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上海市华东师范大学附中2018学年高一上学期入学数学试卷姓名学校成绩一．选择题以下每小题为10分，满分150分1．（10分）有一种测验可以随时在网上报名．若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A．B．C．D．2．（10分）已知a为正整数，且关于x的方程lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1有实根，则a等于（）A．1B．1或2C．2D．2或33．（10分）已知等比数列，a 1=2，公比q=2，其前n项和为S n，前n项积为T n，那么，等于（）A．0B．1C．D．24．（10分）设F1，F2是双曲线﹣=1的焦点，P是双曲线上一点．若P到F1的距离为9，则P到F2的距离等于（）A．0B．17C．D．25．（10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x﹣1|C．f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）D．f（x）=ln6．（10分）已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．若|a﹣b|=3，则c=（）A．B．C．﹣2D．27．（10分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2D．48．（10分）由动点P向圆x2﹣y2=2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．若∠APB=60°，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线9．（10分）如果（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288，则（++…+）等于（）A．B．C．1D．210．（10分）过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知=m倍的，=n倍的，则（）A．m+n=B．m+n=C．+=D．+=311．（10分）已知{a n}为等差数列，a2+a3+a4=30，a5+a6=40，则公差d等于（）A．2B．2C．4D．512．（10分）已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（）A．（，π）B．（，）C．（，）D．（，π）13．（10分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=（）A．0B．1C．3D．514．（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，]D．（0，]15．（10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（）A．2πB．C．3πD．4π上海市华东师范大学2018学年高一上学期入学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题以下每小题为10分，满分150分1．（10分）有一种测验可以随时在网上报名．若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解．解答：解：他连续两次参加测验，其中有一次通过的概率：p==．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．2．（10分）已知a为正整数，且关于x的方程lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1有实根，则a等于（）A．1B．1或2C．2D．2或3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，可得x2﹣5x+（5a﹣2）=0，由△≥0即可求得a的值．解答：解：∵lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1，∴lg（4﹣2x2）=lg10（a﹣x），∴，由4﹣2x2=10（a﹣x），得x2﹣5x+（5a﹣2）=0，依题意，△=25﹣4（5a﹣2）=32﹣20a≥0，∴a≤，又a为正整数，∴a=1．故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查等价转化思想与解方程的能力，属于中档题．3．（10分）已知等比数列，a 1=2，公比q=2，其前n项和为S n，前n项积为T n，那么，等于（）A．0B．1C．D．2考点：极限及其运算．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知求出S n，T n，代入得答案．解答：解：由已知得，，，∴===．故选：A．点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了数列的极限，是基础题．4．（10分）设F1，F2是双曲线﹣=1的焦点，P是双曲线上一点．若P到F1的距离为9，则P到F2的距离等于（）A．0B．17C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=12，已知|PF1|=9，进而可求|PF2|．解答：解：∵双曲线﹣=1得：a=4，由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=1（不合，舍去）或|PF2|=17，故|PF2|=17．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a，是解题的关键，属基础题．5．（10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x﹣1|C．f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）D．f（x）=ln考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．解答：解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间上单调递增，故A错；∵f（x）=﹣|x﹣1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x﹣1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y=a x在上单调递增，y=a﹣x上单调递减，∴f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）在上单调递增，故C错；故选：D．点评：题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．6．（10分）已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．若|a﹣b|=3，则c=（）A．B．C．﹣2D．2专题：数系的扩充和复数．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．解答：解：∵二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．∴a+b=﹣1，ab=c．∵|a﹣b|=3，∴3=，∴3=，解得c=﹣2．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．7．（10分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2D．4考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：f（x）在上，当a＞1时是增函数；当0＜a＜1时是减函数；由单调性分析可得f（0）+f（1）=a，即可解得a=．解答：解：f（x）是上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+log a2=a⇔log a2=﹣1，∴2=a﹣1⇔a=．故选B点评：可分类讨论做．因为单调性不变，也可合二为一做．8．（10分）由动点P向圆x2﹣y2=2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．若∠APB=60°，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线专题：计算题；直线与圆．分析：由已知不难发现，动点P到原点的距离等于已知圆的半径的2倍，可求结果．解答：解：由题设，在直角△OPA中，OP为圆半径OA的2倍，即OP=2，∴点P的轨迹方程为x2+y2=4．故选：B．点评：本题考查圆的切线方程，圆的定义，考查转化思想，是基础题．9．（10分）如果（1﹣2x ）9的展开式中第三项等于288，则（++…+）等于（）A．B．C．1D．2考点：数列的极限．专题：计算题；二项式定理．分析：由（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288求出x，然后利用等比数列的求和公式求和，则（++…+）可求．解答：解：（1﹣2x）9的展开式中第三项为，解得．∴++…+=．∴（++…+）=．故选：D．点评：本题考查了二项式定理，考查了等比数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是中档题．10．（10分）过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知=m倍的，=n倍的，则（）A．m+n=B．m+n=C．+=D．+=3考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据三角形重心的性质，得=+，进而得到关于向量、的表达式，再根据已知条件得关于向量、的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案．解答：解：∵G是△OAB的重心，∴点G在△OAB的中线OC上，且=，∵=（+），∴=×（+）=+，∵=m，=n，∴=﹣=n﹣m，又∵=﹣=（m﹣）﹣，、是共线向量∴（m﹣）×n=（﹣m）×（﹣），整理得+=3，故选：D点评：本题以三角形的重心为载体，求满足条件的一个等式，着重考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理等知识，属于基础题．11．（10分）已知{a n}为等差数列，a2+a3+a4=30，a5+a6=40，则公差d等于（）A．2B．2C．4D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合a2+a3+a4=30求得a3，代入a5+a6=40求得d的值．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a3+a4=30，∴3a3=30，a3=10，又a5+a6=40，∴2a3+5d=40，即5d=20，d=4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．12．（10分）已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（）A．（，π）B．（，）C．（，）D．（，π）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中sinx＞cosx，0＜x＜π，得到＜x＜π，即M=（，π），由N中sin2x＞cos2x，0＜2x＜2π，得到＜2x＜，解得：＜x＜，即N=（，），则M∩N=（，）．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13．（10分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=（）A．0B．1C．3D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（x）=f（1﹣x），从而f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），进而f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，由此能求出结果．解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（+x）=f（﹣x），∴f（x）=f（1﹣x），∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x），f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0，故答案为：0．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，]D．（0，]考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底需1﹣y0≥0 进而求得r的范围．解答：解：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02，若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，所以1﹣y0≥0，所以0＜y0≤1，所以0＜r≤1．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．15．（10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（）A．2πB．C．3πD．4π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．解答：解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×π×=3π故选：C．点评：本题考查球内接多面体，注意在立体几何中，球与正方体的关系有三种，这是其中一种，还有球和正方体的面相切，球和正方体的棱相切，注意把三个题目进行比较．11。
