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第十讲：角1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：【例1】利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【例2】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【例3】下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A． B．C． D．角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．【例1】将下列角度转化为度分秒：（1）23.46°= °′″；（2）13.16°×3= °′″；（3）52.52°= °′″；（4）23.16°+7.61°= °′″．【例2】计算下列各题：（1）152°49′12″+20.18°= ；（2）82°-36°42′15″= ；（3）35°36′47″×9= ；（4）41°37′÷3= ．角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．【例1】如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．【例2】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80，求：∠MON.【例3】如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【例4】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分AOB，OE在BOC内，且BOE＝12EOC，DOE＝70°，求EOC的度数.方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．【例1】已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【例1】在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?【例2】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?一、选择题1．关于平角、周角的说法正确的是( )．A．平角是一条直线. B．周角是一条射线．C．反向延长射线OA，就成一个平角． D．两个锐角的和不一定小于平角．2. 在时刻8：30时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（）A．60° B．70° C．75° D．85°3．下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′4．如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（）．A．小于180° B．等于180° C．大于180° D．不能确定5．如图，O为我国南海某人造海岛，某国商船在A的位置，∠1=40°，下列说法正确的是（）A．商船在海岛的北偏西50°方向 B．海岛在商船的北偏西40°方向C．海岛在商船的东偏南50°方向 D．商船在海岛的东偏南40°方向二、填空题1．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB:∠AOD＝2:11，则∠AOB＝_______．2.从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC= 度．3．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于．三、解答题1. 如图，∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠BOD，若∠AOD:∠BOC=5:1，求∠COE的度数。
卓育1对1个性化教案教导处签字：日期：年月日平面图形的认识：角教学目标：1、通过丰富的实例，进一步理解角的有关概念，认识角的表示。
2、通过实际操作，体会角在实际生活中的应用，培养学生的抽象思维。
3、角的相关概念及角的应用。
教学重难点：1、角的概念及表达方法，正确使用角的表示法2、角的相关概念及角的应用。
知识讲解： 知识点一、 1、角的概念①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共顶点是角的顶点，这两条 射线是角的两条边。
、②动态定义：角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
起始边与终边可以 重合。
端点射线顶点始边1、角的内部：射线旋转时经过的平面部分。
角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点， 角的边以外的部分。
角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。
3、角的表示方法：（1）角通常用三个大写字母来表示，表示顶点的字母写在中间，可记为：∠AOB(或∠BOA)(1)（2） （3）(2)在角的顶点处只有一个角的情况下，也可以用一个大写字母来表示，∠AOB 也可以写成 ∠O ，但如果如图(2)所示，就不可以用一个大写字母表示。
容易产生奇异。
(3)角也可以用阿拉伯数字表示，如图(2)∠AOC 可写成∠1，∠COB 可写成∠2 (4)角还可以用希腊字母表示，同(3)一样，记为∠а，∠β 4、角的分类：1周角=2平角=4直角知识点二、 1、角度的换算角的单位：度、分、秒：把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一 份就是1秒的角，记作1″。
1°=60′；1′=60″。
2、角平分线如图，OC 将∠AOB 分成相等的两部分，OC 就是∠AOB 角平分线。
就有：∠AOC=∠BOC=21∠AOB ，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 3、互余、互补（1）如果两个角的和是_________，这两个角互余，其中的一个角是另一个角的余角。
（2）如果两个角的和__________，这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。
（3）同角(或等角)的余角_________ ，同角(或等角)的补角___________。
（4）一个锐角的补角比这个角的余角大 归纳：（1）如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角是另 一个角的余角；如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒=∠︒=∠︒<∠<︒︒=∠︒<∠<︒3601801809090900ααααα周角：平角：钝角：直角：锐角：角的分类BA中一个角叫做另一个角的补角。
2、总结：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等 4、对顶角（1）一对角，它们的顶点重合，它们的两条边互为反向延长线。
我们把这样的两个角叫做 互为对顶角。
其中一个角叫做另一个角的对顶角。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
5、方位角：方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方 向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准， 如不能说成“东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可 以说成东北方向。
