极坐标方程基础习题 附答案

极坐标练习题(含详细答案)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 答案 B解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B.5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3) C ．(2，4π3，3) D ．(2，5π3，3) 答案 C6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，π3)，则|CP|＝________.答案2 3解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3.9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案3＋1解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l 的距离为3＋1.10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝yρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4xρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 答案 (1,0) (2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，3π4) 解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)． 14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.15．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．答案 (－33，－3) 解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π6)， ∴x ＝6cos11π6＝6cos π6＝6×32＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M 的直角坐标为(33，－3)．∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．16．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．答案 1解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值． 答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标． 答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π2)解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。

高中极坐标试题及答案一、选择题1. 在极坐标系中，点P的极坐标为(ρ,θ)，则点P的直角坐标为：A. (ρcosθ, ρsinθ)B. (ρsinθ, ρcosθ)C. (ρcosθ, -ρsinθ)D. (-ρcosθ, ρsinθ)答案：A2. 极坐标方程ρ = 2cosθ表示的曲线是：A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A二、填空题3. 已知点A的极坐标为(3, π/3)，求点A的直角坐标。

答案：(3/2, 3√3/2)4. 将极坐标方程ρ= 4sinθ转化为直角坐标方程。

答案：x² + (y - 2)² = 4三、解答题5. 已知极坐标方程ρ = 6cosθ，求该曲线的圆心和半径。

答案：圆心为(3, 0)，半径为3。

6. 将极坐标方程ρ = 2θ转换为直角坐标方程，并说明其代表的图形。

答案：直角坐标方程为x² + y² - 2y = 0，代表的图形是一个圆心在(0, 1)，半径为1的圆。

四、计算题7. 已知点P的极坐标为(5, π/4)，求点P到原点O的距离。

答案：58. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ + 2cosθ，求该曲线与极坐标轴的交点。

答案：交点为(2, π/4)和(2, 5π/4)。

五、证明题9. 证明极坐标方程ρ² = 2ρcosθ表示的曲线是一条直线。

答案：将极坐标方程ρ² = 2ρcosθ转换为直角坐标方程，得到x²+ y² = 2x，即(x - 1)² + y² = 1，这是一个以(1, 0)为圆心，半径为1的圆的方程，因此原极坐标方程表示的曲线是一条直线。