2018-2018学年云南省师大附中高一（下）月考数学试卷（实验班）（五）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．点A 在z 轴上，它到（3，2，1）的距离是，则点A 的坐标是（ ） A ．（0，0，﹣1） B ．（0，1，1） C ．（0，0，1） D ．（0，0，13）2．已知集合，则A ∩B=（ ）A ．B ．C ．D ．（﹣1，2）3．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点，则cos α=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．4．为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（ ）A ．46B ．48C ．50D ．605．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A．20 B．3 C．5 D．157．设a=log26，b=log412，c=log618，则（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）9．圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为（）A．B．C．D．11．给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知，若函数y=f（x）﹣ax在（1，+∞）上无零点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为．14．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真命题的序号有．（写出所有正确命题的序号）15．已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y ﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α（0＜α＜π）的大小．（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S．18．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD=AA′=1，AB=2，点E是AB的中点．（1）证明：BD′∥平面A′DE；（2）证明：D′E⊥A′D．19．某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年的回归方程=t +．（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2018年（t=6）的人民币储蓄存款．附：回归方程=t +中．21．已知圆C 的圆心在坐标原点O ，且与直线相切．（1）若与直线l 1垂直的直线与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线的纵截距；（2）过点G （1，3）作圆C 的切线，求切线的方程． 22．已知函数f （x ）=log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）设g （x ）=log 4（a •2x ﹣a ）（a ＜100），若函数f （x ）与g （x ）的图象只有一个公共点，求整数a 的个数．2018-2018学年云南省师大附中高一（下）月考数学试卷（实验班）（五）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．点A在z轴上，它到（3，2，1）的距离是，则点A的坐标是（）A．（0，0，﹣1） B．（0，1，1）C．（0，0，1）D．（0，0，13）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由于点A在z轴上，易得点A的横，纵坐标为0，可以设点A（0，0，x），然后利用两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：由于点A在z轴上，易得点A的横，纵坐标均为0，故可以设点A（0，0，x），又由点A到（3，2，1）的距离是，得，即（x﹣1）2=0，解得x=1，即P点的坐标为（0，0，1）．故答案是：C2．已知集合，则A∩B=（）A．B．C．D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】由指数函数的性质先求出集合B，由此利用交集性质能求出A∩B．【解答】解：∵集合={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣＜x＜}=（﹣，）．故选：A．3．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则cosα=（）A．B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据题意任意角三角函数的定义即可求出．【解答】解：由题意可得x=﹣1，y=﹣，r==2，∴cosα==，故选：C．4．为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（）A．46 B．48 C．50 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3设出频率，再根据所有频率和为1，解之即可求出第3组频率，根据第2小组的频数为12，可求得样本容量．【解答】解：设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x，2x，3x；由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+（0.1875+0.0125）×5=1解得2x=0.25则0.25=，解得n=48．∴抽取的学生数为48．故选：B．5．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V 圆锥+V 半球体==30π故选C6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．20B ．3C ．5D ．15【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图模拟程序的运行结果，逐句分析程序运行过程中，各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=5，s=1时，满足进行循环的条件，s=5，a=4 当a=4，s=5时，满足进行循环的条件，s=20，a=3 当a=3时，澡满足进行循环的条件， 故输出的S 值为20 故选A7．设a=log 26，b=log 412，c=log 618，则（ ） A ．b ＞c ＞a B ．a ＞c ＞b C ．a ＞b ＞c D ．c ＞b ＞a 【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解． 【解答】解：a=log 26＞log 24=2， b=log 412=log 43+log 44=1+log 43＜2， c=log 618=log 63+log 66=1+log 63＜2， 又log 43＞log 63， ∴a ＞b ＞c ． 故选：C ．8．已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞） 【考点】函数零点的判定定理．【分析】可得f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f （x ）=﹣log 2x ，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C9．圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．【考点】圆的一般方程．【分析】先求出已知圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线x﹣y+3=0对称的圆的圆心的坐标，从而求得对称的圆的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0 即（x﹣1）2+y2=2，表示以（1，0）为圆心，半径等于的圆．设圆心（1，0）关于直线x﹣y+3=0对称的点为（a，b），则由，解得a=﹣3，b=4，∴对称的圆的方程为（x+3）2+（y﹣4）2=2．故选：A．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD中点E，连接CE，C1E，根据三垂线定理易得，∠C1EC即为所求二面角C1﹣BD﹣C的平面角，解△C1EC即可求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值．【解答】解：取BD中点E，连接CE，C1E，则∠C1EC即为所求二面角C1﹣BD﹣C的平面角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在△C1EC中，CC1=1，CE=∴tan∠C1EC=故选B11．给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件的定义，判断（1）是否为真；根据根据互斥事件的定义判断（2）、（3）是否为真．【解答】解：根据对立事件的定义，存在时间一次出现正面，一次出现反面，∴（1）为假命题；根据互斥事件的定义，事件A与事件B为互斥事件，∴（2）为真命题；（3）中事件A与事件B有交叉事件3件中有2件次品，由互斥事件的定义，（3）为假命题．故选B．12．已知，若函数y=f（x）﹣ax在（1，+∞）上无零点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】问题转化为f（x）和y=ax在（1，+∞）无交点，画出函数图象，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，若函数y=f（x）﹣ax在（1，+∞）上无零点，则f（x）和y=ax在（1，+∞）无交点，x=1时，f （1）=，故a ≥或a ＜0， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．若直线x ﹣y ﹣2=0被圆（x ﹣a ）2+y 2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为 0或4 ． 【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．【解答】解：∵圆（x ﹣a ）2+y 2=4 ∴圆心为：（a ，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵，即，∴a=4，或a=0． 故答案为：0或4．14．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β；②若l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ③若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α； ④若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β． 其中真命题的序号有 ①④ ．（写出所有正确命题的序号） 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得l ⊥β；在②中，α与β相交或平行；在③中，l ∥α或l ⊂α；在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，若α∥β，l ⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l ⊥β，故①正确； 在②中，若l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α与β相交或平行，故②错误； 在③中，若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，故③错误；在④中，若l ∥α，l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确． 故答案为：①④．15．