6．角的应用钟表中的角：钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个 小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°. 时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘 大格数． 特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如 2：50.②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加． ③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.经典例题讲解、 例1：（1）已知∠AOB = 80o ，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC= 。
（2）如图，∠AOD=︒90，OC 是∠AOD 内的一条射线，OB 是∠AOC 的平分 线，∠AOB=︒30。
求：∠AOC 、∠COD 的度数。
DABCO例2：判断（1）两个互补的角中必有一个是钝角 （ ） （2）两个互余的角都是锐角 （ ） （3）一个角的补角一定比这个角大 （ ） 例3：（1）若∠α+∠β=90°, ∠β+∠γ=90°，则∠α与∠γ的关系是( ) A 、互余B 、互补C 、相等D 、没有关系（2）①75°40′30″的余角是_______(用度分秒表示)；补角是_______(用度表示)； ②若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3的理由是____________________。
若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，则∠2=∠4的理由是_______________。
例4：（1）下列图中，∠1与∠2是对顶角的图是 （ ）（2）直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOC 和∠BOD 的和是220°，则∠BOC=____.（3）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOD －∠DOB=72°，求∠AOC 和∠DOE 的度数。
例5：（1）在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A 南偏西50度方向 B 南偏西40度方向60°NMC 北偏东50度方向D 北偏东40度方向（2）如右图所示，由M 观测N 的方向是（ ） A 、北偏西60°B 、南偏东60°C 、北偏西30°D 、南偏东30°例6：如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含 几个大格和小格．考点1：平行（1）在同一平面内，两条直线的位置关系是： （2）经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤（用直尺和三角板）：节目时间大格度数小格度数夹角 新闻联播 19：00 新闻30分 12：00 今日说法 12：35 电视剧20：00（3）经过直线外一点，有且只有 直线与已知直线平行，如果两条直线都与第三条直 线平行，那么这两条直线互相 练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 （ ） （2）过一点最多只有一条直线平行于已知直线 （ ） （3）过相交直线AB ，CD 外一点E ，作直线EF 平行于AB 且平行于CD （ ） （4）在同一平面内不相交的两条射线是平行线 （ ）考点2：垂直（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相______,互相垂直的两条直线的交点叫 做______.，1l 与2l 垂直可表示成 。
（2）两条线段或射线垂直是指这两条线段或射线所在的______垂直（3）直线外一点到这条直线的垂线段的_____________，叫做点到直线的距离。
归纳：1、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
互相垂直的两条直线的交 点叫做垂足2、如图：两条直线互相垂直，可表示为a ⊥b 于点O 或表示为：AB ⊥CD 于点O 。
3、当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线4、如何经过一点画已知直线的垂线呢？一靠、二移、三画线。
5、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
把这条垂线段的长度 也叫做这点到这条直线的距离。
练习： 1、判断（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （ ） （2）直线的垂线和直线上的任一线段垂直 （ ） （3）对顶角中有一个角是直角时，相邻的边互相垂直 （ ） （4）过点P 而与直线l 相交的各条线中，垂线最短 （ ） （5）线段的垂线就是线段所在直线的垂线 （ ）归纳：画垂线我们可以使用三角板的直角来验证垂直关系，那么画垂线当然也是用三角板的直角来画。
先画一条直线，再试一试利用三角板的直角画出一条与它垂直的线。
（1）用三角尺画垂线。
步骤： ①画一条直线；②用三角尺上的一条直角边与这条直线重合； ③沿着三角尺上的另一条直角边画一条直线； ④标出一个直角。
（温馨提示：画完垂线后别忘了标上直角符号哦！）（2）尝试练习：过点画直线的垂线。
一定要用好三角板直角边，别忘了标上直角符号！小结：过点A 画已知直线的垂线。
步骤：①用三角尺上的一条直角边与这条直线重叠。
②平移三角尺直到另一条直角边与这一点重合，再沿着这条直角边画出一条直线。
③标出一个直角。
练习： 1、填空（1）在同一平面内的两条直线有（ ）种位置关系，即（ ）和（ ）。
（2）两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相（ ）。
（3）与一条直线垂直的线有（ ）条。
（4）正方形的两组对边（ ），相邻的边（ ）。
·A·A2、判断。
（1）互相垂直的两条直线一定相交。
（ ） （2）长方形相邻的两条边互相垂直。
（ ） （3）两条直线在同一平面内，不平行就一定相交。
（ ）3、选择题（1）过直线外一点，画一条已知直线的垂线，这样的垂线可以画（ ）条。
Ａ.2 Ｂ.1 Ｃ.无数 （2）两条直线互相垂直，可以形成4个（ ）角。
Ａ.锐 Ｂ.钝 Ｃ.直巩固练习题1、填空题（1）不在同一直线上的四点最多能确定 条直线。
（2）2：35时钟面上时针与分针的夹角为______________。
（3）如图，在AOE ∠的内部从O 引出3条射线，那么图中共 有_______个角；如果引出5条射线，有_______个角； 如果引出n 条射线，有_______个角。
2、选择题（1）对于直线AB ，线段CD ，射线EF ，在下列各图中能相交的是（ ）（2）如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）A 、1∠=3∠B 、31801∠-︒=∠C 、3901∠+︒=∠D 、以上都不对（3）如图，115︒∠=,90AOC ︒∠=,点B 、O 、D 在同一直线上，则2∠的度数为（ ）A 、75︒B 、15︒C 、105︒D 、165︒3、作图并分析（第1题8分，第2题9分，计15分）（1）①在图上过A 点画出直线BC 、直线AC 的垂线； ②在图上过B 点画出直线AC 的垂线，过C 点画出直线AB 的垂线。
