．17B．17C17D．13-【答案】C【解析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果. 【详解】解：已知1sin cos ,(0,)3αααπ+=∈， 所以112sin cos 9αα+=，即4sin cos 9αα=-， 所以,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以sin cos 0αα->， 所以217sin cos (sin cos )4sin cos αααααα-=+-=. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数基本关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.10．已知ABC ∆的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算和一次函数的单调性即可得出. 【详解】解：如图所示，建立直角坐标系，设(,),(03,0P x y x y ≤≤≤≤4)，则()CP BA BC CP CA ⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(,)(3,0)39x y x ⋅=≤，当3x =时取等号，∴()CP BA BC ⋅-u u u r u u u r u u u r的最大值为9. 故选：B. 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算和一次函数的单调性，属于基础题.11．将函数()cos f x x x =-的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，则6g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．B ．C D【答案】A【解析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据函数图象的平移可求()g x ，代入6π-即可求解. 【详解】解：∵()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，1()2sin 2cos 63g x x x ππ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭，则2cos 66g ππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数辅助角公式及三角函数图象的平移，属于基础试题.12．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1 B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2.当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．函数()sin 23f x x p 骣琪=+琪桫的图象的对称中心为______________. 【答案】,0,62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】根据正弦函数的对称性进行求解即可. 【详解】 解：由23x k ππ+=，得62πk πx =-+， 即函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为,0,62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：,0,62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数对称性的求解，结合对称中心的公式是解决本题的关键. 14．()12302ln 4log 273log 4e++=_________________.【答案】6【解析】进行指数和对数的运算即可. 【详解】解：原式2316=++=. 故答案为：6. 【点睛】考查指数式和对数式的运算，是基础题.15．在ABC ∆中，,AB c AC b ==u u u r r u u u r r，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，以向量,b c r r为基底，则向量AD =u u u r_________.【答案】1233c b +rr【解析】画出示意图，表示出AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r，又根据条件可得23BD BC =u u u r u u u r ，则可得答案. 【详解】解：如图，AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r，又因为2BD DC =u u u r u u u r，所以23BD BC =u u u r u u u r ，所以221212()333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b =+=+=+-=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rr ，故答案为：1233c b +rr .【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于基础题. 16．已知0>ω，函数()cos()4f x x πω=-在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是_______．【答案】1524ω≤≤ 【解析】()cos cos 44f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则222T ππππω⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭，02ω∴<≤，若2x ππ<<，则2x πωωωπ<<，2444x ππππωωωπ-<-<-，02ω<≤Q ，34244ππππω∴-<-<，7,444πππωπ∴-<-<∴若函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则满足0244ππωπωππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，即1254ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即1524ω≤≤，故答案为1524ω≤≤. 【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．三、解答题17．设全集为R ，集合{}36A x x =≤<，{}25B x x =<<. （1）分别求A B I ，()R B A U ð；（2）已知集合{}|1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值构成的集合. 【答案】（1）{|35}A B x x ⋂=≤<，(){|2R A B x x =≤U ð或3}x ≥；（2）[2,4] 【解析】（1）进行交集、并集和补集的运算即可； （2）根据C B ⊆即可得出215a a ≥⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可.【详解】解：（1）{|36},{|25}A x x B x x =≤<=<<Q ，(){|35},{|2R A B x x B x x ∴=≤<=≤I ð或5}x ³， (){|2R A x x B ∴=≤U ð或3}x ≥；（2）{}|1C x a x a =<<+，且C B ⊆，则215a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得24a ≤≤，∴实数a 的取值构成的集合为[2,4]. 【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集、并集和补集的运算，子集的定义.18．（1）化简：sin()cos()sin(2)cos()πααπαπα+---；（2）已知sin()(1)m m πα+=≠，用含m 的表达式表示2cos cos 21sin ααα-+，并求当13m =时，2cos cos 21sin ααα-+的值.