已知在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，在边AB 上任取一点F ，则△ADF 与△BFE 的面积之比不小于1的概率是 ．【考点】几何概型．【分析】根据题意，利用S △ADF ：S △BFE ≥1时，可得≥，由此结合几何概型计算公式，即可算出使△ADF 与△BFE 的面积之比不小于1的概率．【解答】解：由题意，S △ADF =AD •AF ，S △BFE =BE •BF ，当S △ADF ：S △BFE ≥1时，可得≥，∴△ADF 与△BFE 的面积之比不小于1的概率P=．故答案为：．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，O 1：（x ﹣4）2+y 2=4，动点P 在直线x +y ﹣b=0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，且点分别为A ，B ，若满足PB=2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是 ﹣＜b ＜4 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出P 的轨迹方程，动点P 在直线x +y ﹣b=0上，满足PB=2PA 的点P 有且只有两个，转化为直线与圆x 2+y 2+x ﹣=0相交，即可求出实数b 的取值范围．【解答】解：由题意O （0，0），O 1（4，0）．设P （x ，y ），则 ∵PB=2PA ，∴（x ﹣4）2+y 2=4（x 2+y 2），∴x 2+y 2+x ﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为， ∵动点P 在直线x +y ﹣b=0上，满足PB=2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+x ﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b ＜﹣+故答案为：﹣＜b ＜4．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10． （1）求弦AB 所对的圆心角α（0＜α＜π）的大小． （2）求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S ． 【考点】扇形面积公式．【分析】（1）根据△AOB 为等边三角形得出α=；（2）代入弧长公式和面积公式计算． 【解答】解：（1）∵OA=OB=AB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=．（2）l=αγ=×10=．S=lr﹣r2sinα=﹣25．18．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD=AA′=1，AB=2，点E是AB的中点．（1）证明：BD′∥平面A′DE；（2）证明：D′E⊥A′D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DC的中点F，连接D′F，FB，证明平面A′DE∥平面D′FB，即可证明BD′∥平面A′DE；（2）连接AD′，则AD′⊥A′D，证明：AD′是D′E在平面ADD′A′中的射影，即可证明D′E⊥A′D．【解答】证明：（1）取DC的中点F，连接D′F，FB，则BF∥ED，D′F∥A′E，∵D′F∩FB=F，A′E∩ED=E，∴平面A′DE∥平面D′FB，∵BD′⊂平面D′FB，∴BD′∥平面A′DE；（2）连接AD′，则AD′⊥A′D，∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，∴AD′是D′E在平面ADD′A′中的射影，∴D′E⊥A′D．19．某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）根据平均数的定义和中位数的定义即可求出．（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.018，x=0.100﹣0.018﹣0.010﹣0.016﹣0.180=0.180；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.18+（m﹣70）×0.180]×10=0.5，解得m=71，=（55×0.016+65×0.180+75×0.180+85×0.010+95×0.018]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5），∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率P=1﹣=．20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年的回归方程=（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2018年（t=6）的人民币储蓄存款．附：回归方程=t+中．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程=t+．（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区2018年的人民币储蓄存款．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=3，=7.2，=55﹣5×32=10，=120﹣5×3×7.2=12，∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，∴y关于t的回归方程=1.2t+3.6．（Ⅱ）t=6时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．21．已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线相切．（1）若与直线l1垂直的直线与圆C交于不同的两点P，Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线的纵截距；（2）过点G（1，3）作圆C的切线，求切线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据点到直线的距离等于半径求出圆的标准方程，设直线的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4，利用，即可求直线的纵截距；（2）设出切线的斜率，利用点到直线的距离等于半径，建立方程求出切线斜率即可得到结论．【解答】解：（1）圆心到直线的距离d==2，即圆的半径R=2，则圆C的方程为x2+y2=4，设直线的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，设直线与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，①因为OP⊥OQ，所以，即满足x1x2+y1y2=0，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b，所以②由①②得b2=4，满足△＞0，即b=2或﹣2．（3）因为点G（1，3）在圆外，设切线的斜率为k，则直线方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，则圆心到直线的距离d==2，即|3﹣k|=2，平方得9﹣6k+k2=4k2+4，即3k2+6k﹣5=0，得k===，当k=时，切线方程为x﹣y+3﹣=0，当k=时，切线方程为x﹣y+3﹣=0．22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a）（a＜100），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，求整数a的个数．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用偶函数定义求解即可（2）利用已知条件转化为22x+1=（a•2x﹣a）•2x，令t=2x，则方程可化为（a﹣1）t2at﹣1=0，分类讨论利用二次函数求解即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．∴f（﹣x）=f（x）log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）根据对数性质化简得出：﹣x﹣kx=kx即﹣1﹣k=kk=﹣（2）∵函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，∴log4（4x+1）﹣x=log4（a•2x﹣a）有且只有一个实数根．即22x+1=（a•2x﹣a）•2x，令t=2x，则方程可化为（a﹣1）t2at﹣1=0，①a=1，t=②△=0，a=或a=﹣3，③一个正根一个负根，a＞1，∵a＜100，∴1＜a＜100，综上a=﹣3，2，3，4，…99，共99个2018年10月20日。
2018年10月2018～2019学年度北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1.已知集合 ＝ ＝ ,则 A. B. ＝ C. ＝ D. ＝2.若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R,则关于实数a 的下列说法中正确的是A.1a =-或3B.1a =-C.3a >或1a <-D.13a -<<3.下列函数中,在区间 ＋ 上是增函数的是 A. ＝ B. ＝ C. ＝ ＋ D. ＝4.给定四个函数:① ＝ ＋；② ＝；③ ＝ ＋ ；④ ＝＋,其中是奇函数的有A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数 ＝ 在R 上为增函数,且 ＋ ,则实数m 的取值范围是 A. B. ＋C. ＋D. ＋6.函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A.B.C.D.7.A. B. C. D.8. 是区间 ＋ 上的偶函数并且在区间 ＋ 上是减函数,则下列关系中正确的是 A. B. C. ＝ D.二者无法比较 9.设,则A. B. C. D.二、解答题10.已知函数 ＝ ＋的定义域为A, ＝ ＋ 的值域为B 。
(1)求A,B ；(2)设全集 ＝ ,求11.已知集合 ＝ ＝ ＋ (1)若 ＝ ,求a 的取值范围； (2)若 ＝ ,求a 的取值范围。
12.已知函数 ＝ ＋ ＋ (1)当a ＝1时,求函数 的值域。
(2)若函数 在区间 上是单调函数,求实数a 的取值集合。
湖南师大附中2017 - 2018学年度高一第一学期期末考试
数学
命题：高一数学备课组审题：高一数学备课组
时量：120分钟满分：150分
得分：_____________
第I卷(满分100分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线过点(1,2), (2, 2+ ,3)，则此直线的倾斜角是
A. 30°
B. 45°
C. 60° D . 90°
2. 已知直线11：ax- y-2= 0和直线R：(a+ 2)x- y+ 1 = 0,若h丄“，贝V a的值为
A. 2
B. 1
C. 0
D.- 1
3. 若a、b表示直线，a表示平面，下列命题中正确的个数为
① a 丄a, b II a a 丄b :② a 丄a, a 丄b b II a :③ a II a, a 丄b b 丄a .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
4. 在空间直角坐标系中，点B是A(1 , 2, 3)在xOz坐标平面内的射影，0为坐标原点，
则|OB|等于
A. .14
B. ,13
C. ,5
D. . 10
5. 两圆x2+ y2- 1 = 0和x2+ y2- 4x+ 2y- 4= 0的位置关系是
A .内切
B .相交C.外切D .外离
1
6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为2，则该几何体的俯视图可以是
正视图厠觇图。