六、应用题10. 一个圆的极坐标方程为ρ = 4，求该圆的面积。

答案：圆的面积为16π。

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

简单曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，求出知足以下条件的圆的极坐标方程直线地点极坐标方程图 形圆心地点 极坐标方程图 形过极点， (1) θ＝ α(ρ∈ R) 或 θ＝ α＋ π(ρ∈ R ) 圆心在极点 (0， 0)ρ＝ r 倾斜角为 α(2) θ＝ α(ρ≥ 0) 和 θ＝π＋ α(ρ≥ 0)半径为 r (0 ≤θ<2π)圆心在点 (r ， 0)ρ＝ 2r cos_θ过点 (a ， 0)，且π ππ π与极轴垂直ρcos_θ＝ a －<θ<2半径为 r(－2≤ θ< )2 2 圆心在点 (r ，πρ＝2r sin_θπ2)ρsin_θ＝ a(0< θ<π)半径为 r(0≤ θ<π)过点 a ， 2 ，且与极轴平行圆心在点 (r ， π)ρ＝－ 2rcos_θ半径为 rπ3π 过点 (a ， 0)倾斜角为 αρsin(α－θ)＝ asin α(0< θ<π)( ≤θ< 2 )2 圆心在点 (r ，3πρ＝－ 2rsin_θ2)半径为 r(－π<θ≤ 0)ρsin( α－ θ)＝ ρ0过点 P(ρsin(α－ θ)．0， θ0)，倾斜角为 α圆心 C(ρ0， θ0) ，2－ 2ρ 22＝ 0.ρ0ρcos(θ－ θ0)＋ ρ0－ r半径为 r3.将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程2.在极坐标系中，求出知足以下条件的直线的极坐标方程① x ＋ y ＝ 0；② x 2＋ y 2＋ 2ax ＝ 0(a ≠ 0)．(2) 将以下曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判断曲线形状：21① ρcos θ＝ 2；② ρ＝ 2cos θ；③ ρcos 2θ＝2；④ ρ＝.1－ cos θ[ 思路点拨 ](1) 先把公式 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入曲线 (含直线 )的直角坐标方程，再化简．(2) 先利用公式 222代入曲线的极坐标方程，再化 ρcos θ＝ x ， ρsin θ＝ y ， ρ＝ x ＋ y 简．[解 ] (1) ①将 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 x ＋y ＝ 0 得 ρcos θ＋ ρsin θ＝ 0，即 ρ(sin θ＋ cos θ)＝ 0，3π 7π∴ tan θ＝－ 1， θ＝ 4 (ρ≥ 0)和 θ＝ 4 (ρ≥ 0)，∴直线 x ＋ y ＝ 0 的极坐标方程为 θ＝3π7π．4 (ρ≥ 0)和 θ＝ 4 (ρ≥0) ②将 x ＝ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 x 2＋ y 2＋ 2ax ＝ 0 得2ρ＋ 2a ρcos θ＝0，∴ ρ＝ 0 或 ρ＝－ 2acos θ.又 ρ＝ 0 表示极点，而极点在圆 ρ＝－ 2acos θ上 ∴所求极坐标方程为 ρ＝－ 2acos θ(2)①∵ ρcos θ＝ 2，∴ x ＝ 2，即直线 ρcos θ＝ 2 的直角坐标方程为 x ＝ 2， 它表示过点 (2， 0)且垂直于 x 轴的直线，222②∵ ρ＝ 2cos θ，∴ ρ＝ 2ρcos θ，即 x ＋ y ＝ 2x.∴ (x － 1)2＋ y 2＝ 1，即 ρ＝ 2cos θ的直角坐标方程．它表示圆心为 (1， 0)，半径为 1 的圆．2③∵ ρcos 2θ＝ 2，222∴ ρ(cos θ－ sin θ)＝ 2， 2222即 ρcos θ－ ρsin θ＝2，∴ x 2－ y 2＝ 2，故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线．1④∵ ρ＝，∴ ρ＝ 1＋ ρcos θ，1－ cos θ∴ x 2＋ y 2＝ 1＋x ，两边平方并整理得 y 2＝ 2 x ＋12 ，1故曲线是极点为 －2， 0 ，焦点为 F(0， 0)，准线方程为 x ＝－ 1 的抛物线． 4.曲线 x 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2的极坐标方程是 ____________．22222，分析： ∵x ＋y ＝ ρ， ρ≥ 0，∴ ρ＝ x ＋y∴ x 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2可化为 ρ2＝ 2ρ，即 ρ(ρ－ 2)＝ 0.答案： ρ(ρ－ 2)＝0 5.曲线 ρsin θ－ π＝ 0 的直角坐标方程是 ______________．4π 2 2分析： ∵ρsin θ－ 4 ＝ 0，∴ 2 ρsin θ－ 2 ρcos θ＝ 0，∴ ρsin θ－ρcos θ＝0，即 x － y ＝ 0. 答案： x －y ＝ 0 6.圆 ρ＝ 5cos θ－ 53sin θ的圆心坐标是 ()A. 5，－ 2πB. 5， 2π33C. 5， πD. 5，5π33分析： 选 D.∵ ρ＝ 5cos θ－ 5 3 sin θ，2∴ ρ＝ 5ρcos θ－ 5 3ρsin θ，∴ x 2＋ y 2＝ 5x － 5 3y ，522∴ x － 2 ＋ y ＋ 5 2 3＝25，∴圆心 C 5，－5 3， ρ＝ 25＋ 75 ＝5，2 2 44tan θ＝ y＝－ 3，θ＝5πx3∴圆心 C 的极坐标为 C5π5， 3 .π) 7.极坐标方程 ρ＝ cos( － θ)表示的曲线是 (4A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆分析： 选 D. ∵ ρ＝ cos π2－θ，即 ρ＝ 2 (cos θ＋ sin θ)，422∴ ρ＝ 2 (ρcos θ＋ ρsin θ)，2 222 21 222∴ x ＋ y ＝ 2 x ＋ 2 y ，即 x － 4 ＋ y － 4 ＝4.8.曲线的极坐标方程为1 ，则曲线的直角坐标方程为 __________ ．ρ＝ tan θ·cos θ1分析： ∵ ρ＝ tan θ· ，222θ＝ ρsin θ， ∴ ρcos θ＝ sin θ，∴ ρcos ∴ x 2＝ y.答案： x 2＝y9.直线 2ρcos θ＝ 1 与圆 ρ＝ 2cos θ订交的弦长为 ________．[分析 ] (1)由公式 x ＝ ρcos θ， y ＝ρsin θ，得直线 2ρcos θ＝ 1 的直角坐标方程为 2x＝1，22 22 2＝1， 圆 ρ＝ 2cos θ? ρ＝ 2ρcos θ的直角坐标方程为x ＋ y － 2x ＝ 0? ( x －1) ＋ y1 1 12因为圆心 (1， 0)到直线的距离为 1－2＝2，因此弦长为 2 1－ 2 ＝ 3.10.已知圆的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ，圆心为 C ，点 P 的极坐标为 4， π，则 |CP|＝3________．2＝ 4ρcos θ，(2) 由圆的极坐标方程 ρ＝ 4cos θ得 ρ化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＝ 0，因此 (x － 2)2＋ y 2＝ 4，因此圆心 C(2， 0)，半径 r ＝ |OC|＝ 2，如图，在 △ OCP 中，π ∠ POC ＝ ， |OP|＝ 4.3由余弦定理，得|PC|2＝ |OP|2＋ |OC|2－ 2|OP ||OC| ·cos ∠ POC ＝ 42＋ 22－ 2×4 × 2cosπ＝12，3因此 |PC|＝ 2 3.[ 答案 ] (1) 3 (2)2 311.(2015 高·考全国卷 Ⅰ )在直角坐标系 xOy 中，直线 1： x ＝－ 2，圆 22 ＋ (yC C ： ( x － 1)－ 2)2＝ 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．(1) 求 C 1， C 2 的极坐标方程；π(2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 θ＝ 4(ρ∈ R) ，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ， N ，求△ C 2MN 的面积．[ 解 ] (1) 因为 x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ，因此 C 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2， C 的12极坐标方程为 2ρ－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0.π(2) 将 θ＝ 4代入 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0，得2ρ－ 3 2ρ＋ 4＝ 0，解得 ρ2，ρ2＝ 2.1＝ 2 故 ρ2，即 |MN |＝ 2.1－ ρ＝2因为 C 2 的半径为 1，因此 △ C 2MN 的面积为 1 .2。