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一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
跳点法在图像恢复中的应用邢月启;王卫卫【摘要】采用跳点法求解非线性扩散偏微分方程.这种方法采用显、隐交替差分格式.数值实验与分析表明该方法比显格式更有效,并且是一种无条件稳定的数值方法.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2010(046)003【总页数】2页(P177-178)【关键词】跳点;显、隐交替;差分格式【作者】邢月启;王卫卫【作者单位】西安电子科技大学,理学院,西安,710071;西安电子科技大学,理学院,西安,710071【正文语种】中文【中图分类】TP3911 跳点差分格式的引入及稳定性分析Perona-Malik方程[1]是图像处理中一个重要的方程，Catte等人[2]在Perona-Malik方程的基础上提出了CLMC方程[2]。
目前已有许多扩散偏微分方程的数值实现方法[3-4]。
常用显式差分格式求解，但显格式为保证稳定性，对时间步长要求教高。
因此引入显、隐交替的跳点差分格式。
考虑Catte[2]等人提出了改进的P-M模型：隐式差分格式为：利用奇-偶函数，可以把求解式（1）的跳点格式表示为：由上式可以看出，如果n+j+l+1为偶数，则式（4）取显式计算；若n+j+l+1为奇数，则式（4）取隐式计算。
用隐式格式算出时，n+j+l+1是偶数，此时n+j+l+1必为奇数。
下面是两个相邻的时间层上的公式：总的来说，利用跳点格式归纳如下：设在第n层上已知，要求第n+1层上的值。
第一步是对n+j+l+1为偶数的点利用公式（4）按显式计算，第二步是对n+j+l+1为奇数的点利用公式（4）按隐式计算，但此时的4个邻点上的值，已经由第一步求出，所以实际上第二步是显式的。
第二步得到值后按式（5）求出n+2时间层的值，因此第一步实际是公式（5）的简单运算而得到的。
因此可见跳点法比显式格式方法更省工作量。
从式（5）和式（3）中消去，整理得到：同时由于跳点法中奇、偶网格点是两套相互独立的网格，所以只需判断式（6）稳定性。
41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。
其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。
在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。
由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。
（5）可显示算出各网点的值。
（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。
差分方程特解形式表差分方程是数学中一种描述离散时间变化的方程。
差分方程特解形式表是一种用于求解差分方程特解的工具，它列举了常见差分方程的特解形式，帮助我们更快地求解差分方程。
1. 差分方程和初值问题在介绍差分方程特解形式表之前，我们先来回顾一下差分方程和初值问题的概念。
1.1 差分方程差分方程是指由递推关系定义的离散时间函数。
它表示了序列或离散变量之间的关系，通常采用递归定义的方式。
一个一阶线性常系数差分方程的一般形式为：a n=c1a n−1+c2a n−2+⋯+c k a n−k其中a n是序列第n项的值，c1,c2,…,c k是常数。
1.2 初值问题对于一个差分方程，我们通常需要给出初始条件才能确定唯一的解。
这个初始条件被称为初值问题。
对于一阶线性常系数差分方程，初始条件通常为a0,a1,…,a k−1。
2. 差分方程特解形式表差分方程特解形式表是一个列举了常见差分方程的特解形式的工具，它可以帮助我们更快地求解差分方程。
以下是一些常见的差分方程及其特解形式：2.1 常系数线性差分方程对于一阶常系数线性差分方程：a n=c1a n−1+c2a n−2+⋯+c k a n−k其特解形式为：a n∗=r n其中r是满足以下代数方程的根：r k−c1r k−1−c2r k−2−⋯−c k=02.2 非齐次线性差分方程对于一阶非齐次线性差分方程：a n=c1a n−1+c2a n−2+⋯+c k a n−k+f(n)其中f(n)是已知函数，其特解形式为：a n∗=p(n)其中p(n)是满足以下代数方程的函数：p(n)=c1p(n−1)+c2p(n−2)+⋯+c k p(n−k)+f(n) 2.3 齐次线性递推关系对于一阶齐次线性递推关系：a n=a n−1+a n−2+⋯+a n−k其特解形式为：a n∗=r n其中r是满足以下代数方程的根：r k−r k−1−r k−2−⋯−1=02.4 指数型递推关系对于一阶指数型递推关系：a n=ca n−1其特解形式为：a n∗=A⋅c n其中A是常数。