2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 32.候选人甲乙丙丁测试成绩(百分制)面试86929083笔试90838392如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为()A. 12x(x+1)=28 B. 12x(x−1)=28 C. x(x+1)=28 D. x(x−1)=284.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A. ∠DAB′=∠CAB′B. ∠ACD=∠B′CDC. AD=AED. AE=CE5.若点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y3<y2B. y1<y2<y3C. y3<y2<y1D. y2<y1<y36.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A. BCB. CEC. ADD. AC6题图 7题图 8题图7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是()A. AC=DEB. BC=EFC. ∠AEF=∠DD. AB⊥DF8.如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)()A. B. C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2−4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0其中，正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是()A. 154B. 92C. 132D. 15211.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−112.二次函数y=ax2x…−2−1012…y…t m−2−2n…=ax2+bx+c且当x=−1时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：2①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0<m+n<20．3其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共9小题，共27分）13.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______(度)．13题图 14题图 15题图14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于______．15.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AG的值为______．AF16.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为____(度)．16题图 17题图17.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有______个．18.有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点E、F落在点E′处，得折痕MN、QP．这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．(1)请写出图①中一组相等的线段______写出一组即可；(2)若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：①a2−b2=2abtan18°；②m=√a2+b2⋅tan18°；③b=m+atan18°；④b=32m+mtan18°．其中，正确结论的序号是______把你认为正确结论的序号都填上．19.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于______．19题图 20题图 21题图20.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．21.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共47分）22.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．(1)如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长(结果保留根号)；(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．23.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，点B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．(Ⅰ)如图①，求点E的坐标；(Ⅱ)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可)．24.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．(1)用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为______；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；(2)根据题意，列出相应方程______；(3)解这个方程，得______；(4)检验：______；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______%.25.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的跳水运动员人数为______，图①中m的值为______；(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．26.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长(结果取整数)．(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，√2取1.414)．27.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x,y2).(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x12tx…−103…y1=ax2+bx+c (09)40…28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A(2,0)，点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．(Ⅰ)若点M的坐标为(1,−1)，①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P(x,y)，求y关于x的函数解析式．(Ⅱ)若点M(1,m)，点F(1,t)，其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．29.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)．(Ⅰ)当b=2，c=−3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，故①与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为：1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故②符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，故③符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选：C．①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，图象纵坐标不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．2.【答案】B【解析】解：甲的平均成绩为：(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，乙的平均成绩为：(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，丙的平均成绩为：(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，丁的平均成绩为：(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选：B．根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．此题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按6和4的权进行计算．3.【答案】B【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，x(x−1)=4×7．所以可列方程为：12故选：B．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，所以，结论正确的是D选项．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数的增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特点，结合增减性得出答案．【解答】的图象上，解：∵点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限y随x的增大而减小，∴y3一定最大，y1>y2，∴y2<y1<y3．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．【解答】解：如图连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．7.【答案】D【解析】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，∴AC=DC，故A选项错误，BC=EC，故B选项错误，∠AEF=∠DEC=∠B，故C选项错误，∠A=∠D，又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠D+∠B=90°，∴∠BFD=90°，即DF⊥AB，故D选项正确，故选：D．依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．8.【答案】B【解析】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；所以B选项正确．故选：B．由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.【答案】D【解析】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2−4ac>0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a>0；=1，b=−2a，故b<0；抛物线的对称轴为x=−b2a抛物线交y轴于负半轴，得：c<0；所以abc>0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2−2ax+c(a≠0)；由函数的图象知：当x=−2时，y>0；即4a−(−4a)+c=8a+c>0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：(−1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)；当x=−1时，y<0，所以当x=3时，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10.【答案】D【解析】【分析】令y=0，则−16x2+32x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．【解答】解：令y=0，则−16x2+32x+6=0，解得：x1=12，x2=−3∴A、B两点坐标分别为(12,0)(−3,0)∵D为AB的中点，∴D(4.5,0)，∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD=√4．52+62=152．故选：D．11.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【解答】解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M 点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y =(x +1)2=x 2+2x +1．故选：A ．12.【答案】C【解析】【分析】①当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b =0，abc >0，①正确；②x =12是对称轴，x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，②正确； ③m +n =4a −4；当x =−12时，y >0，a >83，m +n >203，③错误；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．【解答】解：当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b −2=−2，∴a +b =0，∴y =ax 2−ax −2，∴abc >0，①正确；x =12是对称轴， x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，∴−2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c =t 的两个根；②正确；m =a +a −2，n =4a −2a −2，∴m =n =2a −2，∴m +n =4a −4，∵当x =−12时，y >0，∴a >83，∴m +n >203，③错误；故选：C ．