2019-2020学年高中数学新教材必修一第2章：不等式及其性质

课时分层作业(十四) 不等式及其性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )
A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c
B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b
C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b d
D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b
B [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项
C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项
D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.]
2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )
A ．a >a b >a b 2
B.a b 2>a b >a
C.a b >a >a b 2
D.a b >a b 2>a
D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >a b 2>a .故选D.]
3．已知a >b ，则下列不等式：①a 2>b 2
；②1a <1b ；③1a －b >1a .其中不成立的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [虽然已知a >b ，但并不知道a ，b 的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，
故①错；2>－3⇒12>－13，②错；若有a ＝1，b ＝－2，则1a －b
＝13，1a ＝1，故③错．] 4．若abcd <0，且a >0，b >c ，d <0，则( )
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 D．0<c<b或c<b<0
D[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.] 5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()
A.1
a＜
1
b B．a
2＞b2
C.
a
c2＋1
＞
b
c2＋1
D．a|c|＞b|c|
C[对A，若a＞0＞b，则1
a
＞0，1
b
＜0，
此时1
a ＞1
b
，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴a
c2＋1＞b
c2＋1
恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．] 二、填空题
6．给出以下四个命题：
①a＞b⇒a n＞b n(n∈N*)；②a＞|b|⇒a n＞b n(n∈N*)；③a＜b＜0⇒1
a＞
1
b；④a
＜b＜0⇒
1
a－b
＞
1
a.其中真命题的序号是________．
②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴a n ＞b n成立；
③a＜b＜0，得1
a
＞1
b
成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故
1
a－b
＜1
a
，④不成立．]
7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列：________.
y ＜－y ＜x [∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1，∴y ＜－y ＜x .]
8．若8<x <10,2<y <4，则x y 的取值范围是________．
(2,5) [∵2<y <4，∴14<1y <12.
∵8<x <10，∴2<x y <5.]
三、解答题
9．(1)a <b <0，求证：b a <a b ；
(2)已知a >b ，1a <1b ，求证：ab >0.
[证明] (1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab
＝(b ＋a )(b －a )ab
， ∵a <b <0，
∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0，
∴(b ＋a )(b －a )ab <0，故b a <a b .
(2)∵1a <1b ，
∴1a －1b <0，
即b －a ab <0，
而a >b ，
∴b －a <0，
∴ab >0.
10．已知：3＜a ＋b ＜4,0＜b ＜1，求下列各式的取值范围．
(1)a；(2)a－b；(3)a b.
[解](1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4.
(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，
∴1＜a－b＜4.
(3)∵0＜b＜1，∴1
b
＞1，
又∵2＜a＜4，∴a
b
＞2.
[等级过关练]
1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是()
A．ac＞bc B．ab＞ac
C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2
B[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴A不正确．
对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]
2．若α，β满足－π
2＜α＜β＜π
2，则2α－β的取值范围是() A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π
C．－3π
2＜2α－β＜
π
2D．0＜2α－β＜π
C [∵－π2＜α＜π2，∴－π＜2α＜π.∵－π2＜β＜π2，
∴－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2.又α－β＜0，α＜π2，∴2α－β＜π2.故－3π2＜2α－β＜π2.]
3．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．
[3,8] [∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，
－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，
∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，
∴3≤z ≤8.]
4．设a ，b 为正实数，有下列命题：
①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；
②若1b －1a ＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；
④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.
其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)
①④ [对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b
⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则
1a ＋b
≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．
对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.
对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.
对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，
∴a ≠b ，不妨设a >b >0.
∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，
∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2.
即a 3－b 3>(a －b )3>0，
∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，
∴0<a －b <1，
即|a －b |<1.因此④正确．]
5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足以下条件：
(1)该函数图像过原点；
(2)当x ＝－1时，y 的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x ＝1时，y 的取值范围为大于等于3且小于等于4. 求当x ＝－2时，y 的取值范围．
[解] ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像过原点，
∴c ＝0，
∴y ＝ax 2＋bx .
又∵当x ＝－1时，1≤a －b ≤2.①
当x ＝1时，3≤a ＋b ≤4，②
∴当x ＝－2时，y ＝4a －2b .
设存在实数m ，n ，使得
4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，
而4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n ＝4，m －n ＝－2，
解得m ＝1，n ＝3， ∴4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．
由①②可知3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.。