【答案】（1）1-；（2）22cos cos 221sin m m ααα-=--+，59-【解析】（1）直接利用三角函数的诱导公式化简求值；（2）由已知求得sin α，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化简，取13m =，求得2cos cos 21sin ααα-+的值.【详解】 解：（1）sin()cos()sin cos 1sin(2)cos()sin (cos )πααααπαπααα+--⋅==----⋅-；（2）由sin()m πα+=，得sin m α-=，则sin m α=-，2222cos 1sin cos 212sin 12sin 1sin 1sin 1sin αααααααα-∴-=--=--+++22sin 2sin 2m m αα=-=--，当13m =时，2cos 115cos 221sin 399ααα-=--⨯=-+.【点睛】本题考查应用诱导公式化简求值，考查同角三角函数基本关系，倍角公式的应用，是基础题.19．已知()1,2a =r ，()3,2b =-r .（1）当k 为何值时，ka b +r r 与3a b -r r垂直？ （2）当k 为何值时，ka b +r r 与3a b -r r 平行？【答案】（1）19k =（2）13k =-【解析】（1）由向量垂直的坐标公式得k 的方程，求解即可；（2）由向量平行的坐标公式得k 的方程，求解即可；【详解】 （1）()13221a b ⋅=⋅-+⋅=r r ，()()3ka b a b +⋅-r r r r ()22133238=0ka k a b b k =+-⋅-=-r r r r , 故19k =（2）因为()=3,22ka b k k +-+r r ，()3=104a b --r r ，若ka b +r r 与3a b -r r平行，则 ()()14310222483k k k k --=+⇒=-∴=- 【点睛】本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题20．某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数2400,0200()40000,200x x x H x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，其中x 是仪器的月产量.（利润=总收入—总成本）.（1）将利润表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）23007500,020*********,200x x x y x x ⎧-+-≤≤=⎨-+>⎩；（2）当月产量为150台时，车间所获利润最大，最大利润为15000元【解析】（1）分段写出利润关于x 的函数；（2）求出每段上的函数最大值，得出结论.【详解】解：（1）设利润为y 元，①当0200x ≤≤时，2240010075003007500y x x x x x =---=-+-， ②当200x >时，20000100750010012500y x x =--=-+.故23007500,020*********,200x x x y x x ⎧-+-≤≤=⎨-+>⎩； （2）当0200x ≤≤时，223007500(150)15000y x x x =-+-=--+，故当150x =时，y 取得最大值15000.当200x >时，10012500y x =-+在(200,)+∞上单调递减，又x ∈N ，故y 的最大值为100201125007600-⨯+=-.综上，当月产量为150台时，车间所获利润最大，最大利润为15000元.【点睛】本题考查了分段函数的解析式与函数最值的计算，属于中档题.21．函数2()4ax b f x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =. （1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.【答案】（1）2()4x f x x =-，(2,2)x ∈-；（2）增函数，证明见解析；（3）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据奇函数性质(0)0f =即可求得b .由1(1)3f =代入即可求得a .即可得()f x 的解析式.（2）根据定义,通过作差即可证明函数()f x 在(2,2)-上为单调递增函数.（3）根据奇函数的性质及（2）中函数的单调性,结合定义域解不等式即可求得t 的取值范围.【详解】（1）由函数2()4ax b f x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数知(0)04b f -== 所以解得0b =,经检验,0b =时2()4ax f x x=-是(2,2)-上的奇函数,满足题意 又21(1)413a f ==- 解得1a = 故2()4x f x x =-,(2,2)x ∈-. （2）()f x 在(2,2)-上为增函数.证明如下：在(2,2)-任取12,x x 且12x x <则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----, 因为210x x ->,1240x x +>,2140x ->,2240x ->,所以()()()()()()2112212122222121404444x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=>---- 即()()21f x f x >,所以()f x 在(2,2)-上为增函数.（3）因为()f x 为奇函数所以()()f x f x -=-不等式(1)()0f t f t -+<可化为(1)()f t f t -<-,即(1)()f t f t -<-又()f x 在()2,2-上是增函数,所以121222t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩, 解得112t -<< 所以关于t 的不等式解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,利用定义证明函数的单调性,由函数的奇偶性及单调性解不等式,属于中档题.22．已知函数2()cos(2)cos 2f x x x x ππ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若30,,22310f πθπθ⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）,,()63kx kx k Z ππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭；（2）7 【解析】（1）利用诱导公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦函数，令222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，可求其单调递增区间；（2）由（1）中的函数解析式求得cos θ，根据θ的取值范围得到tan θ，再利用二角和的正切公式进行解答即可.【详解】解：（1）由已知1cos 211()cos 2cos 2222x f x x x x x +=-=-- 1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈， 得：,63k x k k Z ππππ-+<<+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,,()63kx kx k Z ππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭； （2）21113sin sin cos 2336222210f θπθπθθππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4cos 5θ∴=，又0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， sin ,tan 3345θθ∴==， 341tan 1ta 34n 741tan 1πθθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.。