13.【答案】55【解析】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°−∠PAO−∠P−∠PBO=360°−90°−70°−90°=110°，∴∠C=12∠AOB=55°．故答案为：55．首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】2√5【解析】解：根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC−DE=2，CE′=BC+ BE′=4．根据勾股定理得到：EE′=√EC2+CE′2=√20=2√5．根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到BE′的长度，是解决本题的关键．15.【答案】√32【解析】解：在△CAD与△ABE中，AC=AB，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE，∴△CAD≌△ABE．∴∠ACD=∠BAE．∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠ACD+∠CAE=60°．∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°．在直角△AFG中，∵sin∠AFG=AGAF，∴AGAF =√32．首先证明△CAD≌△ABE，得出∠ACD=∠BAE，证明∠AFG=60°．本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度．16.【答案】45【解析】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−x−y+x=90°−y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+(90°−y)+(x+y)=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−y.然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+(90°−y)+(x+y)=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．17.【答案】8【解析】【分析】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．18.【答案】(1)AD=C′D(答案不惟一，也可以是AE=C′F等)；(2)①②③【解析】解：(1)由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；故答案为：AD=C′D．(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，∴∠ADE=∠MDB−∠EDB=54°−36°=18°．在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD2+AE2=DE2=BE2，即b2+AE2=(a−AE)2，解得AE=a2−b22a．∵tan∠ADE=tan18°=AEAD =AEb=a2−b22ab，∴a2−b2=2abtan18°，即①正确；∵PN=DM，∴PG=NG=12PN=12DM=12m，∵BG=12DB=12√a2+b2，NG=12DM=12m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=12m：12√a2+b2．∴m=√a2+b2⋅tan18°，即②正确．∵AM=AD−DM=b−m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=(b−m)：a，∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．故答案为：①②③．【分析】(1)由翻折的性质知：C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，可得∠DBM=∠ABM=∠ADE=18°，然后分析四个结论．本题考查了翻折的性质：对应角相等，对应边相等及正五边形的性质、勾股定理．19.【答案】89【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，属于较难题．由∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，则可得MN=13BD=√23AB，即可计算答案．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=13BD=√23AB，∴S正方形MNPQS正方形AEFG=(√23AB)2(12AB)2=89，故答案为：89．20.【答案】√5【解析】解：如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG//BC//AD，∴∠H=∠PGE，∠HAP=∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP=EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH=EG=1，PG=PH=12HG，∴DH=AD+AH=4，DG=CD−CG=2，根据勾股定理得，HG=√DH2+DG2=2√5，∴PG=√5，故答案为√5．延长DA，GP相交于H，先证明△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．21.【答案】4913【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，△ABH≌△GBH，则BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解答】解：设折痕BF与AE交于点H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，AB=BG，∠ABH=∠GBH，BH=BH∴△ABH≌△GBH(SAS)，∴AH=GH，且∠AHB=∠GHB=90°，∴BF垂直平分线段AG，即BF⊥AE，∴∠FAH+∠AFH=90°，又∵∠FAH+∠AED=90°，∴∠AFH=∠AED，又∠FAB=∠D=90°，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF=√AB2+AF2=√122+52=13，S△ABF=12AB⋅AF=12BF⋅AH，∴12×5=13×AH，∴AH=6013，∴AG=2AH=12013，∵AE=BF=13，∴GE=AE−AG=13−12013=4913，故答案为：4913．22.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，∴BP=2AB=2×2=4．由勾股定理，得AP=√BP2−AB2=√42−22=2√3.(2)如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°−∠BCA=90°．在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD=12AP=AD．∴∠4=∠3．又∵OC=OA，∴∠1=∠2．∵∠2+∠4=∠PAB=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．即OC⊥CD．∴直线CD是⊙O的切线．【解析】(1)易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；(2)本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，难度适中．23.【答案】方法一：解：(Ⅰ)如图①，∵点A(−2,0)，点B(0,4)，∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠OBA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴OAOB =OEOA，即24=OE2，解得OE=1，∴点E的坐标为(0,1)；(Ⅱ)①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m(0<m<2)，则A′O=2−m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′//AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又∵BE=OB−OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+ 27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是(1,1)．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE= 3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴AA′A′O =AB′OB=34，∴AA′AO =37，AO=2，∴AA′=37×2=67，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是(67,1)．方法二：(1)同上．(2)由AA′=m⇒A′(m−2,0)，E′(m,1)，B(0,4)，A′B2+BE′2=(m−2)2+(0−4)2+(0−m)2+(4−1)2，A′B2+BE2=2m2−4m+29，∴当m=1时，A′B2+BE2有最小值，最小值为27．(3)A′(m−2,0)，E(m,1)，B(0,4)，过B作平行于x轴的直线l，∴E′关于l的对称点为E″(m,7)，A′，B，E″三点共线时，A′B+BE′有最小值，根据黄金法则一：K A′B=K BE″时，A′，B，E″三点共线，(理由K1−K2，l1//l2，又l1，l2共线，即A′，B，E′三点共线)∴0−4m−2=7−4m−0，∴m=67，∴点E′的坐标是(67,1)．【解析】方法一：(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到OAOB =OEOA，则易求OE=1，所以E(0,1)；(Ⅱ)如图②，连接EE′.在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+27.所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是(1,1)时，A′B2+BE′2取得最小值．方法二：(1)利用相似求出E点坐标．(2)①分别求出A′，B，E三点坐标，利用两点间距离公式求出最小值．②当A′B+BE′取得最小值时，由于公共点为点B，过点B作x轴平行线L，作A’或E’关于L的对称点，利用直线A′B与BE′′的斜率相等，得出A′，B，E′′三点共线，并得出A′B+BE′取得最小值．本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．24.【答案】(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．【解析】解：(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值(1+增长率)，即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)4÷10%=40(人)，m=100−27.5−25−7.5−10=30；故答案为40人，30．(2)平均数=(13×4+14×10+15×11+16×12+17×3)÷40=15(岁)，16岁出现12次，次数最多，众数为16岁；按大小顺序排列，中间两个数都为15岁，中位数为15岁【解析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．(1)频数÷所占百分比=样本容量，m=100−27.5−25−7.5−10=30；(2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．26.【答案】解：如图作PC⊥AB于C．由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，在Rt△APC中，sinA=PCPA ，cosA=ACPA，∴PC=PA⋅sinA=120⋅sin64°，AC=PA⋅cosA=120⋅cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B=45°，∴PC=BC，∴PB=PCsin45∘=120×0.90√22≈153．∴AB=AC+BC=120⋅cos64°+120⋅sin64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP的长约为153海里和BA的长约为161海里．【解析】作PC⊥AB于C，分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用--方位角问题，结合航海中的实际问题，解直角三角形即可，体现了数学应用于实际生活的思想．27.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0,94)，∴c=94．∴y1=ax2+bx+94，∵点(−1,0)、(3,0)在抛物线y1=ax2+bx+94上，∴{a−b+94=09a+3b+94=0，解得{a=−34b=32，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=−34x2+32x+94；(II)∵y1=−34x2+32x+94，∴y1=−34(x−1)2+3，∴直线l为x=1，顶点M(1,3)．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C(1,t)，当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA//l，又∵点P(x,y2)，∴点A(x,t)(x≠1)，∴PM=PA=|y2−t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q(1,y2)，∴QM=|y2−3|，PQ=AC=|x−1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即(y2−t)2=(y2−3)2+(x−1)2，整理得，y2=16−2t (x−1)2+t+32，即y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P(1,t+32)，∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t(t≠3)；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6−2t>0，即t<3时，抛物线y1的顶点M(1,3)，抛物线y2的顶点(1,t+32)，∵3>t+32，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6−2t<0，即t>3时，y1−y2=−3(x−1)2+3−[1(x−1)2+t+3]=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2，若3t−11≠0，要使y1<y2恒成立，只要抛物线y=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2开口方向向下，且顶点(1,3−t2)在x轴下方，∵3−t<0，只要3t−11>0，解得t>113，符合题意；若3t−11=0，y1−y2=−13<0，即t=113也符合题意．综上，可以使y1<y2恒成立的t的取值范围是t≥113．或这样考虑：y1与y2对称轴相同，当y2开口向下时可得到y2最值大于y21最值3，所以只要保证y2的开口大于y1的开口即可，根据二次函数性质，抛物线开口由a的绝对值决定，所以只要计算|16−2t |<34的绝对值即可．【解析】【分析】(I)先根据物线经过点(0,94)得出c的值，再把点(−1,0)、(3,0)代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；(II)先根据(I)中y 1与x 之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线l 与直线l′交于点C(1,t)，当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM 与BP 互相垂直平分，故可得出四边形ANMP 为菱形，所以PA//l ，再由点P(x,y 2)可知点A(x,t)(x ≠1)，所以PM =PA =|y 2−t|，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q(1,y 2)，故QM =|y 2−3|，PQ =AC =|x −1|，在Rt △PQM 中，根据勾股定理即可得出y 2与x 之间的函数关系式，再由当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合可得出P 点坐标，故可得出y 2与x 之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，可知6−2t >0，即t <3时，抛物线y 1的顶点M(1,3)，抛物线y 2的顶点(1,t+32)，由于3>t+32，所以不合题意，当抛物线y 2开口方向向下时，6−2t <0，即t >3时，求出y 1−y 2的值；若3t −11≠0，要使y 1<y 2恒成立，只要抛物线方向及顶点(1,3−t 2)在x 轴下方，因为3−t <0，只要3t −11>0，解得t >113，符合题意；若3t −11=0，y 1−y 2=−13<0，即t =113也符合题意．本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用． 28.【答案】解：(Ⅰ)①∵点O(0,0)，F(1,1)， ∴直线OF 的解析式为y =x ．设直线EA 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)、 ∵点E 和点F 关于点M(1,−1)对称， ∴E(1,−3)．又∵A(2,0)，点E 在直线EA 上， ∴{0=2k +b−3=k +b，解得{k =3b =−6，∴直线EA 的解析式为：y =3x −6．∵点P 是直线OF 与直线EA 的交点，则{y =xy =3x −6， 解得{x =3y =3，∴点P 的坐标是(3,3)．②由已知可设点F 的坐标是(1,t)． ∴直线OF 的解析式为y =tx ．设直线EA 的解析式为y =cx +d(c 、d 是常数，且c ≠0)． 由点E 和点F 关于点M(1,−1)对称，得点E(1,−2−t)． 又点A 、E 在直线EA 上， ∴{0=2c +d−2−t =c +d，解得{c =2+t d =−2(2+t)，∴直线EA 的解析式为：y =(2+t)x −2(2+t)． ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点，。
2018-2019学年湖南师大附中高一下学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题1．已知{|A x x =是锐角}，{|B x x =是第一象限角}，则A B =I ( ) A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据锐角和第一象限角的定义，结合交集的概念可得答案. 【详解】A B =I (0,)(2,2)22k k ππππ⋂+(0,)2π=，()k ∈Z故选：A 【点睛】本题考查了锐角和第一象限角的定义，考查了交集的运算，属于基础题. 2．()sin 390-︒=( )A ．12B C ． D ．12-【答案】D【解析】根据诱导公式一和三化为锐角的正弦值可得. 【详解】sin(390)sin(36030)-=--o o o sin(30)=-osin 30=-o12=-。
故选：D 【点睛】本题考查了利用诱导公式一和三化简求值，属于基础题. 3．函数()lg sin cos y x x =的定义域为( )A ．,2k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈B ．2,22k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈C ．2,222kx kx ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，()k Z ∈ D ．()2,2k k πππ+，()k Z ∈【答案】A【解析】根据对数的真数大于0以及正弦和余弦符号相同可知定义域为第一、三象限的角的集合. 【详解】由函数()lg sin cos y x x =有意义， 可得sin cos 0x x >， 所以x 是第一、三象限角， 所以函数的定义域为(,)()2k k k Z πππ+∈.故选：A 【点睛】本题考查了对数的真数大于0，考查了三角函数的符号法则，考查了第一、三象限的角的集合，属于基础题.4．已知A 是三角形ABC 的内角，P 为直线l ：sin 20x A y -+=上的点，Q 为圆：221x y +=上的点，则PQ 的最小值为( )A ．B ．2C ．1D 1【答案】D【解析】转化为圆心到直线的距离减去半径，再根据正弦函数的最大值可得答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径1r =， 圆心到直线l ：sin 20x A y -+=的距离为d ==，所以||PQ ≥1d r -=-11≥=，当且仅当2A π=且P 是圆心在直线上的射影，Q 是圆上离直线最近的点时取得等号. 故选：D 【点睛】本题考查了点到直线的距离，考查了正弦函数的最大值，考查了转化化归思想，属于基础题.5．化简()()cos 2sin 2cos 25sin 2πααππαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭( ) A ．sin α B ．2sin αC ．sin α-D ．2sin α-【答案】B【解析】根据诱导公式一、三、五、六可得结果. 【详解】原式cos()2sin cos()sin()2παααπα-=⋅⋅-+ sin sin cos cos αααα=⋅⋅ 2sin α=.故选：B 【点睛】本题考查了利用诱导公式一、三、五、六化简，属于基础题.6．已知平面向量()1,1a =-r ，()1,2b =-r ，()3,5c =-r ，则用a r ，b r表示向量c r 为( )A ．2a b -r rB ．2a b -+r rC ．2a b -r rD ．2a b +r r【答案】C【解析】设c xa yb =+r r r，代入三个向量的坐标，根据平面向量基本定理可得结果.【详解】设c xa yb =+r r r，则(3,5)(1,1)(1,2)x y -=-+-， 所以(3,5)(,2)x y x y -=--+， 根据平面向量基本定理可得352x yx y =-⎧⎨-=-+⎩，解得x 1,y 2==-，所以2c a b =-r r r ，故选：C 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示，考查了平面向量基本定理，属于基础题.7．要得到函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin3y x =的图象( )A ．向右平移5π个单位 B ．向左平移5π个单位 C ．向右平移15π个单位D ．向左平移15π个单位【答案】C【解析】变形得sin[3()]15x π-后根据平移变换的口诀：左+右-，可得答案.【详解】因为sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin[3()]15x π=-，所以只需将函数sin3y x =的图象向右平移15π个单位，就可得到函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，掌握口诀：左+右-，是解题关键，属于基础题. 8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意x ∈R 都有()()0f x f x ≤成立，则0x 的值为( ) A ．()8k k Z ππ+∈ B ．()38k k Z ππ+∈ C ．()28k k Z ππ+∈D ．()328k k Z ππ+∈【答案】B【解析】因为对任意x ∈R 都有()()0f x f x ≤成立，根据最大值的定义可得，函数在0x x =时，取得最大值，再根据正弦函数的最大值的性质可得答案.【详解】因为对任意x ∈R 都有()()0f x f x ≤成立， 所以函数在0x x =时，取得最大值， 所以022()42x k k Z πππ-=+∈，即03()8x k k Z ππ=+∈。
湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数 学命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线过点(1, 2)，(2, 2＋3)，则此直线的倾斜角是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 2．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2: (a ＋2)x －y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为A ．2B ．1C ．0D ．－1 3．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为①a ⊥α，b ∥α则a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b 则b ∥α；③a ∥α，a ⊥b 则b ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 4．在空间直角坐标系中，点B 是A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于A.14B.13C. 5D.10 5．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离6．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是A ．3x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为A.322B.142C.324D.322－110．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCDED ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．11．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，O ′A ′＝3, O ′B ′＝4，则△AOB 的面积是________．12．在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，若AB ＝3，AC ＝4，AD ＝5，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为________．13．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________． 三、解答题：14．(本题满分10分)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(Ⅰ)求直线l 的方程；(Ⅱ)求与直线l 切于点(2，2)，圆心在直线x ＋y －11＝0上的圆的方程．15．(本题满分12分)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点A (26，1)，B (2，1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ，过点P (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．16．(本题满分13分)如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)求证：P A ∥平面BDE ； (Ⅱ)平面P AC ⊥平面BDE ； (Ⅲ)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如11＝2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于A ．21B ．22C ．23D ．2418．在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD ＝∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是A ．直线的一部分B ．半圆的一部分C ．圆的一部分D ．球的一部分 二、填空题：本大题共1小题，每小题5分．19．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－20172018的所有零点之和为________ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本题满分10分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中．(Ⅰ)求证：AC ⊥BD 1；(Ⅱ)是否存在直线与直线 AA 1，CC 1，BD 1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由．21.(本题满分12分)平面直角坐标系中，在x 轴的上方作半径为1的圆Γ，与x 轴相切于坐标原点O .平行于x 轴的直线l 1与y 轴交点的纵坐标为－1，A (x ，y )是圆Γ外一动点，A 与圆Γ上的点的最小距离比A 到l 1的距离小1.(Ⅰ)求动点A 的轨迹方程；(Ⅱ)设l 2是圆Γ平行于x 轴的切线，试探究在y 轴上是否存在一定点B ，使得以AB 为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．22.(本题满分13分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)．(Ⅰ)若f (x )＋f (x －1)＞0成立，求x 的取值范围； (Ⅱ)若定义在R 上奇函数g (x )满足g (x ＋2)＝－g (x )，且当0≤x ≤1时，g (x )＝f (x )，求g (x )在[－3，－1]上的解析式，并写出g (x )在[－3，3]上的单调区间(不必证明)；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g (x )，若关于x 的不等式g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C 2．D 【解析】由题知(a ＋2)a ＋1＝0a ＋2a ＋1＝(a ＋1)＝0， ∴a ＝－1.也可以代入检验． 3．A 【解析】①正确．4．D 【解析】点A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影为B (1，0，3)，∴|OB |＝12＋02＋32＝10.5．B 【解析】将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，可知圆心距d ＝5，由于2<d <4，所以两圆相交．6．C 【解析】当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.7．D 【解析】化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P (1，2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.8．C 【解析】将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为正方体ABDC －A 1B 1D 1C 1, 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于BA 1与BD 1所成的角，为60°.9．B 【解析】当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d ＝322，切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12）＝142.10．B 【解析】对A 来说，DE ⊥平面A ′GF ，∴DE ⊥A ′F ；对B 来说，∵E 、F 为线段AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB ，∴∠A ′EF 就是异面直线A ′E 与BD 所成的角，当(A ′E )2＋EF 2＝(A ′F )2时，直线A ′E 与BD 垂直，故B 不正确；对C 来说，因为DE ⊥平面A ′GF ，DE 平面BCDE ，∴平面A ′GF ⊥平面BCDE ，故C 正确；对D 来说，∵A ′D ＝A ′E ，∴DE ⊥A ′G ，∵△ABC 是正三角形，∴DE ⊥AG ，又A ′G ∩AG ＝G ，∴DE ⊥平面A ′GF ，从而平面ABC ⊥平面A ′AF ，且两平面的交线为AF ，∴A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上，正确．二、填空题11．12 【解析】△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12.12．50π 【解析】三棱锥A －BCD 的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，所以外接球的半径R 满足：2R ＝32＋42＋52＝5 2.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积S ＝4 πR 2＝50 π.13. a >6 【解析】由P A ⊥平面AC ，PE ⊥DE ，得AE ⊥DE .问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以a2>3，解得a >6.三、解答题 14．【解析】(Ⅰ)3x ＋4y －14＝0 (Ⅱ)(x －5)2＋(y －6)2＝2515．【解析】(Ⅰ)由题意，得|MA ||MB |＝5.（x －26）2＋（y －1）2（x －2）2＋（y －1）2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0.即(x －1)2＋(y －1)2＝25.∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25， 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0.即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0.16．【解析】(Ⅰ)证明：连接OE ，如图所示． ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥P A . ∵OE 面BDE ，P A 平面BDE ，∴P A ∥平面BDE .(Ⅱ)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC . 又∵BD 平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (Ⅲ)取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中， OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.17．C18．C 【解析】因为AD ⊥平面P AB ，BC ⊥平面P AB ，所以AD ∥BC ，且∠DAP ＝∠CBP ＝90°.又∠APD ＝∠CPB ，AD ＝4，BC ＝8，可得tan ∠APD ＝AD P A ＝CB PB ＝tan ∠CPB ，即得PBP A ＝CBAD＝2，在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－3，0)、B (3，0)．设点P (x ，y )，则有|PB ||P A |＝（x －3）2＋y 2（x ＋3）2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0.由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个圆，但要去掉二个点，选C.19．【解析】∵当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1）；1－|x －3|，x ∈[1，＋∞）；即x ∈[0，1)时，f (x )＝log 12(x ＋1)∈(－1，0]；x ∈[1，3]时，f (x )＝x －2∈[－1，1]；x ∈(3，＋∞)时，f (x )＝4－x ∈(－∞，－1)；画出x ≥0时f (x )的图象，再利用奇函数的对称性，画出x ＜0时f (x )的图象，如图所示；则直线y ＝20172018，与y ＝f (x )的图象有5个交点，则方程f (x )－20172018＝0共五个实根，最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，∵x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)，∴f (－x )＝log 12(－x ＋1)，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 12(－x ＋1)＝log 12(1－x )－1＝log 2(1－x )，∴中间的一个根满足log 2(1－x )＝20172018，即1－x ＝220172018，解得x ＝1－220172018，∴所有根的和为1－220172018.20．【解析】(Ⅰ)证明：如图，连结BD .∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，∴D 1D ⊥平面ABCD .∵AC 平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC . ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1. ∵BD 1平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.(5分) (Ⅱ)存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC 1A 1中， 且过BD 1的中点并与直线A 1A ，C 1C 相交． 下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．(10分)21．【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O 1，显然圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上，于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离．显然A 不能在l 1的下方，若不然A 到l 1的距离小于AO 1的长度，故有（y －1）2＋x 2＝y －(－1)， 即y ＝14x 2 (x ≠0)．(5分)(Ⅱ)若存在这样的点B ，设其坐标为(0，t )，以AB 为直径的圆的圆心为C ，过C 作l 2的垂线，垂足为D .则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y ＋t 2，于是CD ＝|y ＋t －4|2，AB ＝x 2＋（y －t ）2＝4y ＋（y －t ）2设所截弦长为l ，则l 24＝⎝⎛⎭⎫AB 22－CD 2＝4y ＋（y －t ）24－（y ＋t ）2－8（y ＋t ）＋164， 于是l 2＝(12－4t )y ＋8t －16，(10分)弦长不变即l 不随y 的变化而变化， 故12－4t ＝0，即t ＝3.即存在点B (0，3)，满足以AB 为直径的圆截直线l 2所得的弦长不变．(12分) 22．【解析】(Ⅰ)由f (x )＋f (x －1)＞0得log 2(x ＋1)＋log 2x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＞1x ＞0x ＋1＞0，解得x ＞5－12，所以x 的取值范围是x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞5－12(5分)； (Ⅱ)当－3≤x ≤－2时，g (x )＝－g (x ＋2)＝g (－x －2)＝f (－x －2)＝log 2(－x －2＋1)＝log 2(－x －1)， 当－2＜x ≤－1时，g (x )＝－g (x ＋2)＝－f (x ＋2)＝－log 2(x ＋3)，综上可得g (x )＝⎩⎨⎧log 2（－1－x ），（－3≤x ≤－2）－log 2（3＋x ），（－2＜x ≤－1），g (x )在[－3，－1]和[1，3]上递减；g (x )在[－1，1]上递增；(9分) (Ⅲ)因为g ⎝⎛⎭⎫－12＝－g ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－log 232， 由(Ⅱ)知，若g (x )＝－log 232，得x ＝－32或x ＝52，由函数g (x )的图象可知若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立．设u ＝t －2x 8＋2x ＋3＝－18＋t ＋18（1＋2x ）， 当t ＋1≥0时，u ＝－18＋t ＋18（1＋2x）∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≤52，解得－1≤t ≤20.当t ＋1＜0时，u ＝18＋t ＋18（1＋2x ）∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≥－12， 解得－4≤t ＜－1.综上，故－4≤t ≤20.(13分)。
衡阳师范学院祁东附属中学2018年新高二入学考试试卷数学（高一内容）注：本试卷分问卷和答卷两部分，问卷的答案必须填写到答卷指定的位置，否则不给分。
考试结束后只交答卷。
考试时间120分钟，共120分。
★祝考试顺利★ 一、选择题：（每小题4分，共48分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin 780︒的值为【 】A ．23- B ．23C ．21-D ．212．下列说法中正确的是【 】A ．第一象限角都是锐角B ．三角形的内角必是第一、二象限的角C ．不相等的角终边一定不相同D ．},90180|{},90360|{Z k k Z k k ∈︒+︒⋅==∈︒±︒⋅=ββαα3．已知角3π的终边上有一点P （1，a ），则a 的值是【 】A ．3-B ．3±C ．33D ．34．若Z k k ∈︒+︒⋅=,60180α，则α是第几象限角【 】A ． 一或三B ． 一或二C ． 二或四D ． 三或四5．已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 2-的值是【 】A ．34- B ．3 C ．34D ．3-6．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是【 】A ． 170°B ． －190°C ．190°D ． －170°7．已知2-=α，则α的终边在【 】A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限8．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为【 】 A. 3πB. 32πC. 3D. 29．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是【 】A ． 2sin θB ．2cos θC ．2tan θD ．θ2cos10．若︒++︒90cos()180sin(αa -=+)α，则)360sin(2)270cos(αα-︒+-︒的值是【 】A ．32a -B ．23a - C ．32a D ．23a 11．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方 程为【 】A ．2)1()1(22=-++y xB ．2)1()1(22=++-y xC ．2)1()1(22=-+-y xD ．2)1()1(22=+++y x12．在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是【 】A ．平面ABD ⊥平面BDCB ．平面ABC ⊥平面ABDC ．平面ABC ⊥平面ADCD ．平面ABC ⊥平面BED二．填空题：（每小题4分，共16分）13．=︒300tan ▲ ;14．把51999π-表示成)(2Z k k ∈+πθ的形式，使||θ最小的θ的值是 ▲ ; 15．已知32sin =α，),2(ππα∈，则-αsin(=)2π ▲ ; 16．设函数()()⎩⎨⎧≥--<-=1,241,2)(x a x a x x a x f x ①若1=a ,则)(x f 的最小值为 ▲ ; ②若)(x f 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ .三．解答题：（共6个大题，共56分。
华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题考试时间：70分钟 卷面满分:120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题 （本大题共5小题,每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．二次函数y =x 2＋2x ＋c 的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2,0),且x 1＜x 2,点P （m ，n )是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ) A ．当n ＞0时，m ＜x 1 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，m ＜0D ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 22．已知实数a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，并目k =，则直线y =－kx ＋k 一定经过( ）A ．第一、三、四象限B ．第一、二、四象限C ．第一、二、三象限D ．第二、三、四象限3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为16、22,则输出的a =（a ←a －b 的含义：将a －b 的结果赋给a ）（ ） A ．0 B ．2 C ．4D ．144．直线l:kx －y －2k －1=0被以A （1，0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦长为( ) A ． B ．2 C ．2D ．45．如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=4,BF ⊥AC 于F,D 是AB 的中点,E 为AC 上一点,且2EF=AC ，则tan ∠DEF=( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．若a ＋b －2=3c 5，则（b c )a 的值为__________．BA CDEF7．已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x212x＋m＋1=0的两实根,则实数m 的取值范围是__________．8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB，则=__________．9．有十张正面分别标有数字1,2,3，4，5，6，7，8,9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．10．若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足（a2018c2018）（a2018d2018）=2018,(b 2018c2018）（b2018d2018)=2018，则（ab）2018（cd)2018的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．（本小题满分16分）如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1）求证：CE=CF;（2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由；（3)运用（1）（2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD）,∠B=90°,AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．12．(本小题满分16分）如图1,在平面直角坐标系xOy内，已知点A（1，0)，B(1,1)，C（1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1L2相关点，例如，点P （0，1)是L1－L2相关点．（1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号）;①(1，2)；②(5，2）；③（4，2）．(2）直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；（3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1L2相关点．①当r=1时，求点M的纵坐标；②求r的取值范围．13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0），(,）都是“平衡点"．①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________．（2）直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点"吗？若存在,请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y=ax2＋bx＋1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1），B(x2，x2），且满足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，试求实数t的取值范围．华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）题号 1 2 3 4 5答案 D A B C A二、填空题(本大题共5小题，每小题7分,共35分)．6．36 7．9<m≤17 8．9．10．－2018 三、解答题（本大题共3小题,共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）11．(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF,BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．∴CE=CF．……………………………4分（2)GE=BE＋GD．理由如下：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC,∴△ECG≌△FCG．∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G,在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°,又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=6．已知∠DCE=45°，根据（1)（2）可知，ED=BE＋DG，设DE=x，则DG=x－2，∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．在Rt△AED中∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x）2＋42解得x=5．∴DE=5……………………………16分12．(1)②，③是L1－L2相关点。
